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  • 二项式正整数次幂
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    2021-05-20 18:51:00

    C语言题目 .利用scanf输入一实数,然后分别输出该实数的整数部分和小数部分.

    doublea,b;scanf("%lf",&a);b=a;longintp;p=(longint)a;printf("整数部分:%d\n",p);printf("小数部分:%lf",(b-p));再

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    两道C语言编程题:一、输入一个整数,求它的位数以及各位数字之和.

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    #includeintmain(){intm,n;intm_cup,n_cup,res;/*被除数,除数,余数*/printf("Entertwointeger:\n");scanf("%d%d",&

    输入精度e 和实数x,用下列公式求cos x 的近似值,精确到最后一项的绝对值小于e.c语言编程,

    #include#include//这个函数需要返回double类型,不然结果很快就溢出了doublef(intn){\x05inti;\x05doublem=1.0;\x05for(i=1;i=e)

    完成一个 C算法,输入一算术表达式能够编程计算其中括号 “(”和“)”;“[”和“]”;“{”和“}”的匹配

    这个要用到栈了,碰到左括号("(、[、{")则压栈,碰到右括号则出栈,结束后判断栈是否为空,如果为空则说明匹配,否则不匹配.再问:对。兄弟说的是这么个意思。就是第二步还没弄出来。。再答:每次压栈后都将

    c语言编程输入一个正整数输出各位数字的反向排列 和输入一个大于等于一的正整数,判断该数是否为素数

    #includeintmain(){intm[10],i,j=0,k;longn;scanf("%ld",&n);k=n;while(k>0){k/=10;j++;}i=j;while(i--){m[

    c语言编程 输入x 输出y y=表达式1 ,-5

    #include#includemain(){floatx,y;while(1){printf("请输入x=");scanf("%f",&x);if(x>=-5&&x

    用c语言输入一实数x和一整数n,求x+x^2+x^3+…+x^n的值.

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    #includemain(){floats(floatx,inti);floatx,eps,sum=0;scanf("%f%f",&x,&eps);inti=0;intsign=1;if(eps=ep

    C语言编程 输入一个实数x,计算并输出下式的值,知道最后一项的绝对值小于10^-5(保留两位小数)

    #include#includedoubleab(doublen){inti;doubles=1;for(i=1;ipow(10,-5)){c=pow(-1,j-1)*pow(x,j)/ab(j);d

    c语言输入一个实数x,计算

    #include#include#defineE2.7182voidmain(void){floatx;floaty;scanf("%d",&x);if(x>=-1)y=pow(x,2)+1;

    C语言输入一个正整数n和一个实数x,计算x的n次方的值.

    #includefloatx;intn,i;floats=1.0;voidmain(){printf("PleaseInputx:");scanf("%f",&x);printf("PleaseInp

    C语言作业,编写一程序,要求输入x的值,输出y的值.

    .你计算机专业的话,C不懂你以后怎么活!建议以后还是好好看看,真的不难,特别不难,给你个if-else参考,其他的照搬差不多:#includevoidmain(){floatx,y;print("pl

    C语言编程 定义函数将一个整型一维数组反序,数组的输入和输出在主函数中完成

    #includevoid fanxu(int c[], int j);void main(){\x09int

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    #include#include#defindPI3.141592654main(){doublevolume;floatradius;printf("Inputradius:");scanf("%f

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    简单呀.抛硬币次数不是实验次数,最好把题目说明白,你可能不知道怎么输出保留俩位小数估计printf("%.2f",x);再问:就是抛固定次数的硬币的试验次数再答:你看看你的要求输入抛硬币次数和试验次数

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  • 二项式定理

    2020-05-27 21:40:06
    二项式定理2.1什么是二项式定理2.1.1 研究历史2.1.2 二项式定理2.1.2定理描述及证明方法应用若干 2.1什么是二项式定理 2.1.1 研究历史 二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献,他在17...

