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  • 二项式展开推广与微积分的关系

    千次阅读 2016-05-22 11:23:05
    二项式展开推广与微积分的关系牛顿展开二项式,为微积分的创立提供了重要工具——《一念非凡》。 我刚开始在看《一念非凡》这本书时,对这句话百思不得其解。因为我的理解思路上来就是从现代居高临下的微积分观点:...

    二项式展开推广与微积分的关系

    牛顿展开二项式,为微积分的创立提供了重要工具——《一念非凡》。
    我刚开始在看《一念非凡》这本书时,对这句话百思不得其解。因为我的理解思路上来就是从现代居高临下的微积分观点:z=x0y(t)dt出发,认为y(t)既然能分解成无穷级数y(t)=A+Bx+Cx3+...,因此由y包围的面积应该由展开的二项式来求,就不知道然后呢。因为,首先,每一个单项式求积分如何求,这是个死循环的思路,另外,展开为无穷级数,无穷啊,无穷个积分相加,也不对头。还好《一念非凡》后面有参考文献:《微积分的历程:从牛顿到勒贝格》[美]邓纳,看了之后茅塞顿开。我只能说对伟大思想的发明,你想理解他,首先要认识到伟大思想的雏形是朴实的或者是粗糙的,如果你想证明这个伟大的思想,想感怀那个伟人证明之路,一定要认识这一点。否则,你一开始证明的目标会变成后来不断美化的思想结论,如这里的z=x0y(t)dt,那这块的工作不仅仅就是牛顿的工作,多少科学巨擘你都得瞻仰才行。
    - 好了,开始来干货。
    牛顿对二项式展开进行推广,得到(P+PQ)mn 的展开公式。然后,牛顿有一天对求面积格外感兴趣,他证明的目标是指数函数的面积,证明的结论如下:简单曲线的面积:如果y=axmn是曲线AD的函数,其中a是常数,m和n是正整数,那么,区域ABD的面积为anm+nxm+nn,这一法则和另外两条法则就是微积分的发明,看,并不是漂亮的数学公式z=x0y(t)dt,而是粗糙的,对简单函数面积的证明,进而推广到一般函数。
    - 证明过程
    这里写图片描述

    证明思路就是利用面积为z(x+o)的面积逼近z(x).
    首先,牛顿认为z(x)=anm+nxm+nn并求z(x)的瞬时变化率。为书写方便,暂时令c=anm+np=m+n,于是z(x)=cxpn,且
    [1]

    [z(x)]n=cnxp
    ,则z(x+o)就是面积Aβδ,该面积分解为面积ABD和面积BβδD,牛顿断定z(x+o)=z(x)+ov,带入[1],得到
    [z(x)+ov]n=[z(x+o)]n=cn(x+o)p

    展开最左边和最右边的多项式,得到
    z(x)n+n[z(x)]n1ov+n(n1)2[z(x)]n2o2v2+...=cnxp+cnpxp1o+cnp(p1)2x(p2)o2+...
    ,利用[1]消去等式两边最左边的项,并除以o,得到
    n[z(x)]n1v+n(n1)2[z(x)]n2ov2+...=cnpxp1+cnp(p1)2x(p2)o+...

    牛顿假定Bβ为无限减小并消失的量,或者o为零,那么,v和y在这种情况下会相等BK=BD,并且含o的项将消失。即
    [2]
    n[z(x)]n1y=cnpxp1

    要注意的是,o作除数时不为0,但是为了逼近,又变成0,这里出现了逻辑混乱,困扰了一个多世纪。所以说啊,大胆的假设与丢盔弃甲的证明是值得借鉴的,不能为严谨而丢弃伟大的思想,don’t care繁琐的细节!
    代换z(x),c=anm+np=m+n
    y=cnpxp1n[z(x)]n1=axmn
    也就是说,牛顿从他的假设“ABD的面积z(x)=anm+nxm+nn出发,推出曲线AD必定满足方程y=axmn.从本质上说,他微分了积分,然后,在没有证明的情况下,指出,与此相反,如果axmn=y,那么就有anm+nxm+nn=z
    对于这里面出现的逻辑漏洞或是特别扭曲的逻辑,牛顿用幽默的语言说道“流树术的一种简洁的难以理解的形式”
    其实这个过程的证明真的是朴(jian)素(dan),一会就看明白了。可是当时谁会那么勇敢,大胆的去想这样的事情,毕竟逻辑不通。啊,这一刻,我感受到了思想的超时代性,大胆假设与思想胜于严谨逻辑!
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  • 此题用了二项式定理,不知道可自行百度。 20pts:就是表面上看的输出展开的字符。 100pts:5以内杨辉三角数可以按$11^n$计算?$n\leq4$是没错,但是n==5时为161051,显然不是,那是不是我写错了呢?当然不是。所以你...

