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  • 二项式定理第一项系数
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    2019-03-18 14:34:37

    阅读目录(Content)

    二项式定理的常见形式
    小插曲
    指数为负的二项式定理
    当加号变为减号
    二项式定理的一般形式
    关于广义二项式定理
    论二项式定理与组合数的关♂系
    总结
    二项式定理好难啊...学了好久 QWQQWQ

    这篇博客写的有点杂,主要讲证明,仅供娱乐?

    二项式定理的常见形式
    首先我们看看这个常见的令人头疼的式子:
    (x+1)n=∑i=0nC(n,i) xi
    (x+1)n=∑i=0nC(n,i) xi

    这个式子为什么是对的呢?

    我们考虑将左边的式子写成完全形式:

    (x+1)(x+1)⋅⋅⋅(x+1)
    (x+1)(x+1)···(x+1)

    那么我们发现其实可以每次从这 nn 个 (x+1)(x+1) 中选出一个 xx 或者一个 11 ,然后将 n 个选出来的数字相乘累加进 ANSANS

    那么我们考虑从 nn 个
    (x+1)
    (x+1)
    中选出 ii 个 xx 的情况有多少种呢

    这其实就是组合数中的 C(n,i)C(n,i),于是乎我们发现原来的式子是正确的

    然后讲讲二项式定理的一个应用:
    我们考虑从 nn 个物品中选出选出 tt 个物品,那么有多少种选择的方案呢?

    既然是二项式定理的应用,那么怎么才能将二项式定理套进去呢?

    先别多想,我们考虑用 (x0+x1)(x0+x1) 表示某样物品选或者不选(这里 00 次项就是不选,而 11 次项则是选),这两者相互独立

    那么我们可以根据所有物品两两独立将它们的选择方案乘起来,就是 (x0+x1)n(x0+x1)n

    考虑为什么可以这么乘?不用想那么多感性理解即可,不理解的话看到下面也能懂的

    那么我们考虑一下之前的问题:选出 tt 个物品

    那么这里我们将 nn 个 (x0+x1)(x0+x1) 相乘之后 xtxt 的系数其实就是方案数了,因为在这里 xtxt 只可能来自 tt 个不同的 (x0+x1)(x0+x1)中的 x1x1, 也就是说它的含义就是我们在 nn 个(x0+x1)(x0+x1)中选择 tt 个 x1x1 然后每次选出一种方案就令 xtxt 前的系数加一

    然后我们把 x0x0 等价成 11,也就是二项式定理的常见形式了

    小插曲
    我们定义组合数 C(n,m)C(n,m) 为 n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)m!n(n−1)(n−2)···(n−m+1)m! ,这样定义对于下面的证明更有帮助

    然后我们再考虑将原式的 求和函数的 终止条件换一下:

    (x+1)n=∑i=0∞C(n,i)xi
    (x+1)n=∑i=0∞C(n,i)xi

    这时候我们可以知道这个式子和之前是等价的,因为 ii 大于 nn 的时候 C(n,i)C(n,i) 是等于 00 的

    至于为什么要这样表示看到下面你就知道了

    指数为负的二项式定理
    然后我们考虑一下 (x+1)(x+1) 的指数推广到 负数 的情况

    这个时候其实也有:

    (x+1)−n=∑i=0∞C(−n,i) xi=∑i=0∞(−1)i C(n+i−1,i) xi
    (x+1)−n=∑i=0∞C(−n,i) xi=∑i=0∞(−1)i C(n+i−1,i) xi

    这时候你可能会非常的惊讶... 组合数还能有负的?!

    遗憾的告诉你(什么鬼),组合数可以有负的,因为这里的组合数使按之前小插曲里面的定义来的

    那么我们考虑怎样转移到最右边的式子:

    C(−n,m)=(−n)(−n−1)(−n−2)⋅⋅⋅(−n−m+1)m!
    C(−n,m)=(−n)(−n−1)(−n−2)···(−n−m+1)m!

    然后我们吧上面的式子里面所有项取反,也就是将他们的符号提取出来,就成了:

    C(−n,m)=(−1)(−n)−(−n−m+1)+1n(n+1)(n+2)⋅⋅⋅(n+m−1)m!
    C(−n,m)=(−1)(−n)−(−n−m+1)+1n(n+1)(n+2)···(n+m−1)m!

    =(−1)mn(n+1)(n+2)⋅⋅⋅(n+m−1)m!
    =(−1)mn(n+1)(n+2)···(n+m−1)m!

