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  • matlab实现二项分布

    万次阅读 2016-04-22 15:13:51
    二项分布 1. 求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P。 命令:pdf 或 binopdf 格式:pdf (‘bino’, k, n, p) 或 binopdf (k, n, p) 说明:该命令的功能是计算二项分布中事件A恰好发生k次的概率。pdf为...

    二项分布
    1. 求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P。
    命令:pdf 或 binopdf 格式:pdf (‘bino’, k, n, p) 或 binopdf (k, n, p)
    说明:该命令的功能是计算二项分布中事件A恰好发生k次的概率。pdf为通用函数,bino表示二项分布,binopdf为专用函数,n为试验总次数,k为n次试验中,事件A发生的次数,p为每次试验事件A发生的概率。
    2. 在n次独立重复试验中,事件A至少发生k次的概率P_s。
    命令:cdf 或 binocdf 格式:cdf (‘bino’, k, n, p) 或 binocdf (k, n, p)
    说明:该命令的功能是返回随机变量X≤k的概率之和(即累积概率值)。其中cdf为通用函数,binocdf为专用函数,n为试验总次数,k为n次试验中,事件A发生的次数,p为每次试验事件A发生的概率。
    所以,至少发生k次的概率为 P_s = 1- cdf (‘bino’, k-1, n, p) 或 P_s = 1- binocdf (k-1, n, p)
    例8-1 某机床出次品的概率为0.01,求生产100件产品中: (1)恰有1件次品的概率; (2)至少有1件次品的概率。
    解:此问题可看作是100次独立重复试验,每次试验出次品的概率为0.01。
    (1)恰有1件次品的概率 在Matlab命令窗口键入:

    p=pdf(‘bino’,1,100,0.01) %利用通用函数计算恰好发生k次的概率

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  • [LaTex]分数和二项式

    千次阅读 2020-07-09 22:41:00
    Fractions and binomial coefficients are common mathematical elements with similar characteristics - one number goes...在表达式中使用分数和二项式系数很简单直观的。 The binomial coefficient is defined by

    分数和二项式系数是具有相似特征的常见数学元素 —— 一个数字位于另一个数字之上。 本文介绍了如何在LATEX中对它们进行排版。

    引言

    在表达式中使用分数和二项式系数很简单直观的。

    The binomial coefficient is defined by the next expression:
    
    \[
        \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
    \]

    为了使这些命令起作用,必须在文件的序言中添加如下一行来导入包amsmath:

    \usepackage{amsmath}
    

    显示分数

    分数的外观可能会根据上下文而变化

    Fractions can be used alongside the text, for 
    example \( \frac{1}{2} \), and in a mathematical 
    display style like the one below:
    
    \[\frac{1}{2}\]

    您可能已经猜到了,命令\ frac {1} {2}是显示分数的命令。 第一对大括号内的文本是分子,第二对大括号内的文本是分母。

    同样,分数的文本大小会根据其周围的文本而变化。 您可以根据需要手动设置。

    When displaying fractions in-line, for example \(\frac{3x}{2}\) 
    you can set a different display style: 
    \( \displaystyle \frac{3x}{2} \).
    
    This is also true the other way around
    
    \[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \ \ \textrm{and} 
    \ \ f(x)=\textstyle\frac{P(x)}{Q(x)} \]

    命令 \displaystyle 将格式化分数,就好像它处于数学显示模式一样。 另一方面,\textstyle 将更改分数的样式,就好像它是文本的一部分一样。

    连续分数

    分数的用法非常灵活,可以嵌套它们以获得更复杂的表达式。

    The fractions can be nested
    
    \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \]
    
    Now a wild example
    
    \[
      a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}}
    \]

    上一个示例中显示的第二个小数部分使用了软件包amsmath提供的命令\cfrac {} {}(请参见介绍),该命令显示嵌套的小数部分而不更改字体大小。 对连续分数特别有用。

    二项式系数

    二项式系数是数学表达式中的常见元素,在LATEX中显示它们的命令与分数非常相似。

    The binomial coefficient is defined by the next expression:
    
    \[
        \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
    \]
    
    And of course this command can be included in the normal 
    text flow \(\binom{n}{k}\).

