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  • 1.二项式分布与似然值估计公式二项分布基本公式求发生某件事情的概率: 如在人们对两种口味饮料无偏好时,即人们喜欢香橙口味的概率p=0.5,喜欢葡萄口味的概率p=0.5,那么7个人中4个人喜欢香橙口味的概率为0.273。...

    原标题:最大似然法估计二项式分布参数

    前面我们学习了解了最大似然法求解正态分布参数,求解指数分布参数。今天我们再来看看最大似然法如何求解二项式分布参数。

    1.二项式分布与似然值估计公式

    二项分布基本公式求发生某件事情的概率:

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    如在人们对两种口味饮料无偏好时,即人们喜欢香橙口味的概率p=0.5,喜欢葡萄口味的概率p=0.5,那么7个人中4个人喜欢香橙口味的概率为0.273。计算公式如下:

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    似然值公式求某件事发生的环境概率:

    如7个人中有4个人喜欢香橙口味饮料,在人们对两种口味饮料无偏好时,也就是喜欢两种口味饮料的概率p=0.5,那么p=0.5对应的似然值为0.273。计算公式如下:

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    二项式分布公式与似然值公式的异同:

    相同点:等式左边的写法是一样的;

    不同点:

    等式右边,“|”右侧的固定条件不同,也就是已知条件不同。在二项式分布公式中,固定条件为人们喜欢香橙口味的概率p=0.5,其他询问的人数。在似然值公式中,固定的条件是7个人中4个人喜欢香橙口味。“|”左边的变量不同,在二项式公式中,变量是询问人数中共有几人喜欢香橙口味;在似然值公式中,变量是人们喜欢香橙口味饮料的概率。

    通过对比,能知道似然值与分布公式的重要意义: 似然值公式是通过已发生的事件,推导产生该事件环境的可能性;而 分布公式是已知环境,推导该环境下发生某件事的概率。

    2.最大似然法求解二项式分布参数

    「二项式分布的似然值:」用似然法估计二项式分布的参数,即我们需要计算不同p值时对应的似然值。

    如下方程的含义为: 在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下,计算 p=0.5时的似然值为0.273;

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    在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下,计算 p=0.25时的似然值为0.058;

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    在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下,计算 p=0.57时的似然值为0.294。

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    p值的取值范围是[0,1],将以上二项式分布中的p在[0,1]范围内的似然值绘制成曲线,当曲线达到峰值(斜率为0)时对应的似然值最大。

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    「因为在似然值曲线的峰值时,该p值对应的似然值最大,故可将其转化成数学问题,求解二项式分布的导数为0时,p的取值。」

    为方便求导,将似然值求解公式两边同时取对数处理并简化方程:

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    函数求导并简化方程:

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    令导数=0,求解p:

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    当p=4/7=0.57时,取得最大似然值。故得出结论,当人们喜欢香橙口味饮料的概率为0.57时,发生4个人喜欢香橙口味,3个人喜欢葡萄口味的概率最大。

    任意情况下,最大似然值估计二项式分布参数

    问题:已知任意n个人中,任意x人喜欢香橙口味时,探究该二项式分布中最有可能的p值。

    求解方法同前,依次对函数进行对数处理、求导、求解p。最终,得出当p=x/n时,n人中x人更喜欢香橙口味的似然值最大。

    为方便求导,将似然值求解公式两边同时取对数处理并简化方程:

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    因不论n与x的取值,当斜率=0(导数=0)时,该处对应的似然值最大。

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    令导数=0,求解p:

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    得出结论:得出当p=x/n时,n人中x人更喜欢香橙口味的似然值最大,即 n人中x人更喜欢香橙口味发生的概率最大。

    小结

    通过前面几期的深入学习,使得我们能够更加清楚的了解最大似然值估计法的基本原理,让最大似然法不再陌生。继续加油~~~

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  • 1.二项式分布与似然值估计公式二项分布基本公式求发生某件事情的概率:如在人们对两种口味饮料无偏好时,即人们喜欢香橙口味的概率p=0.5,喜欢葡萄口味的概率p=0.5,那么7个人中4个人喜欢香橙口味的概率为0.273。...

