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  • 二阶偏导数极坐标形式
    2021-04-23 08:05:23

    补充资料:潮流计算牛顿—拉夫逊法

    潮流计算牛顿—拉夫逊法

    load flow Newton-Raphson method

    X=(x1,为,…,x.)T其相应牛顿法求解的迭代格式为 F,(X(‘))△万(‘)=一F(X(‘)) X(‘+l)=X(,)+心万(‘)(2)其中f一工了上一不︵d 工J一dlJF‘(X(‘))=a九ax:a几日xZ(3)a人af.a为a几I一才(‘)为函数F(X)的偏导数矩阵,称为雅可比(Jacobi)矩阵.式(2)的第一式,是系数矩阵尸(X(t))和右端项一F(X(’))均已知的线性方程组,称为修正方程,求解后可得修正t△X(t),再通过式(2)的第二式,对变tx(。加以修正.依此类推,直至第k次迭代}}F(X(.))II或】}△万(’)}!小于给定的。时,x川即是方程组(1)的解。 潮流计算牛顿一拉夫逊法是应用数学上的牛顿一拉夫逊法求解电力潮流的方法。 直角坐标的潮流计算基本方程对潮流计算的导纳矩阵墓本方程万九亡一只一jQ 杏‘(i=1,2,…,九)(4)用Y。=汤+jB山,亡,=。+j几代人并展开,可得节点功率平衡方程△只△Q‘一尸‘一e,万(G禹一B.’几) 一五万(G泣人+凡动=一Q‘一关艺(G洒一凡几)0(5) +e,艺(G动人+Boe.,一‘6) 在一l 再补充尸一U节点和U一6节点的节点电压平衡方程 汉少于=U三一(e于+刀)=o(7) 山‘~e,一Uoeos氏=0(8) Of盆=f,一U.,sin6,v=O(9)式中U。,氏已知。 对于电压用极坐标表示的情况,亡一u.e”=U,(c 056.+jsin氏),同样可以导出极坐标形式的平衡方程。 牛顿法的修正方程潮流计算的牛顿法须首先建立式(2)的修正方程.对于潮流计算,每一节点有两个方程,则 、少 n︺ 目.1 了‘、、|父r|J T 、‘矛 F=(F一,F:一,…,Fz、,F2.,…,Fl,,FZ。)T X=(el,f,,…,e、,关,…,e。

    说明:补充资料仅用于学习参考,请勿用于其它任何用途。

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  • 抽象函数的复合函数求偏导、全微分 求二阶偏导数 多元微分与微分方程综合题 极坐标偏导求原函数 证明充分必要性 4.隐函数求导 方1:画树状图找变量间的关系 方2:利用微分形式不变性(直接求微分) 利用微分形式不变性...

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    1.复合函数求导法

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    2.隐函数求导法

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    先代后求法

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    3.抽象函数的复合函数求偏导、全微分

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    求二阶偏导数

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    多元微分与微分方程综合题

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    极坐标偏导求原函数

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    证明充分必要性

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    4.隐函数求导

    方1:画树状图找变量间的关系

    方2:利用微分形式不变性(直接求微分)

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    利用微分形式不变性解题

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    隐函数相关证明题

    关键是找到 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x),由 f y ′ ≠ 0 f^{'}_{y}\ne0 fy=0得到(隐函数存在定理)。
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  • 二阶偏导数太麻烦,还要判断Wxx*Fyy - (Wxy)^2 > 0 , Wxx>0 才满足求到最近距离。直接把上答案。   一阶偏导数推到过程:     二阶具体完整过程:   分析二阶偏导数,才能确定是不是 w最小。 ...

     

    a = 2/123
    a                          //输出的还是2/123
    N[a]                       //输出的就是小数点
    N[a,2]                     //保留三位小数点
    Clear[a] 
    Solve[2== x^2-7 , x]       //结果-3 和 3
    Plot[Sin[x], {x, 0, pi}]
    Integrate[1/(1 - x^3), x]
    Log[1] = 0
    积分中的积分d 一定适用esc dd 打出来的 或者\[DifferentialD]. 
    