    LuoguT27522:

    此题用了二项式定理,不知道可自行百度。

    20pts:就是表面上看的输出展开的字符。

    100pts:5以内杨辉三角数可以按$11^n$计算?$n\leq4$是没错,但是n==5时为161051,显然不是,那是不是我写错了呢?当然不是。所以你需要做的是按照这个规律输出。当然显然是没法按照$11^n$乘算的,所以我们只需要先算出杨辉三角数,然后再从后往前传大于10的数即可,多于总数时要多输出一个常数。

    转载于:https://my.oschina.net/WilliamPeterMatthew/blog/1941094

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  • ① 生成函数定义 ② 牛顿二项式 ③ 常用的生成函数





    一. 生成函数 ( 母函数 ) 的定义




    1. 生成函数定义



    ( 1 ) 生成函数的定义


    生成函数定义 :

    • 1.假设条件 :a0,a1,,ana_0 , a_1 , \cdots , a_n 是一个数列 ;
    • 2.形式幂级数 : 使用 该 数列形式幂级数 A(x)=a0+a1x+a2x2++anxn+A(x) = a_0 + a_1x +a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots
    • 3.生成函数 : 称上述 A(x)A(x)数列 a0,a1,,ana_0 , a_1 , \cdots , a_n生成函数 ;



    ( 2 ) 形式幂级数 ( 参考 )


    形式幂级数 :

    • 1.幂级数 : 数学分析 中 重要概念 , 在 指数级的 每一项 均为 与 级数项 序号 nn 相对应的常数倍的 (xa)(x-a)nn 次方 ( nn 是从 00 开始计数的整数 , aa 为常数 ) ;
      • 幂级数用途 : 其 被 作为 基础内容 应用到了 实变函数 , 复变函数 , 等众多领域 中 ;
    • 2.形式幂级数 : 是 数学中 的 抽奖概念 , 从 幂级数抽离出来代数对象 ; 形式幂级数 和 从 多项式 中 剥离出的 多项式环 类似 , 但是 其 允许 无穷多项式 因子 相加 , 但不像 幂级数 一般 要求 研究 是否收敛 和 是否有确定的 取值 ;
      • ① 假设条件 : xx 是一个符号 , ai(i=0,1,2,)a_i ( i = 0 , 1 , 2 , \cdots ) 为实数 ;
      • ② 未定元 形式幂级数 : A(x)=a0+a1x+a2x2++anxn+=n=0A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} 称为 xx 的未定元 的 一个 形式幂级数 ;
    • 3.研究重点 : 形式幂级数 中 , xx 从来 不指定具体数值 , 不关心 收敛 或 发散 , 关注的重点是其 系数序列 a0,a1,,ana_0 , a_1 , \cdots , a_n , 研究形式幂级数 完全可以 归结为 讨论 这些系数序列 ;




    2. 生成函数 示例



    ( 1 ) 生成函数 示例 1 ( an=(mn)a_n = \dbinom{m}{n} )


    示例题目 : an=(mn)a_n = \dbinom{m}{n} , mm 为正整数 , 求数列 {an}\{a_n\} 的生成函数 A(x)A(x) ;

    解 :

    ① 列出生成函数 :
    A(x)=(m0)x0+(m1)x1+(m2)x2++(mn)xnA(x) = \dbinom{m}{0}x^0 + \dbinom{m}{1}x^1 + \dbinom{m}{2}x^2 + \cdots + \dbinom{m}{n}x^n

    ② 列出其累加生成函数 : A(x)=n=0(mn)xnA(x) = \sum_{n=0}^\infty \dbinom{m}{n}x^n

    ③ 当 nn 大于 mm , mm 中 取 nn , 即 (mn)\dbinom{m}{n} 为 0 , 因此可以 直接计算 从 n=0n=0n=mn=m 的值 , 即 得到如下步骤 :
    A(x)=n=0(mn)xn=n=0m(mn)xnA(x) = \sum_{n=0}^\infty \dbinom{m}{n}x^n = \sum_{n=0}^m \dbinom{m}{n}x^n

    ④ 根据 二项式定理 的推论内容 ( 设 nn 是正整数 , 对一切 xx(1+x)n=k=0n(nk)xk(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}x^k ) 可以得到
    A(x)=n=0(mn)xn=n=0m(mn)xn=(1+x)mA(x) = \sum_{n=0}^\infty \dbinom{m}{n}x^n = \sum_{n=0}^m \dbinom{m}{n}x^n = (1 + x)^m

    ⑤ 数列 an=(mn)a_n = \dbinom{m}{n} ( mm 为正整数 ) , 的 生成函数 为 :
    A(x)=(1+x)mA(x) = (1 + x)^m

    注意 : 生成函数 从属于 一个数列 , 说明生成函数时 , 先说明其数列 , 指明 数列 的 生成函数 是 某个函数 ;




