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  • 坐标系变换下的二阶偏导数求解

    千次阅读 2020-03-25 17:10:45
    已知:u=f(x,y)u=f(x,y)u=f(x,y)有二阶连续偏导数,计算∂2u∂x2−∂2u∂y2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}∂x2∂2u​−∂y2∂2u​在新的坐标系下对应的表达式。 {s=x+yt=x−y...

    已知:u=f(x,y)u=f(x,y)有二阶连续偏导数,计算2ux22uy2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}在新的坐标系下对应的表达式。
    {s=x+yt=xy\left\{ \begin{aligned} s & = & x+y \\ t & = & x-y \\ \end{aligned} \right.
    这道偏导数的题实质上是利用中间变量求导,在书写的过程中容易出错,写一个解答过程,也算是一次markdown语法编辑的练习了


    对于变换坐标系:

    sx=tx=1,\begin{aligned} \frac{\partial s}{\partial x}=\frac{\partial t}{\partial x} &=1 , \end{aligned}
    sy=1,ty=1.\begin{aligned} \frac{\partial s}{\partial y}&=1 ,\\ \frac{\partial t}{\partial y}&=-1. \end{aligned}


    ux=ussx+uttx=us+ut.\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &=\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x} \\ &=\frac{\partial u}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial t}. \end{aligned}

    2ux2=x(ux)=x(us+ut)=xus+xut=sussx+tustx+sutsx+tuttx=us2+22ust+ut2.\begin{aligned} \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}&=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial x}) \\ &=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial t})\\ &=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial u}{\partial s}+\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial u}{\partial t}\\ &=\frac{\partial }{\partial s}\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial t}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial s}\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial s}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial t }\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}\\ &=\frac{\partial u}{\partial s^2 }+2\frac{\partial ^2u}{\partial s \partial t}+\frac{\partial u}{\partial t^2 }.\\ \end{aligned}


    由于代码编辑量较大…所以同理可得
    算了,还是老老实实写完整过程,因为中间出现的负号容易出错…

    uy=ussy+utty=usut.\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial y} &=\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial y} \\ &=\frac{\partial u}{\partial s}-\frac{\partial u}{\partial t}. \end{aligned}

    2uy2=y(uy)=y(usut)=yusyut=sussy+tustysutsytutty=us222ust+ut2.\begin{aligned} \frac{\partial ^2u}{\partial y^2}&=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial u}{\partial y}) \\ &=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial u}{\partial s}-\frac{\partial u}{\partial t})\\ &=\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial u}{\partial s}-\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial u}{\partial t}\\ &=\frac{\partial }{\partial s}\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial y}+\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial t}{\partial y}-\frac{\partial }{\partial s}\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial s}{\partial y}-\frac{\partial }{\partial t }\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial y}\\ &=\frac{\partial u}{\partial s^2 }-2\frac{\partial ^2u}{\partial s \partial t}+\frac{\partial u}{\partial t^2 }.\\ \end{aligned}

    2uy2=us222ust+ut2.\begin{aligned} \frac{\partial ^2u}{\partial y^2}&=\frac{\partial u}{\partial s^2 }-2\frac{\partial ^2u}{\partial s \partial t}+\frac{\partial u}{\partial t^2 }. \end{aligned}
    则在变换坐标系下有:
    {2ux2=us2+22ust+ut2,2uy2=us222ust+ut2.\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial ^2u}{\partial x^2} & = \frac{\partial u}{\partial s^2 }+2\frac{\partial ^2u}{\partial s \partial t}+\frac{\partial u}{\partial t^2 }, \\ \frac{\partial ^2u}{\partial y^2} & = \frac{\partial u}{\partial s^2 }-2\frac{\partial ^2u}{\partial s \partial t}+\frac{\partial u}{\partial t^2 }. \\ \end{aligned} \right.
    综合上述计算结果可得:

    2ux22uy2=42ust.\begin{aligned} \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}&=4\frac{\partial ^2u}{\partial s \partial t} . \end{aligned}

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  • 二阶偏微分方程

    千次阅读 2020-06-17 09:42:03
    二阶偏微分方程对应的特征方程: 对二阶PDE进行分类: B**2-AC>0 如果是在x0,y0处满足,则该点处 方程为双曲型。若任意点都满足,则该方程为双曲型。 B**2-AC=0 同理,抛物型 B**2-AC<0 同理,椭圆型 =====...

