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  • 二项式函数求导
    千次阅读
    2020-12-26 20:57:27

    ( x + 1 ) n = ∑ k = 0 n x k ( n k ) (x+1)^n = \sum_{k=0}^n x^k {n\choose{k}} (x+1)n=k=0nxk(kn)

    对左右同时求导,把组合数看作系数,其中 ( x + 1 ) (x+1) (x+1) 直接保留即可。

    n ( x + 1 ) n − 1 = ∑ k = 0 n k x k − 1 ( n k ) n(x+1)^{n-1} = \sum_{k=0}^n kx^{k-1} {n \choose k} n(x+1)n1=k=0nkxk1(kn)

    现在 k k k 的指数还是 1 1 1,两边同时再次求导,需要用到导函数的乘法法则

    [ f ( x ) g ( x ) ] ′ = f ( x ) g ( x ) ′ + f ( x ) ′ g ( x ) [f(x)g(x)]'=f(x)g(x)'+f(x)'g(x) [f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)

    n ( ( 1 + x ) n − 1 + ( n − 1 ) x ( 1 + x ) n − 2 ) = ∑ k = 0 n k 2 ( n k ) x k − 1 n((1+x)^{n-1}+(n-1)x(1+x)^{n-2}) = \sum_{k=0}^nk^2 {n \choose k} x^{k-1} n((1+x)n1+(n1)x(1+x)n2)=k=0nk2(kn)xk1

    x = 1 x=1 x=1,这个是根据系数而定的,如果 x ≠ 1 x\not=1 x=1,那么会得到的系数是一个多项式。

    ∑ k = 1 n k 2 ( n k ) = n ( n + 1 ) 2 n − 2 \sum_{k=1}^n k^2 {n \choose k} = n(n+1)2^{n-2} k=1nk2(kn)=n(n+1)2n2

    当然我们可以进行多次求导,这只会改变 k k k 的指数,其它都不变。对于任意的 k k k,我们只能暴力求导。

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  • 高数篇:隐函数求导

    千次阅读 2021-01-12 18:42:26
    高数篇:隐函数求导高数篇:隐函数求导求解隐函数前提条件(基础知识)隐函数的表达形式解析隐函数的求导转载需注明出处 高数篇:隐函数求导 隐函数的定义笔者就不在这里复制粘贴了,教材里面的解释专业的多的多,...

    高数篇:隐函数求导

    1. 隐函数的定义笔者就不在这里复制粘贴了,教材里面的解释专业的多的多,认真读个十几分钟就能理解清楚;
    2. 主要记录下隐函数求解过程中需要了解清楚的东西,笔者认为这里还是有需要搞懂的细节点,特别是到了后面的多元微分求导就显得炒鸡重要了,没有理解清楚这些知识点,可能看到教材后面的解题步骤脑子里会有很多个十万个为什么;
    3. 笔者也是菜鸡,文中如有理解错误望各位大佬笔下留情且指点一二,3Q;

    求解隐函数前提条件(基础知识)

    1. 四则求导法则(重中之重)
    2. 复合求导法则(重点)
    3. 隐函数的定义

    为了复习方便,下面给出隐函数的大概介绍。

    隐函数的表达形式

    有隐就有显,在提出隐函数之前,先看看显函数是怎样的,显函数就是初高中数学书中的常见的函数表达形式,例如:
    在这里插入图片描述
    而隐函数就是以下这种函数的表达形式了:
    在这里插入图片描述
    两者区别在于:前者是等号左右端分别是因变量和自变量的符号,后者则更多的是把x和y都当成变量并且根据函数式计算等于右端值。

    PS知识点(为啥隐函数求导又不同于显函数):
    而隐函数转化显函数的形式又称为:隐函数的显化。
    众所周知,显函数求导相较于隐函数求导来说是简单的多的(不解释),但不是所有的隐函数都能转化为显函数而后再求导。
    那么不能转化,隐函数又怎么进行求导呢?