    ( 2 ) 生成函数 示例 2 ( {kn}\{k^n\} )


    题目 : 给定 正整数 kk , {kn}\{k^n\} 的生成函数 ;

    ① 写出生成函数 : {kn}\{k^n\} 作为形式幂级数 系数 , 可以得到 如下 等比数列 , 当 xx 充分小的时候 , 其收敛到 11kx\frac{1}{1-kx} ;
    A(x)=k0x0+k1x1+k2x2+k3x3+=11kxA(x) = k^0x^0 + k^1x^1 + k^2x^2 + k^3x^3 + \cdots = \frac{1}{1-kx}

    {kn}\{k^n\} 数列的 生成函数 为 :
    A(x)=11kxA(x) = \frac{1}{1-kx}





    2. 牛顿二项式



    ( 1 ) 牛顿二项式 系数


    牛顿二项式 系数 : 组合数的扩展 , C(m,n)C(m, n) 上项不再是大于等于 nn 的数了 , 而是任意实数 ;

    • 1.条件 : 任意 实数 rr , 和 整数 nn ;
    • 2.公式 : (rn)={0,n<01,n=0r(r1)(rn+1)n!,n>0\dbinom{r}{n} = \begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n=0 \\ \cfrac{r(r-1)\cdots(r-n+1)}{n!}, & n>0 \end{cases}
    • 3.结论 : (rn)\dbinom{r}{n} 没有 组合意义 , 只是 记号 , 称为 牛顿二项式系数 ;

    选取问题中 :

    • 不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列 ; P(n,r)=n!(nr)!P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}
    • 不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合 ; C(n,r)=P(n,r)r!=n!r!(nr)!C(n,r) = \dfrac{P(n,r)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}
    • 可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列 ; =n!n1!n2!nk!全排列 = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!} , 非全排列 kr,  rnik^r , \ \ r\leq n_i
    • 可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合 ; N=C(k+r1,r)N= C(k + r - 1, r)



    ( 2 ) 牛顿二项式 定理


    牛顿二项式定理 :

    • 1.条件 : α\alpha 为 实数 , 对于一切 x,yx , y , 并且 xy<1\left| \frac{x}{y} \right| < 1 ;
    • 2.结论 : (x+y)α=n=0(αn)xαyαn( x + y ) ^ \alpha = \sum^{\infty}_{n=0}\dbinom{\alpha}{n}x^\alpha y^{\alpha - n} 其中 (αn)=α(α1)(αn+1)n!\dbinom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}
    • 3.与 二项式定理 关系 : 牛顿二项式定理 是 二项式定理 的 推广 , 二项式定理是 牛顿二项式定理 的 特例 ;
      • α=m\alpha = m , 且 mm 为正整数时 , n>mn > m 时 , (mn)=0\dbinom{m}{n}=0 , 因此只需要考虑 n<mn<m 的情况 , 此时 牛顿二项式定理 变成 二项式定理 : (x+y)m=n=0m(mn)xmymn( x + y ) ^ m = \sum^{m}_{n=0}\dbinom{m}{n}x^m y^{m - n}
        (1+x)m=n=0m(mn)xmymn( 1 + x ) ^ m = \sum^{m}_{n=0}\dbinom{m}{n}x^m y^{m - n}





    二. 常用 生成函数 ( 重要 )




    1. 与常数相关的生成函数



    ( 1 ) {1n}\{1^n\} 的 生成函数


    常用生成函数 :

    • 1.形式幂级数 ( 数列 ) :{an}\{a_n\} , an=1na_n = 1^n ;
    • 2.生成函数展开 :

    A(x)=n=0xn=11x\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \\ & = \frac{1}{1-x} \end{aligned}




    ( 2 ) {(1)n}\{(-1)^n\} 的 生成函数


    常用生成函数 :

    • 1.形式幂级数 ( 数列 ) :{an}\{a_n\} , an=(1)na_n = (-1)^n ;
    • 2.生成函数展开 :

    A(x)=n=0(1)nxn=11+x\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \\ & = \frac{1}{1+x} \end{aligned}




    ( 3 ) {kn}\{k^n\} ( kk为正整数 ) 的 生成函数


    常用生成函数 :

    • 1.形式幂级数 ( 数列 ) :{an}\{a_n\} , an=kna_n = k^n , kk 为正整数 ;
    • 2.生成函数展开 :

    A(x)=n=0knxn=11kx\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} k^n x^n \\ & = \frac{1}{1-kx} \end{aligned}





    2. 与 二项式系数 相关的生成函数



    ( 1 ) {(mn)}\{\dbinom{m}{n}\} 的 生成函数


    常用生成函数 :

    • 1.形式幂级数 ( 数列 ) :{an}\{a_n\} , an=(mn)a_n = \dbinom{m}{n}
    • 2.生成函数展开 :

