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  • 二项式定理

    千次阅读 2018-08-14 11:07:10
    二项式定理,又称牛顿二项式定理,此定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理  可以将x+y的任意次幂展开成和的形式 其中每个   为...

     

    二项式定理

    二项式定理,又称牛顿二项式定理,此定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理 

    可以将x+y的任意次幂展开成和的形式

    其中每个

      

    为一个称作二项式系数的特定正整数,其等于

      

    。这个公式也称二项式公式二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作

     

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  • 二、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 证明 ( 二项式定理 + 求导 ) 、 三、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 2 、 四、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 2 证明 ( 使用已知恒等式证明 )





    一、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1



    组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 :

    k=0nk(nk)=n2n1\sum_{k=0}^{n} k \dbinom{n}{k} = n 2^{n-1}


    kk 随着求和的项不断变化 , 变化范围 00 ~ nn ;



    1. 证明方法 :

    • 二项式定理 : 使用 二项式定理 + 求导 可以证明该组合恒等式 ;
    • 组合恒等式代入 : 使用 已知组合恒等式代入 , 消去变系数 ; 即使用之前的 33 个递推式 , 简单和 , 交错和 , 55 个组合恒等式 代入 ;




    二、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 1 证明 ( 二项式定理 + 求导 )



    使用二项式定理 + 求导方法证明下面的恒等式 :

    k=0nk(nk)=n2n1\sum_{k=0}^{n} k \dbinom{n}{k} = n 2^{n-1}



    二项式定理 : (x+y)n=k=0n(nk)xkynk(x + y)^n = \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k}


    1. y=1y = 1 时有该情况 : (x+1)n=k=0n(nk)xk(x +1)^n = \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k , 上述公式中 , 将常数项 k=0k= 0 的情况单独计算出来 , (n0)x0=1\dbinom{n}{0}x^0 = 1 , 计算过程如下 :

    (x+1)n=k=0n(nk)xk=(n0)x0+k=1n(nk)xk=1+k=1n(nk)xk(x +1)^n = \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k = \dbinom{n}{0}x^0 + \sum\limits_{k=1}^n \dbinom{n}{k}x^k = 1+ \sum\limits_{k=1}^n \dbinom{n}{k}x^k


    2. 引入求导 : 要在加和式 k=1n(nk)xk\sum\limits_{k=1}^n \dbinom{n}{k}x^k 中出现 kk 变化数 , 需要对 xx 进行求导 ;


    这里直接对 (x+1)n=1+k=1n(nk)xk(x +1)^n = 1+ \sum\limits_{k=1}^n \dbinom{n}{k}x^k 等式两边进行求导 ;

    ( 1 ) 左边组合式 ( 根据下面的幂函数导数公式 计算 ) : (x+1)n(x +1)^n 导数为 n(x+1)n1n(x+1)^{n-1}

    ( 2 ) 右边组合式 ( 根据下面的 导数运算规则 和 幂函数导数公式 计算 ) : 1+k=1n(nk)xk1+ \sum\limits_{k=1}^n \dbinom{n}{k}x^k 导数为 , 11 的导数 为 00 , 加上 k=1n(nk)xk\sum\limits_{k=1}^n \dbinom{n}{k}x^k 的导数 k=1nk(nk)xk1\sum\limits_{k=1}^n k \dbinom{n}{k}x^{k-1} , 最终结果是 k=1nk(nk)xk1\sum\limits_{k=1}^n k \dbinom{n}{k}x^{k-1}

    ( 3 ) 左右两边的导数是相等的 :

    n(x+1)n1=k=1nk(nk)xk1n(x+1)^{n-1} = \sum\limits_{k=1}^n k \dbinom{n}{k}x^{k-1}

    幂函数求导 : ( 很重要 )

    • 原函数 : y=xny = x^n
    • 对应导数 : y=nxn1y' = nx^{n-1}\

    /
    常数的导数是 00 ;
    /
    导数四则运算 : (u±v)=u±v(u \pm v)' = u' \pm v'
    /
    参考 : 导数 - 百度百科



    3. 求导后的结果如下 :

    n(x+1)n1=k=1nk(nk)xk1n(x+1)^{n-1} = \sum\limits_{k=1}^n k \dbinom{n}{k}x^{k-1}

    假设求导结果中的 x=1x = 1 , 有如下结果 :

    n2n1=k=1nk(nk)n2^{n-1} = \sum\limits_{k=1}^n k \dbinom{n}{k}

    k=0k = 0 时 , 有 k(nk)=0×(n0)=0k \dbinom{n}{k} = 0 \times \dbinom{n}{0} = 0 ,

    因此加上 k=0k=0 的情况 , 即 kk00 开始累加 , 也不影响上述结果 :

    n2n1=k=0nk(nk)n2^{n-1} = \sum\limits_{k=0}^n k \dbinom{n}{k}





    三、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 2



    组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 :

    k=0nk2(nk)=n(n+1)2n2\sum_{k=0}^{n} k^2 \dbinom{n}{k} = n ( n+1 ) 2^{n-2}


    kk 随着求和的项不断变化 , 变化范围 00 ~ nn ;


