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  • 二项式数列求和公式
    2020-11-23 22:29:09

    python等差数列求和公式前 100 项的和实例

    最近跑去学了下python,一个很简单的题,结果发现数学公示忘了,在不用for循环的情况下居然有些懵,记录为下..

    题:等差数列可以定义为每一项与它的前一项的差等于一个常数,可以用变量 x1 表示等差数列的第一项,用 d 表示公差,请计算数列

    1 4 7 10 13 16 19 …

    前 100 项的和。

    等差求和公示:

    和=(首数+尾数)*项数/2;

    题的懵就是尾数忘了怎么求了,查了百度得到结果很简单。

    尾数公式:

    尾数 = 首数 + (项数-1)*等差数

    Python代码:

    x1 = 1

    d = 3

    n = 100

    x100 = x1 + (n-1)*d

    s = (x1 + x100)*n/2

    print s

    补充拓展:递归实现1--100的加和运算(等差数列求和)

    题目:用递归实现1-100的加法,相当与等差数列求和。

    题目描述

    要求用递归计算1+2+…+n的值。

    输入

    输入包含一个整数n,n <= 100。

    输出

    输出包含一个整数表示所有计算式子的答案。

    公式求解

    #include

    #include

    using namespace std;

    int main()

    {

    int n;

    while(cin>>n)

    {

    cout<<(n*n+n)/2<

    }

    return 0;

    }

    递归求解:

    #include

    using namespace std;

    int f(int n)

    {

    if(n==1) return 1;

    //else if(n==2) return 2;

    else

    {

    return n+f(n-1);

    }

    }

    int main()

    {

    int n;

    while(cin>>n)

    {

    cout<

    }

    return 0;

    }

    以上这篇python等差数列求和公式前 100 项的和实例就是小编分享给大家的全部内容了,希望能给大家一个参考,也希望大家多多支持我们。

    时间: 2020-02-24

    本次分享将讲述如何在Python中对多个list的对应元素求和,前提是每个list的长度一样.比如:a=[1,2,3], b=[2,3,4], c=[3,4,5], 对a,b,c的对应元素求和,输出应为[6,9,12]. 方法一: 直接求解,按照对应元素相加的原则,可先定义一个函数. def list_add(a,b): c = [] for i in range(len(a)): c.append(a[i]+b[i]) return c if __name__ == '__main__': a

    基于Python中求和函数sum的用法详解 今天在看<集体编程智慧>这本书的时候,看到一段Python代码,当时是百思不得其解,总觉得是书中排版出错了,后来去了解了一下sum的用法,看了一些Python大神写的代码后才发现是自己浅薄了!特在此记录一下.书中代码段摘录如下: from math import sqrt def sim_distance(prefs, person1, person2): # 得到shared_items的列表 si = {} for item in prefs[p

    Python阶乘求和的方法 题目描述: 获得用户输入的整数n,输出 1!+2!+-+n!的值. 如果输入数值为0.负数.非数字或非整数,输出提示信息:输入有误,请输入正整数. 方法一: #factTest1 def main(): a = input() sum = 0 if a.isdigit(): n = eval(a) if n > 0: fact = 1 for i in range(1, n+1): fact *= i sum += fact print(sum) else: prin

    我就废话不多说了,直接上代码吧! #!/usr/bin/env python # coding:UTF-8 """ @version: python3.x @author:曹新健 @contact: 617349013@qq.com @software: PyCharm @file: 1223.py @time: 2018/12/23 20:56 """ ''' 有一分数序列:2/1,3/2,5/3,8/5,13/8,21/13...求出这个数列

    L3Byb3h5L2h0dHAvZmlsZXMuamI1MS5uZXQvZmlsZV9pbWFnZXMvYXJ0aWNsZS8yMDE3MDcvMjAxNzcyMjkxMDUxNTczLmpwZyYjMDYzOzIwMTc2MjI5MTI1OA==.jpg

    本文实例讲述了Python编程之序列操作.分享给大家供大家参考,具体如下: #coding=utf8 ''''' 序列类型有着相同的访问模式:它的每一个元素可以通过指定一个偏移量的方式得到. 可以通过切片操作一次获得多个元素. 序列的下标偏移量是从0开始到总元素数减一结束. 标准类型操作符一般都能试用与所有的序列类型. 序列类型操作符: --------------------------------------------------------------------------- 序列操作

