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  • 广义牛顿二项式定理
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    2019-09-28 12:34:07

    普通的牛顿二项式定理在高中学习过的,当乘方为正整数的时候,但是有些时候需要用到不一定是正整数的情况(比如生成函数),需要用到分数或者负数等等,于是广义牛顿二项式定理就出来了。

    首先我们引入牛顿二项式系数${r \choose n}$。

    牛顿二项式系数定义:

    设r为实数,n为整数,引入形式符号

    $${r \choose n}=
    \begin{cases}
    0, & n<0\\
    1, & n=0\\
    \frac{r(r-1)\cdots (r-n+1)}{n!}, & n>0
    \end{cases}$$

    广义牛顿二项式定理:

                    $(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$

    其中x,y,α为实数,且$\mid\frac{x}{y}\mid<1$
    证明:

    证明需要用到数学分析的知识,没学过的话,应该看不懂2333。

    令$z=\frac{x}{y}$则有:

    $(x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha},\mid z\mid <1$

    设$f(z)=(1+z)^{\alpha}$,于是有:

    $f^{(n)}(z)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)(1+z)^{\alpha -n}$

    因此,当z0=0时,这个函数的泰勒公式(此时应该称为麦克劳林展开式)有如下形式:

    $(1+z)^{\alpha} =1+\frac{\alpha}{1!}z+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}z^{2}+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}z^{n}+r_n(0;z)$

    也就是:

    $(1+z)^{\alpha}=1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots +{\alpha \choose n}z^{n}+r_n(0;z)$

    将余项使用柯西公式得:

    $r_n(0;z)=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}{n!}(1+ξ)^{\alpha -n}(z-ξ)^{n}z$

    其中ξ介于0到z之间.

    将余项变形一下可得:

    $r_n(0;z)=\alpha (1-\frac{\alpha}{1})\cdots (1-\frac{\alpha}{n})(1+ξ)^{\alpha}(\frac{z-ξ}{1+ξ})^{n}z$

    因为当$\mid z\mid <1$的时候,从ξ在0和z之间这个条件可以推出:

    $\mid \frac{z-ξ}{1+ξ}\mid =\frac{\mid z\mid -\mid ξ\mid}{\mid 1+ξ\mid}\leq \frac{\mid z\mid -\mid ξ\mid}{1-\mid ξ\mid}=1-\frac{1-\mid z\mid}{1-\mid ξ\mid}\leq 1-(1-\mid z\mid)=\mid z\mid$

    于是$\mid r_n(0;z)\mid \leq\mid \alpha (1-\frac{\alpha}{1})\cdots (1-\frac{\alpha}{n})\mid (1+ξ)^{\alpha}\mid z\mid ^{n+1}$

    因为$\mid r_{n+1}(0;z)\mid\leq\mid r_n(0;z)\mid \times \mid (1-\frac{\alpha}{n+1})z\mid$又因为$\mid z\mid <1$,所以,如果$\mid z\mid <q<1$,则不管$\alpha$值如何,对于足够大的n将有$\mid (1-\frac{\alpha}{n+1})z\mid <q<1$,这就是说当$n\rightarrow\infty$时,有$r_n(0;z)\rightarrow 0$,由此说明当$\mid z\mid <1$的时候,无穷级数$1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots +{\alpha \choose n}z^{n}+\cdots (*)$收敛于$(1+z)^{\alpha}$。

    这时对于式子$y^{\alpha}(1+z)^{\alpha},\mid z\mid <1$将左边展开成无穷级数再将$y^\alpha$乘上就得到了我们的$(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$

    当$\mid z\mid >1$时,由达朗贝尔比值检验法可以得出,只要$\alpha\notin\mathbb{N}$,级数(*)总是发散的。

    特别地,当$\alpha\in\mathbb{N}$时,对函数$f(z)$来说,任意高于n阶的导数均为0,余项为0,直接展开就完事了,展开得到的就是高中学过的二项式定理。

    参考资料卓里奇的《数学分析》与屈婉玲《离散数学》

    转载于:https://www.cnblogs.com/Asika3912333/p/11406614.html

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    作者:vxbomath
    同学们今天给大家分享一类题型做题技巧,这种题目是有关常数项的二项式定理题目,如果用常规运算同学们是非常花费时间的;今天分享的做题技巧这种题目是能够读秒出答的;
    我来看第一题目,这道题是2013年江西卷的高考题目;在这里插入图片描述
    技巧秒出答案:
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    同学们下面的题都是这么做出来,都是读秒出答案。需要视频可以私聊老师;看下一题:
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    在来看下一题:
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    下面一大题是上海的一道高考试题:这道题给同学强调一个点;二项式系数和项的系数是有本质上区别的。这个大家一定不要混淆!在这里插入图片描述
    同学今天的内容就到这里,需要更多高质量的解题技巧,可以私聊老师,也可以评论在下方,老师抽时间统一回答!