    求导:
        f = 1/(1+x)
        D[f,x]           也就是f'(x)
        D[f, {x, 2}]     二阶导
    ScientificForm[0.0000125] = 1.25 * (10^-5)  //这种是科学计数
    
    微分:
    DSolve[{y'[x] - 2*y[x] == 0}, y[x], x]             //不带初值
    DSolve[{y'[x] - 2*y[x] == 0, y[0] == 1}, y[x], x]  //初值微分方程y'-2y=0 y[0]=1

     

    绘图:

    1,one dim一元函数

    2,画带有积分的一元函数要注意:

     

     参数方程:

    x=(sin t) ^3

    y=(cos t) ^3

     

    同时绘制2个参数图:

     

     

    参数图并且求导:

     

    三维参数图:

    r(t ) = (cos t)i + (sin t)j + (sin2t)k

     

     

     

     

     

     

     

    z = x^2 + y^2

    ContourPlot3D[x^2 + y^2 == z, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -18, 18}, PlotLabel -> "x^2+y^2=z"] 

     

     

    2,:z^2 + x^2 -y^2=1

     

    3 二元函数:

    二元函数的图形是三维坐标空间的一个点集. 所以二元函数形式为f(x,y) ,f(x,y)= c ,就是等位线(等高线)方程。

    画 (a)二元函数给定的曲面,(b)并且画等高线(等位线),(c)并且画f 给定点的等高线(等位线)

     

     

     

     

     4,三元函数:

    三元函数的的图形是四维空间的一个点集. 所以画三元函数的一些等高线便于理解三元函数.

    例如:f(x,y,z) = 4Ln(x^2 + y^2 + z^2)

    可以画f(x,y,z) = 0 ,f(x,y,z)=1 .... 三维等位面图形。

     

    5,参数化表面:并画等位线

    x = u cosv,   y=u sinv,  z=u , 0<=u <=2,  0<=v<=2Pi

    ParametricPlot3D[{u*Cos[v], u Sin[v], u},  {u, 0, 2}, {v, 0, 
      2 Pi}    ]
    ParametricPlot[
     Evaluate[Table[{z Cos[v], z Sin[v]}, {z, 0, 2, 1/3}]], {v, 0, 2 Pi}, 
     AspectRatio -> Automatic]

     

     

     

     

     

     

     

    偏导数不存在的f(x,y) = sqrt(x^2 + y^2)

     

     

    最小二乘法,线性回归算法。

    自己在笔上求了一阶偏导数=0时的临界点。二阶偏导数太麻烦,还要判断Wxx*Fyy - (Wxy)^2 > 0 , Wxx>0 才满足求到最近距离。直接把上答案。

     

    一阶偏导数推到过程:

     

     

    二阶具体完整过程:

     

    分析二阶偏导数,才能确定是不是 w最小。

     

     

     

    最小二乘方平面拟合:

     

     

     

     

    画3d图形,绘制等高线,求二阶导数fxx,fyy,fxy,求fxx*fyy - fxy^2:

    Clear[x, y];
    f[x_, y_] = 2*x^4 + y^4 - 2*x^2 - 2*y^2 + 3;
    {xmin, xmax} = {-3/2 , 3/2};
    {ymin, ymax} = {-3/2, 3/2};
    Plot3D[f[x, y], {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}]  (* 绘制三维图形 *)
    ContourPlot[f[x, y], {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] (* 绘制几条等高线 *)
    fx = D[f[x, y], x] ;       
    fy = D[f[x, y], y];
    
    (* 求critical points*)
    cirt = Solve[{fx == 0, fy == 0}];
    
    (*把临界点写成{x,y} {x,y} {x,y}... 形式*)
    critpts = {x, y} /. cirt
    
    (* 求二阶导数*)
    fxx = D[fx, x];
    fxy = D[fx, y];
    fyy = D[fy, y];
    
    (*二阶导数判别法 写成{{临界点},判别法的值,fxx的值}*)
    disc = fxx * fyy - fxy ^2 {{x, y}, disc, fxx} /. cirt

     输出:

     lagrange method:

    到一个点的极大距离,求球面x^2+y^2+z^2=4离点(1,-1,1)最远的点

    1, method 1 use the build-in function Select[] method... But i think the it is not fastest, The F function has run two times order to get variable d

    and Select[] method also run the f[x,y,z] two times. Select[] and Map[] should pay attention to these two functions.Big loop~......o(N) + o(N)

     

    Use fully programming method: o(N)

    as you can see, the d variable is not useable.

