原标题：最大似然法估计二项式分布参数
前面我们学习了解了最大似然法求解正态分布参数，求解指数分布参数。今天我们再来看看最大似然法如何求解二项式分布参数。
1.二项式分布与似然值估计公式
二项分布基本公式求发生某件事情的概率：
如在人们对两种口味饮料无偏好时，即人们喜欢香橙口味的概率p=0.5，喜欢葡萄口味的概率p=0.5，那么7个人中4个人喜欢香橙口味的概率为0.273。计算公式如下：
似然值公式求某件事发生的环境概率：
如7个人中有4个人喜欢香橙口味饮料，在人们对两种口味饮料无偏好时，也就是喜欢两种口味饮料的概率p=0.5，那么p=0.5对应的似然值为0.273。计算公式如下：
二项式分布公式与似然值公式的异同：
相同点：等式左边的写法是一样的；
不同点：
等式右边，“|”右侧的固定条件不同，也就是已知条件不同。在二项式分布公式中，固定条件为人们喜欢香橙口味的概率p=0.5,其他询问的人数。在似然值公式中，固定的条件是7个人中4个人喜欢香橙口味。“|”左边的变量不同，在二项式公式中，变量是询问人数中共有几人喜欢香橙口味；在似然值公式中，变量是人们喜欢香橙口味饮料的概率。
通过对比，能知道似然值与分布公式的重要意义： 似然值公式是通过已发生的事件，推导产生该事件环境的可能性；而 分布公式是已知环境，推导该环境下发生某件事的概率。
2.最大似然法求解二项式分布参数
「二项式分布的似然值：」用似然法估计二项式分布的参数，即我们需要计算不同p值时对应的似然值。
如下方程的含义为： 在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下，计算 p=0.5时的似然值为0.273；
在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下，计算 p=0.25时的似然值为0.058；
在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下，计算 p=0.57时的似然值为0.294。
p值的取值范围是[0,1]，将以上二项式分布中的p在[0,1]范围内的似然值绘制成曲线，当曲线达到峰值(斜率为0)时对应的似然值最大。
「因为在似然值曲线的峰值时，该p值对应的似然值最大，故可将其转化成数学问题，求解二项式分布的导数为0时，p的取值。」
为方便求导，将似然值求解公式两边同时取对数处理并简化方程：
函数求导并简化方程：
令导数=0，求解p：
当p=4/7=0.57时，取得最大似然值。故得出结论，当人们喜欢香橙口味饮料的概率为0.57时，发生4个人喜欢香橙口味，3个人喜欢葡萄口味的概率最大。
任意情况下，最大似然值估计二项式分布参数
问题：已知任意n个人中，任意x人喜欢香橙口味时，探究该二项式分布中最有可能的p值。
求解方法同前，依次对函数进行对数处理、求导、求解p。最终，得出当p=x/n时，n人中x人更喜欢香橙口味的似然值最大。
为方便求导，将似然值求解公式两边同时取对数处理并简化方程：
↓
因不论n与x的取值，当斜率=0(导数=0)时，该处对应的似然值最大。
令导数=0，求解p：
得出结论：得出当p=x/n时，n人中x人更喜欢香橙口味的似然值最大，即 n人中x人更喜欢香橙口味发生的概率最大。
小结
通过前面几期的深入学习，使得我们能够更加清楚的了解最大似然值估计法的基本原理，让最大似然法不再陌生。继续加油~~~
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前面我们学习了解了最大似然法求解正态分布参数，求解指数分布参数。今天我们再来看看最大似然法如何求解二项式分布参数。
1.二项式分布与似然值估计公式
二项分布基本公式求发生某件事情的概率：
如在人们对两种口味饮料无偏好时，即人们喜欢香橙口味的概率p=0.5，喜欢葡萄口味的概率p=0.5，那么7个人中4个人喜欢香橙口味的概率为0.273。计算公式如下：
似然值公式求某件事发生的环境概率：
如7个人中有4个人喜欢香橙口味饮料，在人们对两种口味饮料无偏好时，也就是喜欢两种口味饮料的概率p=0.5，那么p=0.5对应的似然值为0.273。计算公式如下：
二项式分布公式与似然值公式的异同：
相同点：等式左边的写法是一样的；
不同点：
等式右边，“|”右侧的固定条件不同，也就是已知条件不同。在二项式分布公式中，固定条件为人们喜欢香橙口味的概率p=0.5,其他询问的人数。在似然值公式中，固定的条件是7个人中4个人喜欢香橙口味。“|”左边的变量不同，在二项式公式中，变量是询问人数中共有几人喜欢香橙口味；在似然值公式中，变量是人们喜欢香橙口味饮料的概率。
通过对比，能知道似然值与分布公式的重要意义：似然值公式是通过已发生的事件，推导产生该事件环境的可能性；而分布公式是已知环境，推导该环境下发生某件****事的概率。
2.最大似然法求解二项式分布参数
「二项式分布的似然值：」 用似然法估计二项式分布的参数，即我们需要计算不同p值时对应的似然值。
如下方程的含义为：在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下，计算p=0.5时的似然值为0.273；
在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下，计算p=0.25时的似然值为0.058；
在随机7个人中4个人喜欢香橙口味的固定情况下，计算p=0.57时的似然值为0.294。
p值的取值范围是[0,1]，将以上二项式分布中的p在[0,1]范围内的似然值绘制成曲线，当曲线达到峰值(斜率为0)时对应的似然值最大。
「因为在似然值曲线的峰值时，该p值对应的似然值最大，故可将其转化成数学问题，求解二项式分布的导数为0时，p的取值。」
为方便求导，将似然值求解公式两边同时取对数处理并简化方程：
函数求导并简化方程：
令导数=0，求解p：
当p=4/7=0.57时，取得最大似然值。故得出结论，当人们喜欢香橙口味饮料的概率为0.57时，发生4个人喜欢香橙口味，3个人喜欢葡萄口味的概率最大。
任意情况下，最大似然值估计二项式分布参数
问题：已知任意n个人中，任意x人喜欢香橙口味时，探究该二项式分布中最有可能的p值。
求解方法同前，依次对函数进行对数处理、求导、求解p。最终，得出当p=x/n时，n人中x人更喜欢香橙口味的似然值最大。
为方便求导，将似然值求解公式两边同时取对数处理并简化方程：
↓
因不论n与x的取值，当斜率=0(导数=0)时，该处对应的似然值最大。
令导数=0，求解p：
得出结论：得出当p=x/n时，n人中x人更喜欢香橙口味的似然值最大，即n人中x人更喜欢香橙口味发生的概率最大。
小结
通过前面几期的深入学习，使得我们能够更加清楚的了解最大似然值估计法的基本原理，让最大似然法不再陌生。继续加油~~~

