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  • 动态规划之二项式系数

    千次阅读 2016-11-02 15:53:41
    动态规划之二项式系数@(算法学习)(nk)=n!(n−k)!k!{ n \choose k} = {n! \over {(n-k)!k!}} 计算二项式系数的问题在于,系数本身在int表示范围内,但是计算用到的分子是阶乘,这个是很大的数,会导致溢出的问题。...

    动态规划之二项式系数

    @(算法学习)

    (nk)=n!(nk)!k!

    计算二项式系数的问题在于,系数本身在int表示范围内,但是计算用到的分子是阶乘,这个是很大的数,会导致溢出的问题。

    所以,比较好的计算方法是运用帕斯卡三角形总结的规律求解。

    这里写图片描述

    第一行表达的是:(00)=1
    第二行表达的是:(10)=1,(11)=1
    第三行表达的是:(20)=1,(21)=2,(22)=1

    更有趣的是,每一个数是肩头两个数字之和。

    运用的规律是:(nk)=(n1k1)+(n1k),这个翻译成中文很好理解。从n个东西中选取k个,在面对第k件东西时,有一个决策,这件不选或者选两条路径。选了第k件则从剩下的n-1件里选k-1件即可。如果不选,就要从剩下的n-1件中选择k件。

    这个思想在背包问题中运用的尤其广泛。背包问题是动态规划问题的一种模型,因此,也可以侧面反映动态规划的思想。

    #include <stdio.h>
    
    #define MAXN 100
    
    long binomial_coefficient(int n, int m)// 从n中选择m
    {
        int i,j;
        long bc[MAXN][MAXN]; //二项式系数表
        for(i = 0; i <= n; i++) //帕斯卡三角每行第一个数全是1
        {
            bc[i][0] = 1;
        }
        for(j = 0; j <= n; j++) // 帕斯卡三角每行最后一个数全是1
        {
            bc[j][j] = 1;
        }
    
        for(i = 1; i <= n; i++) //状态转移方程
        {
            for(j = 1; j < i; j++)
            {
                bc[i][j] = bc[i-1][j-1]+bc[i-1][j];
            }
        }
        return bc[n][m];
    }
    int main()
    {
        int n, m;
        while(scanf("%d%d",&n,&m))
        {
            int res = binomial_coefficient(n,m);
            printf("Result =  %d\n", res);
        }
    
        return 0;
    }
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  • 研究了python求二项式系数的几种方法,对比了一下他们的速度

    最近研究了python求二项式系数的几种方法,对比了一下他们的速度

    1. 利用阶乘简洁求

    #普通阶乘
    def fact(n):
        if n == 0:
            return 1
        else:
            return n*fact(n-1)
    #普通Cmn
    def Cmn(n,m):
        return fact(n)/(fact(n-m)*fact(m))

    2. 直接递归求解

    def Cnk0(n,k):
        if k==0: return 1
        if n==0: return 0
        return Cnk0(n-1,k)+Cnk0(n-1,k-1)


    3. 动态规划求解

    (1)带备忘录的

    def memo(func):
        cache={}
        @wraps(func)
        def wrap(*args):
            if args not in cache:
                cache[args]=func(*args)
            return cache[args]
        return wrap
    @memo
    def Cnk(n,k):
        if k==0: return 1
        if n==0: return 0
        return Cnk(n-1,k)+Cnk(n-1,k-1)

    (2)迭代求解

    def CnkD(n,k):
        C=defaultdict(int)
        for row in range(n+1):
            C[row,0]=1
            for col in range(1,k+1):
                if col <= row:
                    C[row,col]=C[row-1,col-1]+C[row-1,col]
        return C[n,k]


    速度对比:

    n = 100
    k = 5
    用时(秒):
    1: 0.0
    2:64.45168709754944
    3(1):0.0019998550415039062
    3(2):0.0

    发现直接递归求解的速度是最慢的,这个容易想见,因为其做了很多重复运算

    去掉它,再进一步对比剩下三个的速度

    n = 100
    k = 80
    用时(秒):
    1: 0.0
    3(1):0.010999917984008789
    3(2):0.007001161575317383

    n = 500
    k = 100
    这时发现1,和3(1)都出现了maximum recursion depth exceeded in comparison错误 

