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  • 你可以自己输入自己输入数字,求二项式加法
  • 题目:二项式系数加法解 内容:请编写一个程序,仅仅用加法,求出n中取r个组合系数C(n,r)。而且尽可能地使加法数目减少。 关于二项式:在数学里。二项式系数,或组合数,是定义为形如(1 + x)的...

    上得厅堂,下得厨房,写得代码,翻得围墙。欢迎来到睿不可挡的每日一小练!


    题目:二项式系数加法解


    内容:请编写一个程序,仅仅用加法,求出n中取r个组合系数C(n,r)。而且尽可能地使加法数目减少。


    关于二项式:在数学里。二项式系数,或组合数,是定义为形如(1 + x)的二项式n次幂展开后x的系数(当中n为自然数,k为整数),通常记为。从定义可看出二项式系数的值为整数。这是来自百度的定义。

    我就不再赘余了。

    关于二项式系数我们有一条性质使我们能够使用递归形式:

    C(n,r)=C(n,r-1)+C(n-1,r-1) 

    所以写出递归代码


    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    
    int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
    {
    	int c(int n, int r);
    	cout << c(8,3)<<endl;
    	getchar();
    	return 0;
    }
    
    int c(int n, int r)
    {
    	if (n == r || r == 0)
    	{
    		return 1;
    	}
    	else
    	{
    		return c(n - 1, r) + c(n - 1, r - 1);
    	}
    }

    依据我们老祖先发明的杨辉三角的性质我们也能够写出非递归的形式


    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    
    int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
    {
    	int c(int n, int r);
    	cout << c(8,3)<<endl;
    	getchar();
    	return 0;
    }
    
    int c(int n, int r)
    {
    	int result[1000];
    	int i, j;
    	result[0] = 1;
    	for (i = 1; i <= n; i++)
    	{
    		for (result[i] = 1, j = i - 1; j >= 1; j--)
    		{
    			result[j] += result[j - 1];
    		}
    	}
    	return result[r];
    }

    只是事实上上面两种方法都不是加法使用最少的方式,最少的方式是通过排列递归路线,如图




    图中给出了C(8。3)的运算递归路线,每一个下顶点都是由上两个顶点加和。所以我们能够又一次排列加法顺序,使得加法按行进行,便可节省近三分之中的一个的加法运算效率非常好。

    实现代码例如以下:


    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    
    int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
    {
    	int c(int n, int r);
    	cout << c(8,3)<<endl;
    	getchar();
    	return 0;
    }
    
    int c(int n, int r)
    {
    	int result[1000];
    	int i, j;
    	for (i = 0; i <= r; i++)
    	{
    		result[i] = 1;
    	}
    	for (i = 1; i <= n - r; i++)
    	{
    		for (j = 1; j <= r; j++)
    		{
    			result[j] += result[j - 1];
    		}
    	}
    	return result[r];
    }


    三段程序的实验结果同样:




    欢迎大家增加每日一小练。嘿嘿!

    每天练一练。日久见功夫,加油!


                -End-

    參考文献:《c语言名题精选百则》


    展开全文
  • 二项式系数加法

    千次阅读 2012-09-19 20:12:22
    快速二项式系数算法: 利用公式 (2^p + 1)^n = C(n,0) + C(n,1)2^p + C(n,2)(2^p)^2 + ... + C(n,n)(2^p)^n,只用于logn成正比的乘法次数求所有C(n,i),i=0,1,...,n的办法吗? #include #include #...