    2.1什么是二项式定理

    2.1.1 研究历史

    二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献,他在17世纪描述了这一现象。但早在他之前,就曾有数学家进行类似的研究。例如,古希腊数学家欧几里得于公元前4世纪提到了指数为2的情况。公元前三世纪,印度数学家青目探讨了更高阶的情况。帕斯卡三角形的雏形于10世纪由印度数学家大力罗摩发现。在同一时期,波斯数学家卡拉吉和数学家兼诗人欧玛尔·海亚姆得到了更为普遍的二项式定理的形式。13世纪,中国数学家杨辉也得到了类似的结果。卡拉吉用数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有关证明。艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数

    2.1.2 二项式定理

    二项式定理(英语:Binomial theorem)描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理,可以将两个数之和的整数次幂诸如 ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} (x+y)n 展开为类似 a x b y c {\displaystyle ax^{b}y^{c}} axbyc 项之和的恒等式,其中 b 、 c {\displaystyle b}、{\displaystyle c} bc 均为非负整数且 b + c = n {\displaystyle b+c=n} b+c=n。系数 a {\displaystyle a} a是依赖于 n {\displaystyle n} n b {\displaystyle b} b的正整数。当某项的指数为1时,通常略去不写。例如:

    ( x + y ) 4    =    x 4   +   4 x 3 y   +   6 x 2 y 2   +   4 x y 3   +   y 4 . {\displaystyle (x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.} (x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4.
    a x b y c {\displaystyle ax^{b}y^{c}} axbyc 中的系数 a {\displaystyle a} a被称为二项式系数,记作 ( n b ) {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} (bn) ( n c ) {\displaystyle {\tbinom {n}{c}}} (cn)(二者值相等。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。


    对直到四次幂的二项式的可视化

    2.1.2定理描述及证明方法

    定理描述在这里插入图片描述

    证明

    1. 数学归纳法
      在这里插入图片描述
      2 组合方法
      在这里插入图片描述
      3 一般形式的证明
      在这里插入图片描述

      在这里插入图片描述

    3 应用若干

    牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

    证明组合恒等式
    二项式定理给出的系数可以视为组合数 ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} (kn) 的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。

    1. 证明 ∑ k = 0 n ( n k ) 2 = ( 2 n n ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}} k=0n(kn)2=(n2n)
      可以考虑恒等式 ( 1 + x ) n ( 1 + x ) n = ( 1 + x ) 2 n {\displaystyle (1+x)^{n}(1+x)^{n}=(1+x)^{2n}} (1+x)n(1+x)n=(1+x)2n。 展开等式左边得到: ∑ i = 0 n ∑ j = 0 n ( n i ) ( n j ) x i x j {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}{n \choose i}{n \choose j}x^{i}x^{j}} i=0nj=0n(in)(jn)xixj。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到 ∑ k = 0 2 n ( 2 n k ) x k {\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}x^{k}} k=02n(k2n)xk。 比较两边幂次为 k {\displaystyle k} k 的项的系数可以得到: ∑ i = 0 k ( n i ) ( n k − i ) = ( 2 n k ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{n \choose i}{n \choose k-i}={2n \choose k}} i=0k(in)(kin)=(k2n)。 令 k = n {\displaystyle k=n} k=n,并注意到 ( n i ) = ( n n − i ) {\displaystyle {n \choose i}={n \choose n-i}} (in)=(nin) 即可得到所要证明的结论。
    2. 证明 ∑ k = 0 n ( n k ) = 2 n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}} k=0n(kn)=2n
      因为 ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}} (x+y)n=k=0n(kn)xnkyk x = y = 1 {\displaystyle x=y=1} x=y=1,代入上式,得
      ( 1 + 1 ) n = 2 n = ∑ k = 0 n ( n k ) ⋅ 1 n − k ⋅ 1 k = ( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) + ⋯ + ( n n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1+1)^{n}&=2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot 1^{n-k}\cdot 1^{k}\\&={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\end{aligned}}} (1+1)n=2n=k=0n(kn)1nk1k=(0n)+(1n)+(2n)++(nn)=k=0n(kn)

    https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86

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  • 文章目录生成函数引言定义有关级数的有用事实形式级数级数的和、积广义二项式定理常见的生成函数使用生成函数解决计数问题使用生成函数求解递推关系使用生成函数证明恒等式 生成函数 引言 定义 实数序列a0、a1...