    前面我们学习了解了最大似然法求解正态分布参数,求解指数分布参数。今天我们再来看看最大似然法如何求解二项式分布参数。

    1.二项式分布与似然值估计公式

    二项分布基本公式求发生某件事情的概率:

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    如在人们对两种口味饮料无偏好时,即人们喜欢香橙口味的概率p=0.5,喜欢葡萄口味的概率p=0.5,那么7个人中4个人喜欢香橙口味的概率为0.273。计算公式如下:

    c063c34f1ed2

    似然值公式求某件事发生的环境概率:

    如7个人中有4个人喜欢香橙口味饮料,在人们对两种口味饮料无偏好时,也就是喜欢两种口味饮料的概率p=0.5,那么p=0.5对应的似然值为0.273。计算公式如下:

    c063c34f1ed2

    二项式分布公式与似然值公式的异同:

    相同点:等式左边的写法是一样的;

    不同点:

    等式右边,“|”右侧的固定条件不同,也就是已知条件不同。在二项式分布公式中,固定条件为人们喜欢香橙口味的概率p=0.5,其他询问的人数。在似然值公式中,固定的条件是7个人中4个人喜欢香橙口味。“|”左边的变量不同,在二项式公式中,变量是询问人数中共有几人喜欢香橙口味;在似然值公式中,变量是人们喜欢香橙口味饮料的概率。

    通过对比,能知道似然值与分布公式的重要意义:似然值公式是通过已发生的事件,推导产生该事件环境的可能性;而分布公式是已知环境,推导该环境下发生某件****事的概率。

    2.最大似然法求解二项式分布参数

    「二项式分布的似然值:」 用似然法估计二项式分布的参数,即我们需要计算不同p值时对应的似然值。

    如下方程的含义为:在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下,计算p=0.5时的似然值为0.273;

    c063c34f1ed2

    在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下,计算p=0.25时的似然值为0.058;

    c063c34f1ed2

    在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下,计算p=0.57时的似然值为0.294。

    c063c34f1ed2

    p值的取值范围是[0,1],将以上二项式分布中的p在[0,1]范围内的似然值绘制成曲线,当曲线达到峰值(斜率为0)时对应的似然值最大。

    c063c34f1ed2

    「因为在似然值曲线的峰值时,该p值对应的似然值最大,故可将其转化成数学问题,求解二项式分布的导数为0时,p的取值。」

    为方便求导,将似然值求解公式两边同时取对数处理并简化方程:

    c063c34f1ed2

    函数求导并简化方程:

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    令导数=0,求解p:

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    当p=4/7=0.57时,取得最大似然值。故得出结论,当人们喜欢香橙口味饮料的概率为0.57时,发生4个人喜欢香橙口味,3个人喜欢葡萄口味的概率最大。

    任意情况下,最大似然值估计二项式分布参数

    问题:已知任意n个人中,任意x人喜欢香橙口味时,探究该二项式分布中最有可能的p值。

    求解方法同前,依次对函数进行对数处理、求导、求解p。最终,得出当p=x/n时,n人中x人更喜欢香橙口味的似然值最大。

    为方便求导,将似然值求解公式两边同时取对数处理并简化方程:

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    因不论n与x的取值,当斜率=0(导数=0)时,该处对应的似然值最大。

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    令导数=0,求解p:

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    得出结论:得出当p=x/n时,n人中x人更喜欢香橙口味的似然值最大,即n人中x人更喜欢香橙口味发生的概率最大。

    小结

    通过前面几期的深入学习,使得我们能够更加清楚的了解最大似然值估计法的基本原理,让最大似然法不再陌生。继续加油~~~

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  • 二项式定理

    千次阅读 2018-11-05 15:34:20
    这个公式称为二项式公式二项式定理。把它写作 理解为组合形式,n为总数,取0个。 概率分布列表:https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_probability_distributions   额外的补充: powf(a,b) 计算a 的...

    将x+y的任意次幂展开成和的形式:

    每一个乘坐二项式系数的特定正整数,其等于 。这个公式称为二项式公式或二项式定理。把它写作

    理解为组合形式,n为总数,取0个。

    概率分布列表:https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_probability_distributions

     

    额外的补充:

    powf(a,b)      计算a 的b次幂 

    atoi(t)      将字符串转换成整型

    fact(n)      n的阶乘

      

     

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  • 一、几何分布 假设某种赌博游戏的胜率为0.2,那么意味着你玩第一次就胜...如果用p代表某件事发生的概率,则它不发生的概率为1-p,我们将此概率称为q,于是可以用下式计算任何具有这一性质的概率: 这个公式叫做...