    请写一个程序,求出n中取r个的组合系数C(n,r)

    首先,根据C(n,r)的定义求解,不难得出解法如下:

    unsigned long cnr(int n, int r)
    {
    	if (n < 0 || r < 0)
    		return 0;
    	unsigned long numerator = 1;
    	unsigned long denominator = 1;
    
    	for (int i = 0; i < r; i++)
    		numerator *= (n - i);
    	for (int i = 1; i <= r; i++)
    		denominator *= i;
    
    	return numerator / denominator;
    }

    利用公式C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)来化简求解:

    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    #define MAXSIZE 100
    
    unsigned long cnr(int n, int r)
    {
    	unsigned long c[MAXSIZE];
    	int i, j;
    	for (i = 0; i <= r; i++)
    		c[i] = 1;
    	for (i = 1; i <= n - r; i++)
    		for (j = 1; j <= r; j++)
    			c[j] += c[j - 1];
    	return c[r];
    }
    
    void main()
    {
    	int result = cnr(10, 2);
    	cout << "result = " << result << endl;
    }

    快速二项式系数算法:

    利用公式 (2^p + 1)^n = C(n,0) + C(n,1)2^p + C(n,2)(2^p)^2 + ... + C(n,n)(2^p)^n,只用于logn成正比的乘法次数求所有C(n,i),i=0,1,...,n的办法吗?

    #include <iostream>
    #include <iterator>
    #include <algorithm>
    
    using namespace std;
    
    #define MAXSIZE 100
    unsigned long answer[MAXSIZE];
    
    unsigned long long int power(unsigned long base, unsigned long exp)
    {
    	unsigned long long int result = 1;
    	while (exp)
    	{
    		if (exp & 0x01)
    			result *= base;
    		base *= base;
    		exp >>= 1;
    	}
    
    	return result;
    }
    
    void cnr(unsigned long n, unsigned long *answer)
    {
    	unsigned long long int x = (1 << n) + 1;
    	unsigned long long int mask = (1 << n) - 1;
    	unsigned long long int result;
    
    	result = power(x, n);
    	for (unsigned long i = 0; i <= n; i++, result >>= n)
    	{
    		cout << result << endl;
    		answer[i] = result & mask;
    		cout << "answer[" << i << "] = " << answer[i] << endl;	
    	}
    }
    
    void main()
    {
    	int number = 4;
    	cnr(number, answer);
    	copy(answer, answer + number, ostream_iterator<int>(cout, " "));
    }

    采用上面的思想确实很NB,但是该方法存在一个问题,由于result的值很大导致容易溢出。。。


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  • 二项式系数加法解 + 快速阶乘运算

    千次阅读 2014-02-13 12:04:53
    偶然看见的东西,感觉还是挺厉害的。...二项式系数加法解 - alexingcool的专栏 - 博客频道 - CSDN.NET 快速阶乘运算 - alexingcool的专栏 - 博客频道 - CSDN.NET 补充:斯特灵公式求阶乘:对于足够大的n

    偶然看见的东西,感觉还是挺厉害的。

    主要用到的公式是

    二项式系数加法解 - alexingcool的专栏 - 博客频道 - CSDN.NET

    快速阶乘运算 - alexingcool的专栏 - 博客频道 - CSDN.NET


    补充:斯特灵公式求阶乘:对于足够大的n 

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  • 二项式性质的(2)和(3)很容易想到A(n,r) = C(n,r) -1 = n(n-1)...(n-r+1)/[r(r-1)...*3*2*1]-1.与n^r成正比。 第二种方法:杨辉三角(Pascal)  n=0 1  n=1 1 1  n=2 1 2 2 n=3 1 3 3 1 杨辉...

    该问题出自《C语言名题精选百则技巧篇》

    题目:编写一个程序,只用加法,求出n中取r个的组合系数C(n,r),并且尽可能的使加法数目降低。

    我们先来了解一下二项式系数的性质:

    (1) C(m,n) = C(n,n-m)

    (2) C(n,r) = C(n-1,r)+C(n-1,r-1)

    (3) C(n,0) = 1,C(n,1) = n, C(n,n) = 1

    第一种方法:递归函数

    int cnr(int n,int r)
    {
        if(n==r || r ==0)
            return 1;
        else 
            return cnr(n-1,r)+cnr(n-1,r-1);
    }
    我们来分析一下,上面这种方法用到的加法的个数。

    用A(n,r)表示在计算C(n,r)时所用到的加法的个数,从if部分看,当n=r以及r=0时没有用到加法,因此A(n,n) = A(n,0) = 0;从else的部分看,要先计算C(n-1,r)和C(n-1,r-1), 一共用了A(n-1,r)和A(n-1,r-1)个加法,最后又多了一个加法,因此A(n,r)可以表示为:

            A(n,r) = 0      n==r或者r==0

            A(n,r) = A(n-1,r)+A(n-1,r-1)+1.

