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  • 二项展开式: (x+y)n=(n0)xny0+(n1)xn−1y1+(n2)xn−2y2+⋯+(nn−1)x1yn−1+(nn)x0yn (x+y)^{n}=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {0} \end{array}\right) x^{n} y^{0}+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {1} \end{array}...

    二项展开式
    (x+y)n=(n0)xny0+(n1)xn1y1+(n2)xn2y2++(nn1)x1yn1+(nn)x0yn (x+y)^{n}=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {0} \end{array}\right) x^{n} y^{0}+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {1} \end{array}\right) x^{n-1} y^{1}+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {2} \end{array}\right) x^{n-2} y^{2}+\cdots+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {n-1} \end{array}\right) x^{1} y^{n-1}+\left(\begin{array}{c} {n} \\ {n} \end{array}\right) x^{0} y^{n}

    1. 证明数列{n52n}\left\{\frac{n^{5}}{2^{n}}\right\}收敛于0.

    证明:利用2n=(1+1)n=1+(n1)+(n2)++(nn)2^{n}=(1+1)^{n}=1+\left(\begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}{n} \\ {2}\end{array}\right)+\cdots+\left(\begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right),在n>6n>6时有2n>(n6)2^{n}>\left(\begin{array}{l}{n} \\ {6}\end{array}\right),因此可以放大如下:
    n52n<n56!n(n1)(n2)(n3)(n4)(n5)<n46!(n5)5 \frac{n^{5}}{2^{n}}<\frac{n^{5} 6 !}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}<\frac{n^{4} 6 !}{(n-5)^{5}}
    得证。

    1. 证明数列{nn}\{\sqrt[n]{n}\}的极限是1。

    证明:在n2n \geqslant 2时,我们有
    1nn=(nn111n21)1n<2n+n2n<1+2n 1 \leqslant \sqrt[n]{n}=(\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdots 1}_{n-2个1})^{\frac{1}{n}}<\frac{2 \sqrt{n}+n-2}{n}<1+\frac{2}{\sqrt{n}}
    因此得到估计
    0nn1<2n 0 \leqslant \sqrt[n]{n}-1<\frac{2}{\sqrt{n}}
    对于给定的ε>0\varepsilon>0,取N=[4/ε2]N=\left[4 / \varepsilon^{2}\right]即可。

    1. q<1|q|<1,则limnqn=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} q^{n}=0

    证明:当0<q<10<|q|<1时,1q>1\frac{1}{|q|}>1。记α=1q1>0\alpha=\frac{1}{|q|}-1>0,任取ε>0\varepsilon>0,取正整数N>1αεN>\frac{1}{\alpha \varepsilon},当n>Nn>N
    qn0=qn=1(1+α)n<1nα<ε \left|q^{n}-0\right|=|q|^{n}=\frac{1}{(1+\alpha)^{n}}<\frac{1}{n \alpha}<\varepsilon
    其中,我们用到不等式:
    (1+α)n=1+nα+12n(n1)α2++αn>nα (1+\alpha)^{n}=1+n \alpha+\frac{1}{2} n(n-1) \alpha^{2}+\cdots+\alpha^{n}>n \alpha

    1. a>0a>0,证明limnan=1\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1

    证明:当a1a \geqslant 1,记an=1+αn,αn0\sqrt[n]{a}=1+\alpha_{n}, \alpha_{n} \geqslant 0,则有
    a=(1+αn)n=1+nαn++αnn>nαn a=\left(1+\alpha_{n}\right)^{n}=1+n \alpha_{n}+\cdots+\alpha_{n}^{n}>n \alpha_{n}
    因此
    1an=1+αn<1+an 1 \leqslant \sqrt[n]{a}=1+\alpha_{n}<1+\frac{a}{n}
    0<a<10<a<1时,根据上面的估计,有
    1<1an<1+1na 1<\sqrt[n]{\frac{1}{a}}<1+\frac{1}{n a}

    111+na<an<1 1-\frac{1}{1+n a}<\sqrt[n]{a}<1

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  • 我认为你不需要二项式展开。Horner's method用于计算多项式意味着多项式的因子形式比展开形式更好。在一般来说,非线性方程的求解可以从符号微分中获益,这对于你的方程来说并不难。为导数提供一个解析表达式,使...