    证明方法 :

    • 二项式定理 : 使用 二项式定理 + 求导 可以证明该组合恒等式 ;
    • 组合恒等式代入 : 使用 已知组合恒等式代入 , 消去变系数 ; 即使用之前的 33 个递推式 , 简单和 , 交错和 , 55 个组合恒等式 代入 ;




    四、组合恒等式 ( 变下项求和 ) 变系数求和 2 证明 ( 使用已知恒等式证明 )



    使用 已知恒等式 证明下面的恒等式 :

    k=0nk2(nk)=n(n+1)2n2\sum\limits_{k=0}^{n} k^2 \dbinom{n}{k} = n ( n+1 ) 2^{n-2}



    1. 已知恒等式列举 :

    • ① 递推式 11 : (nk)=(nnk)\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}
    • ② 递推式 22 : (nk)=nk(n1k1)\dbinom{n}{k} = \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1}
    • ③ 递推式 33 帕斯卡 / 杨辉三角公式 : (nk)=(n1k)+(n1k1)\dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1}
    • ④ 变下项求和 1 简单和 : k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n
    • ⑤ 变下项求和 2 交错和 : k=0n(1)k(nk)=0\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \dbinom{n}{k} = 0


    2. 变下限 : k=0nk2(nk)\sum\limits_{k=0}^{n} k^2 \dbinom{n}{k} 开始推导 , k=0k=0 时 , k2(nk)=0k^2 \dbinom{n}{k} = 0 , 可以忽略 , 这里可以从 11 开始累加 ;


    k=0nk2(nk)=k=1nk2(nk)\sum\limits_{k=0}^{n} k^2 \dbinom{n}{k} = \sum\limits_{k=1}^{n} k^2 \dbinom{n}{k}


    使用 (nk)=nk(n1k1)\dbinom{n}{k} = \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} 恒等式替换其中的 (nk)\dbinom{n}{k} :


    =k=1nk2nk(n1k1)= \sum\limits_{k=1}^{n} k^2 \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1}


    3. 消去变系数 : 消去一个 kk 后 , 变成如下公式 :

    =k=1nkn(n1k1)=\sum\limits_{k=1}^{n} k n \dbinom{n - 1}{k - 1}


    4. 常量外提 : 其中的 nn 相对于求和来说 , 是一个常量 , 可以提到求和符号之外 :


    =nk=1nk(n1k1)=n\sum\limits_{k=1}^{n} k \dbinom{n - 1}{k - 1}


    5. 变形及拆解 : 在组合数中有 (n1k1)\dbinom{n - 1}{k - 1} , 为了与 k1k-1 进行匹配 , 这里将 kk 进行变形 , k=(k1)+1k = (k - 1) + 1 , 可以凑出一个 k1k-1 来 ;


    =nk=1n[(k1)+1](n1k1)=n\sum\limits_{k=1}^{n} [( k - 1 ) +1] \dbinom{n - 1}{k - 1}


    利用求和公式 , 将上述式子拆解成两个和式 ,


    =nk=1n(k1)(n1k1)+nk=1n(n1k1)=n\sum\limits_{k=1}^{n} ( k - 1 ) \dbinom{n - 1}{k - 1} + n\sum\limits_{k=1}^{n} \dbinom{n - 1}{k - 1}


    6. 第一个组合式转换 : nk=1n(k1)(n1k1)n\sum\limits_{k=1}^{n} ( k - 1 ) \dbinom{n - 1}{k - 1} 求和 ,

    k=1k=1 时 , 组合数的下项 , 加和式中的系数 k1=0k-1=0 , 将 kk 作下限的变换 , kk 取值是 11 ~ nn , 则 k1k-1 取值是 00 ~ (n1)(n-1) ,

    相当于使用 k=k1k' = k-1 替代之前的 kk , kk' 取值范围 00 ~ (n1)(n-1) ,

    因此最终可以变为 nk=0n1(k)(n1k)n\sum\limits_{k'=0}^{n-1} ( k' ) \dbinom{n - 1}{k'}

    使用 k=0nk(nk)=n2n1\sum\limits_{k=0}^{n} k \dbinom{n}{k} = n 2^{n-1} 组合恒等式 ,

    上述 k=0n1(k)(n1k)\sum\limits_{k'=0}^{n-1} ( k' ) \dbinom{n - 1}{k'} 的结果是 (n1)2n2(n-1)2^{n-2} ,

