线性调频信号的数学分析

• 代码：

%%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
%%说明：调用此函数可以输出线性调频信号余弦表达式下的信号波形图及频谱图；以及复数表达式下的信号波形图的实部、虚部及频谱图%%
%%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------%%
function [st1,st2] = LFM_signal(A,Phi0,T,B,F0)
%* st1:线性调频信号的复数表达式 **%
%* st2:线性调频信号的余弦表达式 **%
%*** A:信号的振幅 ***************%
% Phi0:信号的随机初相 ***********%
%*** T:信号时宽 *****************%
%*** B:信号带宽 *****************%
%** F0:信号的中频频率，即载频频率 %

%%%%% 信号的参数设置 %%%%%
K=B/T;         %调频斜率
Fs=2*B;        %采样频率
Ts=1/Fs;       %采样周期
N=T/Ts;        %采样点数

%%%%% 线性调频信号的两种表达方式 %%%%%
t=linspace(-T/2,T/2,N);
st1=A*exp(1j*(2*pi*F0*t+pi*K*t.^2+Phi0));  %线性调频信号的复数表达式
st2=A*cos(2*pi*F0*t+pi*K*t.^2+Phi0);       %线性调频信号的余弦表达式
                                     
figure(1);
subplot(3,1,1);
plot(t*1e6,real(st1));
xlabel('时间/us');
ylabel('实部')
title('线性调频信号的实部');
grid on;
axis tight;
 
subplot(3,1,2);
plot(t*1e6,imag(st1));
xlabel('时间/us');
ylabel('虚部')
title('线性调频信号的虚部');
grid on;
axis tight;
 
subplot(3,1,3);
freq=linspace(-Fs/2,Fs/2,N);
plot(freq*1e-6,fftshift(abs(fft(st1))));  %先对st做傅里叶变换得到频谱，然后取幅度值，再将其移动到频谱中心
xlabel('频率/MHz');
ylabel('幅度谱')
title('线性调频信号的频谱');
grid on;
axis tight;
 
figure(2);
subplot(2,1,1);
plot(t*1e6,real(st2));
xlabel('时间/us');
ylabel('实部')
title('线性调频信号的实部');
grid on;
axis tight;
 
subplot(2,1,2);
freq=linspace(-Fs/2,Fs/2,N);
plot(freq*1e-6,fftshift(abs(fft(st2))));   %先对st做傅里叶变换得到频谱，然后取幅度值，再将其移动到频谱中心
xlabel('频率/MHz');
ylabel('幅度谱')
title('线性调频信号的频谱');
grid on;
axis tight;
end

• 结果：

1. 当信号的中心频率为$F_0=0$时

close all;
clear all;
clc; 
%%调用LFM_signal函数，观察结果
A=1;                  %发射信号的振幅
Phi0=0;               %发射信号的随机初相
T=10e-6;              %信号时宽
B=30e6;               %信号带宽
F0=0;                 %中频频率，即载频频率
[st1,st2]=LFM_signal(A,Phi0,T,B,F0);

2. 当信号的中心频率$F_0=5MHz$时

close all;
clear all;
clc; 
%%调用LFM_signal函数，观察结果
A=1;                  %发射信号的振幅
Phi0=0;               %发射信号的随机初相
T=10e-6;              %信号时宽
B=30e6;               %信号带宽
F0=5e6;               %中频频率，即载频频率
[st1,st2]=LFM_signal(A,Phi0,T,B,F0);

  线性调频脉冲信号的时间函数可以表示为：

其瞬时频率为：

其中：

k = F/T

    k为信号频率变化率，或称为调频斜率，F为信号的调频宽度。

具有BT>>1特性的信号称为复杂信号或者可压缩信号，而把BT约等于1的信号称为简单信号或不可压缩信号。LFM信号是复杂信号。

    LFM信号在脉冲宽度一定时，可以单独调节B来改变时延分辨力，在B一定时可以单独调节T来改变频率分辨力；同时LFM信号多普勒容限大，用于监测时，一个或者少量的匹配滤波器可以覆盖整个多普勒频移范围。

    线性调频信号的matlab仿真如下所示：

%线性调频信号注意：复信号需要保证Fs>B,实信号需要保证Fs>2B
%为了防止混叠：Fs>2F0
clc;
close all;

B = 30e6;                       %调频带宽
T = 10e-6;                      %脉冲宽度
K = B/T;                        %调频斜率
Fs = 2*B;                       %采样频率
F0 = 5e6;                       %发射信号时的瞬时频率，也是信号有效区间发射信号的中心频率
Ts = 1/Fs;                      %采样周期
N = ceil(T/Ts);                 %采样点数
FFT_Len = 2^nextpow2(2 * N);    %计算FFT的长度
t = linspace(-T/2,T/2,N);