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    知识点:伯努利分布、二项式分布、多项式分布、先验概率,后验概率,共轭分布、贝塔分布、贝塔-二项分布、负二项分布、狄里克雷分布,伽马函数、分布

    一,伯努利分布(bernouli distribution)


    又叫做0-1分布,指一次随机试验,结果只有两种。也就是一个随机变量的取值只有0和1。
    记为:0-1分布 或 B(1,p) ,其中 p 表示一次伯努利实验中结果为正或为1的概率。
    概率计算:

    P(X=0)=p0

    P(X=1)=p1

    期望计算:
    E(X)=0p0+1p1=p1

    最简单的例子就是,抛一次硬币,预测结果为正还是反。

    二,二项式分布(binomial distrubution)


    表示n次伯努利实验的结果。
    记为: XBn,p ,其中n表示实验次数,p表示每次伯努利实验的结果为1的概率,X表示n次实验中成功的次数。
    概率计算:

    P(X=k)=Cknpk(1p)nk,k=0,1,2,...,n

    期望计算:
    E(X)=np

    例子就是,求多次抛硬币,预测结果为正面的次数。

    三,多项式分布(multinomial distribution)


    多项式分布是二项式分布的扩展,不同的是多项式分布中,每次实验有n种结果。
    概率计算:

    P(X1=n1,...,Xk=nk)=n!i=1kpniini!,i=1kni=n0,otherwise
    期望计算:
    E(Xi)=npi

    最简单的例子就是多次抛筛子,统计各个面被掷中的次数。

    四,先验概率,后验概率,共轭分布


    先验概率和后验概率 :

    先验概率和后验概率的概念是相对的,后验的概率通常是在先验概率的基础上加入新的信息后得到的概率,所以也通常称为条件概率。比如抽奖活动,5个球中有2个球有奖,现在有五个人去抽,小名排在第三个,问题小明抽到奖的概率是多少?初始时什么都不知道,当然小明抽到奖的概率 P(X=1)=25 。但当知道第一个人抽到奖后,小明抽到奖的概率就要发生变化, P(X=1|Y1=1)=14 。再比如自然语言处理中的语言模型,需要计算一个单词被语言模型产生的概率 P(w) 。当没有看到任何语料库的时候,我们只能猜测或者平经验,或者根据一个文档中单词w的占比,来决定单词的先验概率 P(w)=11000 。之后根据获得的文档越多,我们可以不断的更新 P(w)=count(w)old+count(w)new|Dold|+|Dnew| 。也可以写成 P(w|Dnew)=count(w)old+count(w)new|Dold|+|Dnew| 。再比如,你去抓娃娃机,没抓之前,你也可以估计抓到的概率,大致在 15 150 之间,它不可能是 11000 12 。然后你可以通过投币,多次使用娃娃机,更据经验来修正,你对娃娃机抓到娃娃的概率推断。后验概率有时候也可以认为是不断学习修正得到的更精确,或者更符合当前情况下的概率。

    共轭分布 :

    通常我们可以假设先验概率符合某种规律或者分布,然后根据增加的信息,我们同样可以得到后验概率的计算公式或者分布。如果先验概率和后验概率的符合相同的分布,那么这种分布叫做共轭分布。共轭分布的好处是可以清晰明了的看到,新增加的信息对分布参数的影响,也即概率分布的变化规律。
    这里有个疑问是,如何由先验分布得到后验分布,如何选择?下面举例beta分布进行详解。

    p(θ|X)=p(X|θ)p(θ) ,通常我们称 p(θ|X) 为后验概率,即添加观测 X 后的概率。p(X|θ)为似然函数,为模型。 p(θ) 为先验概率。通常 p(X|θ) 修正求解的模型, θ 为模型的参数。参数 θ 不是一个固定的值,也是服从某种分布 p(θ) 。我们可以通过贝叶斯后验公式来更新 θ 。如果 θ 的先验概率 p(θ) 和后验概率 p(θ|X) 是同一种分布,那么似然函数 p(X|θ) 和先验概率 p(θ) 共轭,因为求出来后验概率和先验概率是同一种分布。