    =(−1)mC(n+m−1,m)
    =(−1)mC(n+m−1,m)

    就是这样(或许你已经看到过上面的式子了)

    把上面的式子再写一遍就是: (x+1)−n=∑∞i=0(−1)iCin+i−1 xi(x+1)−n=∑i=0∞(−1)iCn+i−1i xi

    当加号变为减号
    (在这里我们略去 n 为负数的情况)

    首先的话,我们考虑将上面式子中的 xx 取负,那么原式就变成了:

    (−x+1)n=∑i=0∞(−1)i C(n,i) xi
    (−x+1)n=∑i=0∞(−1)i C(n,i) xi

    这样写不好看,换种写法

    (1−x)n=∑i=0∞(−1)i C(n,i) xi
    (1−x)n=∑i=0∞(−1)i C(n,i) xi

    这个式子...(相信大家可能看到过的吧)

    这里的话后面的式子其实就是把 xx 的负号提了出来,没什么特别的

    但是你有没有感觉这个式子有点眼熟?

    没错啊,这和 指数为负的二项式定理 中长得有点像的,组合数前面都带着个正负号

    于是我们考虑一下吧这里的 n 也取负呢?

    那么原式就变成了:

    (1−x)−n=∑i=0∞C(n+i−1,i) xi
    (1−x)−n=∑i=0∞C(n+i−1,i) xi

    也就是说两个正负号抵消掉了...QWQQWQ

    这个式子其实是非常有用的,它会在你学生成函数的时候派上大用场

    (至于生成函数嘛,登博主学完之后还有时间的话可能就会写篇博客介绍一下)

    二项式定理的一般形式
    其实上面讲了这么多都是二项式定理的特殊形式(但其实都是比较常见+实用的)

    于是下面说说它的一般形式:

    (x+y)n=∑i=0nC(n,i)ai⋅bn−iwww.zztjnk.com
    (x+y)n=∑i=0nC(n,i)ai·bn−iwww.zztjyy.com

    这个东西可以理解为有 n 堆物品,每堆里面有 x 和 y ,每堆只能选一个,要求选择的所有方案之和

    具体证明就毋须多言了,上面已经证了一大堆了

    关于广义二项式定理
    其实广义二项式定理就是上面的那个式子,我们只要将指数 n 的定义域改成实数就好了

    也就是说,广义二项式定理对于实数也成立,也就是:

    (x+y)α=∑i=0αC(α,i)ai⋅bα−i
    (x+y)α=∑i=0αC(α,i)ai·bα−i

    而关于 C(α,i)C(α,i) 的值通过小插曲中组合数的定义代就好了

    论二项式定理与组合数的关♂系
    我们看到上面的二项式定理中都出现了组合数,那么他们两者之间有什么内在联系呢?或者说我们可以通过二项式定理得出组合数的一些性质么?

    答案当然是肯定的啦!

    第一种情况
    我们考虑吧二项式定理的公式中的 xx yy 都变成 11,那么我们会发现下面这个式子:

    (1+1)n=∑i=0nCin
    (1+1)n=∑i=0nCni

    这能说明什么呢?很明显啊!

    我们考虑前面其实就是 2 的 n 次幂,后面就是 n 个物品里面选出 1~n 个的方案数之和,那么由二项式定理可以得知他们两者是相等的

    从另一个角度出发, n 个物品里面任意选择的方案数等于 ∑ni=0Cin∑i=0nCni,同时也等于 2n2n

    前面的式子不需要多解释,考虑后面的式子就是每个物品有选或者不选两个选择,那么总方案数等于所有物品选择的方案数的乘积,这样一来两者的相等关系也就非常明显了

    那么我们再考虑一下杨辉三角,杨辉三角的第 i 行 第 j 列对应着 CjiCij

    上面的相等关系也就说明了杨辉三角的第 i 行所有数之和等于 2i2i

    第二种情况
    我们再考虑把 x 变成 1, y 变成 0,这两者会产生什么样的反应呢?我们看下面的式子:

    (1−1)n=∑i=0n(−1)i Cin
    (1−1)n=∑i=0n(−1)i Cni

    (注意,不要认为等式左边恒等于 0 ! 我们默认 x0x0 为 1 ,对于任意实数! 同时这里也可以倒过来证明 0 的 0 次幂为 1,算是吧?)

    那么我们发现除去 n=0n=0 的情况,CinCni 的偶数项之和 减去 CinCni 的奇数项之和 等于 0 !