%.................................................................................
%产生线性调频信号
LFM1 = exp(j * pi * K * t.^2);                        %线性调频信号复数表达式（F0=0）
LFM2 = exp(j *(2 * pi * F0 * t + pi * K * t.^2));     %线性调频信号复数表达式
LFM3 = cos(pi * K * t.^2);                            %线性调频信号的余弦表达式（F0=0）
LFM4 = cos(2 * pi * F0 * t + pi * K * t.^2);          %线性调频信号余弦表达式

figure
subplot(3,2,1)
plot(t,LFM2);
xlabel('时间');
ylabel('幅度');
%xlim([-T/2,T/2]);  % 限制最大最小值
title('线性调频信号---复数');
grid on;
axis tight;   %axis tight设置坐标轴显示范围为紧凑型，图像或者曲线可以全部显示出来，又不留边界空白
%线性调频信号的频谱
LFM_FFT =fftshift(abs(fft(LFM2,FFT_Len)));
%LFM_FFT_db = 20*log10(LFM_FFT/max(LFM_FFT));
subplot(3,2,2)
f = linspace(-Fs/2,Fs/2,FFT_Len);
plot(f,LFM_FFT);
title('线性调频信号频谱--复数');
xlabel('频率(Hz)')
ylabel('幅度(dB)')
grid on;
axis tight;

subplot(3,2,3);
plot(t,real(LFM2));
title('线性调频信号实部')
xlabel('时间');
ylabel('幅度');
grid on;
axis tight;
RLFM_FFT = fftshift(abs(fft(real(LFM2),FFT_Len)));
subplot(3,2,4);
plot(f,RLFM_FFT);
title('线性调频信号实部的频谱');
xlabel('频率');
ylabel('幅度');
grid on;
axis tight;

subplot(3,2,5);
plot(t,imag(LFM2));
title('线性调频信号虚部')
xlabel('时间');
ylabel('幅度');
grid on;
axis tight;
ILFM_FFT = fftshift(abs(fft(imag(LFM2),FFT_Len)));
subplot(3,2,6);
plot(f,ILFM_FFT);
title('线性调频信号虚部的频谱');
xlabel('频率');
ylabel('幅度');
grid on;
axis tight;

    线性调频信号是大时宽带宽积信号，在脉冲压缩过程中可以获得较高的脉冲压缩比。最大的优势是：匹配滤波器对回波的多普勒频移不敏感，因此可以只用一个匹配滤波器对具备不同多普勒频移的回波进行处理。

脉冲压缩就是在发射的宽脉冲内，采用附加的频率或相位调制，以增加信号的时宽带宽积，当接收时用匹配滤波进行处理，这样，就将宽脉冲压缩到1/B宽度，从而有效地解决了雷达的作用距离和距离分辨率之间的矛盾，可以在不损失雷达威力的前提下提高雷达的距离分辨率。
体制优点：
1、它的发射信号采用载频按一定规律变化的宽脉冲，使其脉冲宽度与有效频谱宽度的乘积BT≥1，这两个信号参数基本上是独立的，因而可以分别加以选择来满足战术条件。在发射机峰值功率受限的条件下，宽脉冲提高了发射机的平均功率，增加了信号能量，因此扩大了探测距离。
2、在接收机中设置一个与发射信号频谱相匹配的压缩网络，使宽脉冲的发射信号(一般认为也是接收机输入端的回波信号)变成窄脉冲，因此保持了良好的距离分辨力。这一处理过程称之为“脉冲压缩”。
3、有利于提高系统的抗干扰能力。对有源噪声干扰来说，由于信号 带宽很大，迫使干扰机发射宽带噪声，从而降低了干扰的功率谱密度。
根据上面讨论，我们可以归纳出实现脉冲压缩的条件如下:
1、发射脉冲必须具有非线性的相位谱，或者说，必须使其脉冲宽度与有效频谱宽度的乘积远大于1。
2、接收机中必须具有一个压缩网络，其相频特性应与发射信号实现“相位共轭匹配”，即相位色散绝对值相同而符号相反，以消除输入回波信号的相位色散。
第一个条件说明发射信号具有非线性的相位谱，提供了能被“压缩”的可能性，它是实现“压缩”的前提;第二个条件说明压缩网络与发射信号实现“相位共轭匹配”是实现压缩的必要条件。只有两者结合起来，才能构成实现脉冲压缩的充要条件。
综上所述，一个理想的脉冲压缩系统，应该是一个匹配滤波系统。它要求发射信号具有非线性的相位谱，并使其包络接近矩形；要求压缩网络的频率特性(包括幅频特性和相频特性)与发射脉冲信号频谱(包括幅度谱与相位谱)实现完全的匹配。