    前面乘以 nn , 最终的 nk=0n1(k)(n1k)=n(n1)2n2n\sum\limits_{k'=0}^{n-1} ( k' ) \dbinom{n - 1}{k'} = n(n-1)2^{n-2}


    7. 第二个组合式转换 : nk=1n(n1k1)n\sum\limits_{k=1}^{n} \dbinom{n - 1}{k - 1} 该组合式中 kk 取值是 11 ~ nn , 将 kk 变为从 00 开始 , 即使用 k=k1k' = k-1 替代 kk ,

    则有 nk=0n1(n1k)n\sum\limits_{k'=0}^{n-1} \dbinom{n - 1}{k'} , 该求和可以转变成基本求和 ,

    使用 简单和 组合恒等式 k=0n(nk)=2n\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n ,

    k=0n1(n1k)\sum\limits_{k'=0}^{n-1} \dbinom{n - 1}{k'} 就是 2n12^{n-1} , 前面乘以 nn , nk=1n(n1k1)n\sum\limits_{k=1}^{n} \dbinom{n - 1}{k - 1} 就是 n2n1n2^{n-1}


    =nk=1n(k1)(n1k1)+nk=1n(n1k1)=n\sum\limits_{k=1}^{n} ( k - 1 ) \dbinom{n - 1}{k - 1} + n\sum\limits_{k=1}^{n} \dbinom{n - 1}{k - 1}

    =n(n1)2n2+n2n1=n(n-1)2^{n-2} + n2^{n-1}

    =n(n1)2n2+n2×2n2=n(n-1)2^{n-2} + n 2 \times2^{n-2}

    =n(n+1)2n2=n(n+1)2^{n-2}


    总结 :
    先利用 递推式 , 消掉变系数 kk ,
    将求和的每个式子凑成基本求和公式 , 或 已知求和公式 ,
    然后进行求和变限 , 即使用 k=k1k' = k-1 替换 kk ,
    通过上述技巧 , 完成证明 ;

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  • 数列算术数列几何数列二项式定理数列、级数数列f(x)得到一个数列:2,4,6,8,...... ;数列是以自然数(1,2,3,4,.....)为定义域的函数对应值构成的序列--有限序列和无限序列。序列可以用函数表示,但通常我们用另一...
    • 数列
    • 算术数列
    • 几何数列
    • 二项式定理
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    数列、级数

    数列

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    f(x)得到一个数列:2,4,6,8,...... ;数列是以自然数(1,2,3,4,.....)为定义域的函数对应值构成的序列--有限序列和无限序列。序列可以用函数表示,但通常我们用另一种表示方式,如:f(x)=2x 可以写成

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    序列通项公式

    有时我们知道数列中前几项,需要找到它的通项公式,即数列的数学模型。一般通项公式涉及到乘法、幂以及项的符号。

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    阶乘序列是连续整数的乘积。如:5*4*3*2*1,即5!

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    n为正整数,且0!=1

    累加序列是项的累加。

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    算术数列

    算术数列是等差数列,即连续项之间的差为常数。

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    d为常数

    等差数列的通项公式

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    a1、d 已知

    等差数列的求和

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    等差数列求和公式

    几何数列

    几何数列是等比数列,即连续项之间的比例为常数。

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    r为常数

    等比数列的通项公式

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    a1、r 已知

    等比数列的求和公式

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    • |r|<1,无穷等比数列的和 a1/(1-r)
    • |r|>1,无穷等比数列的和不存在,因为数列(级数)发散

    二项式定理

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    通项式中,项数为n+1,各项的次数之和等于n,各项系数规律遵守帕斯卡三角形。

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    二项式展开时,系数有两种方法得到

    • 帕斯卡三角形规则
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    第一行:次数n为0,后面以1为增量递增

    • 阶乘形式
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    从n个数里取出r个有多少种方法

    该方法应用在二项式展开得到系数,同样也可以用在概率上。其中,r、n都是整数且0≤r≤n

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    二项式定理:a、b为实数,n为正整数

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  • 数学笔记(二项式定理

    千次阅读 2018-08-15 11:20:57
    二项式定理可以将x+y的任意次幂展开成和的形式 其中每个  为一个称作二项式系数的特定正整数,其等于 。 这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作 很明显,当x==y==1时,会有下面这...

     

    定理定义

    二项式定理可以将x+y的任意次幂展开成和的形式

    其中每个  

    为一个称作二项式系数的特定正整数,其等于  。

    这个公式也称二项式公式二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作

    很明显,当x==y==1时,会有下面这个公式

    C(n,0)+C(n,1)+……C(n,n)=(1+1)^n=2^n

     在容斥定理中:

    那么总共有多少项呢?其实就是组合数。就是2^n-1(因为里面没有C(n,0)这一项)

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空空如也

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