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  • 从它出现离散二项式)分布。 语法:function bintheor(x,y,n) 输入: x,y - 要展开的一对感兴趣的术语n - 增加二项式定理的系数/ 输出: - 二项式定理总和的结果(默认) - 二项式定理值的向量(可选)
  • 分析:利用牛顿二项式展开以下表达式: 再利用欧拉公式$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$ 比如: 解答: 评:这样的变换,表示成线性组合在求积分的时候就显得很有用,大学自主招生迟早会考察以上变换。 转载...

    问题:如何快速把$cos^4xsin^3x$表示成正弦,余弦的线性组合?

    分析:利用牛顿二项式展开以下表达式:

    s34.1

    再利用欧拉公式$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$

    比如:

    s34.2

    解答:

    s34.3

    评:这样的变换,表示成线性组合在求积分的时候就显得很有用,大学自主招生迟早会考察以上变换。

    转载于:https://www.cnblogs.com/mathstudy/p/7413075.html

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  • 二项式定理

    千次阅读 2018-08-14 11:07:10
    二项式定理 二项式定理,又称牛顿二项式定理,此定理给出两个数之和的整数次幂诸如...为一个称作二项式系数的特定正整数,其等于   。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作  ...

     

    二项式定理

    二项式定理,又称牛顿二项式定理,此定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理 

    可以将x+y的任意次幂展开成和的形式

    其中每个

      

    为一个称作二项式系数的特定正整数,其等于

      

    。这个公式也称二项式公式二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作

     

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  • 给定一个多项式(by+ax)^k,请求出多项式展开后x^n*y^m 的系数。 输入输出格式 输入格式: 输入文件名为factor.in。 共一行,包含5 个整数,分别为 a ,b ,k ,n ,m,每两个整数之间用一个空格隔开。 输出...

    题目描述

    给定一个多项式(by+ax)^k,请求出多项式展开后x^n*y^m 项的系数。
    输入输出格式
    输入格式:

    输入文件名为factor.in。

    共一行,包含5 个整数,分别为 a ,b ,k ,n ,m,每两个整数之间用一个空格隔开。

    输出格式:

    输出共1 行,包含一个整数,表示所求的系数,这个系数可能很大,输出对10007 取模后的结果。

    输入输出样例
    输入样例#1:

    1 1 3 1 2

    输出样例#1:

    3

    说明

    【数据范围】

    对于30% 的数据,有 0 ≤k ≤10 ;

    对于50% 的数据,有 a = 1,b = 1;

    对于100%的数据,有 0 ≤k ≤1,000,0≤n, m ≤k ,且n + m = k ,0 ≤a ,b ≤1,000,000。

    noip2011提高组day2第1题

    分析

      神奇的数学题,直接提示了二项式定理( 其实就是说杨辉三角与二项式的系数相同,与C(n,m)相同 )
      由定理直接可以得出第x^n*y^m 项为:C(k,m)* (a*x)^n* (b*y)^m
      化简可得其系数为: C(k,m) * a^n * b^m
      PS:由于二项式/杨辉三角性质可知 n+m=k 则 C(k,m)=C(k,k-n)=C(k,n)
      对于后二者,直接用快速幂(如果不知道,那么88,走错片场了)来求就行了.
      对于C(k,m),有两种方法,其一是形如杨辉三角的递推(C(k,m)=C(k-1,m-1)+C(k-1,m)).其二是考虑分解质因数+高精度逆元(因为要取模) ( C(k,m)=k!/( (m-k)!*m! ) )
      对此仅给出逆元的解法(快速幂求逆元)
      


      1.逆元定义:对于正整数a和m,如果有 a*x≡1(mod m) { 即 a*x%m=1%m },那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做a模m的逆元。
      2.费马小定理:假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p),即:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1
      3.对于除法取模来说 (a/b)%m=((a%mo)/(b%mo))%mo 是不存在的但对于+ - * ^ 来说成立,所以说可以考虑将 (a/b)%m转化为 a*(b^-1)%mo . 当然,直接转换是不存在的,于是借助逆元进行转化
      由于mo=10007为质数,与b=(m-k)!* m! 互质,所以,由费马小定理可得: b^(mo-1)=1(mod mo) 又因为 b^-1*b=1 
      so b^(mo-1)=b^-1*b –> b^-1=b^(mo-2)
      于是 (令 b=(m-k)!* m!)
        C(k,m)%mo=( k!/b) %mo=( k! b^-1 )%mo=( k! *b^(mo-2))%mo=((k!%mo) ( (b%mo)^(mo-2)%mo))%mo
      其中b^(mo-2)可用快速幂解决