    我认为你不需要二项式展开。Horner's method用于计算多项式意味着多项式的因子形式比展开形式更好。在

    一般来说,非线性方程的求解可以从符号微分中获益,这对于你的方程来说并不难。为导数提供一个解析表达式,使解算器不必对导数进行数值估计。您可以编写两个函数:一个返回函数的值,另一个返回导数(即这个简单的一维函数的函数的Jacobian),如the docs for scipy.optimize.fsolve()所述。采用这种方法的一些代码:import timeit

    import numpy as np

    from scipy.optimize import fsolve

    def the_function(x, y):

    return y * (1 + x)**(4.8) / x**(4.5) - 1

    def the_derivative(x, y):

    l_dh = x**(4.5) * (4.8 * y * (1 + x)**(3.8))

    h_dl = y * (1 + x)**(4.8) * 4.5 * x**3.5

    square_of_whats_below = x**9

    return (l_dh - h_dl)/square_of_whats_below

    print fsolve(the_function, x0=1, args=(0.1,))

    print '\n\n'

    print fsolve(the_function, x0=1, args=(0.1,), fprime=the_derivative)

    %timeit fsolve(the_function, x0=1, args=(0.1,))

    %timeit fsolve(the_function, x0=1, args=(0.1,), fprime=the_derivative)

    …给我这个输出:

    ^{pr2}$

    这表明,在这种特殊情况下,分析微分并没有导致任何加速。我的猜测是,对函数的数值逼近涉及到更容易计算的函数,如乘法、平方和/或加法,而不是像分数幂这样的函数。在

    你可以通过记录你的方程并绘制它来获得额外的简化。用一点代数,你应该能够得到ln_y的显式函数,y的自然对数。如果我正确地完成了代数:def ln_y(x):

    return 4.5 * np.log(x/(1.+x)) - 0.3 * np.log(1.+x)

    您可以绘制此函数,这是我为lin-lin和log-log绘制的:%matplotlib inline

    import matplotlib.pyplot as plt

    x_axis = np.linspace(1, 100, num=2000)

    f, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(8, 4))

    ln_y_axis = ln_y(x_axis)

    ax[0].plot(x_axis, np.exp(ln_y_axis)) # plotting y vs. x

    ax[1].plot(np.log(x_axis), ln_y_axis) # plotting ln(y) vs. ln(x)

    2006defc10bcc0766f56541a3743ecc1.png

    这表明只要y低于临界值,每个x都有两个值x。当y的最小单数值出现在x=ln(15)且y值为:np.exp(ln_y(15))

    0.32556278053267873

    因此,您的示例y值1.03没有x的(真实)解。在

    我们从图中发现的这种行为通过我们之前的scipy.optimize.fsolve()调用进行了重述:print fsolve(the_function, x0=1, args=(0.32556278053267873,), fprime=the_derivative)

    [ 14.99999914]

    这表明,最初猜测x=1时,当y是{},则得到{}作为解。尝试更大的y值:print fsolve(the_function, x0=15, args=(0.35,), fprime=the_derivative)

    导致错误:/Users/curt/anaconda/lib/python2.7/site-packages/IPython/kernel/__main__.py:5: RuntimeWarning: invalid value encountered in power

    错误的原因是Python(或numpy)中的power函数默认情况下不接受分数指数的负基。你可以通过提供复数的幂来解决这个问题,也就是说写x**(4.5+0j)而不是x**4.5,但是你真的对能解方程的x值感兴趣吗?在

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  • 我们要知道,平常的平方展开x*x+2*x*y+y*y其实本质就是二项式定理展开,现在扩展到n次方也是一样套路,不要不知所措。 这一项就是C(k,m)*(ax)^(k-m)*(by)^m,那么很容易知道系数就是C(k,m)*a^(k-m)*b^m; 两个次方...

