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  • 二项式系数递归

    千次阅读 2016-05-10 21:03:11
    二项式系数递归 这个算法的结果:给出n的值和k的值,根据公式算出二项式系数值。 算法目的:练习使用递归算法 那么什么是递归呢? 在一个算法中,如果有直接调用自身或间接调用自身的过程,就是一个...

    二项式系数递归


    这个算法的结果是:给出n的值和k的值,根据公式算出二项式系数值

    算法目的练习使用递归算法


    那么什么是递归呢?

    在一个算法中,如果有直接调用自身或间接调用自身的过程,就是一个递归算法。


    递归步骤

    1>对应于某些参数求值的一个或多个终止条件。

    2>一个递归步骤。它根据先前某次值求当前值。递归步骤最终导致终止条件。


    举个例子:

    幂函数的递归有一个终止条件,就是n=0时。递归步骤描述了一般情况:


    递归介绍完了,接下来介绍部分二项式的内容


    在初等数学中,我们学过关于二项式的一些性质,这里列出我们需要的两条:


    好啦,准备工作都已经完成了,现在进行我们这个程序了!


    主体程序思想:

    终止条件:由二项式系数性质(1),当i=0或i=n时,返回1

    递归步骤:由二项式系数性质(2),否则的话,令下标减1,上标不变=n1,下标减1,上标减1=n2,进行调用自己。


    主体代码:(C语言)

    int binom(int n,int i) {
    	int n1;
    	int n2;
    	
    	if((i == 0) || (i == n)) {
    		return 1;
    	}
    	else {
    		n1 = binom(n-1,i);
    		n2 = binom(n-1,i-1);
    		return n1+n2;
    	}
    }

    最后再附上所有代码:
    #include<stdio.h>
    
    int binom(int n,int i);
    
    int main() {
    	int int1;
    	int int2;
    	
    	printf("\nEnter an integer :\n");
    	scanf ("%d",&int1);
    	printf("\nEnter a second integer :\n");
    	scanf ("%d",&int2);
    	printf("\n");
    	printf("Binomial Coefficiant : %d\n",binom(int1,int2));
    	return 0;
    } 
    
    int binom(int n,int i) {
    	int n1;
    	int n2;
    	
    	if((i == 0) || (i == n)) {
    		return 1;
    	}
    	else {
    		n1 = binom(n-1,i);
    		n2 = binom(n-1,i-1);
    		return n1+n2;
    	}
    }

    运行截图:



    好啦,结束了,多多指教~~






    展开全文
  • 想了一会,应该二项式系数有关系,无奈自己推的式子,构不成二项式的系数。 选1个人Cn1*1,选2个人Cn2*2....这样一搞,以为还要消项什么的。。。 搜了一下题解,先选队长Cn1,选一个人的时候Cn-1 0,选2个人的...

    题目链接

    想了一会,应该是跟二项式系数有关系,无奈自己推的式子,构不成二项式的系数。

    选1个人Cn1*1,选2个人Cn2*2....这样一搞,以为还要消项什么的。。。

    搜了一下题解,先选队长Cn1,选一个人的时候Cn-1 0,选2个人的时候Cn-1 1这样就构成二项式系数了。

    一约,n*2^n-1。。。最后,还忘了取模,错了好多次。。

     1 #include <cstdio>
     2 #include <cstring>
     3 #include <string>
     4 #include <cmath>
     5 #include <ctime>
     6 #include <cstdlib>
     7 #include <iostream>
     8 using namespace std;
     9 #define LL long long
    10 #define MOD 1000000007
    11 LL fastmod(LL a,LL k)
    12 {
    13     LL b = 1;
    14     while(k)
    15     {
    16         if(k&1)
    17         b = a*b%MOD;
    18         a = (a%MOD)*(a%MOD)%MOD;
    19         k = k/2;
    20     }
    21     return b;
    22 }
    23 int main()
    24 {
    25     LL n,t,cas = 1;
    26     cin>>t;
    27     while(t--)
    28     {
    29         cin>>n;
    30         cout<<"Case #"<<cas++<<": ";
    31         cout<<(n*fastmod(2,n-1))%MOD<<endl;
    32     }
    33     return 0;
    34 }