    由二项式性质的(2)和(3)很容易想到A(n,r) = C(n,r) -1 = n(n-1)...(n-r+1)/[r(r-1)...*3*2*1]-1.与n^r成正比。

    第二种方法:杨辉三角(Pascal)

                n=0         1

             n=1        1      1
        n=2         1      2      2

    n=3         1      3      3       1

    杨辉三角程序

    int cnr(int n,int r)
    {
        int answer[MAXSIZE];
        int i,j;
        
        answer[0] =1;
        for(i=1;i<=n;i++)
             for(answer[i]=1,j=i-1;j>=1;j--)
                  answer[j]+=answer[j-1];
         return answer[r];
    }
    i = 2时1个加法,i=3时2个加法,i=n时n-1个加法。总共n(n-1)/2个加法。

    第三种方法,根据杨辉三角演变出来的

    根据杨辉三角演变出来的,但是不按三角形形状顺序进行加法的计算。

    C(0,0)    C(1,1)   C(2,1)     C(3,3)

    C(1,0)    C(2,1)    C(3,2)     C(4,3)

    C(2,0)    C(3,1)    C(4,2)     C(5,3)

    C(3,0)    C(4,1)    C(5,2)     C(6,3)

    C(4,0)    C(5,1)    C(6,2)     C(7,3)

    C(5,0)     C(6,1)   C(7,2)      C(8,3)

    先把所有元素都初始化为1,从C(2,1)开始,每一个元素等于它的左边的元素和上边的元素的值相加。所以一共只需要加15次就可以得到结果C(8,3). 可以先计算行也可以先计算列,我们下边按行的顺序相加。

    i j c[j] 对应
     1  c[1] = c[1] +c[0] =2 C(2,1)
    1  2 c[2] = c[2] +c[1] =3 C(3,2)
    1  3 c[3] = c[3] +c[2] = 4 C(4,3)
    2  1 c[1] = c[1] +c[0] = 3 C(3,1)
    2  2 c[2] = c[2] +c[1] =6  C(4,2)
    2  3 c[3] = c[3] +c[2] =10 C(5,3)
    3  1 c[1] = c[1] +c[0] = 4 C(4,1)
    3  2 c[2] = c[2] + c[1] = 10  C(5,2)
    3 3 c[3] = c[3] + c[2] = 20 C(6,3)
    4 1 c[1] = c[1] +c[0] = 5  C(5,1)
    4 2 c[2] = c[2] + c[1] = 15 C(6,2)
    4 3 c[3] = c[3] +c[2] = 35 C(7,3)
    5 1 c[1] = c[1] + c[0] = 6 C(6,1)
    5 2 c[2] = c[2] + c[1] =21 C(7,2)
     5   3    c[3] = c[3] + c[2] = 56     C(8,3)
    代码如下:

    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #define MAXSIZE 100
    unsigned long cnr(int n,int r)
    {
    	unsigned long c[MAXSIZE];
    	int i,j;
    	for(i=0;i<=r;i++)
    	    c[i] = 1UL;
    	for(i=1;i<=n-r;i++)
    	    for(j=1;j<=r;j++)
    	        c[j]+=c[j-1];
    	return c[r];
    }
    int main(int argc,char *argv[])
    {
    	int n,r;
    	unsigned long answer;
    	printf("\nCnr  Program:m^n");
    	printf("\nInput n -->");
    	scanf("%d",&n);
    	printf("\nInput r -->");
    	scanf("%d",&r);
    	answer = cnr(n,r);
        
        printf("The answer of Cnr is:Cnr = %ld",answer);
        
    	
    	while(1)
    	    getchar();
    	return 0;
    	
    }
    


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空空如也

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