    五,贝塔分布(beta distribution)

    计算公式:

    P(x)=Beta(x;α,β)=xα1(1x)β110μα1(1μ)β1dμ=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)xα1(1x)β1=1B(α,β)xα1(1x)β1
    其中,B(a,b)是beta函数。
    期望:
    E(p)=aa+b

    首先,现实生活中我们通常需要估计一件事情发生的概率,如抛一次硬币为正面的概率。我们可以进行统计的方式给出答案,比如抛了100次硬币,其中有30次向上,我们就可以说这个硬币为正面的概率是0.3。当然我们可以从另外一个角度回答问题,比我对实验的公信度进行怀疑,我就可以说为正面的概率是0.3的可能性是0.5,为0.2的可能性是0.2,为0.4的概率是0.3,给出硬币为正面的概率的分布,即伯努利实验中p的分布。给出参数的分布,而不是固定值,的好处有很多。

    • 一,如抛100次中,30次向上,和抛100000次中30000次向上,两者估计p的值都是0.3。但后者更有说服力。如果前者实验得到p为0.3的置信度是0.5的话,后者实验得到p为0.3的置信度就有可能是0.9,更让人信服。
    • 二,估计一个棒球运动员的击球命中率。如果我们统计一个新棒球运动员的比赛次数,发现,3场比赛中,他击中2次,那么我们可以说他的击球命中率是 23 么?显然不合理,因为因为根据棒球的历史信息,我们知道这个击球率应该是0.215到0.36之间才对。但如果我们给出的是击球明中率的分布,而不是固定的值,就可以表示我们对当前击球命中率估计的置信度,提供了更加丰富的信息。因为只观察了三次比赛,所以我们得到运动员命中率为 23 的概率是0.1,表示我们对这个命中率值不确定。

    接着进入正题:由前面可知,我们的需求是为了模拟模型参数的模型,beta分布是来模拟”取值范围是从0到1时的模型的参数的分布”。比如就求抛硬币为正的概率p为例。如果我们知道p的取值,我们就可以计算抛10次硬币,其中有1次向上的概率是 P(X=1)=C1np(1p)9 ,有3次向上的概率是 P(X=1)=C3np3(1p)7 ,有6次向上的概率是 P(X=6)=C6np3(1p)7 。那么我们如何求p值呢?
    前面说的有两种方法,一个是给固定的值 ,一个给值的密度分布函数。我们这里介绍后者,假设p值符合Beta分布。即 P(p)=Beta(p;a,b)=pa1(1p)b1B(a,b) 。那么现在我们又做了10次实验,其中4次为正,6次为反,称为信息X。那么我们现在要计算得到信息X后概率p的分布,即P(p|X),根据贝叶斯条件概率计算公式

    P(p|X)=P(X|p)P(p)P(X)
    =P(X|p)P(p)10P(X|pi)P(pi)dpi
    =(C410p4(1p)6)(pa1(1p)b1B(a,b))10(C410p4i(1pi)6)(pa1i(1pi)b1B(a,b))dpi
    =(p4(1p)6)(pa1(1p)b1)10(p4i(1pi)6)(pa1i(1pi)b1)dpi
    =p4+a1(1p)6+b110p4+a1i(1pi)6+b1dpi
    =p4+a1(1p)6+b1B(4+a,6+b)
    =Beta(p;4+a,6+b)
    ,这里使用最大似然估计计算P(X|p),即 P(X|p)=C410p4(1p)6 P(p) P(pi) 使用的是先验概率(贝叶斯概率本来就是用先验概率计算后验概率的公式)。其中分子分母中 C410 B(a,b) 函数是常数项可以约去,最后得到: P(p|X)=Beta(p,a+4,b+6),p[0,1]
    重新解释下整个过程,目的是计算得到p的概率分布,而不是固定的值。首先根据之前的经验或者统计,假设p服从Beta(a,b)分布,a表示之前统计中为正的次数,b为之前统计中为负的次数。接着,根据新做的实验或者新到达的信息X,来修正p的分布,修正后的p同样是服从Beta分布,只不过是参数由(a,b)变成(a+m,b+n),m表示新得到的信息中为正的次数,n表示新得到的信息中为负的次数。这样的修正过程可以很直观的被理解,而且修改前后是兼容的,很好的体现了一个学习修正的过程。