     

    RegionPlot/PolarPlot 区域图/极坐标图

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/gearslogy/p/9528969.html

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  • 极坐标方程转化为参数方程形式 3.2.6. 对数求导法 4. 高阶导数 4.1. 高阶导数的定义 4.2. 常用的高阶导数公式 4.3. 求高阶导数的方法 5. 总结 1. 背景 前段时间复习完了高数第二章的内容,我参考《复习全书·基础篇...


    1. 背景

    前段时间复习完了高数第二章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

    2. 导数与微分的概念

    2.1. 导数与微分的概念

    • 导数
      • 概念:函数在某一点的变化率
    • 微分
      • 概念:函数值在某一点的改变量的近似值

    2.2. 连续、可导、可微之间的关系

    • 连续与可导

      • 连续不一定可导
      • 可导必定连续
    • 连续与可微

      • 连续不一定可微
      • 可微必定连续
    • 可导与可微(在一元函数中)

      • 可微必定可导
      • 可导必定可微
      • 可导是可微的充分必要条件

    :在多元函数中,可导(偏导)不一定可微,可导(偏导)也不一定连续

    • 证明可导必可微

    根据可导定义,令

    lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = A \lim\limits_ {\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = A Δx0limΔxΔy=A

    则有

    lim ⁡ Δ x → 0 Δ y − A Δ x Δ x = 0 \lim\limits_ {\Delta x \to 0}\frac{\Delta y - A\Delta x}{\Delta x} = 0 Δx0limΔxΔyAΔx=0

    即有 Δ y − A Δ x = o ( Δ x ) \Delta y - A\Delta x = o(\Delta x) ΔyAΔx=o(Δx),故 Δ y = A Δ + o ( Δ x ) \Delta y = A\Delta + o(\Delta x) Δy=AΔ+o(Δx),其中 A A A为常数,满足可微的定义,因此,可导必可微。

    • 证明可微必可导

    根据可微定义

    Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y = A\Delta x + o(\Delta x) Δy=AΔx+o(Δx)

    f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 A Δ x + o ( Δ x ) Δ x = A f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{A \Delta x + o(\Delta x)}{\Delta x} = A f(x0)=Δx0limΔxAΔx+o(Δx)=A

    导数存在,故满足可导的定义,因此可微必可导,且 f ′ ( x ) = A f'(x) = A f(x)=A.

    • 常见错误
      • f ( x ) f(x) f(x)在某邻域可导
      • 不能推出 f ′ ( x ) f'(x) f(x) x 0 x_0 x0点连续
      • 不能推出 lim ⁡ x → x 0 f ′ ( x ) \lim\limits_{x \to x_0}f'(x) xx0limf(x)存在
      • 题型:第一章例 33 33 33,考察洛必达法则的使用条件

    2.3. 导数的几何意义

    导数 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0)在几何上表示曲线 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0, f(x_0)) (x0,f(x0))处切线的斜率。

    :法线的斜率是切线斜率的负倒数。

    2.4. 相关变化率

    • 定义

    x = x ( t ) x = x(t) x=x(t) y = y ( t ) y = y(t) y=y(t)都是可导函数,而变量 x x x y y y之间存在某种关系,从而他们的变化率 d x d t \dfrac{dx}{dt} dtdx d y d t \dfrac{dy}{dt} dtdy之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率成为相关变化率

    • 例题(第二章例 29 29 29

    已知动点 P P P在曲线 y = x 3 y = x^3 y=x3上运动,记坐标原点与点 P P P间的距离为 l l l。若点 P P P的横坐标对时间的变化率为常数 v 0 v_0 v0,则当点 P P P运动到点 ( 1 , 1 ) (1, 1) (1,1)时, l l l对时间的变化率是 ‾ \underline{\hspace*{1cm}} .

    解:

    已知 d x d v = v 0 \dfrac{dx}{dv} = v_0 dvdx=v0 l = x 2 + x 6 l = \sqrt{x^2 + x^6} l=x2+x6 ,则

    d l d t = d l d x ⋅ d x d t = 2 x + 6 x 5 2 x 2 + x 6 ⋅ v 0 \frac{dl}{dt} = \frac{dl}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{2x + 6x^5}{2\sqrt{x^2 + x^6}} \cdot v_0 dtdl=dxdldtdx=2x2+x6 2x+6x5v0