    生成函数

    引言

    定义

    实数序列 a 0 、 a 1 、 a 2 、 … … 、 a n a_0、a_1、a_2、……、a_n a0a1a2an生成函数,是无穷级数
    G ( x ) = ∑ k = 0 ∞ a k ∗ x k = a 0 + a 1 ∗ x + a 2 ∗ x 2 + … … + a k ∗ x k + … … G(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k*x^{k}=a_0+a_1*x+a_2*x^2+……+a_k*x^k+…… G(x)=k=0akxk=a0+a1x+a2x2++akxk+

    上述的生成函数也被称为普通生成函数,因为还有其他类型的生成函数。
    也就是说,我们将一个数的序列对应到一个函数,而这个函数的幂级数展开的各项系数就是这个序列。

    有关幂级数的有用事实

    形式幂级数

    如果将级数的收敛问题忽略掉,也就是不关心幂级数的收敛域,这样的级数就称为形式幂级数。

    幂级数的和、积

    f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ a k ∗ x k f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k*x^{k} f(x)=k=0akxk, g ( x ) = ∑ k = 0 ∞ b k ∗ x k g(x)=\sum_{k=0}^{\infty} b_k*x^{k} g(x)=k=0bkxk
    则,


    • f ( x ) + g ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( a k + b k ) ∗ x k f(x)+g(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (a_k+b_k)*x^{k} f(x)+g(x)=k=0(ak+bk)xk

    • f ( x ) g ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( ∑ j = 0 k a j ∗ b k − j ) ∗ x k f(x)g(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (\sum_{j=0}^k a_j*b_{k-j})*x^{k} f(x)g(x)=k=0(j=0kajbkj)xk

    广义二项式定理

    • 广义二项式系数
      u u u是实数,且 k k k是非负整数。那么广义二项式系数
      ( u k ) = { u ( u − 1 ) ∗ … … ∗ ( u − k + 1 ) , k > 0 1 , k = 0 \binom{u}{k}= \begin{cases} u(u-1)*……*(u-k+1), k>0\\ 1,k= 0\\ \end{cases} (ku)={u(u1)(uk+1),k>01,k=0

    • 当u为负整数,广义二项式系数为
      ( − n r ) = C ( − n , r ) = ( − 1 ) r C ( n + r − 1 , r ) \binom{-n}{r}=C(-n,r)=(-1)^rC(n+r-1,r) (rn)=C(n,r)=(1)rC(n+r1,r)

    • 广义二项式定理
      ( 1 + x ) u = ∑ k = 0 ∞ ( u k ) x k (1+x)^u=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{u}{k}x^k (1+x)u=k=0(ku)xk
      ps 当u是正整数是,就是普通的二项式定理,因为 C ( u , k ) , u > k C(u,k),u>k C(u,k),u>k时为0。

    常见的生成函数

    • 微积分中经典的级数
    G(x) a k a_k ak
    l n ( 1 + x ) = x − x 2 / x + x 3 / 3 ln(1+x) =x-x^2/x+x^3/3 ln(1+x)=xx2/x+x3/3+…… ( − 1 ) k + 1 / k (-1)^{k+1}/k (1)k+1/k
    e x = ∑ k = 0 ∞ x k / k ! = 1 + x + x 2 / 2 + x 3 / 3 ! + … … e^x=\sum_{k=0}^{\infty}x^k/k!=1+x+x^2/2+x^3/3!+…… ex=k=0xk/k!=1+x+x2/2+x3/3!+ 1 / k ! 1/k! 1/k!
    • 二项式定理相关
    G(x) a k a_k ak
    ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 ∞ C ( n , k ) x k (1+x)^n=\sum_{k=0}^{\infty}C(n,k)x^k (1+x)n=k=0C(n,k)xk C ( n , k ) C(n,k) C(n,k)
    ( 1 + a x ) n = ∑ k = 0 ∞ a k C ( n , k ) x k (1+ax)^n=\sum_{k=0}^{\infty}a^kC(n,k)x^k (1+ax)n=k=0akC(n,k)xk C ( n , k ) a k C(n,k)a^k C(n,k)ak
    • 广义二项式定理相关
    G(x) a k a_k ak
    1 / ( 1 − x ) = ∑ k = 0 ∞ x k 1/(1-x)=\sum_{k=0}^{\infty}x^k 1/(1x)=k=0xk1
    1 / ( 1 − a x ) = ∑ k = 0 ∞ a k x k 1/(1-ax)=\sum_{k=0}^{\infty}a^kx^k 1/(1ax)=k=0akxk a k a^k ak
    1 / ( 1 − x r ) = ∑ k = 0 ∞ x r k 1/(1-x^r)=\sum_{k=0}^{\infty}x^{rk} 1/(1xr)=k=0xrk
    1 / ( 1 − x ) 2 = ∑ k = 0 ∞ ( k + 1 ) x k 1/(1-x)^2=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)x^k 1/(1x)2=k=0(k+1)xk k + 1 k+1 k+1
    1 / ( 1 − x ) n = ∑ k = 0 ∞ C ( n + k − 1 , k ) x k 1/(1-x)^n=\sum_{k=0}^{\infty}C(n+k-1,k)x^k 1/(1x)n=k=0C(n+k1,k)xk C ( n + k − 1 , k ) C(n+k-1,k) C(n+k1,k)

