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  • http://blog.csdn.net/xiaofengsheng/article/details/6023368 ...  1. 一阶差分: ...2. 二阶偏导数的推导和近似:   3. 上式以点(i+1,j)为中心,用i代换i+1可得以(i,

    http://blog.csdn.net/xiaofengsheng/article/details/6023368

    http://www.cnblogs.com/german-iris/p/4840647.html

     1. 一阶差分:

     

    2. 二阶偏导数的推导和近似:

     

    3. 上式以点(i+1,j)为中心,用i代换i+1可得以(i,j)为中心的二阶偏导数则有:

     

    4. 同理:

     

    5. 进而可推导:

     

    6. 这样我们就可以很好的运用其他的一阶偏导的定义,如SIFT特征OpenCV实现版本中的一阶以及二阶偏导:

    [cpp] view plain copy
    1. /* 
    2. Computes the partial derivatives in x, y, and scale of a pixel in the DoG 
    3. scale space pyramid. 
    4.  
    5. @param dog_pyr DoG scale space pyramid 
    6. @param octv pixel's octave in dog_pyr 
    7. @param intvl pixel's interval in octv 
    8. @param r pixel's image row 
    9. @param c pixel's image col 
    10.  
    11. @return Returns the vector of partial derivatives for pixel I 
    12.     { dI/dx, dI/dy, dI/ds }^T as a CvMat* 
    13. */  
    14. static CvMat* deriv_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c )  
    15. {  
    16.     CvMat* dI;  
    17.     double dx, dy, ds;  
    18.   
    19.     dx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) -  
    20.         pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) ) / 2.0;  
    21.     dy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) -  
    22.         pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) ) / 2.0;  
    23.     ds = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) -  
    24.         pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) ) / 2.0;  
    25.   
    26.     dI = cvCreateMat( 3, 1, CV_64FC1 );  
    27.     cvmSet( dI, 0, 0, dx );  
    28.     cvmSet( dI, 1, 0, dy );  
    29.     cvmSet( dI, 2, 0, ds );  
    30.   
    31.     return dI;  
    32. }  
    33.   
    34.   
    35.   
    36. /* 
    37. Computes the 3D Hessian matrix for a pixel in the DoG scale space pyramid. 
    38.  
    39. @param dog_pyr DoG scale space pyramid 
    40. @param octv pixel's octave in dog_pyr 
    41. @param intvl pixel's interval in octv 
    42. @param r pixel's image row 
    43. @param c pixel's image col 
    44.  
    45. @return Returns the Hessian matrix (below) for pixel I as a CvMat* 
    46.  
    47.     / Ixx  Ixy  Ixs / <BR> 
    48.     | Ixy  Iyy  Iys | <BR> 
    49.     / Ixs  Iys  Iss / 
    50. */  
    51. static CvMat* hessian_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c )  
    52. {  
    53.     CvMat* H;  
    54.     double v, dxx, dyy, dss, dxy, dxs, dys;  
    55.   
    56.     v = pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c );  
    57.     dxx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) +   
    58.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) - 2 * v );  
    59.     dyy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) +  
    60.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) - 2 * v );  
    61.     dss = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) +  
    62.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) - 2 * v );  
    63.     dxy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c+1 ) -  
    64.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c-1 ) -  
    65.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c+1 ) +  
    66.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c-1 ) ) / 4.0;  
    67.     dxs = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c+1 ) -  
    68.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c-1 ) -  
    69.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c+1 ) +  
    70.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c-1 ) ) / 4.0;  
    71.     dys = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r+1, c ) -  
    72.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r-1, c ) -  
    73.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r+1, c ) +  
    74.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r-1, c ) ) / 4.0;  
    75.   
    76.     H = cvCreateMat( 3, 3, CV_64FC1 );  
    77.     cvmSet( H, 0, 0, dxx );  
    78.     cvmSet( H, 0, 1, dxy );  
    79.     cvmSet( H, 0, 2, dxs );  
    80.     cvmSet( H, 1, 0, dxy );  
    81.     cvmSet( H, 1, 1, dyy );  
    82.     cvmSet( H, 1, 2, dys );  
    83.     cvmSet( H, 2, 0, dxs );  
    84.     cvmSet( H, 2, 1, dys );  
    85.     cvmSet( H, 2, 2, dss );  
    86.   
    87.     return H;  
    88. }  