    解析隐函数的求导

    不能转化的,只能强行求导。/狗头
    Sorry,这里笔者自己就不编栗子了,下面我就上教材的栗子了:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (重中之重):
    很明显的教材也把重点注释了出来,在隐函数求导的过程中,只含x的变量式或者常数项是明显的显式求导,但:

    1. y的变量式或者含有y的变量式则把y当成了是关于x的函数(因为x和y本来就存在一种映射关系)。
    2. y的变量式或者含有y的变量式则是通过四则求导法则复合函数求导法则进行求解的。
      例如上述方程求导中,e的y次幂关于x的求导,则是利用了复合函数求导法则:(设u=e^y)du/dy*dy/dx=du/dx,则求出了e的y次幂关于x的导数。

    对数求导法(特定条件)

    满足一定条件的求导,可以应用对应的方法快速解答,如以下形式:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    运用对数求导法需要了解清楚对数变形的四则运算性质,这个初高中的知识笔者就不介绍了,看的不是很懂的兄弟们就得复习下对数的相关知识了,上面如果看数学介绍就头晕的兄弟们可以直接看下面栗子:
    在这里插入图片描述
    提问:为什么要引入这个方法,用原始的求导法不行吗?
    对于上述幂指函数,这种特别的函数方程,原始的求导法肯定也是可以的,但是那样会增加计算的复杂程度和计算时间,如果采用对数求导法,就远远的把很多因素甩掉了,所以为什么不呢?

    [1]: 高等数学 第7版 上册 同济大学

    转载需注明出处

    https://blog.csdn.net/qq_49710945/article/details/112541377

    展开全文
  • 目录一、求导函数 求导函数的零点 求高阶导数 复合函数求导函数求导 参数方程求导 求函数的零点

    目录

    一、求导函数

     求导函数的零点

     求高阶导数

     复合函数求导

     隐函数求导

     参数方程求导

     求函数的零点

    二、泰勒展开

     三、多项式求和

     四、积分

    不定积分 

    定积分 

     quad的使用

    五、级数的求解


    一、求导函数

    求导函数diff,替换变量subs

    syms x 
    f=x^(1/2)+sin(x);
    diff(f)

     

     求导函数的零点

    syms x 
    df=3*x^2-6*x+3
    s=solve(df)

     求高阶导数

    syms x 
    df=3*x^2-6*x+3
    z=diff(df,2)

     复合函数求导

    syms x
    f=log(cos(exp(x)));
    diff(f)

     隐函数求导

    这里我们需要用到隐函数求导公式dyx=-\frac{dx}{dy}

    %声明两个符号变量
    syms x y
    %生成我们的函数
    f=exp(y)+x*y+exp(x);
    %对x求偏导
    dfx=diff(f,x);
    %对y求偏导
    dfy=diff(f,y);
    %隐函数求导公式
    dyx=-dfx/dfy

     参数方程求导

    \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}

    syms t
    x=t-sin(t);
    y=1-cos(t);
    %求dx/dt
    dx=diff(x,t);
    %dy/dt
    dy=diff(y,t);
    dy/dx
    

     求函数的零点

    使用fzero(函数,范围)就能够求出在该范围的零点

    syms x
    f=@(x) exp(x)+sin(x)+x;
    fzero(f,[-1,1])

    二、泰勒展开

    syms x
    %将e^x对x泰勒展开,按照顺序写,展开成11项
    f(x)=taylor(exp(x),x,'order',11)
    

    使用pretty就能够将式子变成我们常见的形式 

    syms x
    %将e^x对x泰勒展开,按照顺序写,展开成11项
    f(x)=taylor(exp(x),x,'order',11);
    pretty(f(x));

     三、多项式求和

    clc 
    clear
    syms n
    f1=(2*n-1)/2^n;
    %求和,对我们的f1中的n,从1到无穷累加求和
    s1=symsum(f1,n,1,inf)
    f2=1/n^2;
    s2=symsum(f2,n,1,inf)
    

     四、积分

    定积分和不定积分的命令是一样的,都为int(),是符号积分,quad()为数值积分。

    不定积分需要自己加上任意常数C

    利用MATLAB求积分一般不需要变量代换

    对于广义积分来说int()与quad()都可以求解

    不定积分 

    syms x
    f=x^2;
    int(f)

     

    定积分 

    syms x
    f=x^2;
    s=int(f,0,1);
    s=double(s)
    

     quad的使用

    quad就可以直接对我们的数值积分进行求解。quad与int的区别在于quad积分的是数值型的函数,而int求解的是符号性的函数。

    syms x
    y=exp(-x);
    f=inline(y);
    s2=quad(f,1,2);

