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  • 1.公式 首先我们都知道组合数的意义,就是说一共有n个样本,一次性从中取出m个样本,一共有多少种不同的取法。它的公式如下: 它有这么一个性质: ...首先知道,(a+b) ^n 的展开一共有n+1...

    1.公式

    • 首先我们都知道组合数的意义,就是说一共有n个样本,一次性从中取出m个样本,一共有多少种不同的取法。它的公式如下:

      List item
      它有这么一个性质:
      在这里插入图片描述
      该性质有若干种证明方式,今天我在这边写出我觉得挺巧妙的一种证明方式。

    2.证明

    • 想必大家都知道有关的另一个公式:
      在这里插入图片描述

    • 关于这个公式的系数(也就是c(n,0),c(n,1)…)可以这么理解:
      首先知道,(a+b) ^n 的展开式一共有n+1项,分别是a ^n,a ^n-1b,…ab ^n-1,b ^n。
      (a+b) ^n 就是有n个(a+b)相乘,相当于(a+b)(a+b)(a+b)…(a+b)(a+b),一共n个。
      对于a^n,相当于是从n项中找n个a相乘,其系数就是C(n,0)=1,
      对于a^n-1
      b,相当于是从n项中找 (n-1) 个a和 1 个b相乘,其系数就是C(n,1)=n,
      对于a^n-2*b ^2,相当于是从n项中找 (n-2) 个a和 2 个b相乘,其系数就是C(n,2),


      对于b^n,相当于是从n项中找 n 个b相乘,其系数就是C(n,n)=1,

    • 由此可知:组合数之和 = 二项式的系数之和 = (a+b)^n一共的项数
      很明显,(a+b)^n,一共有2 ^n个系数为1的项

    (a+b)^n
    n=1 2项
    n=2 4项
    n=3 8项
    n=k 2^k项

    这也算是加深了自己的理解吧,以前一直只知道死记公式,从不想为什么,今后这毛病得改。。。

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  • 题目描述 二项式定理(英语:Binomial theorem),又称牛顿二项式定理,由...二项式定理可以用以下公式表示: 我们称C(n,k)为二项式系数。 现在,你要解决得问题是:已知某二项数系数为m,那么有多少个(n,k)满足(...
    题目描述
      二项式定理(英语:Binomial theorem),又称牛顿二项式定理,由艾萨克•牛顿于1664年、1665年期间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如 展开为类似 项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。二项式定理可以用以下公式表示:
       
      我们称C(n,k)为二项式系数。

      现在,你要解决得问题是:已知某二项数系数为m,那么有多少个(n,k)满足(C(n,k)=m,按照n升序排列,若n相同,则按k升序排列。


    输入

      第一行为整数T,表示数据组数。接下来的T行,每组数据占一行,为一个整数m。

    输出

      每组数据输出两行,第一行为满足条件的(n,k)的数,接下来一行为满足条件的(n,k)对,每队用括号括起来,括号之间用一个空格分开。按n升序排列,若n相同,则按k升序排列。

    提示

    2<=m<=10^15



    分析:

    这题刚拿到无从下手,一想反正是练习题时间充足,就找了两三个小时的规律,无奈太弱没找出来....

    于是只有通过正当途径找。因为没有找到规律,且这种已知结果求组合数的n,k的问题也没有涉及过,所以枚举什么的应该是无法避免了。

    但可以睿智地枚举。首先不要枚举n。因为一旦m大了之后,n的枚举范围可能会异常大,不明智。相对来说k就好枚举多了,根据二项式定理的推论,C(n,n/2)最大,C(n,1)最小。此处k固定,那么n=2*k是最小的二分范围,n=m是最大的二分范围。于是,k通过for循环枚举,每枚举一个k就二分找n。

    注意枚举k时也可以加一个判断,如果C(2*k,k)比m还大,说明n取最小的时候都已经无解了,就直接退出。

    检查n是否正确:直接计算,因为组合数除掉的数始终比乘上的数小,所以一旦中间结果大于m就直接返回m+1表示不成立。

    另:最多的有8对...