    本文实例讲述了python中使用序列的方法.分享给大家供大家参考.具体如下: 列表.元组和字符串都是序列,但是序列是什么,它们为什么如此特别呢?序列的两个主要特点是索引操作符和切片操作符.索引操作符让我们可以从序列中抓取一个特定项目.切片操作符让我们能够获取序列的一个切片,即一部分序列. #!/usr/bin/python # Filename: seq.py shoplist = ['apple', 'mango', 'carrot', 'banana'] # Indexing or 'Sub

    本文实例讲述了python实现获取序列中最小的几个元素.分享给大家供大家参考. 具体方法如下: import heapq import random def issorted(data): data = list(data) heapq.heapify(data) while data: yield heapq.heappop(data) alist = [x for x in range(10)] random.shuffle(alist) print 'the origin list is'

    本文实例讲述了python计算一个序列的平均值的方法.分享给大家供大家参考.具体如下: def average(seq, total=0.0): num = 0 for item in seq: total += item num += 1 return total / num 如果序列是数组或者元祖可以简单使用下面的代码 def average(seq): return float(sum(seq)) / len(seq) 希望本文所述对大家的Python程序设计有所帮助.

    本文实例讲述了python简单判断序列是否为空的方法.分享给大家供大家参考.具体如下: 假设有如下序列: m1 = [] m2 = () m3 = {} 判断他们是否为空的高效方法是: if m1: ...... if not m2: ...... 希望本文所述对大家的Python程序设计有所帮助.

    前言 你可能不需要经常处理分数,但当你需要时,Python的Fraction类会给你很大的帮助.本文将给大家详细介绍关于利用标准库fractions模块让Python支持分数类型的相关内容,分享出来供大家参考学习,下面话不多说了,来一起看看详细的介绍: fractions模块 fractions模块提供了分数类型的支持. Fraction类 该类是fractions模块的核心,它继承了numbers.Rational类并且实现了该类所有的方法. 构造函数并不复杂: class fractions

    当变量维数加大时很难想象是怎样按不同维度求和的,高清楚一个,其他的应该就很清楚了,什么都不说了,上例子,例子一看便明白-.. a=range(27) a=np.array(a) a=np.reshape(a,[3,3,3]) 输出a的结果是: array([[[ 0, 1, 2], [ 3, 4, 5], [ 6, 7, 8]], [[ 9, 10, 11], [12, 13, 14], [15, 16, 17]], [[18, 19, 20], [21, 22, 23], [24, 25, 2

    本篇文章给大家带来的内容是关于Python如何筛选序列中的元素 ,有一定的参考价值,有需要的朋友可以参考一下,希望对你有所帮助. 1.需求 序列中含有一些数据,我们需要提取其中的值或根据某些标准对序列做删减, 2.解决方案 要筛选序列中的数据,通常最简单的方法是使用列表推导式. 例如: myList=[1,4,-5,10,-7,2,3,-1] print([n for n in myList if n>0]) print([n for n in myList if n<0]) 结果: [1,

    数据结构式通过某种方式(例如对元素进行编号)组织在一起的数据元素的集合,这些数据元素可以是数字或者字符,甚至可以是其他数据结构.在Python中,最基本的数据结构是序列(sequence).序列中的每个元素被分配一个序号--即元素的位置,也称为索引.第一个元素索引是0,第二个则是1,一次类推. Python包含6中内建的序列,即列表.元组.字符串.Unicode字符串.buffer对象和xrange对象. 通用序列操作:索引.分片.序列相加.乘法.成员资格.长度.最小值和最大值 1. 索引 序列

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    1 数列

    1.1 什么是数列

    • 数列:sequence of number
    • 元素必须是数字
    • array1=1,2,3,4,5,6
    • 数列就是数组,多个数存储在一起,数列名代表了这些所有数组里的所有数
    • 可见数列也是函数,数列名就是函数名?