    五、级数的求解

    symsum()函数可以对级数进行累加操作

    symsum(comiterm,v,a,b)

    comiterm为级数的通项表达式,v是通项中的求和变量,a和b分别为求和变量的起点和终点。

    在下面的代码中,我们分别对级数f1=(2*n-1)/2^n与f2=1/(n*(2*n+1))求级数从1到无穷的值

    clear
    clc
    syms n
    f1=(2*n-1)/2^n;
    f2=1/(n*(2*n+1));
    I1=symsum(f1,n,1,inf)
    I2=symsum(f2,n,1,inf)

     

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  • 【长篇符咒预警~慎点!回答本题,纯粹是因为这题勾起了我由来已久欲一吐为快之槽……请原谅我的无聊...定理10.1.15(复合函数求导——链式法则):设 , 是 的极限点,并设 是 的极限点。设 是在 处可微的函数且 , ...

    【长篇符咒预警~慎点!回答本题,纯粹是因为这题勾起了我由来已久欲一吐为快之槽……请原谅我的无聊。。。】

    陶哲轩的《分析》一书中,居然把这个证明留成了一道课后习题……还要求用他书中的体系(最“老土”的牛顿逼近法)去证……真是要多特么蛋疼有多特么蛋疼。。。简直丧病啊!

    定理10.1.15(复合函数的求导——链式法则):设

    ,

    的极限点,并设

    的极限点。设

    是在

    处可微的函数且

    是在

    处可微的函数;则两者的复合

    处可微,且

    证明(所需命题序号引自陶哲轩书,可直接查看,故不一一赘述):依命题10.1.7(牛顿逼近)以及命题10.1.10(可微性蕴含连续性),可立即得出以下三个条件(1、3用10.1.7;2用10.1.10):

    2.

    ;而由此可推出——

    3.

    先对1式后半部用三角不等式的变形:

    ,代入

    ,即有

    (此处还用到

    )。

    再对1式后半部使用

    (令

    ),得到

    。将同样方法应用至3式后半部,得——

    稍作整理,得:

    —— ①

    —— ②

    —— ③

    现取

    ,则当

    时,①、②、③式同时成立。将①式右边取代③中的

    ,得 ——

    ——④

    以下分两种情况进行讨论——

    一、

    :此时用

    乘②,序关系不变(仅当

    时需将

    换为

    以保持严谨),有:

    ——⑤

    。以⑤的左端取代④式左端

    一项,以⑤的右端取代④式右端

    一项,这样并不改变④之原有的序关系,得到——

    整理(重新合并同类项,并使用

    ),得

    ——(A)。

    二、

    :此时用

    乘②,序关系反号(向),有:

    ——⑥

    。以⑥的左端取代④式左端

    一项,以⑥的右端取代④式右端

    一项,这样并不改变④之原有的序关系,得到——

    整理(重新合并同类项,并使用

    ,考虑到

    ,则

    ,下式不等号右端有意义),得

    ——(B)。

    考虑到

    ,可以将(A)、(B)两式合二为一:

    ——(※)。

    现给定

    ,令

    。这样一来,一方面当

    时,

    ,而

    使得

    ;另一方面,当

    时,

    ,而

    使得

    。因此,

    。根据1、3两式,存在着

    使之针对此处给定的

    依以上估计所构造出的

    成立;而对于

    ,依2式知必然存在

    使之成立。那么,令

    ,依(※)则有——

    依命题10.1.7,定理得证。

    这证明从最基本的导数、微分的极限定义出发,用各种繁琐庞杂的不等式估计式直接正面硬刚,绝对能特么体现出特仑苏在这本书前言中所强调的“冗繁然而构造性”、“‘严格地’、‘手工地’做分析”的精神实质——“暴力”的硬分析(俗称“干脏活儿”、“硬㨃/怼”)。。。

    然而公式敲完之后,只觉天旋地转,喉头发痒咸腥,一口老血喷在屏幕上~

    顺便说一句,以下“证明”——

    是众所周知的伪证,因为分母

    时仍然可以为零。然而,很多人误认为

    的连续性可以保证

    使得

    ,但——

    这是错误的!

    然后很多人又会误以为只有常数函数

    才会导致这样的bug出现,然而——

    这也是妄念!

    考虑以下函数,这是关于可微性的经典反例——

    ,立即打脸。

    所以说,纵使这个伪证中存在的bug本质上是个“佯谬”,但也得认真对待——弄得不好,纸老虎也是会咬人的。

    展开全文
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