     

    参考:

    (1)http://hi.baidu.com/shareshow/blog/item/34abdf544725cf54d109069b.html

    (2)SIFT的OpenCV实现




    OpenCV-跟我一起学数字图像处理之拉普拉斯算子

    Laplace算子和Sobel算子一样,属于空间锐化滤波操作。起本质与前面的Spatial Filter操作大同小异,下面就通过Laplace算子来介绍一下空间锐化滤波,并对OpenCV中提供的Laplacian函数进行一些说明。

    • 数学原理

    离散函数导数

    离散函数的导数退化成了差分,一维一阶差分公式和二阶差分公式分别为,

    CodeCogsEqn

    CodeCogsEqn(2)

    Laplace算子的差分形式

    分别对Laplace算子x,y两个方向的二阶导数进行差分就得到了离散函数的Laplace算子。

    在一个二维函数f(x,y)中,x,y两个方向的二阶差分分别为,

    CodeCogsEqn(3)

    CodeCogsEqn(4)

    所以Laplace算子的差分形式为,

    CodeCogsEqn(5)

    写成filter mask的形式如下,

    0 1 0
    1 -4 1
    0 1 0
    注意该mask的特点,mask在上下左右四个90度的方向上结果相同,也就是说在90度方向上无方向性。为了让该mask在45度的方向上也具有该性质,对该filter mask进行扩展定义为,
    1 1 1
    1 -8 1
    1 1 1
     

    注:

    有时我们也会见到不同于上述结果的Laplace算子的filter mask,

    0 -1 0
    -1 4 -1
    0 -1 0
     
    -1 -1 -1
    -1 8 -1
    -1 -1 -1

    其原因是在定义二阶导数的时候采用了相反的定义,这个无关紧要,但是要注意,当用Laplace算子滤波后的图像与原图叠加时,混合操作是加还是减因上述的定义而异。

    图像的Laplace操作

    如同本文开始时说的那样,将Laplace算子写成filter mask后,其操作大同小异于其他的空间滤波操作。将filter mask在原图上逐行移动,然后mask中数值与其重合的像素相乘后求和,赋给与mask中心重合的像素,对图像的第一,和最后的行和列无法做上述操作的像素赋值零,就得到了拉普拉斯操作结果。

    拉普拉斯操作结果与原图的混合

    因为Laplace算子是二阶导数操作,其在强调图像素中灰度不连续的部分的同时也不在强调灰度值连续的部分。这样会产生一个具有很明显的灰度边界,但是没有足够特征的黑色背景。背景特征可以通过原图像与Laplace算子操作后的图像混合恢复。用公式,

    CodeCogsEqn(6)

    其中的参数c的取值和上面的两种mask定义有关,当mask中心的数值取正时c=-1,相反c=1;

    • 基于OpenCV的Laplace算子的计算

    OpenCV中Laplacian函数可以实现对图像的Laplace操作,具体用法如下,

    Laplacian( src_gray, dst, ddepth, kernel_size, scale, delta, BORDER_DEFAULT );

    参数意义为,

    1. src_gray,输入图像
    2. dst,Laplace操作结果
    3. ddepth,输出图像深度,因为输入图像一般为CV_8U,为了避免数据溢出,输出图像深度应该设置为CV_16S
    4. kernel_size,filter mask的规模,我们的mask时3x3的,所以这里应该设置为3
    5. scale,delta,BORDER_DEFAULT,默认设置就好

    基于OpenCV的Laplace算子仿真代码段如下,

    复制代码
    //load the Original Image and get some informations
    Mat src = imread("012.jpg",0);
    namedWindow("OriginalImage");
    imshow("OriginalImage",src);
    CV_Assert(src.depth() == CV_8U);
    
    //OpenCV solution - Laplacian
    Mat dst,abs_dst_laplace;
    Laplacian(src,dst,CV_16S,3);
    convertScaleAbs(dst,abs_dst_laplace);
    