    使用生成函数解决计数问题

    不定方程的解的个数

    e 1 + e 2 + … … + e n = m e_1+e_2+……+e_n=m e1+e2++en=m
    求非负整数解的方案数。
    可以用隔板法求出得 C ( m + n − 1 , m ) C(m+n-1,m) C(m+n1,m)

    利用生成函数的思想:
    ( 1 + x 1 + x 2 + … … x m ) ( 1 + x 1 + x 2 + … … + x m ) ( 1 + x 1 + x 2 + … … + x m ) ( 1 + x 1 + x 2 + … … + x m ) … … ( n 项 ) (1+x^1+x^2+……x^m)(1+x^1+x^2+……+x^m)(1+x^1+x^2+……+x^m)(1+x^1+x^2+……+x^m)……(n项) (1+x1+x2+xm)(1+x1+x2++xm)(1+x1+x2++xm)(1+x1+x2++xm)n
    那么 x m x^m xm项的系数就是原问题的方案数。
    这在 e 1 、 e 2 、 … … e_1、e_2、…… e1e2有约束限制的时候,更显优势。

    比如
    e 1 + e 2 + … … + e 3 = 17 e_1+e_2+……+e_3=17 e1+e2++e3=17,且 2 < = e 1 < = 5 、 3 < = e 2 < = 6 、 4 < = e 3 < = 7 2<=e1<=5、3<=e2<=6、4<=e3<=7 2<=e1<=53<=e2<=64<=e3<=7
    那么上述解的个数是
    ( x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) ( x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) ( x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ) (x^2+x^3+x^4+x^5)(x^3+x^4+x^5+x^6)(x^4+x^5+x^6+x^7) (x2+x3+x4+x5)(x3+x4+x5+x6)(x4+x5+x6+x7) x 17 x^{17} x17项的系数。

    • 有这样的一个例子:
      有一堆的1元、2元、5元硬币,数量不限,用它们组和成总和为 r r r元。
      有多少方案。

    完全背包问题的方案数

    • 动态规划解法

    这其实是一个完全背包问题求方案数的问题。
    f [ i ] [ j ] = ∑ k = 0 m a x K f [ i − 1 ] [ j − k ∗ v ] f[i][j] = \sum_{k=0}^{maxK} f[i-1][j-k*v] f[i][j]=k=0maxKf[i1][jkv]
    当然可以再使用递推关系式优化成
    f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] = f [ i − 1 ] [ j ] + f [ i ] [ j − v ] f[i-1][j]+f[i][j-v] f[i1][j]+f[i][jv]

    • 生成函数解法
      仿照我们上面的解法,
      方案数就是
      ( 1 + x + x 2 + x 3 + … … ) ( 1 + x 2 + x 4 + x 6 + … … ) ( 1 + x 5 + x 10 + x 15 + … … ) (1+x+x^2+x^3+……)(1+x^2+x^4+x^6+……)(1+x^5+x^{10}+x^{15}+……) (1+x+x2+x3+)(1+x2+x4+x6+)(1+x5+x10+x15+)
      x r x^r xr的系数。
      第一项表示选择1元硬币,比如第一项中的 x 7 x^7 x7表示选了7个一元硬币,如此推知,每一项实际上对应着DP过程中考虑每一个物品。

