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  • 二项式系数 8/10/2016 5:55:10 PM by 林维 1. Pascal公式 对于满足1 ≤ k ≤ n - 1的所有整数 k n,都有C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k). pascal三角形 : n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

    二项式系数

    8/10/2016 5:55:10 PM by 林维

    1. Pascal公式

    对于满足1 ≤ k ≤ n - 1的所有整数 kn,都有C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k).

    pascal三角形 :

    n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
    0 1
    1 1 1
    2 1 2 1
    3 1 3 3 1
    4 1 4 6 4 1
    5 1 5 10 10 5 1
    6 1 6 15 20 15 6 1
    7 1 7 21 35 35 21 7 1
    8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

    该三角形中的每一项,但不是出现在左边和右边倾斜上等于1的项,通过把上一行的两项加在一起而得到:一项在其直接上方而另一项位于其左边。这和上面的pascal公式是对应的。由此还能得到

    1. 对称关系: C(n ,k) = C(n, n - k);

    2. 二项式系数恒等式: C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2n;

    3. 在k = 1一列上C(n, 1) = n 是计数数,k = 2 一列上的数C(n, 2) = n(n - 1) / 2 是所谓的三角形数, 在k = 3一列上的数C(n, 3) = n(n - 1)(n - 2) / 3! 是所谓的四面体数。

    可以对Pascal三角形做出另一种解释。令n是一个非负整数,并令k为满足0 ≤ k ≤ n的整数。定义p(n, k)为从左上顶点(项C(0, 0) = 1)到项C(n, k)的路径数,其中,在每一条路径,从一项移动到该项下一行在其直接下方的项或其直接右下方的项。于是Pascal三角形的项C(n, k)的值代表从左上角到这项的路径的条数。

    2. 二项式定理

    定理一: 令n是一个正整数。于是,对所有的x和y,

    (x+y)n=xn+C(n,1)xn1y+C(n,2)xn2y2+...+C(n,n1)xyn1+C(n,n)yn
    。用求和记号写出,即:
    (x+y)n=C(n,k)xnkyk

    二项式定理还有几种等价形式:
    (x+y)n=C(n,nk)xnkyk
    (x+y)n=C(n,nk)xkynk
    (s+y)n=C(n,k)xkynk

    定理二: 令n是一个正整数。则对所有的x,有
    (1+x)n=C(n,k)xk=C(n,nk)xk

    3. 一些恒等式

    1. kC(n, k) = nC(n-1, k - 1) (n, k均为正整数) ;

    2. C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + … + C(n, n - 1) + C(n, n) = 2n (n ≥ 0) ;

    3. C(n, 0) - C(n, 1) + C(n, 2) + … + (-1)nC(n, n) = 0 , 或者可以写成C(n, 0) + C(n, 2) + … + = C(n, 1) + C(n, 3) + … = 2n-1

    4. 1C(n, 1) + 2C(n, 2) + 3C(n, 3) + … + nC(n, n) = n2n-1

    5. C2(n, 0) + C2(n, 1) + C2(n, 2) + … + C2(n, n - 1) + C2(n, n) = C(2n, n)

    6. C(r, 0) + C(r+1, 1) + C(r+2, 2) + … + C(r+k, k) = C(r+k+1, k) ;

    7. C(0, k) + C(1, k) + … + C(n-1, k) + C(n, k) = C(n+1, k+1);

    4. 二项式系数的单峰性

    令n是正整数,二项式序列C(n, 0), C(n, 1), C(n, 2), … , C(n, n)是单峰序列。更精确地说

    1. n为偶数时, C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, n/2), C(n, n/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n);

    2. n为奇数时, C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, (n-1)/2) = C(n, n/2+1), C(n, (n+1)/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n)

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  • 该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等,整数次幂前的系数为以n为底数、从0到n为顶数的所有组合数,而任一展开数中a和b的指数之和永远为n。 其公式为: 根据公式我们可以编译出如下代码:...