    带入数值 x = 1 x = 1 x=1,则

    d l d t = 1 + 3 2 v 0 = 2 2 v 0 \frac{dl}{dt} = \frac{1 + 3}{\sqrt{2}}v_0 = 2\sqrt{2} v_0 dtdl=2 1+3v0=22 v0


    3. 导数公式及求导法则

    3.1. 基本初等函数的导数公式

    ( C ) ′ = 0 (2.1) (C)' = 0 \tag{2.1} (C)=0(2.1)

    ( x a ) ′ = a x a − 1 (2.2) (x^a)' = ax^{a-1} \tag{2.2} (xa)=axa1(2.2)

    ( a x ) ′ = a x ln ⁡ ( a ) (2.3) (a^x)' = a^x\ln(a) \tag{2.3} (ax)=axln(a)(2.3)

    ( e x ) ′ = e x (2.4) (e^x)' = e^x \tag{2.4} (ex)=ex(2.4)

    ( log ⁡ a x ) ′ = 1 x ln ⁡ ( a ) (2.5) (\log_a^x)' = \frac{1}{x\ln(a)} \tag{2.5} (logax)=xln(a)1(2.5)

    ( ln ⁡ ∣ x ∣ ) ′ = 1 x (2.6) (\ln \mid x \mid )' = \frac{1}{x} \tag{2.6} (lnx)=x1(2.6)

    ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ ( x ) (2.7) (\sin x)' = \cos(x) \tag{2.7} (sinx)=cos(x)(2.7)

    ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ ( x ) (2.8) (\cos x)' = -\sin(x) \tag{2.8} (cosx)=sin(x)(2.8)

    ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 ( x ) (2.9) (\tan x )' = \sec^2(x) \tag{2.9} (tanx)=sec2(x)(2.9)

    ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 ( x ) (2.10) (\cot x)' = - \csc^2(x) \tag{2.10} (cotx)=csc2(x)(2.10)

    ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ ( x ) tan ⁡ ( x ) (2.11) (\sec x)' = \sec (x) \tan (x) \tag{2.11} (secx)=sec(x)tan(x)(2.11)

    ( csc ⁡ x ) ′ = csc ⁡ 2 ( x ) cot ⁡ ( x ) (2.12) (\csc x)' = \csc^2(x) \cot (x) \tag{2.12} (cscx)=csc2(x)cot(x)(2.12)

    ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 (2.13) (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.13} (arcsinx)=1x2 1(2.13)

    ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 (2.14) (\arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.14} (arccosx)=1x2 1(2.14)

    ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 (2.15) (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} \tag{2.15} (arctanx)=1+x21(2.15)

    ( arcctg ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 (2.16) (\arcctg x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{2.16} (arcctgx)=1x2 1(2.16)

    sec ⁡ ( x ) = 1 cos ⁡ ( x ) \sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} sec(x)=cos(x)1 csc ⁡ ( x ) = 1 sin ⁡ ( x ) \csc(x) = \dfrac{1}{\sin(x)} csc(x)=sin(x)1

    3.2. 求导法则

    3.2.1. 有理运算法则

    u = u ( x ) , v = v ( x ) u = u(x), v = v(x) u=u(x),v=v(x) x x x处可导,则

    ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ (2.17) (u \pm v)' = u' \pm v' \tag{2.17} (u±v)=u±v(2.17)

    ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (2.18) (uv)' = u'v + uv' \tag{2.18} (uv)=uv+uv(2.18)

    ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 (2.19) (\dfrac{u}{v})' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \tag{2.19} (vu)=v2uvuv(2.19)

    3.2.2. 复合函数求导法

    u = φ ( x ) u = \varphi(x) u=φ(x) x x x处可导, y = f ( u ) y = f(u) y=f(u)在对应点可导,则复合函数 y = f [ φ ( x ) ] y = f[\varphi(x)] y=f[φ(x)] x x x处可导,则

    d y d x = d y d u ⋅ d u d x = f ′ ( u ) φ ′ ( x ) (2.20) \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u)\varphi'(x) \tag{2.20} dxdy=dudydxdu=f(u)φ(x)(2.20)

    • 推论

    一个可导的奇(偶)函数,求一次导,其奇偶性发生一次变化

    • 证明推论
    1. f ( x ) f(x) f(x)奇函数

    f ( x ) f(x) f(x)满足 f ( − x ) = − f ( x ) f(-x) = -f(x) f(x)=f(x),又根据复合函数求导法则,得到 f ′ ( − x ) = − f ′ ( x ) f'(-x) = -f'(x) f(x)=f(x),则