    贝塔分布的pdf图:
    这里写图片描述

    六,贝塔-二项分布(beta-binomial distribution)

    The beta-binomial distribution is the binomial distribution in which the probability of success at each trial is not fixed but random and follows the beta distribution.
    贝塔-二项分布是指,二项分布中的参数p不是固定的值,是服从Beta(a,b)分布。
    计算公式:

    P(X=k|p,n)=L(p|k)=Cknpk(1p)nk
    其中 L(p|k) 表示二项式分布的最大似然估计计算方式。然后将 π(p|a,b)=Beta(a,b) 整合到p得,
    P(X=k|p,n)=10L(p|k)π(p|a,b)dp
    =CknB(a,b)10pk+a1(1p)nk+b1dp
    =CknB(k+a,nk+b)B(a,b)
    期望:
    E(X)=na(a+b)

    七,负二项分布(negative binomial distribution)

    Suppose there is a sequence of independent Bernoulli trials. Thus, each trial has two potential outcomes called “success” and “failure”. In each trial the probability of success is p and of failure is (1 − p). We are observing this sequence until a predefined number r of failures has occurred. Then the random number of successes we have seen, X, will have the negative binomial (or Pascal) distribution。
    一次伯努利实验分为成功和失败两个结果。现在观察连续伯努利实验,直到r次失败事件产生为止,我们观察到成功的个数。记为: XNB(r,p) 。比如我们可以用来模拟机器在出故障前可以工作的天数的分布,即一个新机器可以运行多少天不出故障。
    计算公式:

    f(k;r,p)=Pr(X=k)=Ckk+r1pk(1p)r=Cr1k+r1pk(1p)r,k=0,1,2...
    (注意:是k+r-1个种选取k个,不是k+r,因为最后一个是固定的1-p。)
    期望:
    E(N)=r(1p) ,N表示要想观察到r次失败,需要进行试验的总次数。
    E(K)=Nr=r(1p)r=rp(1p) ,相当于成功和失败的比例是 Kr=p1p

    八.零,伽马函数,伽马分布(gamma distribution),贝塔函数

    伽马函数

    Γ(n)=(n1)!nΓ(z)=0xz1exdxz0

    下图是伽马函数在复数域和实数域上的图像:
    这里写图片描述
    这里写图片描述

    有了伽马函数我们就可以计算 2.5! 0.3! (1.1+2.4i)!
    贝塔函数
    贝塔函数是01区间上的积分:

    B(x,y)=10tx1(1t)y1dt=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y)

    在狄里克雷中我们定义:
    B(α)=Kk=1Γ(αk)Γ(Kk=1αk)


    从统计学或者概率论角度来说,指数分布,正态分布,泊松分布,卡方分布,均匀分布等等,其根源(我是指数学根源,而非实际问题根源),都是来自于这两个函数。


    伽马分布

    f(x;αβ)=βαxα1eβxΓ(α)Γ(α)=0tα1etdtt=βx,Γ(α,β)=βα0xα1exβdx

    假设随机变量X为等到第α件事发生所需之等候时间。(不是很理解,之后在学习吧)
    这里写图片描述

    怎么来理解伽玛(gamma)分布? - T Yuan的回答 - 知乎
    https://www.zhihu.com/question/34866983/answer/60541847

    八,狄里克雷分布(Dirichlet distribution)

    由前面的介绍可以知道,当前后验概率相同共轭时,有两个关键的部分,即Beta分布的推导过程中,先是参数个数是一个,p,而且求P(X|p)是采用二项分布的计算公式。现在进行推广,将参数有1个推广到多个,求P(X|p*)采用多项式分布的计算公式。
    计算公式:

    p(π|α)=Γ(Kk=1αk)Kk=1Γ(αk)k=1Kπαk1k
    期望:
    E(πk)=αk(α1+α2+...+αK)

    简单举例,beta分布是模型抛硬币为正的 概率的分布,Dirichlet可以是掷骰子模型中的 参数的分布。刚刚开始假设筛子个个面被掷中概率服从 Dirichlet(π|10,10,20,20,20,20)) 。现在又做了100次掷骰子实验,假设为1的次数是20,为2的次数是10,为3的次数是40,为4的次数是10,为5的次数是10,为6的次数是10。所以根据贝叶斯后验概率公式和多项式分布更新得到筛子个个面被掷中概率服从 Dirichlet(π|(30,20,60,30,30,30))