    A(x)=n=0(mn)xn=(1+x)m\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{m}{n} x^n \\ & = ( 1 + x ) ^m \end{aligned}





    3. 与 组合数 相关的生成函数





    ( 1 ) {(m+n1n)}\{\dbinom{m+n-1}{n}\} 的 生成函数


    常用生成函数 :

    • 1.形式幂级数 ( 数列 ) :{an}\{a_n\} , an=(m+n1n)a_n = \dbinom{m+n-1}{n} , m,nm,n 为正整数 ;
    • 2.生成函数展开 :

    A(x)=n=0(m+n1n)xn=1(1x)m\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{m+n-1}{n} x^n \\ & = \frac{1}{{(1-x)}^m} \end{aligned}




    ( 2 ) {(1)n(m+n1n)}\{(-1)^n \dbinom{m+n-1}{n}\} 的 生成函数


    常用生成函数 :

    • 1.形式幂级数 ( 数列 ) :{an}\{a_n\} , an=(1)n(m+n1n)a_n = (-1)^n \dbinom{m+n-1}{n} , m,nm,n 为正整数 ;
    • 2.生成函数展开 :

    A(x)=n=0(1)n(m+n1n)xn=1(1+x)m\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dbinom{m+n-1}{n} x^n \\ & = \frac{1}{{(1+x)}^m} \end{aligned}




    ( 3 ) {(n+11)}\{ \dbinom{n+1}{1}\} 的 生成函数


    常用生成函数 :

    • 1.形式幂级数 ( 数列 ) :{an}\{a_n\} , an=(n+1n)a_n = \dbinom{n+1}{n} , nn 为正整数 ;
    • 2.生成函数展开 :

    A(x)=n=0(n+1n)xn=n=0(n+1)xn=1(1x)2\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{n+1}{n} x^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n \\ & = \frac{1}{{(1-x)}^2} \end{aligned}


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  • //计算自然常数e的公式为e的泰勒展开式(麦克劳林展开式) #include<iostream> using namespace std; const double MaxError = 1.0E-6; //误差上限 long int GetFactorial(int n) //用for循环计算阶乘 ...

    e的泰勒展开式(麦克劳林展开式):

    在这里插入图片描述

    //计算自然常数e的公式为e的泰勒展开式(麦克劳林展开式)
    #include<iostream>
    using namespace std;
    const double MaxError = 1.0E-6;               //误差上限
    
    long int GetFactorial(int n)          //用for循环计算阶乘
    {
    	if (n == 0)
    		return 1;
    	else
    	{
    		int i, j = 1;
    		for (i = 1; i <= n; i++)
    			j *= i;
    		return j;
    	}
    }
    
    double GetE(int n)                     //根据泰勒展开式计算自然常数e
    {
    	int i;
    	long int k;
    	double sum = 0, j;            //sum为计算e的和式
    	for (i = 0; i < n; i++)
    	{
    		k = GetFactorial(i);
    		j = 1.0 / k;
    		sum = sum + j;
    	}
    	return sum;
    }
    
    int main()
    {
    	double e = 2.178281;
    	double R=1.0;         //R为计算e的拉格朗日型余项(Remainder)的上确界,其初始值设为e的泰勒展开式的第二项
    	int n = 1, num = 1;                       //num为e的泰勒展开式的项数
    	while (R > MaxError)                   //当余项R小于误差上限时跳出循环
    	{
    		num++;
    		n++;
    		R = e / GetFactorial(n);
    	}
    	cout <<"当泰勒展开式到第"<< num <<"项时余项R小于1.0E-6" << endl;
    	cout << "此时自然常数e为"<<GetE(num) << endl;
    	return 0;
    }
    

    程序运行到最后,余项R,项数num,按照泰勒展开式计算e的和式sum的值如下图所示。
    在这里插入图片描述
    真实的e ≈ 2.718281828459045

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    1. 概论 在过去的近十年的时间里,面向对象编程大行其道。以至于在大学的教育里,...孰不知,在面向对象产生之前,在面向对象思想产生之前,函数编程已经有了数十年的历史。 那么,接下来,就让我们回顾这
  • 软考 递归时间复杂度计算详解

    千次阅读 2016-11-08 10:41:03
    递归树法主要是通过递归树将递归式展开来找到答案,然后再用代换法证明它,因为递归树法是不严谨的。 例如,用递归树法求T(n) = T(n/2) + n 2  , 用递归树法将该递归式展开 像这样将递归树展开...
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    2014-08-30 15:20:39
    函数编程扫盲篇 1. 概论 在过去的近十年的时间里,面向对象编程大行其道。以至于在大学的教育里,老师也只会教给我们两种编程模型,面向过程和面向对象。 孰不知,在面向对象产生之前,在面向对象思想...

空空如也

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二项式展开式的常数项