    换句话说, CinCni 的偶数项之和 等于 CinCni 的奇数项之和 !

    这里不知道如何解释了,只能说对于 n 为奇数的情况考虑组合数的对称性(即 Cin=Cn−inCni=Cnn−i)

    然后对于 n 为偶数的情况考虑 掐头去尾,每个偶数项都对应上一行的两个相邻元素之和,不相交并且取遍了上一行的所有元素,而奇数项同理,于是两者相等

    那么这里上一张图你肯定就懂了(自己感受一下)

    二项式定理-杨辉三角

    考虑一下杨辉三角,也就是说杨辉三角每一行的 偶数列对应的项之和 等于 奇数列对应的项之和 (由上图也可以看出来)

    但是别忘了考虑特殊情况,我们刚刚说过 n=0n=0 除外

    但其实考虑 n=0 的情况也简单,就是当 n=0n=0 时组合数只有一项且为 1 ,然后我们把原来的式子倒过来表达:

    ∑i=0n(−1)i Cin=[n==0]=ϵ(n)
    ∑i=0n(−1)i Cni=[n==0]=ϵ(n)

    其实 ϵϵ 就是单位元函数

    总结
    二项式定理很有趣,但是看着上面的内容貌似没什么用,但等你学到深处就会发现经常会看到它的身影,到那时别忘了再翻开这篇博客,或许你会有新的收获~

    Bye~Bye~

    这就是本蒟蒻博客的全部内容了,您还可以看看本蒟蒻博客里别的内容,&&喜欢可以推荐哈。

    转载于:https://blog.51cto.com/14236847/2364677

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  • 二项式定理, 二项式系数之和, 二项式系数得意义

    1 什么是二项式?

    什么是二项式,得先从单项式,多项式说起

    1.1 表达式

    1.1.1数学上,表达式包罗万象,一般就是包含数字,变量,符号得式子,得有意义。

    表达式分类

    • 数值表达式
    1. 代数表达式(算术表达式,数值表达式),+-* %
    2. 解析式
    3. 等式: 恒等式,方程等式
    4. 不等式
    • 逻辑表达式(关系式)< > =  and  or  not 
    • 文本表达式

    通式,和上面概念不同体系,是指有个项目时,用一个式子表示所有项得规律

    1.1.2 编程上得表达式

    • 编程上,表达式就是一个计算式子吧
    • 表达式如果是赋值得,也可以是一条语句

    1.1.3 表达式都是函数,可视为函数

    • 表达式都是函数,因为有输入,有输出

    1.2 单项式

    • 单项式就是,表达式里只有1项目
    • 一般是一个单独得数字*变量等得乘积
    • 单项式就是,不包含 +-%/运算符合

    1.3 多项式

    • 在数学中,多项式(polynomial)是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算(非负整数次方)得到的表达式    
    • 多项式包含符号    
    • 一般多项式    ax+by+cz  或  ax^2+by+c
    • 多项式得项,一般需要先进行同类型合并,比如(a+b)^n 不合并是2n项,合并后n+1项
    • 多项式的次,是最高的项的次,比如 x^3+2x^2+1 就是1个3次多项式

                        
    1.3.1  二项式                

    • 二项式,只能算一种特殊得多项式(2个项)
    • 一般二项式  : ax+b    
    • n次二项式    :   (a+b)^n    

                        
                        
    2 二项式定理

    2.1 二项式展开定理        

    • 二项式定理是牛顿发明得展开式
    •  (a+b)^n    =    C(n,0)*a^n*b^0 +C(n,1)*a^n-1*b^1 +… +C(n,n)*a^0*b^n
    • 通项    C(n,k)*a^n-k*b^k      

    2.2 二项式定理的各种推论                

    2.2.1  二项式系数之和 =2^n的展开式        

    • (a+b)^n    =    C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^n-1*b^1+…+C(n,n)*a^0*b^n
    •  当 a=1,b=1    (a+b)^n    =    C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)
    • 用展开式取特殊值就证明了
    • 2^n    =    C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)

    2.2.2  二项式系数奇数项之和  = 奇数项之和=2^(n-1) 