    数列举例

    1. array1=1,2,3,4,5,6
    2. 斐波拉契数列=1,2,3,5,8,13...
    3. 三角形数(点阵)=1,3,6,10,15
    4. 正方形数(点阵)=1,4,9,16

    1.2 数列和各种概念比较

    • 数列:一组数,一般是一维的
    • 数组: 多个同类型数据的集合( 指代 / 容器)
    •              一维数组就是数列,二维数组就是矩阵

    和数学里不一样,编程里每个语言对这些的定义都不同

    • 比如,一般编程语言里,数组必须存储相同类型的数据
    • 但是python是动态语言
    • python里数组list,可以是一组数,甚至是不同数据类型的一组数据
    • python里的元组tuple,生成后不可改变
    • python里的字典,不允许重复

    1.3 数列分类

    • 按数列项数多少分: 有穷数列,无穷数列
    • 按数列大小变化规律分: 递增数列,递减数列,摇摆数列
    • 按数列变化规律分: 周期数列
    • 按数列项数多少分: 等差数列,等比数列,等和数列
    • 按数列项数性质分: 常数数列

    1.4 数列的解析表达

    • 如果数列有规律,那就可能可以用函数表示
    • 一般有规律的数列的表达式可以为
    1. 通项公式
    2. 递推公式

    等差数列  Arithmetic Progression / arithmetic sequence

    2.1 等差数列

    • 等差数列  Arithmetic Progression
    • 公差 d (common difference),公差通常用字母d表示
    • 通项公式:
    • An = A1+ (n-1) *d   
    • An=Sn-Sn-1, 特殊A1=S1
    • 任意两项Am,An的关系为:An=Am+(n-m)d,等差数列广义的通项公式。

    2.2 通项公式变形

    • An = A1+ (n-1) *d
    • An = A1+ n*d -1*d
    • An = n*d + (A1-1*d )
    • An= k*n+b
    • 类一元一次函数

    2.3 等差数列的求和公式 (等差数列的级数公式)

    • 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半
    • a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈N*
    • 隐藏Sn=n/2* (A1+An)

    3 等比数列  Geometric Progression / geometric sequence

    3.1  等比数列

    • 等比数列  Geometric Progression
    • 公比  r(common ratio)
    • 通项公式:An=A1*Q^(n-1)
    • 通项公式:An=Sn-Sn-1 ,n>=2

    3.2 等比数列的性质

    • 在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列。
    • 等比中项:q、r、p成等比数列,则 r 则为 q ,p的 等比中项。
    • 在等比数列中,首项 与公比q都不为零。

    其实,射影定理,也是等比数列的应用吧

    3.3 等比数列的求和 (等比数列的级数)

    等比数列的求和 (等比数列的级数)

    • 如果 公比大于1,无穷情况下,是不收敛的,趋近于0的
    • 如果公比小于1,无穷情况下,是收敛的,趋近于a1*1/(1-r)
    • 无论公比多少,不等于0,有限个数情况下的求和

    3.4 等比数列和“几何(geo)关系”,可叫 几何数列

    • 等比数列,中间项是前后两项的几何平均数
    • A1*p,  A1*p^2  A1*p^3
    • A1*p * A1*p^3 = A1^2*p^4 =(A1*p^2)^2
    • 等比数列,可以叫几何数列
    • 英文里
    • 等差数列:算术数列,arithmetic sequence, 算术级数,中项是算术平均数
    • 等比数列:几何数列, geometric sequence, 几何级数,中项是几何平均数

    3.4.1 推论

    • 数字呈几何级数增长,其实就是数列呈现等比数列的特征
    • 数字呈指数级增长,其实就是数列呈现 f(x)=a^x的指数级关系

    3.5 等比数列的和

     等比数列和的推导过程

    4 函数  function()

    4.1 函数的定义

    • 数学定义:形如 y=f(x) 的为函数
    • f(x) 为函数 ,y指代这个函数
    • 程序里,有输入有输出的可以认为为函数

    4.2 函数一般都有3种表示方法

    • 列表法
    • 图形法
    • 解析法 (不一定有解析式/ 通项公式)

    5 级数 (级数就是数列的求和函数)

    5.1 级数 series

    • 级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。
    • 典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。
    • 级数首先是一个函数
    • 是把一个数列里得元素用 + 加号连接起来形成得一个表达式,由于有= 变成了函数
    • 级数是函数,有返回值,返回值就是 这些元素 求和得结果

    5.2 级数的表达式

    5.3 简单级数

    • 等差数列的和,也可以称为级数吧
    • 等比数列的和,也可以称为级数吧

    比如 平方和级数

     

    5.4 复杂级数(以后学习...)

