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  • 数学:二项式展开式中奇数项系数之和等于偶数项系数之和
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    2021-09-18 22:15:49

     思路:分析题目可发现,n个人可以分成每组x各人(1<=x<=n),就相当于从n个人里取x个人有多少种取法,分为取偶数个(2,4,...)和取奇数个(1,3,5,...),由二项式展开式中奇数项系数之和等于偶数项系数之和可得,它们之间差了个C_{n}^{0}=1,即每次偶数的方案数一定比奇数的少1。

    #include<iostream>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int t,n;
        while(cin>>t)
        {
            while(t--)
            {
            cin>>n;
            cout<<-1<<endl;
            }
        }
        return 0;
    }

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  • 定理(1)二项式系数和、定理(2)二项式系数奇偶项证明如下:

    请添加图片描述
    请添加图片描述

    定理(1)二项式系数和、定理(2)二项式系数奇偶项和证明如下:
    请添加图片描述

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  • 1.公式 首先我们都知道组合数的意义,就是说一共有n个样本,一次性从中取出m个样本,一共有多少种不同的取法。它的公式如下: 它有这么一个性质: ...首先知道,(a+b) ^n 的展开一共有n+1...

    1.公式

    • 首先我们都知道组合数的意义,就是说一共有n个样本,一次性从中取出m个样本,一共有多少种不同的取法。它的公式如下:

      List item
      它有这么一个性质:
      在这里插入图片描述
      该性质有若干种证明方式,今天我在这边写出我觉得挺巧妙的一种证明方式。

    2.证明

    • 想必大家都知道有关的另一个公式:
      在这里插入图片描述

    • 关于这个公式的系数(也就是c(n,0),c(n,1)…)可以这么理解:
      首先知道,(a+b) ^n 的展开式一共有n+1项,分别是a ^n,a ^n-1b,…ab ^n-1,b ^n。
      (a+b) ^n 就是有n个(a+b)相乘,相当于(a+b)(a+b)(a+b)…(a+b)(a+b),一共n个。
      对于a^n,相当于是从n项中找n个a相乘,其系数就是C(n,0)=1,
      对于a^n-1
      b,相当于是从n项中找 (n-1) 个a和 1 个b相乘,其系数就是C(n,1)=n,
      对于a^n-2*b ^2,相当于是从n项中找 (n-2) 个a和 2 个b相乘,其系数就是C(n,2),


      对于b^n,相当于是从n项中找 n 个b相乘,其系数就是C(n,n)=1,

    • 由此可知:组合数之和 = 二项式的系数之和 = (a+b)^n一共的项数
      很明显,(a+b)^n,一共有2 ^n个系数为1的项

    (a+b)^n
    n=12项
    n=24项
    n=38项
    n=k2^k项

    这也算是加深了自己的理解吧,以前一直只知道死记公式,从不想为什么,今后这毛病得改。。。

    展开全文
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  • 题目问题引入给你一个古典概型问题,总共两个事件,发生A事件的概率为p,则发生B事件的概率为1-p;求k次操作之后,出现偶数次A事件的概率为多少。...很显然,答案是求二项式的偶数项。 对于这种求偶数项的

    题目

    问题引入

    给你一个古典概型问题,总共两个事件,发生A事件的概率为p,则发生B事件的概率为1-p;求k次操作之后,出现偶数次A事件的概率为多少。对于最后的答案要取模1e9+7。
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    样例输入

    2
    2 1 1
    3 1 2

    样例输出

    500000004
    555555560

    题目来源

    2017 ACM-ICPC 亚洲区(西安赛区)网络赛

    题解

    • 很显然,答案是求二项式的偶数项和。
      这里写图片描述
    • 对于这种求偶数项的和,可以参照对于n的所有组合数C(n, i)求得奇数项和为2^(n-1),偶数项和为2^(n-1)的方法,如下所示:
      这里写图片描述
    • 综上,二项式偶数项和的通项公式为:
      • ans=(p^k+(2*q-p)^k)/(2*p^k) ;
    #include<cstdio>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    
    const int mod=1e9+7;
    const double eps=1e-8;
    
    typedef long long LL;
    LL pow_mod(LL a,LL b,LL p) //快速幂取模
    {
        LL ans=1,base=a;
        while(b>0)
        {
            if(b&1) //n%2==1
                ans=ans*base%p;
            base=base*base%p;
            b>>=1;// b/=2
        }
        return ans;
    }
    LL cal(LL x,LL y)//分数取模
    {
        return x*pow_mod(y,mod-2,mod)%mod;
    }
    int main()
    {
        int T;
        LL p,q,k;
        scanf("%d",&T);
        while(T--)
        {
            scanf("%lld%lld%lld",&p,&q,&k);
            q=pow_mod(p-2*q,k,mod);
            p=pow_mod(p,k,mod);
            q=(p+q)%mod;
            p=(p*2)%mod;
            printf("%lld\n",cal(q,p));
        }
        return 0;
    }
    展开全文
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二项式系数之和公式