    二项式定理(英语:binomial theorem),又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式整数次幂前的系数为以n为底数、从0到n为顶数的所有组合数,而任一展开数中a和b的指数之和永远为n。

    其公式为:

    (a+b)^{n}=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot+C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}

    根据公式我们可以编译出如下代码:

    	/**
    	 * 牛顿二项式定理的展开
    	 * 
    	 * @param number
    	 */
    	public static void newtonBinomialTheorem(BigDecimal number) {
    		// TODO Auto-generated method stub
    		if (NaturalNumberJudgment.naturalNumberJudgment(number)) {
    			System.out.print("( a + b ) ^ " + number + " = ");
    			if (number.equals(BigDecimal.ZERO)) {
    				System.out.println("1");
    			} else {
    				for (BigDecimal n = BigDecimal.ZERO; n.compareTo(number) <= 0; n = n.add(BigDecimal.ONE)) {
    					BigDecimal zuHe = Combination.combination(number, n);
    					if (zuHe.equals(BigDecimal.ONE)) {
    					} else
    						System.out.print(zuHe + " * ");
    
    					if (number.subtract(n).equals(BigDecimal.ZERO)) {
    					} else if (number.subtract(n).equals(BigDecimal.ONE))
    						System.out.print("a");
    					else
    						System.out.print("a ^ " + number.subtract(n));
    
    					if (number.compareTo(BigDecimal.ZERO) != 0 && n.compareTo(BigDecimal.ZERO) != 0
    							&& n.compareTo(number) != 0)
    						System.out.print(" * ");
    					else {
    					}
    
    					if (n.equals(BigDecimal.ZERO)) {
    					} else if (n.equals(BigDecimal.ONE)) {
    						System.out.print("b ");
    					} else
    						System.out.print("b ^ " + n);
    
    					if (n.compareTo(number) < 0)
    						System.out.print(" + ");
    				}
    				System.out.println();
    			}
    		}
    	}

    我们对其进行测试:

    	/**
    	 * 
    	 * @param args
    	 */
    	public static void main(String[] args) {
    		// TODO Auto-generated method stub
    		for (BigDecimal number = BigDecimal.ONE; number.compareTo(BigDecimal.TEN) <= 0; number = number
    				.add(BigDecimal.ONE))
    			NewtonBinomialTheorem.newtonBinomialTheorem(number);
    	}

    因为我们在给牛顿二项式公式定义时就已经调用了系统定义的输出方法:System.out.print();、System.out.println();,因此在连接Console输出窗口的主函数main(){ };方法中不必再次调用输出方法。

    运行结果:

    ( a + b ) ^ 1 = a + b 
    ( a + b ) ^ 2 = a ^ 2 + 2 * a * b  + b ^ 2
    ( a + b ) ^ 3 = a ^ 3 + 3 * a ^ 2 * b  + 3 * a * b ^ 2 + b ^ 3
    ( a + b ) ^ 4 = a ^ 4 + 4 * a ^ 3 * b  + 6 * a ^ 2 * b ^ 2 + 4 * a * b ^ 3 + b ^ 4
    ( a + b ) ^ 5 = a ^ 5 + 5 * a ^ 4 * b  + 10 * a ^ 3 * b ^ 2 + 10 * a ^ 2 * b ^ 3 + 5 * a * b ^ 4 + b ^ 5
    ( a + b ) ^ 6 = a ^ 6 + 6 * a ^ 5 * b  + 15 * a ^ 4 * b ^ 2 + 20 * a ^ 3 * b ^ 3 + 15 * a ^ 2 * b ^ 4 + 6 * a * b ^ 5 + b ^ 6
    ( a + b ) ^ 7 = a ^ 7 + 7 * a ^ 6 * b  + 21 * a ^ 5 * b ^ 2 + 35 * a ^ 4 * b ^ 3 + 35 * a ^ 3 * b ^ 4 + 21 * a ^ 2 * b ^ 5 + 7 * a * b ^ 6 + b ^ 7
    ( a + b ) ^ 8 = a ^ 8 + 8 * a ^ 7 * b  + 28 * a ^ 6 * b ^ 2 + 56 * a ^ 5 * b ^ 3 + 70 * a ^ 4 * b ^ 4 + 56 * a ^ 3 * b ^ 5 + 28 * a ^ 2 * b ^ 6 + 8 * a * b ^ 7 + b ^ 8
    ( a + b ) ^ 9 = a ^ 9 + 9 * a ^ 8 * b  + 36 * a ^ 7 * b ^ 2 + 84 * a ^ 6 * b ^ 3 + 126 * a ^ 5 * b ^ 4 + 126 * a ^ 4 * b ^ 5 + 84 * a ^ 3 * b ^ 6 + 36 * a ^ 2 * b ^ 7 + 9 * a * b ^ 8 + b ^ 9
    ( a + b ) ^ 10 = a ^ 10 + 10 * a ^ 9 * b  + 45 * a ^ 8 * b ^ 2 + 120 * a ^ 7 * b ^ 3 + 210 * a ^ 6 * b ^ 4 + 252 * a ^ 5 * b ^ 5 + 210 * a ^ 4 * b ^ 6 + 120 * a ^ 3 * b ^ 7 + 45 * a ^ 2 * b ^ 8 + 10 * a * b ^ 9 + b ^ 10