    • 当 a=-1,b=1
    •  (a+b)^n   =    C(N,0)-C(N,1)+…+C(N,n)
    •                 =    0
    •  从而有   C(N,0)+C(N,2)+C(N,4)+C(N,6)+…=    C(N,1)+C(N,3)+C(N,5)+C(N,7)+…
    • 从而有  2^n/2 =C(N,0)+C(N,2)+C(N,4)+C(N,6)+…=    C(N,1)+C(N,3)+C(N,5)+C(N,7)+…
    • 从而有  2^(n-1) =C(N,0)+C(N,2)+C(N,4)+C(N,6)+…=    C(N,1)+C(N,3)+C(N,5)+C(N,7)+…  

                   

    2.2.3 这个序列的增减性和最大值

    • 先增后减
    • 中间的值最大(或者中间的2项都是最大)

    2.2.4 这个序列的更多规律,参见杨辉三角(也叫帕斯卡三角)

    • 可以看到,二项式展开的系数,刚好是杨辉三角里的系数

    3 二项式的其他展开

    3.1 二项式的手动展开

    回到行列数,矩阵的基本计算

            (a+b)^2    
        =    (a+b)(a+b)    
        =    a*(a+b)+b*(a+b)    
        =    a^2+2ab+b^2    
                
            (a+b)^3    
        =    (a+b)^2*(a+b)    
        =    (a+b)*(a^2+2ab+b^2)    

        =     a^3+3ab^2+3a^2b+b^3
     

    3.2 二项式的矩阵形式

    得复习线性代数了。。。

    3.3  用排列组合知识来理解 二项式和 二项式系数

    • 比如对通项    C(n,k)*a^n-k*b^k    
    • 可以理解为从 a^n-k*b^k  有 c(n,k)种选择方法,且不排序    
    • 选择方法有   C(n,k)        

    3.4 还可以通过,画树状图来理解

    • 第1步,4
    • 第2步,3
    • 第3步,2
    • 这个就是 C(n,k) = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)

    展开全文
  • 1.投掷个骰子投掷5次 2.某人射击1次,击中目标的概率是0.8, 他射击10次; 3.个盒子中装有5个球(3红2白),有放回依次从中抽取5个球 4.生产种零件,出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件 以上这些的特点都是...

    概率试验

    • 1.投掷一个骰子投掷5次
    • 2.某人射击1次,击中目标的概率是0.8, 他射击10次;
    • 3.一个盒子中装有5个球(3红2白),有放回依次从中抽取5个球
    • 4.生产一种零件,出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件

    以上这些的特点都是:

    • 条件相同
    • 独立重复性试验
    • 发生或者不发生
    • 发生的概率相同

    例子

    投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p, 则针尖向下的概率为q = 1 - p. 连续投掷一枚图钉3次,仅出现1次针尖向上的概率是多少?

    分析:这是一个条件相同,独立重复性试验: P = C 3 1 p q 2 = 3 p q 2 P = C_3^1 p q^2 = 3 p q^2 P=C31pq2=3pq2

    扩展:如果连续投3次图钉,出现k(0 <= k <= 3)次针尖向上的概率是多少?

    • 出现0次: P ( B 0 ) = P ( A 1 ˉ A 2 ˉ A 3 ˉ ) = q 3 P(B_0) = P(\bar{A_1} \bar{A_2} \bar{A_3}) = q^3 P(B0)=P(A1ˉA2ˉA3ˉ)=q3
    • 出现1次: P ( B 1 ) = P ( A 1 A 2 ˉ A 3 ˉ ) + P ( A 1 ˉ A 2 A 3 ˉ ) + P ( A 1 ˉ A 2 ˉ A 3 ) = 3 q 2 p P(B_1) = P(A_1\bar{A_2}\bar{A_3}) + P(\bar{A_1}A_2\bar{A_3}) + P(\bar{A_1}\bar{A_2}A_3) = 3q^2p P(B1)=P(A1A2ˉA3ˉ)+P(A1ˉA2A3ˉ)+P(A1ˉA2ˉA3)=3q2p
    • 出现2次: P ( B 2 ) = P ( A 1 A 2 A 3 ˉ ) + P ( A 1 ˉ A 2 A 3 ) + P ( A 1 A 2 ˉ A 3 ) = 3 q p 2 P(B_2) = P(A_1A_2\bar{A_3}) + P(\bar{A_1}A_2A_3) + P(A_1\bar{A_2}A_3) = 3qp^2 P(B2)=P(A1A2A3ˉ)+P(A1ˉA2A3)+P(A1A2ˉA3)=3qp2
    • 出现3次: P ( A 1 A 2 A 3 ) = p 3 P(A_1A_2A_3) = p^3 P(A1A2A3)=p3
    • 总结: P ( B k ) = C 3 k p k q 3 − k , k = 0 , 1 , 2 , 3 P(B_k) = C_3^kp^kq^{3-k}, k=0,1,2,3 P(Bk)=C3kpkq3k,k=0,1,2,3