    [ f ( − x ) ] ′ = − [ − f ( x ) ] ′ = [ f ( x ) ] ′ [f(-x)]' = -[-f(x)]' = [f(x)]' [f(x)]=[f(x)]=[f(x)]

    f ′ ( x ) f'(x) f(x)偶函数

    1. f ( x ) f(x) f(x)偶函数

    f ( x ) f(x) f(x)满足 f ( − x ) = f ( x ) f(-x) = f(x) f(x)=f(x),又根据复合函数求导法则,得到 f ′ ( − x ) = − f ′ ( x ) f'(-x) = -f'(x) f(x)=f(x),则

    [ f ( − x ) ] ′ = − [ f ( x ) ] ′ [f(-x)]' = -[f(x)]' [f(x)]=[f(x)]

    f ′ ( x ) f'(x) f(x)奇函数

    3.2.3. 隐函数求导法

    y = y ( x ) y = y(x) y=y(x)是由方程 F ( x , y ) = x F(x, y) = x F(x,y)=x所确定的可导函数,为求得 y ′ y' y,可在方程 F ( x , y ) = 0 F(x, y) = 0 F(x,y)=0两边对 x x x求导,可得到一个含有 y ′ y' y的方程,从中解出 y ′ y' y即可。

    y ′ y' y也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式2.21得到。

    d y d x = − F x ′ F y ′ (2.21) \frac{dy}{dx} = - \frac{F'_x}{F'_y} \tag{2.21} dxdy=FyFx(2.21)

    3.2.4. 反函数的导数

    y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)在某区间内可导,且 f ′ ( x ) ≠ 0 f'(x) \ne 0 f(x)=0,则其反函数 x = φ ( x ) x = \varphi (x) x=φ(x)在对应区间内也可导,且

    φ ( y ) = 1 f ′ ( x ) (2.22) \varphi (y) = \frac{1}{f'(x)} \tag{2.22} φ(y)=f(x)1(2.22)

    d y d x = 1 d y d x \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\dfrac{dy}{dx}} dxdy=dxdy1

    3.2.5. 参数方程求导法

    y = y ( x ) y = y(x) y=y(x)是由参数方程

    { x = φ ( x ) y = ψ ( x ) , ( α < t < β ) {\left\{ \begin{aligned} &x = \varphi (x)\\ &y = \psi (x)\\ \end{aligned}\right. }, (\alpha < t < \beta) {x=φ(x)y=ψ(x),(α<t<β)

    确定的函数,则

    1. φ ( x ) \varphi (x) φ(x) ψ ( x ) \psi (x) ψ(x)都可导,且 φ ( t ) ≠ 0 \varphi(t) \ne 0 φ(t)=0,则

    d y d x = ψ ( x ) φ ( x ) (2.23) \frac{dy}{dx} = \frac{\psi(x)}{\varphi(x)} \tag{2.23} dxdy=φ(x)ψ(x)(2.23)

    1. φ ( x ) \varphi (x) φ(x) ψ ( x ) \psi (x) ψ(x)都二阶可导,且 φ ( t ) ≠ 0 \varphi(t) \ne 0 φ(t)=0,则

    d 2 y d 2 x = d d t ( d y d x ) ⋅ d t d x = d d t ( ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) ) ⋅ 1 φ ′ ( x ) = ψ ′ ′ ( t ) φ ′ ( x ) − φ ′ ′ ( x ) ψ ′ ( t ) φ 3 ( t ) (2.24) \frac{d^2 y}{d^2 x} = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}= \frac{d}{dt}(\frac{\psi '(t)}{\varphi '(t)}) \cdot \frac{1}{\varphi '(x)} = \frac{\psi ''(t)\varphi '(x) - \varphi ''(x) \psi '(t)}{\varphi^3 (t)} \tag{2.24} d2xd2y=dtd(dxdy)dxdt=dtd(φ(t)ψ(t))φ(x)1=φ3(t)ψ(t)φ(x)φ(x)ψ(t)(2.24)

    3.2.5.1. 极坐标方程转化为参数方程形式

    极坐标性质

    { ρ 2 = x 2 + y 2 tan ⁡ θ = y x ( x ≠ 0 ) (2.25) {\left\{ \begin{aligned} \rho^2 &= x^2 + y^2\\ \tan \theta &= \frac{y}{x} (x \ne 0)\\ \end{aligned}\right.} \tag{2.25} ρ2tanθ=x2+y2=xy(x=0)(2.25)