    有顺序的背包问题的方案数

    • 动态规划解法
      这种解法类似于跳楼梯问题,每次跳一级或者两级,跳到100级有多少中跳法。
      递推方程: f [ i ] = f [ i − 1 ] + f [ i − 2 ] + f [ i − 5 ] f[i]=f[i-1]+f[i-2]+f[i-5] f[i]=f[i1]+f[i2]+f[i5]

    • 生成函数解法
      考虑恰好一共选了 n n n个硬币产生 r r r元的方案数,因为考虑了顺序,
      所以此时的方案数为 ( x + x 2 + x 5 ) n (x+x^2+x^5)^n (x+x2+x5)n x r x^r xr的系数
      因为可以用任意多次硬币去形成 r r r元,所以按照加法原理。
      总方案数是
      1 + ( x + x 2 + x 5 ) + ( x + x 2 + x 5 ) 2 + ( x + x 2 + x 5 ) 3 + … … 1+(x+x^2+x^5)+(x+x^2+x^5)^2+(x+x^2+x^5)^3+…… 1+(x+x2+x5)+(x+x2+x5)2+(x+x2+x5)3+ x r x^r xr的系数。

    使用生成函数求解递推关系

    通过寻找生成函数的显式公式来求解满足递推关系和初始条件的解。
    不过这种方案具有很大的局限性。
    如果可以使用求解线性递推关系的那种方案,生成函数法并不是首选方案。

    举一例说明:

    a n = 8 ∗ a n − 1 + 1 0 n − 1 ① a_n=8*a_{n-1}+10^{n-1}① an=8an1+10n1
    两边同乘 x n x^n xn:
    a n ∗ x n = 8 ∗ a n − 1 x n + 1 0 n − 1 ② a_n*x^n=8*a_{n-1}x^n+10^{n-1}② anxn=8an1xn+10n1
    两边从 n = 1 n=1 n=1开始求和:
    G ( x ) − 1 = ∑ n = 1 ∞ a n ∗ x n = ∑ n = 1 ∞ ( 8 ∗ a n − 1 ∗ x n + 1 0 n − 1 ∗ x n ) = 8 x ∑ n = 1 ∞ ( a n − 1 ∗ x n − 1 ) + x ∗ ∑ n = 1 ∞ 1 0 n − 1 x n − 1 = 8 x G ( x ) + x / ( 1 − 10 x ) G(x)-1 = \sum_{n=1}^{\infty}a_n*x_n\\ =\sum_{n=1}^{\infty}(8*a_{n-1}*x^n+10^{n-1}*x^n)\\ =8x\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n-1}*x^{n-1})+x*\sum_{n=1}^{\infty}10^{n-1}x^{n-1}\\ =8xG(x)+x/(1-10x) G(x)1=n=1anxn=n=1(8an1xn+10n1xn)=8xn=1(an1xn1)+xn=110n1xn1=8xG(x)+x/(110x)
    求出
    G ( x ) = ( 1 − 9 x ) / ( ( 1 − 8 x ) ( 1 − 10 x ) ) = 1 / 2 ( 1 / ( 1 − 8 x ) + 1 / ( 1 − 10 x ) ) = 1 / 2 ( ∑ 0 ∞ 8 n + ∑ 0 ∞ 1 0 n ) x n G(x)=(1-9x)/((1-8x)(1-10x))\\ = 1/2(1/(1-8x)+1/(1-10x))\\ = 1/2(\sum_{0}^{\infty}8^n+\sum_{0}^{\infty}10^{n})x^n\\ G(x)=(19x)/((18x)(110x))=1/2(1/(18x)+1/(110x))=1/2(08n+010n)xn

    所以,
    a n = 1 / 2 ( 8 n + 1 0 n ) a_n=1/2(8^n+10^n) an=1/2(8n+10n)

    使用生成函数证明恒等式(略)

    展开全文
  • 广义二项式定理

    万次阅读 2016-11-03 14:46:15
    由数式二项式定理可得 (1+x)n=∑r=0nCrnxr (1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} C_n^r x^r 这里的n是正数,当指数为负整数时,如何二项式展开呢 当 −1≤x≤1-1\leq x\leq1,且n为正整数时 (1−x)−n=∑r=0∞Crnxr (1-x)^{-n...