    伯努利分布

    • 伯努利分布(Bernoulli distribution) 又名两点分布或0-1分布,介绍伯努利分布前首先需要引入伯努利试验(Bernoulli trial)
    • 伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验,即对于一个随机变量X而言:伯努利试验都可以表达为"是或否"的问题
    • 例如:抛一次硬币是正面朝上吗?刚出生的孩子是男孩吗?等
    • 如果试验E是一个伯努利试验,将E独立重复进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验
    • 进行一次伯努利试验,成功(X=1)概率为p(0 <= p <= 1), 失败(X=0)概率为1-p,则称随机变量X服从伯努利分布,伯努利分布是离散型概率分布

    二项分布

    • 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数是X, 且在每次试验中事件A发生的概率是p, 那么事件A恰好发生k次的概率是 P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . . , n P(X=k) = C_n^kp^k(1-p)^{n-k}, k = 0, 1, 2, ..., n P(X=k)=Cnkpk(1p)nk,k=0,1,2,...,n
    • 于是得到随机变量X的概率分布如下:q = 1 - p
      • X: 0, 1, …, k, …, n
      • p: C n 0 p 0 q n , C n 1 p 1 q n − 1 , . . . , C n k p k q n − k , . . . , C n n p n q 0 C_n^0p^0q^n, C_n^1p^1q^{n-1}, ..., C_n^kp^kq^{n-k}, ..., C_n^np^nq^0 Cn0p0qn,Cn1p1qn1,...,Cnkpkqnk,...,Cnnpnq0
      • 此时我们称随机变量X服从二项分布,记为: X ∼ B ( n , p ) X \sim B(n,p) XB(n,p) 其中p为成功概率
      • ∑ k = 0 n C n k p k ( 1 − p ) n − k = 1 \sum_{k=0}^n C_n^kp^k(1-p)^{n-k} = 1 k=0nCnkpk(1p)nk=1 全概率 求和是必然事件,概率为1

    案例1

    • 某射手每次射击击中目标的概率是0.8, 求这名射手在10次射击中
    • (1) 恰好有8次击中目标的概率
    • (2) 至少有8次击中目标的概率

    分析:

    • (0) p = 0.8 , 1 − p = 0.2 , n = 10 p=0.8, 1 - p = 0.2, n = 10 p=0.8,1p=0.2,n=10
    • (1) C 1 0 8 p 8 ( 1 − p ) 2 C_10^8p^8(1-p)^2 C108p8(1p)2
    • (2) p ( 8 ) + p ( 9 ) + p ( 10 ) = C 10 8 p 8 ( 1 − p ) 2 + C 10 9 p 9 ( 1 − p ) + C 10 10 p 10 p(8)+p(9)+p(10) = C_{10}^8p^8(1-p)^2 + C_{10}^9p^9(1-p) + C_{10}^{10}p^{10} p(8)+p(9)+p(10)=C108p8(1p)2+C109p9(1p)+C1010p10
    • 将(0)带入(1)、(2) 得到最终的解

    案例2

    • 设一个射手平均每设计10次中靶4次,求在5次射击中
    • (1)击中1次
    • (2)第二次击中
    • (3)击中两次
    • (4)第二、三两次击中
    • (5)至少击中一次
    • 求以上的概率

    分析:

    • 由题意:射手射击1次,中靶的概率是0.4
    • (1) n=5, k=1, 则 P ( X = 1 ) = C 5 1 p ( 1 − p ) 4 P(X = 1) = C_5^1p(1-p)^4 P(X=1)=C51p(1p)4
    • (2) 第二次击中和其他几次击中没有任何关系,也就是他一次击中的概率即为0.4
    • (3) n=5, k=2, 则 P ( X = 2 ) = C 5 2 p ( 1 − p ) 3 P(X = 2) = C_5^2p(1-p)^3 P(X=2)=C52p(1p)3
    • (4) 只和第2,3次有关和其他无关,则概率为0.4*0.4
    • (5) 有两种方法,正面求解相加,也可以从反面来推,推荐从反面求解,【1 - 没有击中一次的概率】: 1 − C 5 0 p 0 ( 1 − p ) 5 1 - C_5^0p^0(1-p)^5 1C50p0(1p)5