    这是由于栈深度引起的问题

    只有3(2)不存在这个问题仍能计算出结果


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  • 动态规划 — 计算二项式系数

    千次阅读 2014-06-09 19:40:09
    由于子问题的交叠性质,所以采用递归地方法一次又一次地求解子问题时,进行了很多重复的工作。所以动态规划法建议:把子问题的解存入某个表中,通过表一步步反解出原始问题。斐波那契数列就是一个很好的例子: F(n) ...
    如果问题是由交叠的子问题所构成的,那么我们就可以用动态规划技术来解决它。也就是说,一个问题的解可由它的规模更小的子问题的解递推得出。由于子问题的交叠性质,所以采用递归地方法一次又一次地求解子问题时,进行了很多重复的工作。所以动态规划法建议:把子问题的解存入某个表中,通过表一步步反解出原始问题。斐波那契数列就是一个很好的例子:
    F(n) = F(n-1) + F(n-2)     当n≥2
    F(0) = 0
    F(1) = 1
    如果直接采用递推公式求解第n个斐波那契数,那么会重复大量的无用工作,效率变得极为低下。同时注意到,F(n-1)和F(n-2)是两个规模更小的具有交叠性质的子问题,所以可以使用动态规划法求解F(n)。方法是创建一个表保存每一个斐波那契数。这使得每个斐波那契数只求解了一次,求解F(n)只需要查表获得F(n-1)和F(n-2)的值即可。

    动态规划其实和一般的递归方法很相似,核心在于求出一个递推式和一个边界条件。不同的是,动态规划会保存中间结果并利用这些中间结果解出最终的问题。

    下面一个例子是利用动态规划计算二项式系数。

    给出n和k,求出二项式系数C(n,k)。在这里,我们只关心两个信息就够了:
    • C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)    当n>k>0
    • C(n,0) = C(n,n) = 1
    从上面的递推式可以看到两个较小的具有交叠性质的子问题C(n-1,k-1)和C(n-1,k),所以,计算二项式系数是把动态规划应用于非最优化问题的一个标准例子。

    废话不多说,直接上代码:
    #include <iomanip>
    #include <iostream>
     
    using namespace std;
     
    int main()
    {
        int n, k;
     
        cout << "求C(n,k),请输入n和k(k <= n):";
        cin >> n >> k;
         
        int **p;
        p = new int*[n + 1];
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            p[i] = new int[k + 1];
         
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            for (int j = 0; j <= k; j++)
                p[i][j] = 0;
         
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            p[i][0] = 1;  // C(n,0) = 0
     
        for (int i = 0; i <= k; i++)
            p[i][i] = 1;  // C(n,n) = 1
     
        for (int i = 2; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j < (i > k ? k + 1 : i); j++)
                p[i][j] = p[i - 1][j - 1] + p[i - 1][j];
     
        //cout.flags(ios::right);   // 输出对齐
        for (int i = 0; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 0; j <= k; j++)
                cout << setw(5) << p[i][j] << ' ';
     
            cout << endl;
        }
         
        // 销毁空间
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            delete[] p[i];
     
        delete[] p;
     
        return 0;
    }
    

    运行结果:


    矩阵右下角便是所要求的结果。可以看到,这个矩阵正是杨辉三角,即帕斯卡三角的一部分。

    算法效率:
    该算法的核心操作是加法,时间复杂度为Θ(nk)。

    参考:
    《算法设计与分析基础》8.1节。
    展开全文
  • 对于学习C语言的一般都知道我们需要练习使用程序求二项式系数。今天我主要给大家分享使用迭代、递归、动态规划求二项式系数,同时分析算法时间空间复杂性。对于迭代和递归的概念,我之前也有讲解,现在呢?给大家...