    贝塔分布和狄里克雷分布一般都作为参数的分布。
    贝塔分布可以写成:
    P(x1,x2)=Beta(x1,x2;α,β)=xα11xβ1210μα1(1μ)β1dμ
    其中 x1+x2=1 。公式很容易记住,上面就是每个x与其对应的参数减一的指数,相乘,然后分母就是01区间上积分,相当于归一化处理。
    狄里克雷分布也同样写成:
    p(π1,π2,...,πK|α)=Γ(Kk=1αk)Kk=1Γ(αk)Kk=1παk1k=Kk=1παk1kB(α1,α2,...αK)
    其中 π1+π2+...+πK=1 。和贝塔分布一样,分子是每个x与其对应的参数减一的指数,相乘,然后分母就是01区间上积分,相当于归一化处理。

    狄里克雷的pdf图:
    这里写图片描述

    九,几何分布(Geometric distribution)

    几何分布(Geometric distribution)是离散型概率分布。其中一种定义为:在n次伯努利试验中,试验k次才得到第一次成功的机率。或者定义为:在n次伯努利试验中,需要失败k次才得到第一次成功的机率。两者的区别在于前者k取值从1到无穷,后者k取值从0到无穷。(后面的公式以第一种定义为例)
    根据定义显然几何分布表示前k-1次试验都失败,只要最后第k次试验成功即可。
    计算公式:

    p(X=k)=(1p)k1p
    期望:
    E(X)=1p
    方差:
    VAR(X)=1pp2

    参考:

    https://www.zhihu.com/question/23749913?f=41824312

    http://nooverfit.com/wp/%E7%94%A8python%E5%81%9A%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AFab%E6%B5%8B%E8%AF%95-%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AFab%E6%B5%8B%E8%AF%95%E5%85%A5%E9%97%A8-%E4%BB%A5%E5%8F%8A%E5%85%B1%E8%BD%AD/

    https://www.zhihu.com/question/41846423

    https://www.zhihu.com/question/39004744

    https://www.zhihu.com/question/30269898

    https://en.wikipedia.org/wiki/Beta-binomial_distribution

    https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_binomial_distribution

    展开全文
  • 二项式展开推广与微积分的关系

    千次阅读 2016-05-22 11:23:05
    二项式展开推广与微积分的关系牛顿展开二项式,为微积分的创立提供了重要工具——《一念非凡》。 我刚开始在看《一念非凡》这本书时,对这句话百思不得其解。因为我的理解思路上来就是从现代居高临下的微积分观点:...

    二项式展开推广与微积分的关系

    牛顿展开二项式,为微积分的创立提供了重要工具——《一念非凡》。
    我刚开始在看《一念非凡》这本书时,对这句话百思不得其解。因为我的理解思路上来就是从现代居高临下的微积分观点: z=x0y(t)dt 出发,认为 y(t) 既然能分解成无穷级数 y(t)=A+Bx+Cx3+... ,因此由 y 包围的面积应该由展开的二项式来求,就不知道然后呢。因为,首先,每一个单项式求积分如何求,这是个死循环的思路,另外,展开为无穷级数,无穷啊,无穷个积分相加,也不对头。还好《一念非凡》后面有参考文献:《微积分的历程:从牛顿到勒贝格》[美]邓纳,看了之后茅塞顿开。我只能说对伟大思想的发明,你想理解他,首先要认识到伟大思想的雏形是朴实的或者是粗糙的,如果你想证明这个伟大的思想,想感怀那个伟人证明之路,一定要认识这一点。否则,你一开始证明的目标会变成后来不断美化的思想结论,如这里的z=x0y(t)dt,那这块的工作不仅仅就是牛顿的工作,多少科学巨擘你都得瞻仰才行。
    - 好了,开始来干货。
    牛顿对二项式展开进行推广,得到 (P+PQ)mn 的展开公式。然后,牛顿有一天对求面积格外感兴趣,他证明的目标是指数函数的面积,证明的结论如下:简单曲线的面积:如果 y=axmn 是曲线AD的函数,其中a是常数,m和n是正整数,那么,区域ABD的面积为 anm+nxm+nn ,这一法则和另外两条法则就是微积分的发明,看,并不是漂亮的数学公式 z=x0y(t)dt ,而是粗糙的,对简单函数面积的证明,进而推广到一般函数。
    - 证明过程
    这里写图片描述