    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    int T;
    LL M,tot;
    struct data{LL N,K;}ans[10];
    bool cmp(data a,data b) {return a.N==b.N?a.K<b.K:a.N<b.N;}
    
    LL check(LL n,LL m)
    {
    	LL a=1;
    	for(int i=1;i<=m;i++)
    	{
    		if(a/i>M/(n-i+1)) return M+1;
    		a*=(n-i+1);
    		a/=i;
    	}
    	return a;
    }
    
    void solve()
    {
    	tot=0;
    	LL l,r,mid,t;
    	for(LL k=1;check(k*2,k)<=M;k++)
    	{
    		l=2*k,r=M;
    		while(r>=l)
    		{
    			mid=(r+l)/2;
    			t=check(mid,k);
    			if(t==M)
    			{
    				ans[++tot]=(data){mid,k};
    				if(mid!=k*2) ans[++tot]=(data){mid,mid-k};
    				break;
    			}
    			else if(t>M) r=mid-1;
    			else l=mid+1;
    		}
    	}
    }
    
    int main()
    {
    //	freopen("in.txt","r",stdin);
    	scanf("%d",&T);
    	while(T--)
    	{
    		scanf("%lld",&M);
    		solve();
    		if(tot) sort(ans+1,ans+1+tot,cmp);
    		printf("%d\n",tot);
    		for(int i=1;i<=tot;i++) 
    		{
    			printf("(%lld,%lld)",ans[i].N,ans[i].K);
    			if(i!=tot) printf(" ");
    		}
    		if(T) printf("\n");
    	}
    	return 0;
    }

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  • 二项式系数 8/10/2016 5:55:10 PM by 林维 1. Pascal公式 对于满足1 ≤ k ≤ n - 1的所有整数 k n,都有C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k). pascal三角形 : n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

    二项式系数

    8/10/2016 5:55:10 PM by 林维

    1. Pascal公式

    对于满足1 ≤ k ≤ n - 1的所有整数 kn,都有C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k).

    pascal三角形 :

    n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
    0 1
    1 1 1
    2 1 2 1
    3 1 3 3 1
    4 1 4 6 4 1
    5 1 5 10 10 5 1
    6 1 6 15 20 15 6 1
    7 1 7 21 35 35 21 7 1
    8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

    该三角形中的每一项,但不是出现在左边和右边倾斜上等于1的项,通过把上一行的两项加在一起而得到:一项在其直接上方而另一项位于其左边。这和上面的pascal公式是对应的。由此还能得到

    1. 对称关系: C(n ,k) = C(n, n - k);

    2. 二项式系数恒等式: C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2n;

    3. 在k = 1一列上C(n, 1) = n 是计数数,k = 2 一列上的数C(n, 2) = n(n - 1) / 2 是所谓的三角形数, 在k = 3一列上的数C(n, 3) = n(n - 1)(n - 2) / 3! 是所谓的四面体数。

    可以对Pascal三角形做出另一种解释。令n是一个非负整数,并令k为满足0 ≤ k ≤ n的整数。定义p(n, k)为从左上顶点(项C(0, 0) = 1)到项C(n, k)的路径数,其中,在每一条路径,从一项移动到该项下一行在其直接下方的项或其直接右下方的项。于是Pascal三角形的项C(n, k)的值代表从左上角到这项的路径的条数。

    2. 二项式定理

    定理一: 令n是一个正整数。于是,对所有的x和y,

    (x+y)n=xn+C(n,1)xn1y+C(n,2)xn2y2+...+C(n,n1)xyn1+C(n,n)yn
    。用求和记号写出,即:
    (x+y)n=C(n,k)xnkyk

    二项式定理还有几种等价形式:
    (x+y)n=C(n,nk)xnkyk
    (x+y)n=C(n,nk)xkynk
    (s+y)n=C(n,k)xkynk