     

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  • 二项式定理有两个性质,这题只用到第一个。 性质1:若k表示把n转为二进制后所有位中1的个数,则(1 + x) ^ n中系数...性质2:(1 + x) ^ n中的系数中 所有系数之和等于偶系数之和等于 2^(n-1) 以下内容参考了

    转:http://blog.csdn.net/whyorwhnt/article/details/22320389

    二项式定理有两个性质,这题只用到第一个。

    性质1:若k表示把n转为二进制后所有位中1的个数,则(1 + x) ^ n中系数为奇数的个数为2 ^ k。

    性质2:(1 + x) ^ n中的系数中 所有奇系数之和等于偶系数之和等于 2^(n-1)

    以下内容参考了:http://hi.baidu.com/yy17yy/item/f703320adb5cafeb34990256

    有三个集合ABC,则num(A∪B∪C)=num(A)+num(B)+num(C) -num(A∩B)-num(A∩C)-num(B∩C) +num(A∩B∩C)

    容斥原理有一般有简单的递归式

    1. dfs (int beg,set S,int sym)  
    2. {  
    3.     ans+=num(S)*sym;  
    4.     for (int i=beg;i<=n;i++)  
    5.         dfs(i,S∩A[i],sym*-1);  
    6. }  
    7. for (int i=1;i<=n;i++)  
    8.     dfs(i,A[i],1);  

    题意:给出a1,a2,```am,F(x) = (1+x)^a1 + (1+x)^a2 + ``` + (1+x)^am,F(x)的展开式中系数为奇数的个数。

    思路:每个(1 + x) ^ n都是一个集合,它的奇数次项的个数就是集合中元素的个数,算法是2^(系数的二进制里1的个数),

    两个集合的交: 比如系数w1,w2,集合的交的个数是2^(w1&w2的二进制里1的个数),

    由于奇数次幂相交不一定是奇数次幂,所以所以要把偶数个集合的交的个数减掉,写一下式子,发现问题没有变复杂,只需把上面的递归式的sym由-1变为-2既可。


    以三个集合ABC为例:num(A∪B∪C)-num(A∩B)-num(A∩C)-num(B∩C)+3*num(A∩B∩C) 即为所求

    也就是 num(A)+num(B)+num(C) -2*num(A∩B)-2*num(A∩C)-2*num(B∩C) +4*num(A∩B∩C)

    1. #include <cstdio>  
    2.   
    3. __int64 ans,data[20];  
    4. int n;  
    5.   
    6. int get (__int64 x)  
    7. {//计算x的二级制位有多少个1  
    8.     return x==0?0:get(x-(x&-x))+1;  //(x&-x)是取出最低位的1  
    9. }  
    10.   
    11. void DFS (int begin,__int64 num,__int64 sym)  
    12. {  
    13.     ans+=((__int64)1<<get(num))*sym;  
    14.     for (int i=begin+1;i<=n;i++)  
    15.         DFS (i,num&data[i],-2*sym);  
    16. }  
    17.   
    18. int main ()  
    19. {  
    20.     int T,i;  
    21.     scanf("%d",&T);  
    22.     for (int Cas=1;Cas<=T;Cas++)  
    23.     {  
    24.         scanf("%d",&n);  
    25.         for (i=1;i<=n;i++)  
    26.             scanf("%I64d",&data[i]);  
    27.         ans=0;  
    28.         for (i=1;i<=n;i++)  
    29.             DFS(i,data[i],1);  
    30.         printf("Case #%d: %I64d\n",Cas,ans);  
    31.     }  
    32.     return 0;  
    33. }  
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  • 排列组合知识点积累

    2018-04-19 21:26:18
    ;C(n,m)=C(n,n-m)二项式定理二项式系数:C(in)杨辉三角:右图。两端是1,除1外的每个数是肩上两数之和。...⑸二项式展开式中所有系数总和是2^n组合数的奇偶奇偶定义:对组合数C(n,k)(n&gt;...