    一、几何分布

    假设某种赌博游戏的胜率为0.2,那么意味着你玩第一次就胜出的概率为0.2

    那玩第二次才胜出呢?“玩第二次才胜出”就意味着玩第一次是失败的,而直到第二次才胜出,那么这件事发生的概率就是0.8×0.2=0.16

    那么第三次、第四次呢?

    如果用p代表某件事发生的概率,则它不发生的概率为1-p,我们将此概率称为q,于是可以用下式计算任何具有这一性质的概率:

    这个公式叫做概率的几何分布。变量X表示为了取得第一次成功所需进行的试验次数,为了在第r次试验时取得成功,首先要先失败r-1次

    几何分布同样适用于不等式。

    P(Xr)指的是为了取得第一次成功需要试验r次以上的概率。为了让需要进行的试验次数大于r,意味着前r次试验必须以失败告终。也就是说,将失败概率乘上r次就是所求的概率:

    利用这个,可以求出P(Xr),即为了取得一次成功而需要尝试r次或r次以下的概率:

    如果一个变量X的概率符合几何分布,且单次试验的成功概率为p,则可以写作:

    几何分布的期望模式

    在数学期望已知的情况下,就可以得出试验在成功之前需要试验的次数的期望值。

    假设X~Geo(0.2),那么:

    如果将xP(X=x)的累计总和画成图形:

    xP(X=x)的累计总和画成图形后,可以看出,随着x的变大,累计总和越来越接近一个特定数值:5。即:E(X)=5

    式的意义直观:单次试验的成功概率为0.2,则可以理解为试验5次中就有一次可能成功

    以上情况可以推而广之任意数值p。如果X~Geo(p),则:

    二、二项分布

    假设进行一项试验的成功的概率为0.25,那么连续进行三次试验,用X代表成功的次数,则P(X=0)P(X=1) P(X=2) P(X=3)分别为多少?

    很明显能看出规律:x的值与0.250.75幂次存在某种关系。

    中的结果可以式来归纳

    进而将此式推广到一般情况:

    这类问题被称为二项分布,写作:

    并且,只要X~B(n,p),则:

    三、泊松分布

    假如某台机器一周内发生故障的平均次数为3.4,那么下周这台机器不发生故障的概率有多大?

    一类问题的难点在于,尽管我们知道机器的周平均故障次数,实际的故障发生次数固定的,如果倒霉的话,发生故障的次数就会多,如果幸运的话,一次故障都不会发生。这时就需要借助泊松分布来解决这一类问题。

    泊松分布包含以下条件:

    单独事件在给定区间内随机、独立地发生;

    ②已知区间内的事件平均发生次数(或发生率),且为有限数值。

    如果X符合泊松分布,且发生率为λ,则写作:

    且:

    回到刚才的问题,机器在下周不发生故障的概率为多少?

    那么下周机器发生三次故障的概率

    如果X~Po (λx)Y~Po (λy),则:

    再来看下面这道问题:一个学生要参加一场考试,但他没有做任何复习。他需要猜测每一道题的答案,每一题答对的几率为0.05,考卷上共有50个问题,他答对5题的概率是多少?

    这是一道二项分布问题,但如果用二项分布求解,那么幂次会非常之大,计算起来困难。

    当n很大且p很小时,可以用X~Po(np)近似代替X~B(n,p)。于是:

    #转自知乎:

    Q:泊松分布的现实意义是什么,为什么现实生活多数服从于泊松分布?
    A:先说结论:泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式
    二项分布是说,已知某件事情发生的概率是p,那么做n次试验,事情发生的次数就服从于二项分布。
    泊松分布是指某段连续的时间内某件事情发生的次数,而且“某件事情”发生所用的时间是可以忽略的。例如,在五分钟内,电子元件遭受脉冲的次数,就服从于泊松分布。
    假如你把“连续的时间”分割成无数小份,那么每个小份之间都是相互独立的。在每个很小的时间区间内,电子元件都有可能“遭受到脉冲”或者“没有遭受到脉冲”,这就可以被认为是一个p很小的二项分布。而因为“连续的时间”被分割成无穷多份,因此n(试验次数)很大。所以,泊松分布可以认为是二项分布的一种极限形式。
    因为二项分布其实就是一个最最简单的“发生”与“不发生”的分布,它可以描述非常多的随机的自然界现象,因此其极限形式泊松分布自然也是非常有用的。

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二项式分布概率计算公式