    //show the result
    namedWindow("result_laplacian");
    imshow("result_laplacian",abs_dst_laplace);
    复制代码

    其中convertScaleAbs函数功能是将CV_16S型的输出图像转变成CV_8U型的图像。

    仿真结果:

    原图:

    original

    Laplace操作结果:

    abs_dst_laplae

    • 基于mask operation原理仿真

    Laplace算子滤波仿真

    根据数学原理中介绍的算法,编写相应代码,进行相关仿真。其中对Laplace操作结果进行了图像拉伸显示,因为Laplace操作结果的像素值范围可能落在了[0,255]之外,而计算机在显示的时候将赋值全部置为0,大于255的像素全部显示成255。

    代码段如下,

    复制代码
    //get some informations of original image
    int nr = src.rows;
    int nc = src.cols;
    int n = nr*nc;
    int arr[9] = {0};
    
    //scan the whole pixels of original image 
    //and do Laplacian Operation
    int* table_lap = new int[n];
    int* table_orig = new int[n];
    int l;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        table_lap[i] = 0;
        table_orig[i] = 0;
    }
    for (int i=1;i<nr-1;i++)
    {
        const uchar* previous = src.ptr<uchar>(i-1);
        const uchar* current = src.ptr<uchar>(i);
        const uchar* next = src.ptr<uchar>(i+1);
        for (int j=1;j<nc-1;j++)
        {
            for (int k=0;k<3;k++)
            {
                arr[k] = previous[j+k-1];
                arr[k+3] = current[j+k-1];
                arr[k+6] = next[j+k-1];
            }
            l = nc*i+j;        //calculate the location in the table of current pixel
            Lmaskoperation(table_lap,arr,l);
            table_orig[l] = arr[4];
        }
    }
    
    //pixels scale
    uchar* La_scaled = new uchar[n];
    table_scale(table_lap,La_scaled,n);
    
    //padding values
    Mat LaResult_own;
    LaResult_own.create(src.size(),src.type());
    uchar* p = NULL;
    for (int i=0;i<nr;i++)
    {
        p = LaResult_own.ptr<uchar>(i);
        for (int j=0;j<nc;j++)
        {
            l = nc*i+j;
            p[j] = La_scaled[l];
        }
    }
    
    //show results
    namedWindow("LaResult_own");
    imshow("LaResult_own",LaResult_own);
    复制代码

    其中Lmaskoperation是我写的mask为Laplace mask的mask operation操作函数,函数段如下,

    复制代码
    //**********************//
    //Laplacian mask operation
    //**********************//
    void Lmaskoperation(int* table,int* arr,int l)
    {
        int tmp[9] = {-1,-1,-1,-1,8,-1,-1,-1,-1};
        for (int i=0;i<9;i++)
        {
            table[l] = table[l] + tmp[i]*arr[i];
        }
    }
    复制代码

    tabel_scale函数就是我写的图像拉伸函数,将Laplace操作结果拉伸到[0,255],具体函数段如下,

    复制代码
    //*****************************//
    //scale the pixels to [0 255]
    //*****************************//
    void table_scale(int* table,uchar* result,int n)
    {
        int min = table[0];
        int max = table[0];
        for (int i=0;i<n;i++)
        {
            if(min>table[i])
            {
                min = table[i];
            }
            if(max<table[i])
            {
                max = table[i];
            }
        }
        for (int i=0;i<n;i++)
        {
            result[i] = (uchar)(255*(table[i]-min)/(max-min));
        }
    }
    复制代码

    仿真结果,拉伸后Laplace算子的操作结果

    LaResult_own

    以灰色为主色调的显示结果就是Laplace算子操作拉伸后显示的一大特点。

    Laplace滤波图像与原图像的混合

    我使用的mask中心值为正,所以混合操作需要原图减去Laplace滤波图像,代码段如下,

    复制代码
    //blending with the original image using Eq g(x,y)=f(x,y)+c*Lap(x,y)
    int* table_blend = new int[n];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        table_blend[i] = table_orig[i] - table_lap[i];
        if(table_blend[i]<0)
        {
            table_blend[i] = 0;
        }
        else if (table_blend[i]>255)
        {
            table_blend[i] = 255;
        }
    }
    