    定理二: 令n是一个正整数。则对所有的x,有
    (1+x)n=C(n,k)xk=C(n,nk)xk

    3. 一些恒等式

    1. kC(n, k) = nC(n-1, k - 1) (n, k均为正整数) ;

    2. C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + … + C(n, n - 1) + C(n, n) = 2n (n ≥ 0) ;

    3. C(n, 0) - C(n, 1) + C(n, 2) + … + (-1)nC(n, n) = 0 , 或者可以写成C(n, 0) + C(n, 2) + … + = C(n, 1) + C(n, 3) + … = 2n-1

    4. 1C(n, 1) + 2C(n, 2) + 3C(n, 3) + … + nC(n, n) = n2n-1

    5. C2(n, 0) + C2(n, 1) + C2(n, 2) + … + C2(n, n - 1) + C2(n, n) = C(2n, n)

    6. C(r, 0) + C(r+1, 1) + C(r+2, 2) + … + C(r+k, k) = C(r+k+1, k) ;

    7. C(0, k) + C(1, k) + … + C(n-1, k) + C(n, k) = C(n+1, k+1);

    4. 二项式系数的单峰性

    令n是正整数,二项式序列C(n, 0), C(n, 1), C(n, 2), … , C(n, n)是单峰序列。更精确地说

    1. n为偶数时, C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, n/2), C(n, n/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n);

    2. n为奇数时, C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, (n-1)/2) = C(n, n/2+1), C(n, (n+1)/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n)

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  • 所以将其称为二项式系数,是因为它后面的二项式定理有着紧密的联系。 一般展开式: 我们先从C(n,k)的内涵出发,众所周知,它表示从n个元素取出k个元素的情况数。通过其表征的组合含义,我们来寻求它的计算...

      这一篇文章开始讨论有关二项式系数的一系列问题。

     

      基本恒等式:

      所谓二项式系数,其实就是我们表示组合情况用到的符号:C(n,k),n称其上指标,k为下指标。而之所以将其称为二项式系数,是因为它和后面的二项式定理有着紧密的联系。

      一般展开式:

      我们先从C(n,k)的内涵出发,众所周知,它表示从n个元素取出k个元素的情况数。通过其表征的组合含义,我们来寻求它的计算公式。

      我们按照顺序取出k个元素,由基本的组合原理,有n*(n-1)*(n-1)……3*2*1种情况,由于这个过程我们外加了”一定顺序“这个条件,因此在所有情况的基础上应该除以k的阶乘,用以消除这种顺序,即C(n,k) = n*(n-1)*(n-2)*……*3*2*1  /  k!  ①

      

      阶乘展开式:

      结合一些代数技巧,我们可以将其写成阶乘的形式,C(n,k) = n! / k! * (n-k)! ②

      进一步来看,我们如果把②右式提出一个n/k,会发现(n-1)!/(k-1)! * [(n-1) - (k-1)]!可以转化成另外一个二项式系数C(n-1,k-1),即有如下的恒等式成立。

     

      吸收/提取恒等式:

      C(n,k) = n/k*C(n-1,k-1)  ③

      基于恒等式③,我们来证明这样一个下标不变的另一个恒等式:(n-k)C(n,k) = nC(n-1,k) ④

      在证明④之前,我们需要知道的是,二项式系数存在“对称性”。

     

      对称恒等式:

      即C(n,k) = C(n,n-k)  ⑤

      这很好理解,从组合意义的角度来看,对于C(n,k)种取k个元素的情况,都一一对应这剩下的n-k个元素,因此情况数是相同的。

      那么我们开始④证明:(n-k)C(n,k) = (n-k)C(n,n-k)  

                                                    =nC(n-1,n-k-1)

                                                    =nC(n-1,k)

      

      加法/归纳恒等式:

      其实研究而二项式系数是离不开杨辉三角的,通过观察我们会很容易发现它的一条性质,每个数字等于它“肩膀”上的两个数字之和,即用数学语言表达,有恒等式C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)  ⑥