    一般形式
    注:A B C D E F G均为x y的函数

    二阶偏微分方程对应的特征方程

    对二阶PDE进行分类

    B**2-AC>0  如果是在x0,y0处满足,则该点处 方程为双曲型。若任意点都满足,则该方程为双曲型。
    B**2-AC=0  同理,抛物型
    B**2-AC<0  同理,椭圆型

    ===========================================
    双曲型:波动方程
    抛物型:热传导方程
    椭圆型:位势方程

    一维波动:utt=a**2*uxx+f(x,t)
    二维波动:utt=a**2*(uxx+uyy)+f(x,y,t)
    三维波动:utt=a**2*(uxx+uyy+uzz)+f(x,y,z,t)
    f为外力,u为位移,a为波的传播速度

    一维热传导:ut=a**2*uxx+f(x,t)
    二维热传导:ut=a**2*(uxx+uyy)+f(x,y,t)
    三维热传导:ut=a**2*(uxx+uyy+uzz)+f(x,y,z,t)
    f为物体内的热源,u为温度,a**2=k/(c*ρ)   k热传导系数   c比热容

    一维扩散方程:ρt=D*ρxx+f(x,t)
    二维扩散方程:ρt=D*(ρxx+ρyy)+f(x,y,t)
    三维扩散方程:ρt=D*(ρxx+ρyy+ρzz)+f(x,y,z,t)
    f为质量源,ρ为密度,D为扩散系数

    一维位势方程:ρ=(1/-4/Pi)*φxx
    二维位势方程:ρ=(1/-4/Pi)*(φxx+φyy)
    三维位势方程:ρ=(1/-4/Pi)*(φxx+φyy+φzz)
    ρ为电荷密度,φ为电位势    静电场的电位势方程

    一维位势方程:f=Uxx
    二维位势方程:f=Uxx+Uyy
    三维位势方程:f=Uxx+Uyy+Uzz
    f为流体源强度,流体无旋流动的速度势方程

    展开全文
  • 二阶偏导数太麻烦,还要判断Wxx*Fyy - (Wxy)^2 > 0 , Wxx>0 才满足求到最近距离。直接把上答案。   一阶偏导数推到过程:     二阶具体完整过程:   分析二阶偏导数,才能确定是不是 w最小。 ...

     

    a = 2/123
    a                          //输出的还是2/123
    N[a]                       //输出的就是小数点
    N[a,2]                     //保留三位小数点
    Clear[a] 
    Solve[2== x^2-7 , x]       //结果-3 和 3
    Plot[Sin[x], {x, 0, pi}]
    Integrate[1/(1 - x^3), x]
    Log[1] = 0
    积分中的积分d 一定适用esc dd 打出来的 或者\[DifferentialD]. 
    
    求导:
        f = 1/(1+x)
        D[f,x]           也就是f'(x)
        D[f, {x, 2}]     二阶导
    ScientificForm[0.0000125] = 1.25 * (10^-5)  //这种是科学计数
    
    微分:
    DSolve[{y'[x] - 2*y[x] == 0}, y[x], x]             //不带初值
    DSolve[{y'[x] - 2*y[x] == 0, y[0] == 1}, y[x], x]  //初值微分方程y'-2y=0 y[0]=1

     

    绘图:

    1,one dim一元函数

    2,画带有积分的一元函数要注意:

     

     参数方程:

    x=(sin t) ^3

    y=(cos t) ^3

     

    同时绘制2个参数图:

     

     

    参数图并且求导:

     

    三维参数图:

    r(t ) = (cos t)i + (sin t)j + (sin2t)k

     

     

     

     

     

     

     

    z = x^2 + y^2

    ContourPlot3D[x^2 + y^2 == z, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -18, 18}, PlotLabel -> "x^2+y^2=z"] 

     

     

    2,:z^2 + x^2 -y^2=1

     

    3 二元函数:

    二元函数的图形是三维坐标空间的一个点集. 所以二元函数形式为f(x,y) ,f(x,y)= c ,就是等位线(等高线)方程。

    画 (a)二元函数给定的曲面,(b)并且画等高线(等位线),(c)并且画f 给定点的等高线(等位线)

     

     

     

     

     4,三元函数:

    三元函数的的图形是四维空间的一个点集. 所以画三元函数的一些等高线便于理解三元函数.

    例如:f(x,y,z) = 4Ln(x^2 + y^2 + z^2)

    可以画f(x,y,z) = 0 ,f(x,y,z)=1 .... 三维等位面图形。

     

    5,参数化表面:并画等位线

    x = u cosv,   y=u sinv,  z=u , 0<=u <=2,  0<=v<=2Pi

    ParametricPlot3D[{u*Cos[v], u Sin[v], u},  {u, 0, 2}, {v, 0, 
      2 Pi}    ]
    ParametricPlot[
     Evaluate[Table[{z Cos[v], z Sin[v]}, {z, 0, 2, 1/3}]], {v, 0, 2 Pi}, 
     AspectRatio -> Automatic]

     

     

     

     

     

     

     

    偏导数不存在的f(x,y) = sqrt(x^2 + y^2)

     

     

    最小二乘法,线性回归算法。

    自己在笔上求了一阶偏导数=0时的临界点。二阶偏导数太麻烦,还要判断Wxx*Fyy - (Wxy)^2 > 0 , Wxx>0 才满足求到最近距离。直接把上答案。

     

    一阶偏导数推到过程:

     

     

    二阶具体完整过程:

     

    分析二阶偏导数,才能确定是不是 w最小。

     

     

     

    最小二乘方平面拟合:

     

     

     

     

    画3d图形,绘制等高线,求二阶导数fxx,fyy,fxy,求fxx*fyy - fxy^2:

    Clear[x, y];
    f[x_, y_] = 2*x^4 + y^4 - 2*x^2 - 2*y^2 + 3;
    {xmin, xmax} = {-3/2 , 3/2};
    {ymin, ymax} = {-3/2, 3/2};
    Plot3D[f[x, y], {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}]  (* 绘制三维图形 *)
    ContourPlot[f[x, y], {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] (* 绘制几条等高线 *)
    fx = D[f[x, y], x] ;       
    fy = D[f[x, y], y];
    
    (* 求critical points*)
    cirt = Solve[{fx == 0, fy == 0}];
    
    (*把临界点写成{x,y} {x,y} {x,y}... 形式*)
    critpts = {x, y} /. cirt
    
    (* 求二阶导数*)
    fxx = D[fx, x];
    fxy = D[fx, y];
    fyy = D[fy, y];
    
    (*二阶导数判别法 写成{{临界点},判别法的值,fxx的值}*)
    disc = fxx * fyy - fxy ^2 {{x, y}, disc, fxx} /. cirt

     输出:

     lagrange method:

    到一个点的极大距离,求球面x^2+y^2+z^2=4离点(1,-1,1)最远的点

    1, method 1 use the build-in function Select[] method... But i think the it is not fastest, The F function has run two times order to get variable d

    and Select[] method also run the f[x,y,z] two times. Select[] and Map[] should pay attention to these two functions.Big loop~......o(N) + o(N)

     

    Use fully programming method: o(N)

    as you can see, the d variable is not useable.

     

    RegionPlot/PolarPlot 区域图/极坐标图

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/gearslogy/p/9528969.html

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  • 二阶偏导数 2.3.2.多元复合函数的求导法则 2.3.3.方向导数与梯度 以二元函数为例: t从图像上看实际上就是从到的距离 方向导数: 证明:方向导数可写为: 分别看加号两边的...

    2.3.多元微积分

    2.3.1.偏导数

    二阶偏导数

    2.3.2.多元复合函数的求导法则

    2.3.3.方向导数与梯度

    以二元函数为例:

    t从图像上看实际上就是从的距离

    方向导数:

    证明:方向导数可写为:

    分别看加号两边的两项,先看左边,分子分母同时乘上

    的时候,所以可以把看做是,上式变成:

    根据最上面偏导数的定义公式,把看成一个整体,可转换为:

    由于,所以有

    再看右边,,分子分母同时乘上

    同样,把看做,上式变为:

    根据最上面偏导数的定义公式,上式变为:

    证毕

    梯度:

    为什么梯度方向是变化最快的方向?

    已知:x⃗ ,y⃗分别是二元函数f(x,y)在点处沿x,y轴的偏导数,是任意方向的方向导数。

    求证:的方向是二元函数f(x,y)在点处变化最快的方向。

    证明:

    函数f(x,y)在点处沿方向的变化率为

    最大等价于点与点(cosθ,sinθ)的内积最大(内积的坐标定义),

    将上面的内积化为向量形式:记,则,其中α是的夹角;

    最大等价于最大,在问题的设定下θ是变量,于是等价于方向平行,而的方向就是的方向,故的方向取的方向时,取到最大变化率。

    于是由梯度的数值化定义出发,可以证明梯度方向就是方向导数值最大的那个方向,这个方向就是的方向(注意看它的坐标)。

    以上都是在二元函数的情况下进行证明的,同理可以证明多元函数的情况。

    2.3.4.多元函数泰勒公式

    实际使用中,只要展开的前面两项

    可以看到第一项是0次项,第二项是一次项,第三项是二次项,后面的三次项一般都省略不用。

    其中第二项可以看做是:

    第三项可以看做是:

    .

    海森矩阵:

    中间的海森矩阵是对称矩阵,通项为:

    例如矩阵第一行为:

    2.3.5.多元函数的极值

    这里,A、B、C组成的为海森矩阵

    证明:假设(x,y)是领域内的一个点,则在这个点上用泰勒展开得:

    之前讨论正定矩阵的时候有过结论:

    一个矩阵A是正定矩阵,则在他的左右两边乘以向量及向量转置大于0:

    一个矩阵A是负定矩阵,则在他的左右两边乘以向量及向量转置小于0:

    一个矩阵A是半正定矩阵,则在他的左右两边乘以向量及向量转置大于等于0:

    由上可得:

    是极小值

    是极大值

    接下来要判断矩阵啥时候正定,根据正定的定理可知,如果一个矩阵正定,那么它的所有特征值要大于0。如果一个矩阵不正定,那么它的所有特征值要小于0。

        

    综上,条件(1)得证,其他两个证明略

    2.3.6.矩阵的求导

    常见性质

     

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