    对于学习C语言的一般都知道我们需要练习使用程序求二项式系数。今天我主要给大家分享使用迭代、递归、动态规划求二项式系数,同时分析算法时间空间复杂性。对于迭代和递归的概念,我之前也有讲解,现在呢?给大家讲解一下动态规划的概念。动态规划是五大常用的算法之一,动态规划过程是:每次决策依赖于当前状态。又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的,所以,这样的多阶段最优化决策解决这个问题的过程就称为动态规划。 动态规划是运筹学中用于求解决策过程中的最优化数学方法 。通常假设问题是由交叠的子问题所构成,我们就能够用动态规划技术来解决它。一般来说,这种子问题出如今对给定问题求解的递推关系中,这个递推关系包括了同样问题的更小子问题的解。动态规划法建议,与其对交叠子问题一次重新的求解,不如把每一个较小子问题仅仅求解一次并把结果记录在表中(动态规划也是空间换时间的)。这样就能够从表中得到原始问题的解。动态规划经常常使用于解决最优化问题。完整代码如下。

    迭代程序源代码:

    #include<iostream>
    using namespace std;
    int C(int n,int m)
    {
        if(m==0 || m==n) return 1;
        else return C(n-1,m-1)+C(n-1,m);//迭代算法控制
    }
    int main()
    {
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        cout<<C(n,m)<<endl;
        return 0;
    }

    结果:


    分析:迭代是重复反馈过程的活动,其目的通常是为了逼近所需目标或结果。每一次对过程的重复称为一次"迭代",而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值。所以时间复杂度应该就是O(C(n,m)),空间复杂度应该为O(n)。

    递归算法计算二项式系数程序代码:

    #include<stdio.h>
      int f(int n,int k)
     {
         if(k==0||k==n) //出口
            return 1;
          else 
              return f(n-1,k)+f(n-1,k-1);//阶乘 
      }
      void main(){
          int n,k,c;
         scanf("%d%d",&k,&n);
         c=f(n,k);
         printf("%d\n",c);
     }

    结果:


    分析:递归就是在运行的过程中调用自己。使用递归解决问题,思路清晰,代码少。但是使用递归算法要耗用更多的栈空间,所以在堆栈尺寸受限制时(如嵌入式系统或者内核态编程。所以该算法的时间复杂度为On^2,空间复杂度为On)。

    动态规划算法计算二项式系数程序代码:


    #include <iostream>
     #include <cstdlib>
     using namespace  std;
     long Binomial(int,int); 
     int main() 
     {  
    	 int n,k;  
    	 cout<<"输入n:"; 
    	 cin>>n;  
    	 cout<<"\输入k:"; 
    	 cin>>k;  
    	 cout<<"\nC("<<n<<","<<k<<")="<<Binomial(n,k)<<endl; 
    	 return 0;
     }  
     int min(int n,int m) 
     {  
    	 return (n>m)?m:n;
     }  
     long Binomial(int n,int k)
     {  
    	 if (n<k||n<0||k<0) 
    	 {   
    		 cout<<"数据为:\n"; 
    		 return -1;  
    	 }  
    	 else 
    	 {  
    		 int** a=new int*[n+1];
    		 if (a==0) 
    		 {  
    			 cout<<"不能分配\n"; 
    			 return -2;
    		 }  
    		 int i,j;   
    		 for (i=0;i<=n;i++)  
    		 {   
    			 a[i]=new int[k+1];  
    			 if (a[i]==0) 
    			 {   
    				 cout<<"不能分配\n";
    				 return -3;
     }   
     }  
    		 for (i=0;i<=n;i++)
    		 {    
    			 for (j=0;j<=min(i,k);j++)   
    				 if (j==0||j==i)   
    					 a[i][j]=1;    
    				 else      
    					 a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1];  
     }  
    		 int temp=a[n][k];  
    		 for (i=0;i<=n;i++)  
    			 delete [] a[i];  
    		 delete [] a; 
    		 return temp; 
     }  
     }

    结果:


    分析:用动态规划解题的好处,高效、算法清晰简便、程序易编、易调。但是运用动态规划时,必须对具体问题进行具体的分析处理,需要丰富的想象力去建立数学模型,需要创造性的思想去解决问题。动态态规划需要按阶段遍历整个状态空间空间。从分析中,我们可以看出,我们是从已知最优值的初始状态和边界状态出发,利用最优化原理,一步一步向未知目标状态推进,直到目标状态的最优值解决。



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二项式计算方法