将x+y的任意次幂展开成和的形式：



每一个乘坐二项式系数的特定正整数，其等于 。这个公式称为二项式公式或二项式定理。把它写作



理解为组合形式，n为总数，取0个。


概率分布列表：https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_probability_distributions


 

额外的补充:

powf(a,b)      计算a 的b次幂 

atoi(t)      将字符串转换成整型

fact(n)      n的阶乘

  

 

一、几何分布

假设某种赌博游戏的胜率为0.2，那么意味着你玩第一次就胜出的概率为0.2。

那玩第二次才胜出呢？“玩第二次才胜出”就意味着玩第一次是失败的，而直到第二次才胜出，那么这件事发生的概率就是0.8×0.2=0.16。

那么第三次、第四次呢？



如果用p代表某件事发生的概率，则它不发生的概率为1-p，我们将此概率称为q，于是可以用下式计算任何具有这一性质的概率：



这个公式叫做概率的几何分布。变量X表示为了取得第一次成功所需进行的试验次数，为了在第r次试验时取得成功，首先要先失败r-1次。

几何分布同样适用于不等式。

P(X＞r)指的是为了取得第一次成功需要试验r次以上的概率。为了让需要进行的试验次数大于r，意味着前r次试验必须以失败告终。也就是说，将失败概率乘上r次就是所求的概率：



利用这个，可以求出P(X≤r)，即为了取得一次成功而需要尝试r次或r次以下的概率：



如果一个变量X的概率符合几何分布，且单次试验的成功概率为p，则可以写作：



几何分布的期望模式

在数学期望已知的情况下，就可以得出试验在成功之前需要试验的次数的期望值。

假设X~Geo(0.2)，那么：



如果将xP(X=x）的累计总和画成图形：



将xP(X=x)的累计总和画成图形后，可以看出，随着x的变大，累计总和越来越接近一个特定数值：5。即：E(X)=5。

上式的意义很直观：单次试验的成功概率为0.2，则可以理解为试验5次中就有一次可能成功。

以上情况可以推而广之任意数值p。如果X~Geo(p)，则：



二、二项分布

假设进行一项试验的成功的概率为0.25，那么连续进行三次试验，用X代表成功的次数，则P(X=0)、 P(X=1)、 P(X=2)、 P(X=3)分别为多少？



很明显能看出规律：x的值与0.25和0.75的幂次存在某种关系。

表中的结果可以用下式来归纳：



进而将此式推广到一般情况：



这类问题被称为二项分布，写作：



并且，只要X~B(n,p)，则：



三、泊松分布

假如某台机器一周内发生故障的平均次数为3.4，那么下周这台机器不发生故障的概率有多大？

这一类问题的难点在于，尽管我们知道机器的每周平均故障次数，但实际的故障发生次数却是不固定的，如果倒霉的话，发生故障的次数就会多，如果幸运的话，一次故障都不会发生。这时就需要借助泊松分布来解决这一类问题。

泊松分布包含以下条件：

①单独事件在给定区间内随机、独立地发生；

②已知该区间内的事件平均发生次数（或发生率），且为有限数值。

如果X符合泊松分布，且发生率为λ，则写作：



且：



回到刚才的问题，机器在下周不发生故障的概率为多少？



那么下周机器发生三次故障的概率：



如果X~Po (λx)且Y~Po (λy)，则：



再来看下面这道问题：一个学生要参加一场考试，但他没有做任何复习。他需要猜测每一道题的答案，每一题答对的几率为0.05，考卷上共有50个问题，他答对5道题的概率是多少？

这是一道二项分布问题，但如果用二项分布求解，那么幂次会非常之大，计算起来很困难。

而当n很大且p很小时，可以用X~Po(np)近似代替X~B(n,p)。于是：



#转自知乎：

Q：泊松分布的现实意义是什么，为什么现实生活多数服从于泊松分布？

A：先说结论：泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式

二项分布是说，已知某件事情发生的概率是p，那么做n次试验，事情发生的次数就服从于二项分布。

泊松分布是指某段连续的时间内某件事情发生的次数，而且“某件事情”发生所用的时间是可以忽略的。例如，在五分钟内，电子元件遭受脉冲的次数，就服从于泊松分布。

假如你把“连续的时间”分割成无数小份，那么每个小份之间都是相互独立的。在每个很小的时间区间内，电子元件都有可能“遭受到脉冲”或者“没有遭受到脉冲”，这就可以被认为是一个p很小的二项分布。而因为“连续的时间”被分割成无穷多份，因此n(试验次数)很大。所以，泊松分布可以认为是二项分布的一种极限形式。

因为二项分布其实就是一个最最简单的“发生”与“不发生”的分布，它可以描述非常多的随机的自然界现象，因此其极限形式泊松分布自然也是非常有用的。