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  • 数学 二项式定理

    2019-12-08 14:22:17
    二项式定理的结论是: 看百度百科的推导其实就够了。 这里我自己推导一下 补充 当指数为负数的时候,有一条公式 参考来源 百度百科 ......

    二项式定理的结论是:
    在这里插入图片描述
    看百度百科的推导其实就够了。

    这里我自己推导一下
    在这里插入图片描述

    补充

    当指数为负数的时候,有一条公式
    在这里插入图片描述

    例题

    https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3036/I
    2019广东工业大学新生赛 I 题
    我的题解
    https://blog.csdn.net/WHY995987477/article/details/103444697

    参考来源

    百度百科
    https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86/7134359?fr=aladdin

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  • 牛顿二项式定理计算平方根

    千次阅读 2013-08-14 20:25:48
    牛顿二项式定理描述: 设是实数,对于所有满足x和y,有   ,其中       那么现在我们令,则,于是上述定理等价转换为: 对于满足任意z,有   假设n是一个正整数,那么选择为负整数-n,则:     根据上面...

    牛顿二项式定理描述:

    是实数,对于所有满足的x和y,有

     

    ,其中

     

    那么现在我们令,则,于是上述定理等价转换为:

    对于满足的任意z,有

     

    假设n是一个正整数,那么选择为负整数-n,则:

     

     

    根据上面的推导,我们可以很容易得到:

     

     

     

     

    利用二项式定理我们可以求一个数任意精度的平方根。

     

    我们取上面的,那么有:

     

     

    那么得到:

     

     

    特别注意一点,这里的z的范围是:

     

    我们注意到,如果我们这样计算一个数的平方根,实现起来着实不爽,因为有

     

    不妨变一下用:,这样系数都是负数。

     

    我们进一步得到:

     

     

    百度上的双阶乘是这样定义的:

    双阶乘用“m!!”表示。当m是自然数时,表示不超过m且与m有相同奇偶性的所有正整数的乘积。如:

     

     

     

    计算一个数的平方根就是基于上式的。

    这样那么我们在计算一个数的平方根时就要先进行转化,把写成的形式,这里的b满足:

     

     

     

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  • 二项式定理,可推导出s=C(n,b)*p^a*q^b 直接计算即可,注意取模 代码: #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; typedef long long LL; const LL maxn...

    这里写图片描述

    思路:

    有二项式定理,可推导出s=C(n,b)*p^a*q^b
    直接计算即可,注意取模

    代码:

    #include <iostream>
    #include <math.h>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const LL maxn(10005), mod(10007);
    LL Jc[maxn];
    void calJc()    //求maxn以内的数的阶乘
    {
        Jc[0] = Jc[1] = 1;
        for(LL i = 2; i < maxn; i++)
            Jc[i] = Jc[i - 1] * i % mod;
    }
    /*
    //拓展欧几里得算法求逆元
    void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)    //拓展欧几里得算法
    {
        if(!b) x = 1, y = 0;
        else
        {
            exgcd(b, a % b, y, x);
            y -= x * (a / b);
        }
    }
    LL niYuan(LL a, LL b)   //求a对b取模的逆元
    {
        LL x, y;
        exgcd(a, b, x, y);
        return (x + b) % b;
    }
    */
    //费马小定理求逆元
    LL pow(LL a, LL n, LL p)    //快速幂 a^n % p
    {
        LL ans = 1;
        while(n)
        {
            if(n & 1) ans = ans * a % p;
            a = a * a % p;
            n >>= 1;
        }
        return ans;
    }
    LL niYuan(LL a, LL b)   //费马小定理求逆元
    {
        return pow(a, b - 2, b);
    }
    LL C(LL a, LL b)    //计算C(a, b)
    {
        return Jc[a] * niYuan(Jc[b], mod) % mod
            * niYuan(Jc[a - b], mod) % mod;
    }
    int main()
    {
        LL p,q,k,a,b;
        calJc();
        cin>>p>>q>>k>>a>>b;
        cout<<(LL)(C(k,b)*pow(p,a,mod)*pow(q,b,mod))%mod<<endl;
    }
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  • 二项式定理可以用以下公式表示: 其中, 又有 等记法,称为二项式系数(binomial coefficient),即取组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。[2]它们之间是互通关系。 验证推导 编辑 考虑用...
    二项式定理可以用以下公式表示:
    其中,
      