    题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1313

     

    我们要知道,平常的平方展开x*x+2*x*y+y*y其实本质就是二项式定理展开,现在扩展到n次方也是一样套路,不要不知所措。

    这一项就是C(k,m)*(ax)^(k-m)*(by)^m,那么很容易知道系数就是C(k,m)*a^(k-m)*b^m;

    两个次方很好求,关键是求组合数。

    因为有除法取模,所以要用到逆元。(好像也可以递推求组合数C(k,m)=C(k-1,m-1)+C(k-1,m)这里就不说了)

     1 //数学二项式定理(展开n次方项)+快速幂求组合数
     2 #include <iostream>
     3 #include <algorithm>
     4 using namespace std;
     5 typedef long long ll;
     6 const int mod=10007;
     7 const int maxn=1e6+5;
     8 int a,b,k,n,m;
     9 
    10 ll Qpow(ll a,ll b)
    11 {
    12     ll r=1;
    13     while(b)
    14     {
    15         if(b%2==1) r=r*a%mod;
    16         a=a*a%mod;
    17         b/=2;
    18     }
    19 
    20     return r;
    21 }
    22 
    23 int main()
    24 {
    25     ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
    26 
    27     cin>>a>>b>>k>>n>>m;
    28 
    29     ll B=Qpow(b,m);
    30     ll A=Qpow(a,k-m);//是k-m,不是n-m!
    31 
    32     ll fm=1; for(ll i=m;i>=1;i--) fm=fm*i%mod;//m阶乘
    33     ll niyuan=Qpow(fm,mod-2);//m阶乘逆元
    34     ll fz=1; while(m--) fz=fz*(k--)%mod;//分子阶乘n*(n-1)...(n-m+1)
    35     ll C=fz*niyuan;//组合数C(k,m);
    36 
    37     //cout<<B<<' '<<A<<' '<<C<<endl;
    38     ll ans=B*A*C%mod;
    39     cout<<ans<<endl;
    40 
    41     return 0;
    42 }

     

    完。

    转载于:https://www.cnblogs.com/redblackk/p/9968698.html

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  • 此题用了二项式定理,不知道可自行百度。 20pts:就是表面上看的输出展开的字符。 100pts:5以内杨辉三角数可以按$11^n$计算?$n\leq4$是没错,但是n==5时为161051,显然不是,那是不是我写错了呢?当然不是。所以你...

    LuoguT27522:

    此题用了二项式定理,不知道可自行百度。

    20pts:就是表面上看的输出展开的字符。

    100pts:5以内杨辉三角数可以按$11^n$计算?$n\leq4$是没错,但是n==5时为161051,显然不是,那是不是我写错了呢?当然不是。所以你需要做的是按照这个规律输出。当然显然是没法按照$11^n$乘算的,所以我们只需要先算出杨辉三角数,然后再从后往前传大于10的数即可,多于总数时要多输出一个常数。

    转载于:https://my.oschina.net/WilliamPeterMatthew/blog/1941094

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  • 简要题意: 你有一个数,初始为000,有 nnn 个机会,每个机会有 Q/(1+Q)Q/(1+Q)Q/(1+Q) 的概率使你的数 +1,请计算...转移考虑二项式展开,乘的东西不变,直接多项式快速幂。 根据期望的线性性,由于 kkk 次幂之和...
  • 题目描述 给定一个多项式\((by+ax)^k...一道水题,二项式定理搞定。注意递推组合数时对其取模。 参考代码 #include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> #include<cstring> #includ...
  • 牛客计算系数(Lucas+二项式定理)