    //padding values to blending result
    Mat Blresult;
    Blresult.create(src.size(),src.type());
    for (int i=0;i<nr;i++)
    {
        p = Blresult.ptr<uchar>(i);
        for(int j=0;j<nc;j++)
        {
            l = nc*i+j;
            p[j] = table_blend[l];
        }
    }
    
    //show blending result
    namedWindow("blending result_laplacian");
    imshow("blending result_laplacian",Blresult);
    复制代码

    仿真结果:

    blending result_laplacian

    最后给出冈萨雷斯在介绍Laplacian时所给素材的仿真结果

    blending result_laplacian



    展开全文
  • 复合函数的二阶偏导数

    千次阅读 2017-04-26 07:44:00
  • 二元复合函数求二阶偏导 设z=F(x+f(2x−y),y),其中F,f二阶连续偏导数,求∂2z∂y2. 设z = F(x+f(2x-y),y),其中F,f二阶连续偏导数,求\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2}. 设z=F(x+f(2x−y),y),其中F,f二阶连续偏导...

    二元复合函数求二阶偏导

    z=F(x+f(2xy),y),F,f2zy2. 设z = F(x+f(2x-y),y),其中F,f二阶连续偏导数,求\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2}.

    解:
    zy=F1f(1)+F2 \frac{\partial z}{\partial y} = F'_1f'·(-1)+F'_2
    2zy2=F1f(1)y+F2y \frac{\partial ^2z}{\partial y^2} = \frac{\partial F'_1f'·(-1)}{\partial y} + \frac{\partial F'_2}{\partial y}
    其中:
    F1f(1)y=f(F11fF12)+F1f \frac{\partial F'_1f'·(-1)}{\partial y} = f'(F''_{11}f'-F''_{12}) + F'_1f''
    F2y=F21f(1)+F22 \frac{\partial F'_2}{\partial y} = F''_{21}f'·(-1) + F''_{22}
    综上:
    2zy2=F11(f)22F12f+F1f+F22 \frac{\partial ^2z}{\partial y^2} = F''_{11}(f')^2-2F''_{12}f' + F'_1f'' + F''_{22}

    展开全文
  • Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,此函数如下: 如果  f  所有的二阶导数都存在,那么  f  的海森矩阵即: H ( f ) ij ( x )  =  DiDjf ( x ) ...

    In mathematics, the Hessian matrix is the square matrix of second-order partial derivatives of afunction; that is, it describes the local curvature of a function of many variables. The Hessian matrix was developed in the 19th century by the German mathematician Ludwig Otto Hesse and later named after him. Hesse himself had used the term "functional determinants".

    海森矩阵就是二阶偏导函数的方阵.他描述了局部的曲率函数.

    Given the real-valued function

    f(x_1, x_2, \dots, x_n),\,\!

    if all second partial derivatives of f exist, then the Hessian matrix of f is the matrix

    H(f)_{ij}(x) = D_i D_j f(x)\,\!

    where x = (x1x2, ..., xn) and Di is the differentiation operator with respect to the ith argument and the Hessian becomes


    H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}

    Some mathematicians define the Hessian as the determinant of the above matrix.

    Hessian matrices are used in large-scale optimization problems within Newton-type methods because they are the coefficient of the quadratic term of a local Taylor expansion of a function. That is,

    y=f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x})\approx f(\mathbf{x}) + J(\mathbf{x})\Delta \mathbf{x} +\frac{1}{2} \Delta\mathbf{x}^\mathrm{T} H(\mathbf{x}) \Delta\mathbf{x}

    where J is the Jacobian matrix, which is a vector (the gradient) for scalar-valued functions. The full Hessian matrix can be difficult to compute in practice; in such situations, quasi-Newtonalgorithms have been developed that use approximations to the Hessian. The most well-known quasi-Newton algorithm is the BFGS algorithm.