    转载于:https://www.cnblogs.com/naix-x/p/3382003.html

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  • 关于Pascal和二项式系数

    千次阅读 2016-01-10 10:41:30
    将n,k值看做dp数组的维,由此得到动态规划转移。 将 也可以看做从的点(0,0)走到其所在位置(n,k)。 不过,走法只有两种: 从这种图的角度也能理解为什么一行的和是上一行数字和的2倍。 同时我们也可以理

    《Introductory Combinatorics Fifth Edition》学习笔记:

    关于pascal三角形:

    Pascal三角形递推函数:


    将n,k值看做dp数组的二维,由此得到动态规划转移式。

    也可以看做是从的点(0,0)走到其所在位置(n,k)。

    不过,走法只有两种:

    从这种图的角度也能理解为什么一行的和是上一行数字和的2倍。

    同时我们也可以理解为什么一行的数字和是,所以我们得到:

    二项式定理:

    当我们设x=1,y=x,有:

    有一个改变n的大小的重要等式:


    证明:

    有了它之后,可以得到这样的式子:


    不难看懂吧

    另一个重要的变n等式:

    这玩意儿用公式不好推导,用组合原理想:假设将2n个苹果分成2份各n个,现在到2个果篮里拿够n个,那么就是:

    我们知道二项式系数是一个山峰序列,同时它具有这样的性质:当n是奇数时存在两个同高的最高峰,当n是偶数时仅存在一个最高峰。

    通过数学推论:


    如果n是一个奇数,那么存在着n+1=2k <--- n+1-k=k 即


    一点其他的东西:关于x, 令floor函数是 ,它满足

    与之对应的是ceiling函数:    函数值保证是整数
    在计算机内:如果n是一个整数,折半后,统一向上取整:(n+1)/2,统一向下取整:n/2。

    多项式定理:

    定义   其中 

    那么,pascal中的元素可以写成:

    由Pascal的递推关系进一步得到多项式系数的递推式:


    定理:设n是一个正整数,有:


    其中,

    例如:对于 展开后, 的系数对应:

    接下来简单的说说当n是负数的情况:

    当n<0,我们仍然按照计算原则进行下去。

    所以有以下等式成立:

     

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  • 假如能用二项式定理,第kkk项系数可以用组合数表示出来 但是这里不能用二项式定理,因为里面有三项 但是我们可以变形一下!! (x2−2x+1)n(x^2-2x+1)^n(x2−2x+1)n的系数和f(x)f(x)f(x)完全相同 因为我们只是加上了3x3x3...

    LINK


    题意

    f(x)=(x2+x1)nf(x)=(x^2+x-1)^n的第kk项系数

    答案对33取余


    观察数据范围,可以想到应该是O(log)O(log)一次的询问

    应该不是什么多项式(可能)

    假如能用二项式定理,第kk项系数可以用组合数表示出来

    但是这里不能用二项式定理,因为里面有三项

    但是我们可以变形一下!!

    (x22x+1)n(x^2-2x+1)^n的系数和f(x)f(x)完全相同

    因为我们只是加上了3x3x的倍数,模33意义下是一样的

    变成这样之后,括号内是一个完全平方的形式

    (x1)2n(x-1)^{2n}

    kk项就是C2nk(1)2nkxkC_{2n}^k(-1)^{2n-k}x^{k}

    卢卡斯搞一搞就好了

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define int long long
    const int mod=3;
    int t,n,k,fac[2001];
    int quick(int x,int n)
    {
    	int ans = 1;
    	for( ; n ; n>>=1,x=x*x%mod )
    		if( n&1 )	ans = ans*x%mod;
    	return ans;
    }
    int C(int n,int m)
    {
    	if(m>n)	return 0;
    	return fac[n]*quick(fac[m],mod-2)%mod*quick(fac[n-m],mod-2)%mod;
    }
    int Lucas(int n,int m)
    {
    	if(!m)	return 1ll;
    	return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;
    }
    signed main()
    {
    	fac[0]=1;
    	for(int i=1;i<=2000;i++)	fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
    	cin >> t;
    	while( t-- )
    	{
    		cin >> n >> k;
    		int ans = Lucas(2*n,k)*quick(-1,2*n-k);
    		cout << ( ans%mod+mod )%mod << endl;
    	}
    }
    
    展开全文
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