      通过组合意义我们会非常好理解这条恒等式为什么成立,假设我们想知道从n个鸡蛋中拿出k个鸡蛋的方法数,n个鸡蛋中有1个坏鸡蛋,那么所有方法数可以分成如下两种情况:

      该方法中没有拿这个坏鸡蛋,则有C(n-1,k)种情况。

      该方法中拿了这个坏鸡蛋,则有C(n-1,k-1)种情况。

      故有恒等式⑥成立。本质上讲,这个恒等式给出了生成杨辉三角各个数字的递推关系。

     

      那么现在利用这个恒等式,我们将C(r+n+1,n)展开。

      即有C(r+n+1,n) = C(r+n,n)+C(r+n,n-1)

                              =C(r+n,n) +C(r+n-1,n-1) + C(r+n-1,n-2)

                              =……

                              =C(r+n,n) + ......+C(r+1,1) + C(r,0)

                              =∑C(r+k,k),k ∈[1,n]     ⑦

      我们不难看出这个过程中的模式,即利用加法恒等式展开的过程中,利用加法恒等式先展开下指标较小的项。那么下面我们反过来,从下指标较大的开始。

      上指标求和恒等式:

      C(n+1,m+1) = C(n,m+1) + C(n,m)

                          =C(n-1,m+1)+C(n-1,m)+C(n,m)

                          =......

                          =C(0,m) + C(1,m) + C(2,m) + ......C(n,m)

                         = ∑C(k,m),k∈[0,n]          ⑧

     

      上指标反转恒等式:

      我们考察C(n,k) = n(n-1)...(n-k+1) / k!,我们来将分子做一个有意思的变换,n(n-1)...(n-k+1) = (-1)^k*(k-n-1)(k-n-2)...(1-n)(-n) = (-1)^k*C(k-n-1,k),由此我们即可得出如下的恒等式。

      C(n,k) = C(k-n-1,k) * (-1)^k  ⑨

      为了验证这个恒等式的正确性,我们对C(n,k)进行一次上指标反转,即C(n,k) = C(k-n-1,k)* (-1)^k 。

      我们继续对右式进行一次上指标反转,有C(k-n-1,k)* (-1)^k = C(k-(k-n-1)-1,k) * (-1)^2k = C(n,k)。可以看到,对C(n,k)进行两次上指标反转的转换,结果变成了C(n,k)本身,这足以作证恒等式本身逻辑的自洽性。

      那么我们基于这个恒等式进行更进一步的推导。

      对于(-1)^m * C(-n-1,m) , 我们进行上指标反转(自右向左),有(-1)^m * C(-n-1,m) = C(m+n,n)。

      对于(-1)^n * C(-m-1,n)  , 我们进行上指标反转(自右向左),有(-1)^n * C(-m-1,n) = C(m+n,n).

      所以有恒等式(-1)^m * C(-n-1,m) = (-1)^n * C(-m-1,n)成立。     ⑩

      如果结合恒等式⑦,我们还可以化简带有∑和(-1)^k的二项式系数。

      ∑C(r,k) * (-1)^k = ∑C(k-r-1,k) = C(n-r,n) = (-1)^n * C(r-1,n) , k<= n。

      即∑C(r,k) * (-1)^k = (-1)^n * C(r-1,n) , k<= n。

     

      三项式版恒等式:

      C(n,m) * C(m,k) = C(n,k) *C(n-k,m-k)                                   ⑪

      证明:C(n,m) * C(m,k) = n!/(n-m)!*m!   *   m!/(m-k)!*k!            1.

                                        = n! / (n-m)! * (m-k)! * k!                       2.

                                        = n!/(n-k)!*k!     *  (n-k)!/(n-m)!*(m-k)!  3.

                                        =C(n,k)  *   C(n,k,m-k)                            4.