    如您所见,命令 \binom {} {} 将使用括号内传递的参数来打印二项式系数。

    参考指南

    与连续分数的稍有不同并且更复杂的示例

    Final example
    
    \newcommand*{\contfrac}[2]{%
    {
      \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}%
      \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}%
    }
    }
    \[
      a_0 +
      \contfrac{a_1}{
      \contfrac{a_2}{
      \contfrac{a_3}{
      \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots}
      }}}
    \]

     

    完整的源码:

    \documentclass{article}
    \usepackage[utf8]{inputenc}
    \usepackage{geometry}
    \geometry{textwidth=7cm}
    \usepackage{amsmath}
    
    \title{Fractions and Binomials}
    \author{An example from Overleaf}
    
    \begin{document}
    
    \maketitle
    %Introductory example
    %--------------------------------------------------------------------
    Given two polynomials $P(x)$ and $Q(x)$, a rational expression can be defined as the ratio of the two polynomials
    $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$. These expressions are also called polynomial fractions.
    %--------------------------------------------------------------------
    
    \vspace{1cm}
    
    Fractions can be used alongside the text, for example \( \frac{1}{2} \), and in a mathematical display style like the one below:
    
    \[\frac{1}{2}\]
    
    \vspace{1cm}
    
    
    When displaying fractions in-line, for example \(\frac{3x}{2}\) you can set a different display style: \( \displaystyle \frac{3x}{2} \).
    
    This is also true the other way around
    
    \[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \ \ \textrm{and} \ \ f(x)=\textstyle\frac{P(x)}{Q(x)} \]
    
    \vspace{1cm}
    
    The fractions can be nested
    
    \[ \frac{1+\frac{a}{b}}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{a}}} \]
    
    
    Now a wild example
    
    \[
      a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}}
    \]
    
    \newpage
    %Combinatorial coefficients
    The binomial coefficient is defined by the next expression:
    
    \[
        \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
    \]
    
    And of course this command can be included in the normal text flow \(\binom{n}{k}\).
    
    \vspace{1cm}
    
    %Final examaple
    Final example
    
    \newcommand*{\contfrac}[2]{%
      {
        \rlap{$\dfrac{1}{\phantom{#1}}$}%
        \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{#1+#2}%
      }
    }
    \[
      a_0 +
      \contfrac{a_1}{
        \contfrac{a_2}{
          \contfrac{a_3}{
            \genfrac{}{}{0pt}{0}{}{\ddots}
      }}}
    \]
    
    
    
    
    
    \end{document}
    

    翻译如下文章:

    原文:https://www.overleaf.com/learn/latex/Fractions_and_Binomials

    展开全文
  • 在讲义的第一部分中,Ng首先讲解了什么叫做监督学习,其次讲了用最小二乘法求解的线性模型,用sigmod函数表示响应函数的logistics回归,接着,利用这两种模型,推出了一种应用十分广泛的指数分布族,在指数分布族的...

    作为一名机器学习的爱好者,最近在跟着Andrew Ng 的 Machine Learning 学习。在讲义的第一部分中,Ng首先讲解了什么叫做监督学习,其次讲了用最小二乘法求解的线性模型,用sigmod函数表示响应函数的logistics回归,接着,利用这两种模型,推出了一种应用十分广泛的指数分布族,在指数分布族的基础上,进行模型的假设,创建了GLM模型,利用这种模型,创建了多项式分布的模型求解(softmax regression),在这中间,还穿插讲了极大似然估计,高斯分布、伯努利分布的cost function函数选择的概率解释,一种新的求解线性模型的算法—局部加权平均法,以及求解函数最值的两种方法:梯度下降法和牛顿法。
    但这样存储在脑中的这些东西显得太过杂乱,希望对脑中这些知识进行梳理,能够和同样喜欢机器学习的人交流学习。

    1
    整理目录为
    这里写图片描述
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    由于在CSDN编辑器上边敲公式太繁琐,因此直接在word里边编辑的,后来转换为图片格式上传了上来。

    展开全文
  • 在统计学上,我们会遇到一些常见的分布,除了正态分布外,,如t检验对应的t分布,检验对应的分布,方差分析对应的F分布等。这些分布是统计学的基础,在假设检验、方差分析等领域都起着至关重要的作用。在此,我们对...