    千次阅读 2020-06-30 22:26:25
    隐隐约约记得展开式和组合数的关系,但是记不起来,百度了才知道二项式定理。 (x+y)n=C(n,0)×xn×y0+C(n,1)×xn−1×y1+C(n,2)×xn−2×y2......+C(n,n)×x0×yn(x+y)^n=C(n,0)\times x^n \times y^0+C(n,1)\times ...
  • (一)排列数公式: (二)组合数公式: 牛顿二项式定理: 在此我们先来看看运行结果: 一、0到10的阶乘运行结果为: 0 ! = 1 1 ! = 1 2 ! = 2 3 ! = 6 4 ! = 24 5 ! = 120 6 ! = 720 7 ! = 5040 8 ! = 40320 9 ! =...
  • 题意 给定一个多项式(by+ax)k(by+ax)^k(by+ax)k,求多项式展开后xn×ymx^n \times y^mxn×ym项的系数。这个系数可能很大,只需要求出对10007取模后的结果。(0≤a,b≤106,k≤1000)(0≤a,b≤10^6, k ...首先就是二项式...
  • 二项式定理

    千次阅读 2018-11-05 15:34:20
    这个公式称为二项式公式或二项式定理。把它写作 理解为组合形式,n为总数,取0个。 概率分布列表:https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_probability_distributions   额外的补充: powf(a,b) 计算a 的...
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  • 给定一个多项式(by+ax)^k,请求出多项式展开后x^n*y^m 的系数。 输入输出格式 输入格式: 输入文件名为factor.in。 共一行,包含5 个整数,分别为 a ,b ,k ,n ,m,每两个整数之间用一个空格隔开。 输出...
  • 正题 ...求(ax+by)k(ax+by)k(ax+by)^k,求多项式展开后xnymxnymx^ny^m的系数,答案mod&amp;amp;nbsp;&amp;amp;nbsp;10007mod&amp;amp;nbsp;&amp;amp;nbsp;10007mod\ \ 10007。
  • 题目描述 Description给定一个多项式(ax + by)^k,请求出多项式展开后x^n y^m的系数。输入描述 Input Description共一行,包含 5 个整数,分别为a,b,k,n,m,每两个整数之间用一个空格隔开。输出描述 Output ...
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  • 数学:二项式定理

    2018-09-04 11:03:00
    既然我们要求的是展开式中某一的系数,那么就直接求出其对应的组合数就好了,但是要注意x和y都是有系数a和b的 x,y换成ax,by,得到x^ny^m的系数是a^n*b^m*C(k,n) 这样就可以了 在计算幂的时候可以优化的,NOIP...
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  • 计蒜客-T3170-二项式

    2020-03-17 21:15:09
    展开式, 就不太容易了。 小明想请你帮他解决这个问题 输入格式 输入仅一行,一个整数 nn。 输出格式 输出一行表达式,格式为:(a+b)^ n =?a^ n+?a^ (n-1)b+?a^ (n-2)b^ 2+…+?b^n 其中?为系数。 注意,对于每一:...
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  • 杨辉三角与二项式定理 , (紫书p349) 杨辉三角性质via百度百科 杨辉三角与组合数 EG1 noip2011 d2t1 计算系数 给定一个多项式(by+ax)^k,请求出多项式展开后x^n*y^m 项的系数。 注意下标数字的细节 ...
  • ,对正弦积分函数的近似计算 三,复数级数的性质 定义:复数级数收敛,当且仅当实部级数和虚部级数都收敛,如图: 绝对收敛定理:若复数级数各项模的级数收敛,则也收敛。证明如图: 四,欧拉...
  • 每一的泰勒级数展开形式,并对一阶进行合并,去略去次以上高次,则得: 得出旋转矩阵最终泰勒级数展开式: 本次计算步骤说明不够严谨,一些字母表达可能不够专业。。。 (尽情谅解(●’◡’●)) ...
  • Luogu P1313 计算系数

    2018-07-15 19:24:00
    思路 在数据范围中已经给出了...先普及一下二项式定理,其实就是$(x+y)^n$的展开式,形式如下: $$\large{(x+y)^n = {0\choose n}\times x^n+{{1}\choose {n-1}}\times x^{n-1}y+···+{{n-1}\choose n}\times xy...

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二项式展开计算