    二项式定理

    • 二项展开公式 ( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + C n 2 a n − 2 b 2 + . . . + C n r a n − r b r + . . . + C n n b n    ( n ∈ N + ) (a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + ... + C_n^ra^{n-r}b^r + ... + C_n^nb^n \ \ (n \in N_+) (a+b)n=Cn0an+Cn1an1b+Cn2an2b2+...+Cnranrbr+...+Cnnbn  (nN+)

    • 二项展开式的通项公式: T r + 1 = C n r a n − r b r      ( 0 ≤ r ≤ n , r ∈ N , n ∈ N + ) T_{r+1} = C_n^ra^{n-r}b^r \ \ \ \ (0 \leq r \leq n , r \in N, n \in N_+) Tr+1=Cnranrbr    (0rn,rN,nN+), 主要用来求指定的项

    • 项的系数与二项式系数

      • 项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数,如
      • ( a x + b ) n (ax+b)^n (ax+b)n的展开式中,第r+1项的二项式系数为 C n r C_n^r Cnr
      • 第r+1项的系数为 C n r a n − r b r C_n^ra^{n-r}b^r Cnranrbr
      • ( x + 1 x ) n (x+\frac{1}{x})^n (x+x1)n的展开式中的系数等于二项式系数
      • 二项式系数是组合数,一定为正的;而项的系数不一定为正的
    • ( 1 + x ) n (1+x)^n (1+x)n的展开式: ( 1 + x ) n = C n 0 x n + C n 1 x n − 1 + C n 2 x n − 2 + . . . + C n n x 0 (1+x)^n = C_n^0x^n + C_n^1x^{n-1} + C_n^2x^{n-2} + ... + C_n^nx^0 (1+x)n=Cn0xn+Cn1xn1+Cn2xn2+...+Cnnx0

      • 若令x=1, 则有: ( 1 + 1 ) n = 2 n = C n 0 + C n 1 + C n 2 + . . . + C n n (1+1)^n = 2^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2+ ... + C_n^n (1+1)n=2n=Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn
      • 二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.
      • 即: C n 0 + C n 2 + . . . = C n 1 + C n 3 + . . . = 2 n − 1 C_n^0 + C_n^2 + ... = C_n^1 + C_n^3 + ... = 2^{n-1} Cn0+Cn2+...=Cn1+Cn3+...=2n1
    • 二项式系数的性质

      • 对称性: 与首末两端"等距离"的两个二项式系数相等,即 C n m = C n n − m C_n^m = C_n^{n-m} Cnm=Cnnm
      • 增减性与最大值
        • r ≤ n + 1 2 r \leq \frac{n+1}{2} r2n+1时,二项式系数 C n r C_n^r Cnr的值逐渐增大,当 r ≥ n + 1 2 r \geq \frac{n+1}{2} r2n+1时, C n r C_n^r Cnr的值逐渐减少,且在中间取得最大值
        • 当n为偶数时,中间一项(第 n 2 + 1 \frac{n}{2} + 1 2n+1项)的二项式系数 C n n 2 C_n^{\frac{n}{2}} Cn2n取得最大值
        • 当n为奇数时,中间两项(第 n + 1 2 \frac{n+1}{2} 2n+1和第 n + 1 2 + 1 \frac{n+1}{2} + 1 2n+1+1项)的二项式系数 C n n − 1 2 = C n n + 1 2 C_n^{\frac{n-1}{2}} = C_n^{\frac{n+1}{2}} Cn2n1=Cn2n+1相等并同时取最大值
    • 系数最大项的求法

      • 设第r项的系数 A r A_r Ar最大,由不等式组 { A r ≥ A r − 1 A r ≥ A r + 1 \left\{\begin{aligned}A_r \geq A_{r-1} \\A_r \geq A_{r+1}\end{aligned}\right. {ArAr1ArAr+1可确定r
    • 赋值法

      • ( a x + b ) n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n (ax+b)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n (ax+b)n=a0+a1x+a2x2+...+anxn, 则设 f ( x ) = ( a x + b ) n f(x) = (ax+b)^n f(x)=(ax+b)n, 有
      • a 0 = f ( 0 ) a_0 = f(0) a0=f(0)
      • a 0 + a 1 + a 2 + . . . + a n = f ( 1 ) a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_n = f(1) a0+a1+a2+...+an=f(1)
      • a 0 − a 1 + a 2 − a 3 + . . . + ( − 1 ) n a n = f ( − 1 ) a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ... + (-1)^na_n = f(-1) a0a1+a2a3+...+(1)nan=f(1)
      • a 0 + a 2 + a 4 + a 6 + . . . = f ( 1 ) + f ( − 1 ) 2 a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + ... = \frac{f(1) + f(-1)}{2} a0+a2+a4+a6+...=2f(1)+f(1)
      • a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + . . . = f ( 1 ) − f ( − 1 ) 2 a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + ... = \frac{f(1) - f(-1)}{2} a1+a3+a5+a7+...=2f(1)f(1)