    又有
      
    等记法,称为二项式系数(binomial coefficient),即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。[2]  它们之间是互通的关系。

    验证推导

    编辑
    考虑用数学归纳法
      
    时,则
     
    假设二项展开式
      
    时成立。
      
    ,则:
     
    ,(将a、b<乘入)
     
    ,(取出
      
    的项)
     
    ,(设
      
     
    ,( 取出
      
    项)
     
    ,(两者相加)
     
    ,(套用帕斯卡法则)
     
    来自百度百科
     
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    
    #define N 1001
    
    using namespace std;
    int C[N][N],n,m;
    
    int main()
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n<m)swap(n,m);
        for(int i=0;i<=n;i++) C[i][i]=1,C[i][0]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=m;j++)
            C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
        printf("%d\n",C[n][m]);
    }
    组合数计算

     

    1137 计算系数

     

    2011年NOIP全国联赛提高组

     时间限制: 1 s
     空间限制: 128000 KB
     题目等级 : 黄金 Gold
     
     
     
    题目描述 Description

    给定一个多项式(ax + by)^k,请求出多项式展开后x^n y^m项的系数。

    输入描述 Input Description

    共一行,包含 5 个整数,分别为a,b,k,n,m,每两个整数之间用一个空格隔开。

    输出描述 Output Description

    输出共 1 行,包含一个整数,表示所求的系数,这个系数可能很大,输出对10007 取模后的结果。

    样例输入 Sample Input

    1 1 3 1 2

    样例输出 Sample Output

    3

    数据范围及提示 Data Size & Hint

    数据范围
    对于 30%的数据,有0≤k≤10;
    对于 50%的数据,有a = 1,b = 1;
    对于 100%的数据,有0≤k≤1,000,0≤n, m≤k,且n + m = k,0≤a,b≤1,000,000。

     

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    
    #define LL long long
    #define N 1010
    
    using namespace std;
    long long C[N][N];
    int s,a,b,k,n,m;
    
    long long ksm(long long k,long long tmp)
    {
        long long a=1;
        long long b=k;
        while (tmp!=0)
        {
            if (tmp%2==1) a=(a*b)%10007;
            b=(b*b)%10007;
            tmp=tmp/2;
        }
        return a;
    } 
    
    int main()
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
        for (int i=1;i<=k+1;i++) 
        {
            C[i][i]=1;
            C[i][1]=1; 
        }
        for (int i=2;i<=k+1;i++) 
            for (int j=2;j<=i;j++)
            {
                C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%10007;
            }
        s=C[k+1][m+1];
        s=(s*(ksm(a,n)*ksm(b,m)))%10007;
        cout<<s;
        return 0;
    }
    P1317

     

     

     poj 1850

    Code
    Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 30000K
    Total Submissions: 9918   Accepted: 4749

    Description

    Transmitting and memorizing information is a task that requires different coding systems for the best use of the available space. A well known system is that one where a number is associated to a character sequence. It is considered that the words are made only of small characters of the English alphabet a,b,c, ..., z (26 characters). From all these words we consider only those whose letters are in lexigraphical order (each character is smaller than the next character). 

    The coding system works like this: 
    • The words are arranged in the increasing order of their length. 
    • The words with the same length are arranged in lexicographical order (the order from the dictionary). 
    • We codify these words by their numbering, starting with a, as follows: 
    a - 1 
    b - 2 
    ... 
    z - 26 
    ab - 27 
    ... 
    az - 51 
    bc - 52 
    ... 
    vwxyz - 83681 
    ... 

    Specify for a given word if it can be codified according to this coding system. For the affirmative case specify its code. 

    Input

    The only line contains a word. There are some constraints: 
    • The word is maximum 10 letters length 
    • The English alphabet has 26 characters. 

    Output

    The output will contain the code of the given word, or 0 if the word can not be codified.