    • 典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。
    • 幂级数,就是级数项之间是几次方的关系
    • 数项级数

    展开全文
  • 等差数列求和公式及推导方法

    千次阅读 2021-03-12 20:36:48
    等差数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列,常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差。前n项和公式为:Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。等差数列公式1.定义2.通项公式...

    等差数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列,常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差。前n项和公式为:Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

    99267079ef8a470379c50add0d14ef22.png

    等差数列公式

    1.定义式

    028639f5ed2cb9f3e50d1e09f95eeaad.png

    2.通项公式

    65d280994bc565abf99ebc7c64a8ad6b.png

    3.求和公式

    581befe603896e6e90779f50285150e5.png

    4.前n项和公式

    7783534fae0f91a1af2335c53055468e.png

    等差数列推论

    (1)从通项公式可以看出,a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由前n项和公式知,S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。

    (2)从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1),(类似:p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n}。

    (3)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)*a(n),S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列,等等。若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)。

    证明:p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p。

    (4)其他推论:

    ①和=(首项+末项)×项数÷2;

    ②项数=(末项-首项)÷公差+1;

    ③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×(项数-1);

    ④末项=2x和÷项数-首项;

    ⑤末项=首项+(项数-1)×公差;

    ⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。

    数列求和方法

    1、公式法

    3cc26a0fb5220ab19d60c451bce71c4e.png

    2、错位相减法

    acbe1f0fae7d9e89b4b5f40efc3ef318.png

    3、倒序相加法

    ff53b892e75326200d914e10e6616db0.png

    4、分组法

    08772827cdf64c7b49d28faeb334457c.png

    5、裂项相消法

    85a5a42655a6d6e9474fda8323eb60d5.png

    6、数学归纳法

    ef910ac695c4af9d3536815138f4ace5.png

    7、通项化归法

    先将通项公式进行化简,再进行求和。

    如:求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出,再利用分组等方法求和。

    8、并项求和法

    (常采用先试探后求和的方法)

    例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n

    方法一:(并项)

    求出奇数项和偶数项的和,再相减。

    方法二:

    (1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]

    方法三:

    构造新的数列,可借用等差数列与等比数列的复合。

    an=n(-1)^(n+1)

    9、求和公式

    3ac0efe689a92de549ddc6f46b08aa76.png

    展开全文
  • ( 数论专题 )【 斐波那契通公式 + 等比数列求和公式 】 斐波那契通公式( 证明略): 例题: 求当n趋向于无穷大,Sn等于什么,输出最简分数。 分子是斐波那契数列,分母是K的 i 次方, K是给定的。...

    ( 数论专题 )【 斐波那契通项公式 + 等比数列求和公式 】

    斐波那契通项公式( 证明略 ):

     

     

    例题:

    求当n趋向于无穷大,Sn等于什么,输出最简分数。

    分子是斐波那契数列,分母是K的 i 次方, K是给定的。

     

    思路:

    代码:

    #include <bits/stdc++.h>
    #define int long long
    
    using namespace std;
    
    signed main()
    {
        int T;cin>>T;
        while ( T-- ) {
            int k;cin>>k;
            int up=k,down=k*k-k-1;
            int gcd = __gcd(up,down);
            up/=gcd;down/=gcd;
            if ( down==1 ) cout << up << endl;
            else cout << up << "/" << down << endl;
        }
    
        return 0;
    }
    

    2020 Multi-University Training Contest 1

    Fibonacci Sum

    将斐波那契的通项公式带入需要求的式子,再根据二项式定理展开

    这样就根据等比公式就可以得到通式,枚举i=0~k相加就是答案。

    还有一个问题是a和b不是整数,所以没法在乘法中取模。

    这就需要用到二项同余求解

    求得x = 383008016, 因为x也可以等于\sqrt{5}所以\sqrt{5}在%mod的条件下也可以等于383008016

    ( 这里提一句,比赛时写二项同余代码太费时间,可以直接暴力求,lst = [ i for i in range(1,mod) if i*i%mod==5 ] , 不到一分钟就能跑出来,类比到其他的情况也可以 )