    证明思路就是利用面积为 z(x+o) 的面积逼近 z(x) .
    首先,牛顿认为 z(x)=anm+nxm+nn 并求 z(x) 的瞬时变化率。为书写方便,暂时令 c=anm+n p=m+n ,于是 z(x)=cxpn ,且
    [1]

    [z(x)]n=cnxp
    ,则 z(x+o) 就是面积 Aβδ ,该面积分解为面积ABD和面积 BβδD ,牛顿断定 z(x+o)=z(x)+ov ,带入[1],得到
    [z(x)+ov]n=[z(x+o)]n=cn(x+o)p

    展开最左边和最右边的多项式,得到
    z(x)n+n[z(x)]n1ov+n(n1)2[z(x)]n2o2v2+...=cnxp+cnpxp1o+cnp(p1)2x(p2)o2+...
    ,利用[1]消去等式两边最左边的项,并除以o,得到
    n[z(x)]n1v+n(n1)2[z(x)]n2ov2+...=cnpxp1+cnp(p1)2x(p2)o+...

    牛顿假定 Bβ 为无限减小并消失的量,或者o为零,那么,v和y在这种情况下会相等 BK=BD ,并且含o的项将消失。即
    [2]
    n[z(x)]n1y=cnpxp1

    要注意的是,o作除数时不为0,但是为了逼近,又变成0,这里出现了逻辑混乱,困扰了一个多世纪。所以说啊, 大胆的假设与丢盔弃甲的证明是值得借鉴的,不能为严谨而丢弃伟大的思想,don’t care繁琐的细节!
    代换z(x), c=anm+n p=m+n
    y=cnpxp1n[z(x)]n1=axmn
    也就是说,牛顿从他的假设“ABD的面积 z(x)=anm+nxm+nn 出发,推出曲线AD必定满足方程 y=axmn .从本质上说,他微分了积分,然后,在没有证明的情况下,指出,与此相反,如果 axmn=y ,那么就有 anm+nxm+nn=z
    对于这里面出现的逻辑漏洞或是特别扭曲的逻辑,牛顿用幽默的语言说道“流树术的一种简洁的难以理解的形式”
    其实这个过程的证明真的是朴(jian)素(dan),一会就看明白了。可是当时谁会那么勇敢,大胆的去想这样的事情,毕竟逻辑不通。啊,这一刻,我感受到了思想的超时代性,大胆假设与思想胜于严谨逻辑!

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  • §6 不等式   1.基本不等式 2.有关绝对值的不等式 3.有关三角函数、指数函数、对数函数的... 在下面1)~5)各中,设 a >b, 则 1) a ± c > b ± c 2) ac > bc
  • 离散型变量 如:二项分布、泊松分布 三者之间的关系 二项分布(Binomial distribution) 二项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布,记作。伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机...
  • 二项分布

    万次阅读 2020-03-30 19:45:34
    本文链接:个人站 | 简书 | CSDN 版权声明:除特别声明外,本博客文章均采用 BY-NC-SA 许可协议。...泊松分布、二项分布、以及负二项分布都可以用来刻画计数类数据。其中,泊松分布的 μ=σ2\...
  • 二项分布最大值,泊松分布的推导,几何分布的推导 (概统2.应用) 1.二项分布 二项分布就是独立事件n重伯努利试验,每次试验只有A发生与不发生两种结果,求n次试验中恰好发生k次的概率。 P{X=k} = $C_{n}^{k}p^{k}q...
  • 二项树及二项队列

    千次阅读 2016-12-14 23:25:05
    二项树及二项队列
  • 称之为常数项无穷级数,简称级数,记作。 亦即  其中第项叫做级数的一般项。 上述级数定义仅仅只是一个形式化的定义,它未明确无限多个数量相加的意义。无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项一项地累加起来...
  • 不动点法主要适用于所谓的分式线性递推数列它是一种Riccati差分方程的特殊形式形如 的映射称作分式线性变换或Möbius变换.(其中 为常数, , )递推数列:其中 , 为常数, , 这种就叫做分式线性递推数列这个数列的...
  • 看图说话之二项队列(优先队列)——原理解析