    从二项分布到二项式定理

    1) 二项式定理公式

    • ( a + b ) n = C n 0 a n b 0 + C n 1 a n − 1 b 1 + . . . + C n r a n − r b r + . . . + C n n b n a 0 = ∑ r = 0 n C n r a n − r b r (a+b)^n = C_n^0a^nb^0 + C_n^1a^{n-1}b^1 + ... + C_n^ra^{n-r}b^r + ... + C_n^nb^na^0 = \sum_{r=0}^n C_n^ra^{n-r}b^r (a+b)n=Cn0anb0+Cn1an1b1+...+Cnranrbr+...+Cnnbna0=r=0nCnranrbr
    • 写成p,q的形式为: ( p + q ) n = C n 0 p n q 0 + C n 1 p n − 1 q 1 + . . . + C n r p n − r q r + . . . + C n n p n q 0 (p+q)^n = C_n^0p^nq^0 + C_n^1p^{n-1}q^1 + ... + C_n^rp^{n-r}q^r + ... + C_n^np^nq^0 (p+q)n=Cn0pnq0+Cn1pn1q1+...+Cnrpnrqr+...+Cnnpnq0

    2 ) 二项分布与二项式定理之间的联系

    • 二项分布对应二项式定理的每一项
    • 二项分布的概率求和是二项式定理的一个特殊情况,也就是 p + q = 1 p + q = 1 p+q=1的情况

    二项分布与两点分布之间的关系

    案例分析

    • 篮球比赛,每次罚球命中得1分,不中得0分,某篮球运动员罚球命中率为0.7,在某次比赛中他一共罚球20次,则
    • (1) 他一次罚球的得分服从两点分布
    • (2) 在这次比赛中,命中次数X服从二项分布即 X ∼ B ( 20 , 0.7 ) X \sim B(20, 0.7) XB(20,0.7)

    总结

    • 两点分布:在一次试验中,事件A出现的概率为p,事件A不出现的概率为q=1-p,若以X记一次试验中A出现的次数,则X仅取0、1两个值。两点分布就是0-1分布, 是特殊的二项分布, 只是不同的叫法,也是试验次数为1的伯努利试验。 X ∼ B ( 1 , p ) X \sim B(1,p) XB(1,p)
    • 二项分布:是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变, 是试验次数为n次的伯努利试验。
    • 两点分布是一种特殊的二项分布,n=1, p=p

    二项分布与超几何分布之间的关系

    案例分析

    • 一个袋中放有M个红球,(N - M)个白球,依次从袋中取n个球,记下红球的个数X
    • (1) 如果是有放回地取,则 X ∼ B ( n , M N ) X \sim B(n, \frac{M}{N}) XB(n,NM)
    • (2) 如果是不放回地取,则X服从超几何分布 P ( X = k ) = C M k C N − M n − k C N n    ( k = 0 , 1 , 2 , . . . , m ) P(X=k) = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} \ \ (k=0,1,2,...,m) P(X=k)=CNnCMkCNMnk  (k=0,1,2,...,m) 其中 m = m i n ( M , n ) m=min(M,n) m=min(M,n)

    超几何分布的推导

    • 设有7个球,4红,3白,连续取3个球(n=3), 则红球的变量X为:(k ~ 0,1,2,3)

    • 分类讨论:

      • X为0:白白白 =》 P ( X = 0 ) = 3 7 ∗ 2 6 ∗ 1 5 P(X=0) = \frac{3}{7} * \frac{2}{6} * \frac{1}{5} P(X=0)=736251
      • X为1:红白白、白红白、白白红 =》 P ( X = 1 ) = 4 7 ∗ 3 6 ∗ 2 5 + 3 7 ∗ 4 6 ∗ 2 5 + 3 7 ∗ 2 6 ∗ 4 5 P(X=1) = \frac{4}{7} * \frac{3}{6} * \frac{2}{5} + \frac{3}{7} * \frac{4}{6} * \frac{2}{5} + \frac{3}{7} * \frac{2}{6} * \frac{4}{5} P(X=1)=746352+736452+736254
      • X为2:类似上面,此处省略
      • X为3:类似上面,此处省略
    • 关于超几何分布 百度百科