     在数学中,海森矩阵(Hessian matrix 或 Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,此函数如下:

    f(x_1, x_2, \dots, x_n),

    如果 f 所有的二阶导数都存在,那么 f 的海森矩阵即:


    H(f)ij(x) = DiDjf(x)

    其中 x = (x_1, x_2, \dots, x_n),即

    H(f) = \begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}\end{bmatrix}

    可见,多元函数的二阶导数就是一个海森矩阵
    海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。

    混合偏导数和海森矩阵的对称性

    海森矩阵的混合偏导数是海森矩阵非主对角线上的元素。假如他们是连续的,那么求导顺序没有区别,即

    \frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) = \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right)

    上式也可写为

    f_{xy} = f_{yx} \,

    在正式写法中,如果 f 函数在区域 D 内连续并处处存在二阶导数,那么 f的海森矩阵在 D 区域内为对称矩阵。

    给定二阶导数连续的函数Hessian矩阵描述了局部的曲率函数,海森矩阵的行列式,可用于分辨 f 的临界点是属于鞍点还是极值点。


    对于 f 的临界点 (x0,y0) 一点,有 \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x} = \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y} = 0,然而凭一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大点还是局部极小点。海森矩阵可能解答这个问题。

    H = \begin{vmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x})^2

        H > 0 :若\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0,则(x0,y0)是局部极小点;若\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0,则(x0,y0)是局部极大点。
        H < 0 :(x0,y0)是鞍点。
        H = 0 :二阶导数无法判断该临界点的性质,得从更高阶的导数以泰勒公式考虑。

     

    MATLAB中获得Hessian矩阵:

    The Hessian of a scalar valued function f:Rn

    首先类比一下一维。Jacobian相当于一阶导数,Hessian相当于二阶导数。 一维函数的导数的motivation是很明显的。二阶导数的零点就是一阶导数的极值点。 对于很多应用,我们不仅关心一阶导数的零点,也关心一阶导数的极值点,比如信号处理中,信号的一阶导数的极值点反映信号变化的最剧烈程度。极值点寻求在编程时不方便,不如找二阶导数的零点。 
    Jacobian对于标量函数f: Rn-> R1,实际是个向量,这个向量实际上就是函数的梯度gradient。gradient根据Cauchy-Swartz公式,指向的是在某处方向导数取极大值的方向。在二维图像处理中,可用gradient来检测灰度值的边缘。 
    对于向量场F: Rn-> Rm, Jacobian的每一行实际都是一个梯度。且有 F(X)=F(P)+J(P)(X-P)+O(||X-P||) 这个式子的每一行都是一个分量的局部线性化。 
    考虑一个二维的数字图像线性变换(Homography, image warping), 以有限差分代替微分,可作类似分析。 
    H: 像素(x,y)-->像素(u,v) 
    u=u(x,y) v=v(x,y) 
    则其Jacobian为 
    [ u'(x) u'(y)] 
    [ v'(x) v'(y)] 
    反映了局部图像的变形程度。 
    最理想的情况 u'(x)=1,v'(y)=1,u'(y)=0,v'(x)=0.说明图像维持原状。 
    由于 dudv=|det(Jacobian(x,y))|dxdy (此式的有效性可参考换元法) 
    [注:]有的书上称det(Jacobian(x,y))为Jacobian. 

    说明面积微元改变的程度由|det(Jacobian(x,y))|决定 
    当|det(Jacobian(x,y))|=1时,说明面积不变, 
    当|det(Jacobian(x,y))|<1时,说明面积压缩,出现了像素丢失现象。 
    当|det(Jacobian(x,y))|>1时,说明面积扩张,需要进行像素插值。 
    另外,由Jacobian矩阵的特征值或奇异值,可作类似说明。可参考Wielandt-Hoffman定理

    Hessian矩阵定义在标量函数上,对于矢量函数,则成为一个rank 3的张量。 

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  • 未经本人,允许禁止转载。由于最近本人在搞算法时,如下图所示,遇到Gamma求一阶导数及二阶导数,所以找了相关资料,学习了一下。打公式实在有些费劲,所以这里直接将手稿贴出来,供有需要的人学习。

空空如也

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