    在统计学上,我们会遇到一些常见的分布,除了正态分布外,,如t检验对应的t分布,\chi ^{2}检验对应的\chi ^{2}分布,方差分析对应的F分布等。这些分布是统计学的基础,在假设检验、方差分析等领域都起着至关重要的作用。在此,我们对这四种分布做详细的介绍,并附上MATLAB代码。

    四种分布的讲解摘自MATLAB 2016的统计学和机器学习工具箱,有兴趣的可以去查看英文原版。

    另外,为了方便,上传文档为图片格式,可能有些模糊,需要pdfword原版的可以评论留下邮箱,有时间发送给大家。

     

    一、正态分布

    定义

    正态分布的概率密度函数为

    背景

    正态分布是两个参数的曲线族,第一个参数µ是均值,第二个参数σ是标准差。标准正态分布(记为Φ(x))  µ 设为0,将 σ 设为 1

    Φ(x) 在功能上与误差函数 erf有关

    正态分布的第一次使用是对二项式的连续近似。使用正态分布进行建模的通常理由是中心极限定理,其中(大致)指出,当样本大小变为无穷大时,来自任何具有有限均值和方差的分布的独立样本的总和会收敛到正态分布。

    参数

    要可靠地使用平均值和标准差等统计参数,需要为它们提供一个好的估计器。 最大似然估计(MLE)提供一个这样的估计。 但是,MLE可能存在偏差,这意味着其参数的预期值可能与估计的参数不相等。 例如,MLE偏向于估计正态分布的方差。 通常用于估计正态分布参数的无偏估计是最小方差无偏估计(MVUE)。 MVUE具有参数的所有无偏估计的最小方差。

    正态分布的参数μ和\sigma ^{2}MVUE是样本均值和方差。 样本均值也是μ的MLE 以下是方差的两个常见公式。

                                                                                                                                                                                    (1)

                                                                                                                                                                                    (2)

    其中

    例如,假设您想要估计美国所有四年级儿童身高的平均值μ和方差\sigma ^{2} 函数normfit返回均值μ的MVUE和平方根\sigma ^{2}MVUE,以及μ和\sigma ^{2}的置信区间。 这是一个有趣的例子,模拟随机选择的四年级班级学生的身高(英寸)。

    rng default;                    % For reproducibility

    height = normrnd(50,2,30,1);  % Simulate heights

    [mu,s,muci,sci] = normfit(height)

    mu =

       51.1038

    s =

        2.6001

    muci =

       50.1329

       52.0747

    sci =

        2.0707

        3.4954

    注意,s ^ 2是方差的MVUE

    s^2

    ans =

        6.7605

    例子

    计算并绘制正态分布pdf

    计算标准正态分布的pdf,参数 \mu等于0\sigma ^{2}等于1

    x = [-3:.1:3];

    norm = normpdf(x,0,1);

    figure;

    plot(x,norm)

    二、卡方分布

    综述

    卡方分布通常用于假设检验,特别是拟合优度的卡方检验。

    参数

    参数

    描述

    备注

    ν

    自由度

    ν 是非负整数

    概率密度函数(pdf

    其中Γ(•)是Gamma函数,ν是自由度,x0

    累积分布函数(cdf

    其中Γ(•)是Gamma函数,ν是自由度,x0

    统计量描述

    均值是 ν.

    方差是2ν.

    与其他分布的关系

     χ2分布是伽马分布的特殊情况,即下面的伽马分布的等式中b = 2

    χ2分布因其在正常采样理论中的重要性而受到特别关注。 如果一组n个观测值以方差\sigma ^{2}分布,并且样本标准差是s^{2},那么

    该关系用于计算normfit函数中的正态参数\sigma ^{2}估计的置信区间。

    例子

    计算卡方分布的pdf

    计算具有4个自由度的卡方分布的pdf

    x = 0:0.2:15;
    y = chi2pdf(x,4);
    figure;
    plot(x,y)

    卡方分布偏向右侧,特别是对于较小自由度。

     

    三、学生氏t分布

    综述

    学生的t分布是一系列曲线,取决于单个参数ν(自由度)。

    参数

    学生的分布使用以下参数。

    参数

    描述

    ν = 1, 2, 3,...