    由数式二项式定理可得

    (1+x)n=r=0nCrnxr

    这里的n是正数,当指数为负整数时,如何二项式展开呢
    1x1 ,且n为正整数时
    (1x)n=r=0Crnxr

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  • 一、正整数拆分总结、 正整数拆分示例
  • 分析:利用牛顿二项式展开以下表达式: 再利用欧拉公式$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$ 比如: 解答: 评:这样的变换,表示成线性组合在求积分的时候就显得很有用,大学自主招生迟早会考察以上变换。 转载...
  • 给定一个多项式(by+ax)^k,请求出多项式展开后x^n*y^m 的系数。 输入输出格式 输入格式: 输入文件名为factor.in。 共一行,包含5 个整数,分别为 a ,b ,k ,n ,m,每两个整数之间用一个空格隔开。 输出...
  • 二项式定理的初入

    2020-03-06 21:05:43
    二项式定理 这是本博客的第一篇笔记,具有纪念意义 二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出 内容如下: 设n为一任意正整数,则对于任意的a和b,有如下性质: 在证明本定理之前,我们先...
  • 输入一个正实数x和一个正整数n, 求下列算式的值。要求定义和调用2个函数:fact(n) C语言编写程序:输入一个正整数www.zhiqu.org 时间: 2020-11-24#include#include#include#includedouble fact(int n){int i;...
  • 数论(二剩余 + 二项式定理 + 斐波那契数列) - Fibonacci Sum - HDU 6755 题意: 斐波那契数列:斐波那契数列:斐波那契数列: {F0=0,F1=1Fn=Fn−1+Fn−2(n>1)\begin{cases}F_0=0,F_1=1\\\\F_n=F_{n-1}+F_{n-2}...
  • 集合计数 二项式反演The Negative Binomial distribution is a discrete probability distribution that you should have in your toolkit for count data. For example, you might have data on the number of ...
  • 数学笔记(二项式定理)

    千次阅读 2018-08-15 11:20:57
    二项式定理可以将x+y的任意次幂展开成和的形式 其中每个  为一个称作二项式系数的特定正整数,其等于 。 这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作 很明显,当x==y==1时,会有下面这...
  • 如下所示: Abs 返回指定数字的绝对值。 Acos 返回余弦值为指定数字的角度。...Exp 返回 e 的指定次幂。 Floor 返回小于或等于指定数字的最大整数。 IEEERemainder 返回一指定数字被另一指定数字相除的余数。 Log
  • 求一个正整数所有正因数的和

    千次阅读 2020-10-08 17:57:07
    本篇是关于求正整数正因数和的,另外有一些类似的引申。 一、普通的眼光 首先,一个正整数可以根据素因式分解唯一定理得到一个唯一的素数乘积的表示形式: a=p1α1p2α2…pmαma=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots...
  • 二项分布相关

    2022-01-05 14:20:21
    特别地,在k为正整数时,二项级数就是代数学中的二项式定理 二项式定理 二项式定理(英语:binomial theorem),又称牛顿二项式定理。 该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。 证明过程 (x+y...
  • 常见的指数是形式的二项式定理我们是熟悉的,即对于(x+y)的n次幂,n取正整数,我们能将其展开成有限项数的多项式,但对于n取负数、分数,二项式是否成立了呢? 1676年Newton拓展二项式定理,即证明了如下定理: ...
  • 维普资讯 山西师范大学学报 (自然科学版) 第22卷第3期 ...3期 孟凡申 朱益民 徐礼卡 :自然数方和二项系数表示的系数公式 ·25· 定理3 设k是任意一个正整数,则有 6“。= +6 ’(1≤i≤后) (6)
  • 二项式定理(Java实现及代码重审)

    千次阅读 2011-04-22 17:33:00
    在上一篇文章中,我总结了从阅读《编程珠玑I》中获得的一些启示。... 作为代码重审和回顾的一个例子,我对以前的一个粗糙的二项式定理实现进行了重审和改写。当时,主要是为了学习动态规划法技术,运
  • ① 生成函数定义 ② 牛顿二项式 ③ 常用的生成函数

空空如也

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