    A = (1+x)*inv(2)%mod          B = (1-x)*inv(2)%mod+mod

    注意:等比公式可能出现分母为0的情况,显然会出错,需要特判。

    注意:需要优化,否则超时。

    化简出来的和等于

    ans=\sum ^{i=0,i<=k} (-1)^{i} * C_{k}^{i} * ( \frac{tmp*(tmp^{n}-1)}{tmp-1} )

    tmp=(A^{c})^{k-i}*(B^{c})^{i}

    观察随着 i 的变化tmp的变化,容易发现 i 增加 1 tmp乘以B除以A。

    所以就省去了很多个快速幂,直接手动维护tmp的值就可以了。

    代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    #define int long long
    
    using namespace std;
    const int mod = 1000000009;
    int a[100005],b[100005];
    
    int qpow( int a, int n )
    {
        int re = 1;
        while ( n ) {
            if ( n&1 ) re=(re*a)%mod;
            a=(a*a)%mod;
            n>>=1;
        }
        return re;
    }
    
    int C( int n, int m )
    {
        if ( n<m ) return 0;
        int ans = ((a[n]*b[m])%mod*b[n-m])%mod;
        return ans;
    }
    
    int inv( int x )
    {
        return qpow(x,mod-2);
    }
    
    signed main()
    {
    //    cout << qpow(3,128900) << endl;
    //    cout << qpow(3,128900%mod) << endl;
        // x^2 = 5%(1e9+9)
    //    int x = 383008016;
    //    cout << (1+x)*inv(2)%mod << endl;
    //    cout << (1-x)*inv(2)%mod+mod << endl;
        int A=691504013,B=308495997;
        a[0]=a[1]=1;
        for ( int i=2; i<=100003; i++ ) a[i]=(a[i-1]*i)%mod;
        for ( int i=0; i<=100003; i++ ) b[i]=qpow(a[i],mod-2);
    
        int n,c,k,T;cin>>T;
        while ( T-- ) {
            scanf("%lld %lld %lld",&n,&c,&k);
            int ac = qpow(A,c);
            int bc = qpow(B,c);
            int bei = bc*inv(ac)%mod;
            int Bei = qpow(bei,n);
            int tmp = qpow(ac,k);
            int Tmp = qpow(tmp,n);
    
            int sum = 0,now;
            for ( int i=0; i<=k; i++ ) {
                if ( tmp==1 ) now = C(k,i)*(n%mod)%mod;
                else now = C(k,i)*tmp%mod*(Tmp-1)%mod*inv(tmp-1)%mod;
                if ( i%2==0 ) sum = (sum+now)%mod;
                else {
                    sum = (sum-now)%mod;
                    if ( sum<0 ) sum+=mod;
                }
                tmp = tmp*bei%mod;
                Tmp = Tmp*Bei%mod;
            }
            sum *= inv( qpow(383008016,k) );
            sum %= mod;
            if ( sum<0 ) sum+=mod;
            printf("%lld\n",sum);
        }
    
        return 0;
    }
    

     

     

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  • 等比数列&等差数列求和

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    参考:https://zh.wikipedia.org/wiki/等比数列 ...等比数列求和,等差数列求和:是平常做汇总统计计算用的比较多的两种情况。最近做计算时,用到了等比数列,忙活了一番,找到了相关的公式和推导过程,赶紧记录下来...
  • 一般的数列求和 分组 倒序 裂 错位 并 分段 奇偶分析法 求通 求和 数列种的最值问题 等差前n和 利用函数单调性 无穷级数 常数级数 常用级数 p级数 等比级数 正项级数 比较法 比较法极限形式 比值法 根值法...
  • python计算等差数列

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  • n的次方怎么求和

    千次阅读 2020-12-23 12:07:56
    展开全部n的次方求和公式:(n+1)²=n²+2n+1;同理(32313133353236313431303231363533e59b9ee7ad9431333363396434a+b)²=a²+b²+2ab(a+b)³=a³+3ab²+3a²b+b³定理(a+b)(n次方)=C(n,0)a(n次方)+C(n,1)a...
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空空如也

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