    自由度

    概率密度函数(pdf

    定义

    学生t分布的概率密度函数(pdf)是

    其中ν是自由度,Γ(•)是Gamma函数。 结果y是从具有ν自由度的学生t分布观察x的特定值的概率。

    绘图

    该图显示了如何改变自由度参数ν的值来改变pdf的形状。 对于三个不同的ν值,使用tpdf计算值x等于010pdf 然后在同一图上绘制所有三个pdf以进行视觉比较。

    x = [0:.1:10];
    y1 = tpdf(x,5);   % For nu = 5
    y2 = tpdf(x,25);  % For nu = 25
    y3 = tpdf(x,50);  % For nu = 50
    figure;
    plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
    hold on
    plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
    plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
    legend({'nu = 5','nu = 25','nu = 50'})
    hold off

    随机数生成

    使用trndStudent t分布中生成随机数。 例如,以下内容从Student t分布生成一个随机数,其自由度ν等于10

    nu = 10;
    r = trnd(nu)
    r =
        1.0585

    和其他分布的关系

    随着自由度ν变为无穷大,t分布接近标准正态分布。

    如果x是来自具有平均μ的正态分布的大小为n的随机样本,则为统计量

    是具有n-1自由度的学生t分布,其中x\bar{_}样本均值,s是样本标准差。

    Cauchy分布是学生t分布,自由度ν为1.Cauchy分布具有不确定的均值和方差。

    累积分布函数(cdf

    定义

    学生t分布的cdf

    其中ν是自由度,Γ(•)是Gamma函数。 结果p是来自具有ν自由度的t分布的单个观测值将落在区间[-∞,x]中的概率。

    绘图

    该图显示了如何更改参数ν的值如何改变cdf的形状。 对于三个不同的ν值,使用tcdf计算值x等于010cdf 然后在同一图上绘制所有三个cdfs以进行视觉比较。

    x = [0:.1:10];
    y1 = tcdf(x,5);   % For nu = 5
    y2 = tcdf(x,25);  % For nu = 25
    y3 = tcdf(x,50);  % For nu = 50
    figure;
    plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
    hold on
    plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
    plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
    legend({'nu = 5','nu = 25','nu = 50'})
    hold off

    cdf

    使用tinv计算学生t分布的逆cdf

    p = .95;
    nu = 50;
    x = tinv(p,nu)
    x =
        1.6759

    均值和方差

    学生氏t分布的均值为

    mean=0

    对于自由度ν大于1.如果ν等于1,则均值未定义。

    学生t分布的方差是

    自由度ν大于2.如果ν小于或等于2,则方差未定义。

    使用tstat计算学生t分布的均值和方差。 例如,以下计算学生t分布的均值和方差,其自由度ν等于10

    nu = 10;

    [m,v] = tstat(nu)
    m =
         0
    v =
        1.2500
     

    例子

    比较Student's t和标准正态分布的pdf 

    计算参数nu = 5Student t分布的pdf,以及标准正态分布。
    x = -5:0.1:5;
    y = tpdf(x,5);
    z = normpdf(x,0,1);
    在同一图上绘制Student's t和标准普通pdf 标准普通pdf(虚线)的尾部比学生氏 t pdf(实线)短。、
    figure;
    plot(x,y,'-',x,z,'-.')

    四、F分布

    定义

    F分布的pdf

    其中Γ(•)是Gamma函数。

    背景

    F分布与卡方分布具有自然关系。 如果χ1和χ2分别是具有ν1和ν2自由度的卡方,则下面的统计量FF分布。

     

    两个参数ν1和ν2是分子和分母的自由度。 即,ν1和ν2分别是用于计算χ1和χ2的独立信息的数量。

    例子   

    计算F分布pdf

    计算具有5个分子自由度和3分母自由度的F分布的pdf

    x = 0:0.01:10;

    y = fpdf(x,5,3);

    figure;

    plot(x,y)

    该图显示F分布存在于正实数上并且向右倾斜。

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空空如也

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二项式分布的格式