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  • 二项式定理(3课时)

    2021-01-21 02:48:40
    二项式定理(3)*例3 (x2+3x+2)5展开式中x的系数为_________ . 方法1 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5 方法2 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]
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    二项式定理与二项分布

    二项式定理

    二项式定理我们在高中就学过了,即:
    ( a + b ) n = ( n 0 ) a n b 0 + ( n 1 ) a n − 1 b 1 + . . . . + ( n n − 1 ) a 1 b n − 1 + ( n n ) a 0 b n = ∑ i = 0 n ( n i ) a n − i b i (a+b)^n = {n \choose 0}a^nb^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1+....+{n \choose n-1}a^1b^{n-1} + {n \choose n}a^0b^{n} \\ = \displaystyle\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{n-i}b^i (a+b)n=(0n)anb0+(1n)an1b1+....+(n1n)a1bn1+(nn)a0bn=i=0n(in)anibi
    二项式定理可以这么理解:以第二项 ( n 1 ) a n − 1 b {n \choose 1}a^{n-1}b (1n)an1b为例,我们可以在n个括号中,n-1个括号选择a,另一个括号选择b,那么总共有n个括号,每个括号都可以选择b,所以前面有系数 ( n 1 ) {n \choose 1} (1n)

    二项式分布

    二项分布适用的情况:一次实验结果只有A和B两种,在n次独立重复实验,设A发生的次数为k,每次试验中事件A发生的概率为p,那么事件A恰好发生K次的概率就可以用二项分布来计算:
    P ( X = K ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k P(X = K) = {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k} P(X=K)=(kn)pk(1p)nk
    最直观的例子就是抛N次硬币,计算有k次朝上或朝下的概率。
    我们可以发现,二项分布的概率计算公式就是二项式定理的某一项,这也很容易理解,因为我们只是计算有k次正面 朝上的概率, 如 果 k 从 0 遍 历 到 n 如果k从0遍历到n k0n,那么就完全是二项式定理了。

    多项式定理与多项式分布

    这个过程和二项式定理与二项式分布的关系很相似。

    多项式定理

    在这里插入图片描述
    多项式定理的某一项也可以按照二项式定理那么理解,我们可以在n个括号中选取 r 1 r_1 r1 x 1 x_1 x1,有 ( n r 1 ) {n \choose r_1} (r1n)种取法,再在 ( n − r 1 ) (n-r_1) (nr1)个括号中选取 r 2 r_2 r2 x 2 x_2 x2,有 ( n − r 1 r 2 ) {n-r_1 \choose r_2} (r2nr1)种取法,,,,这样以此类推。根据乘法原理,应该有
    在这里插入图片描述
    这样前面的系数就出来了。

    多项式分布

    多项分布适用的情况:一次实验结果有 X 1 , X 2 , . . . X k X_1, X_2, ... X_k X1,X2,...Xk种,n次独立重复实验,设 X i X_i Xi发生的次数分别为 r i r_i ri,每次试验中事件 X i X_i Xi发生的概率为 p i p_i pi,那么事件 X 1 , X 2 , . . . X k X_1, X_2, ... X_k X1,X2,...Xk恰好发生 r 1 , r 2 , . . . r k r_1, r_2, ... r_k r1,r2,...rk次的概率就可以用多项分布来计算:
    P ( X 1 = r 1 , X 2 = r 2 , , , X k = r k ) = n ! r 1 ! r 2 ! . . . r k ! p 1 r 1 p 2 r 2 . . . p k r k P(X_1 = r_1, X_2 = r_2,,, X_k = r_k ) = {n! \over r_1!r_2!...r_k!}p_1^{r_1}p_2^{r_2}...p_k^{r_k} P(X1=r1,X2=r2,,,Xk=rk)=r1!r2!...rk!n!p1r1p2r2...pkrk

    可以看到,多项式分布概率计算公式也是多项式定理的某一项。
    多项式分布最直观的例子就是掷骰子,掷21次骰子,点数1,2,3,4,5,6朝上的次数分别是6,5,4,3,2,1的概率是多少,这样的问题就可以用多项式分布来建模。

    参考:https://blog.csdn.net/apache_xiaochao/article/details/30535521

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