    ;C(n,m)=C(n,n-m)

    二项式定理

    二项式系数:C(in)杨辉三角:右图。两端是1,除1外的每个数是肩上两数之和。
    系数性质:
    ⑴和首末两端等距离的系数相等;
    ⑵当二项式指数n是奇数时,中间两项最大且相等;
    ⑶当二项式指数n是偶数时,中间一项最大;
    ⑷二项式展开式中奇数项和偶数项总和相同,都是2^(n-1);
    ⑸二项式展开式中所有系数总和是2^n

    组合数的奇偶

    奇偶定义:对组合数C(n,k)(n>=k):将n,k分别化为二进制,若某二进制位对应的n为0,而k为1 ,则C(n,k)为偶数;否则为奇数。
    下面是判定方法:
    结论:

    对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数,否则为偶数。
    证明略

    (摘自百度百科)
    积累更新。。。
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  •  实例51 二项式系数递归   实例52 背包问题   实例53 顺序表插入除   实例54 链表操作(1)   实例55 链表操作(2)   实例56 单链表就地逆置   实例57 运动会分数统计   实例58 双...
  • 杨辉三角

    2016-03-17 14:55:29
    其实杨辉三角构造出了二项式系数,,第(n+1)行的所有之和等于2^n #include using namespace std; #define MAX 100 long bc[MAX][MAX]; //申请一个二维数组,存放二项式系数 long binomial(int n,int m) { ...
  • 其主要内容涉及式、整值函数、数论、二项式系数、特殊的数、生成函数、离散概率、渐近式等,都是编程所必备的知识.另外,本书包括了六大类500 多道习题,并给出了所有习题的解答,有助读者加深书中内容的理解 [1]...
  •  本题实际上是求数列{an}前n的绝对值之和,由绝对值的意义,应首先分清这个数列的哪些是负的,哪些是非负的,由已知数列{an}是首为负数的递增数列,因此应先求出这个数列从首起共有哪些是负数,然后再...
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  • C语言中的杨辉三角

    2020-12-31 15:58:10
    杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲,帕斯卡(1623----1662)在1654年发现这一规律,所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现...
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  • 因为在这里我们使用的是的二项分布(因变量),我们需要选择一个对于这个分布最佳的连结函数。 它就是Logit函数。 在上述方程中,通过观测样本的极大似然估计值来选择参数, 而不是最小化平方误差...
  • 的三角形,其实质是二项式(a+b)的n次方展开后各项的系数排成的三角形,它的特点是 左右两边全是1,从第二行起,中间的每一个数是上一行里相邻两个数之和。输入要打印的层数n,打印出相应的杨辉三角形。
  • 2.1.16 SUMX2PY2——计算数组对应值的平方和之和 63 2.1.17 SERIESSUM——计算基于公式的幂级数之和 64 2.2 舍入计算 65 2.2.1 INT——返回永远小于等于原数字的最接近的整数 65 2.2.2 TRUNC——返回数字的整数...
  • 14 3 二项式系数 166 14 4 快速求幂 167 14 5 素数 167 14 6 计算算数表达式 168 14 7 线性方程组 170 14 8 矩阵序列相乘 174 第 15 章 穷举 176 15 1 激光路径 176 15 2 精确覆盖 179 15 3 数独 184 15 4 排列枚举 ...
  • excel的使用

    2012-11-25 17:06:01
    实际输入的时候,通常应用等差数列输入法,先输入前二个值,定出自变量中数与数之间的步长,然后选中A2A3两个单元格,使这二项变成一个带黑色边框的矩形,再用鼠标指向这黑色矩形的右下角的小方块“■”,当光标...
  • 假定所有转移参数的值不变,这样一来,就可以直接用需求曲线来表达运动参数(价格P)需求量之间的维关系。 需求曲线具有负的斜率(反比关系),这条斜线用图解方法表达了需求法则的含义:价格越高,消费者买的越...
  • 代表作有《MATLAB GUI设计学习手记》第一版版。 目录 第1章 GUI设计预备知识 1 1.1 知识点归纳 1 1.1.1 基本程序元素 1 1.1.2 数据类型 7 1.1.3 矩阵操作 40 1.1.4 程序设计 49 1.2 重难点讲解 59 ...

空空如也

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二项式所有项系数之和