    代码

    数论代码一般都十分丑陋
    貌似不用开long long的样子

    #include <cstdio>
    #include <cstdlib>
    #define open(s) freopen(s".in","r",stdin); freopen(s".out","w",stdout);
    #define close fclose(stdin); fclose(stdout); 
    using namespace std;
    
    int mo=10007;
    int jc[1005];
    
    inline int read()
    {
        int k=1;
        int sum=0;
        char c=getchar();
        for(;'0'>c || c>'9' ;c=getchar())
            if(c=='-') k=-1;
        for(;'0'<=c && c<='9';c=getchar())
            sum=sum*10+c-'0';
        return sum*k;
    }
    
    inline void write(int x)
    {
        if(x<0) { putchar('-'); x*=-1; }
        if(x>9) write(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
    
    inline int power(int x,int t)//快速幂  x^t
    {
        if(t==1) return x;
        int s=power(x,t>>1);
        s=s*s%mo;
        return t&1?s*x%mo:s;
    }
    
    int main()
    {
        open("1313");
    
        int a=read(),b=read(),k=read(),n=read(),m=read();
        jc[0]=1;
        for(int i=1;i<=k;++i) jc[i]=(jc[i-1]*i)%mo;//预处理阶乘
        n%=mo; m%=mo;//由于n,m,a,b都可能比mo大,所以先取模
        a%=mo; b%=mo;
    
        int ans=1;
        //三部分
        ans=(jc[k]*power((jc[k-n]*jc[n])%mo,mo-2))%mo;
        ans=(ans*power(a,n))%mo;
        ans=(ans*power(b,m))%mo;
    
        write(ans);
    
        close;
        return 0;
    }
    
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  • 给一个kkk次二项式,求第nnn项的系数模10007 公式化的说,给定(ax+by)k(ax+by)^k(ax+by)k,求xn∗ymx^n*y^mxn∗ym项的系数 思路 直接二项式定理展开Ti+1=(Ckianbm)xnymT_{i+1}=(C_k^ia^nb^m)x^ny^mTi+1​=(Cki​anbm...

    题目

    给一个kk次二项式,求第nn项的系数模10007
    公式化的说,给定(ax+by)k(ax+by)^k,求xnymx^n*y^m项的系数

    思路

    直接二项式定理展开Ti+1=(Ckianbm)xnymT_{i+1}=(C_k^ia^nb^m)x^ny^m
    CkiC_k^i的时候需要用到除法,除法取模需要通过逆元转化
    考虑求逆元,用exgcd解同余方程,最后模运算归到正整数范围内

    代码

    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    int factorial(int n, int p);//求阶乘
    int exgcd(int a, int b, int &x, int &y);//exgcd
    int power(int a, int b, int p);//快速幂
    
    int main()
    {
    	int a, b, k, n, m;
    	cin >> a >> b >> k >> n >> m;
    	int c_up = factorial(k, 10007);
    	int c_down = (factorial(n, 10007) * factorial(k - n, 10007)) % 10007;
    	int x, y; exgcd(c_down, 10007, x, y);
    	c_down= (x % 10007 + 10007) % 10007;
    	int ans = (((c_up * c_down) % 10007) * ((power(a, n, 10007) * power(b, m, 10007)) % 10007)) % 10007;
    	cout << ans << endl;
    	return 0;
    }
    
    int factorial(int n, int p)
    {
    	int ans = 1;
    	for (int i = 1; i <= n; ++i)
    	{
    		ans = ((ans % p) * (i % p)) % p;
    	}
    	return ans % p;
    }
    int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
    {
    	if (b == 0) 
    	{
    		x = 1, y = 0;
    		return a;
    	}
    	int ans = exgcd(b, a % b, x, y);
    	int z = x; x = y; y = z - (a / b) * y;
    	return ans;
    }
    int power(int a, int b, int p)
    {
    	if (b == 0)return 1;
    	if (b == 1)return a % p;
    	if (b & 1)
    	{
    		return ((a % p) * power(a, b - 1, p)) % p;
    	}
    	else
    	{
    		int temp = power(a, b / 2, p) % p;
    		return (temp * temp) % p;
    	}
    }
    
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  • 广义二项式定理

    千次阅读 2018-08-17 20:53:17
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  • 数学笔记(二项式定理)

    千次阅读 2018-08-15 11:20:57
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    2020-03-06 21:05:43
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  • 二项式定理(Java实现及代码重审)

    千次阅读 2011-04-22 17:33:00
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二项式正整数次幂