    千次阅读 多人点赞 2017-10-16 22:31:33
    详细介绍了二项树,二项队列的基本原理,介绍了二项队列的建队,入队,出队等操作。
  • 二项式系数 & 递推关系初步

    千次阅读 2010-03-27 14:51:00
    二项式系数1. Pascal公式:C( n, k ) = C( n-1, k ) + C( n-1,k-1)2. 一些恒等式a. k*C( n, k ) = n*C(n-1. k-1 )b. C(n, 0) – C(n, 1) + C(n, 2) - … + (-1)nC(n,n) = 0 (n>=1)c. 
  • 知识要点: 知识点1 整式的概念 (1)整式中只含有一的是单项,否则是多项式,单独的字母或常数是单项; (2)单项的次数是所有字母的指数之和; 多项式的次数是多项式中最高次的次数; (3)单
  • 次函数中的a,b,c各决定什么

    千次阅读 2020-12-21 08:05:04
    y=ax^2 bx c在数学中,次函数(quadratic function)表示形为y=ax^2 bx c(a≠0,a、b、c为常数)的多项式函数。次函数的图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 次函数表达式ax2 bx c的定义是一个次多项式,因...
  • 在对临边昏暗常数经验公式研究的基础上,完成了间接方法的二项式近似公式,并在太阳观测中得到很好验证.且与心宿二的最近观测相符.因此,新的临边昏暗常数经验公式的间接方法已经完备.
  • //计算自然常数e的公式为e的泰勒展开(麦克劳林展开) #include<iostream> using namespace std; const double MaxError = 1.0E-6; //误差上限 long int GetFactorial(int n) //用for循环计算阶乘 ...
  • Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布 多项分布 直观思考一下多项分布的极大似然估计,其实可想而知,就是数数 的个数,然后算一下占整个样本中的比例就可以作为 概率的估计了。所以通常在使用似然函数...
  • 次函数拟合——最小二乘法公式法 与线性回归相似,对次函数进行拟合某种意义上也只是加了一个函数,虽然求解的方程变得更加繁琐,需要准备的变量也增加到了七个。 思路有借鉴于:最小二乘法拟合次曲线 C语言 ...
  • 损失函数与正则(惩罚),多loss间权重设计

    千次阅读 多人点赞 2020-12-02 16:52:14
    正则(惩罚) 正则(惩罚)的本质 惩罚因子(penalty term)与损失函数...机器学习为什么需要正则 我们经常看到,标准损失函数通常由两组成,数据损失和惩罚,并将惩罚乘以超参数λ,用来平衡这两
  • 括号内的另一部分必须与指数互为倒数,否则要想办法化成这种形式。变形完成之后,要保证指数部分仍然趋于∞。 当无法直接运用公式时,可以使用换元法,用另一个变量来表示原。但要注意,新的变量趋向的值也可能...
  • 次函数顶点、交点、...一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:(1)一般:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0),则称y为x的次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)(2)顶点:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h...
  • 记得有一个笑话,法国课改后,...例如,Planck为了凑实验数据而猜出来的黑体辐射公式 含有指数,其中 是频率, , 是热力学温度, , 是Boltzmann常数,一个带量纲 的常数。为了使 是无量纲量,必须让 的量纲是 。
  • 几种求数列前n和的方法

    千次阅读 2020-12-08 19:33:11
    如果一个数列na,与首末两等距的两之和等于首末两之和,可采用正序写和与倒序写和的两个和相加,就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例、求89sin88sin3sin...
  • 对于行列这一个知识点,是考研中的重点,无论是985还是211,一般都放在第一题或者第题进行考察,是需要大家熟练掌握不同题型的,下面我们将对于行列的知识点进行分类讲解,今天我们主要就以下两大内容进行讲解,...
  • 递推关系中的数列通

    千次阅读 2017-09-30 15:14:50
    http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/78142983普通方法叠加法/叠乘法公式法阶差法待定系数法辅助数列法归纳、猜想倒数法[求解数列通公式的...]某小皮特征方程法(一阶线性递推)设已知数列的满足...
  • 常数变易法”有效的原理

    万次阅读 多人点赞 2018-10-14 19:50:04
    常数变易法”有效的原理常数变易法为什么写这篇文章什么是常数变易法?错误的理解常数变易法的原理基本计算总结参考资料 常数变易法 为什么写这篇文章 学过“常数变易法”的同学请直接点击“常数变易法的原理...

空空如也

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二项式的常数项是什么