    Sample Input

    bf

    Sample Output

    55

     

    题意:

    按照字典序的顺序从小写字母 a 开始按顺序给出序列 (序列中都为升序
    字符串)
    * a - 1
    * b - 2
    * ...
    * z - 26
    * ab - 27
    * ...
    * az - 51
    * bc - 52
    * ...
    * vwxyz - 83681
    * 输入字符串由小写字母 a-z 组成字符串为升序,根据字符串输出在字典
    里的序列号为多少。

    /*
    组合数
    题意是查一个字串的字典序排名
    先求出长度比它小的,显然是ΣC 26 i(i<len)
    然后求出长度等于它却比它小的。具体看代码。 
    */
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    
    #define N 27
    
    using namespace std;
    int c[N][N],ans;
    char str[N];
    
    inline void combination()
    {
        for(int i=0;i<=26;i++)  
            for(int j=0;j<=i;j++)  
                if(!j || i==j)  
                    c[i][j]=1;  
                else  
                    c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];  
        c[0][0]=0;  
        return;  
    }
    
    int main()
    {
        combination();
        while(cin>>str)
        {
            ans=0;
            int len=strlen(str);
            for(int i=1;i<len;i++)
              if(str[i]<=str[i-1])
                {
                    cout<<"0"<<endl;
                    return 0;
                }
            for(int i=1;i<len;i++) ans+=c[26][i];//长度小于它的所有方案 
            for(int i=0;i<len;i++)
            {
                char ch=(!i)?'a':str[i-1]+1;//比上一个大
                while(ch<str[i])//比当前这个小 
                {
                    ans+=c['z'-ch][len-i-1];//长度等于它且排在它前面的所有方案 
                    ch++;
                }
            }
            cout<<++ans<<endl;
        }
        return 0;
    }
    View Code

     

     

    codevs 1262

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    
    #define N 100
    
    using namespace std;
    int c[N][N],n,ans;
    
    int main()
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=0;j<=i;j++)
            if(!j || i==j) c[i][j]=1;
            else c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
        printf("%d\n",c[n-1][3]);
        return 0;
    } 
    View Code

     

     

    瞬间移动

    Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)
    Total Submission(s): 1422    Accepted Submission(s): 684


    Problem Description
    有一个无限大的矩形,初始时你在左上角(即第一行第一列),每次你都可以选择一个右下方格子,并瞬移过去(如从下图中的红色格子能直接瞬移到蓝色格子),求到第n 行第m 列的格子有几种方案,答案对1000000007 取模。

     

     

    Input
    多组测试数据。

    两个整数n,m(2n,m100000)
     

     

    Output
    一个整数表示答案
     

     

    Sample Input
    4 5
     

     

    Sample Output
    10
     

     

    Source
     
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    
    #define N 200001
    #define M 1000000007
    #define ll long long
    
    using namespace std;
    ll fac[N]={1,1},inv[N]={1,1},f[N]={1,1};
    int n,m;
    
    ll C(ll a,ll b)
    {
        return fac[a]*inv[b]%M*inv[a-b]%M;
    }
    
    int main()
    {
        for(int i=2;i<N;i++)
        {
            fac[i]=fac[i-1]*i%M;
            f[i]=(M-M/i)*f[M%i]%M;
            inv[i]=inv[i-1]*f[i]%M;
        }
        while(~scanf("%d%d",&n,&m)) printf("%lld\n",C(m+n-4,m-2));
        return 0;
    }
    View Code

     

     

     

    bzoj4517 排列计数

    https://www.cnblogs.com/L-Memory/p/9917967.html

     

    Luogu P2822组合数问题

    https://www.cnblogs.com/L-Memory/p/9918229.html

     

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/L-Memory/p/7422106.html

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  •     另外还有: C(n, 0) + ... + C(n, n) = 2^n  其实从上面的二项式定理,也可以推导出来。  
  • /* 看着别人解题报告写推导过程还是不...x^(k+1)*(k+1)^x=x^k*x*(k+1)^x 然后用二项式定理展开(k+1)^x即可 例如当x=4时 | 1x 0 0 0 0 0 | |x^k*k^0| |x^(k+1)*(k+1)^0| | 1x 1x 0 0 0 0 | |x^k*k^1| |x^(k+1)*
  • 题解: ...然后这里C()指是广义二项式定理。 牛顿二项式定理与生成函数推荐博客 ans = (-4)^(N)*(C((K+1)/(-2),N)-2*C(k/(-2),N+1)+2*C((K+1)/(-2),N+1)) #include"bits/stdc++.h" #defi...
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  • 这个系列文章讲解高等数学基础内容,注重学习方法培养,对初学者不易理解问题往往会不惜笔墨加以解释。在内容选取上,以国内经典...相应地,我们补充了一些类似”利用泰勒公式推导二项式定理”、“零点定...
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    2019-09-25 14:58:08
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空空如也

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二项式定理的推导