      证毕。

     

      二项式定理:

      (x+y)^n = ∑C(n,a)x^a * y^(n-1) , a∈[0,n]。      

      定理的正确性可依然从其组合意义来理解。

      我们考察C(n,a) = n!/(n-a)! * a! , 则我们可以将C(a+b,a)写成(a+b)! / a!b!,则我们可以把二项式定理改成如下更漂亮的形式。

      (x+y)^n = ∑(a+b)! / a!b! x^a * y^b , a∈[0,n],a+b = n.          ⑫

     

      三项式定理:

      (x+y+z)^n = ∑C(a+b+c,b+c) * C(b+c,c) x^a * y^b * z^c ,  a∈[0,n],a+b+c = n.      

      我们采取类似处理二项式系数的方法,有C(a+b+c , b+c) * C(b+c,c) = (a+b+c)!/a!b!c!.

      即有(x+y+z)^n = ∑(a+b+c)!/a!b!c! * x^a * y^b * z^c , a∈[0,n] , a+b+c = n。

     

      由此我们可以做出推广,对于(x1+x2+x3...+xm)^n,我们利用这种处理系数的方法,可以归纳出一般的规律。

     

      我们记C(a+b+c,a,b,c)表示将a+b+c个元素分成各含有a、b、c元素的方法数。

      多项式系数:

      C(x1+x2+...+xm,x1,x2,...,xm) = (x1+x2+x3...xm)/x1!x2!x3!...xm!

     

      范德蒙德卷积公式:

      ∑C(r,k)*C(s,n-k) = C(r+s,n)     k∈[0,n]  

      我们从一个组合解释来理解这个恒等式,假设我们想要从r个男人和s个女人的人群中选n个人,一方面,我们可以用C(r+s,n)来表示这个过程的方法数。我们还可以从另一个角度来看,我们先从r个男人中选取k个,随后从s个女人中选取n-k个人,利用分步乘法定理,我们可以用∑C(r,k)*C(s,n-k)来表示。

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/rhythmic/p/5510954.html

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  • 二项式定理

    千次阅读 2018-08-14 11:07:10
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  • 5.4.3 其他的二项式系数恒等式 练习 5.5 排列与组合的推广 5.5.1 引言 5.5.2 有重复的排列 5.5.3 有重复的组合 5.5.4 具有不可区别物体的集合的排列 5.5.5 把物体放入盒子 练习 5.6 生成排列组合 5.6.1 引言 5.6.2...
  • 1.2.6二项式系数.41 1.2.7调和数.59 1.2.8斐波那契数.62 1.2.9生成函数69 1.2.10典型算法分析76 1.2.11渐近表示85 1.2.11.1大O记号85 1.2.11.2欧拉求和公式.88 1.2.11.3若干渐近计算式92 ...
  • 因为在这里我们使用的是的二项分布(因变量),我们需要选择一个对于这个分布最佳的连结函数。 它就是Logit函数。 在上述方程中,通过观测样本的极大似然估计值来选择参数, 而不是最小化平方误差...
  • 2.12 广义二项式定理 2.13 应用举例 2.14 非线性递推关系举例 2.14.1 stirling数 2.14.2 catalan数 2.14.3 举例 2.15 递推关系解法的补充 习题 第3章 容斥原理与鸽巢原理 3.1 demorgan定理 3.2 容斥定理 ...
  • excel的使用

    2012-11-25 17:06:01
    实际输入的时候,通常应用等差数列输入法,先输入前二个值,定出自变量中数与数之间的步长,然后选中A2A3两个单元格,使这二项变成一个带黑色边框的矩形,再用鼠标指向这黑色矩形的右下角的小方块“■”,当光标...
  • ------------704·函数与其导数的傅里叶系数关系 ------------705.在有界函数情形时部分的估值 ------------706.函数有к阶有界导数时余的估值 ------------707.函数有有界变差的к阶导数的情形 -----------...
  • 1.1 自动语音识别:更好的沟通桥 1 1.1.1 人类之间的交流 2 1.1.2 人机交流 2 1.2 语音识别系统的基本结构 4 1.3 全书结构 6 1.3.1 第一部分:传统声学模型6 1.3.2 第部分:深度神经网络6 1.3.3 第三部分...

空空如也

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二项式系数之和公式