    极坐标转化为直角坐标的转化公式

    { x = ρ sin ⁡ θ y = ρ cos ⁡ θ (2.26) {\left\{ \begin{aligned} x = \rho \sin \theta\\ y = \rho \cos \theta\\ \end{aligned}\right.} \tag{2.26} {x=ρsinθy=ρcosθ(2.26)

    已知经过点 M ( ρ o , θ 0 ) M(\rho_o, \theta_0) M(ρo,θ0),且直线与极轴所成角为 α \alpha α的直线 l l l,其极坐标方程为

    ρ sin ⁡ ( α − θ ) = ρ 0 sin ⁡ ( α 0 − θ 0 ) \rho \sin (\alpha - \theta) = \rho_0 \sin(\alpha_0 - \theta_0) ρsin(αθ)=ρ0sin(α0θ0)

    ρ = ρ 0 sec ⁡ ( α 0 − θ 0 ) \rho = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0) ρ=ρ0sec(α0θ0)

    转化为参数方程形式

    { x = ρ 0 sec ⁡ ( α 0 − θ 0 ) sin ⁡ ( θ ) y = ρ 0 sec ⁡ ( α 0 − θ 0 ) cos ⁡ ( θ ) {\left\{ \begin{aligned} x = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0) \sin(\theta)\\ y = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0) \cos(\theta)\\ \end{aligned} \right.} {x=ρ0sec(α0θ0)sin(θ)y=ρ0sec(α0θ0)cos(θ)

    3.2.6. 对数求导法

    如果 y = y ( x ) y = y(x) y=y(x)的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成,或是幂指函数的形式,则可先将函数去对数,然后两边对 x x x求导。

    :对等式两边取对数,需要满足等式两边都大于0的条件


    4. 高阶导数

    4.1. 高阶导数的定义

    含义:一般地,函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) n n n阶导数为 y ( n ) = [ f ( n − 1 ) ( x ) ] ′ y^{(n)} = [f^{(n - 1)}(x)]' y(n)=[f(n1)(x)],也可记为 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x) d n y d x n \dfrac{d^ny}{dx^n} dxndny,即 n n n阶导数就是 n − 1 n-1 n1阶导函数的导数。

    :如果函数在点 x x x n n n阶可导,则在点 x x x的某邻域内 f ( x ) f(x) f(x)必定具有一切低于 n n n阶的导数。

    4.2. 常用的高阶导数公式

    ( sin ⁡ x ) ( n ) = sin ⁡ ( x + n ⋅ π 2 ) (2.27) (\sin x)^{(n)} = \sin (x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.27} (sinx)(n)=sin(x+n2π)(2.27)

    ( c o s x ) ( n ) = cos ⁡ ( x + n ⋅ π 2 ) (2.28) (cos x)^{(n)} = \cos (x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.28} (cosx)(n)=cos(x+n2π)(2.28)

    ( u ± v ) ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) (2.29) (u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} \tag{2.29} (u±v)(n)=u(n)±v(n)(2.29)

    ( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( k ) v ( n − k ) (2.30) (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)} \tag{2.30} (uv)(n)=k=0nCnku(k)v(nk)(2.30)

    式2.24可类比 n n n阶二项式公式

    ( u + v ) n = ∑ k = 0 n C n k u k v n − k (2.31) (u + v)^{n} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{k}v^{n-k} \tag{2.31} (u+v)n=k=0nCnkukvnk(2.31)

    • 推论

    y = sin ⁡ ( a x + b ) y= \sin(ax + b) y=sin(ax+b),则
    y ( n ) = a n sin ⁡ ( a x + b + n ⋅ π 2 ) (2.32) y^{(n)} = a^n \sin(ax + b + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{2.32} y(n)=ansin(ax+b+n2π)(2.32)

    • 证明

    通过归纳法,求 y ′ y' y y ′ ′ y'' y,推出 y ( n ) y^{(n)} y(n).

    4.3. 求高阶导数的方法

    1. 公式法,带入高阶导数公式
    2. 归纳法,求 y ′ y' y y ′ ′ y'' y,归纳 y ( n ) y^{(n)} y(n)

    5. 总结

    1. 导数
      • 定义
      • 求导法则
      • 高阶导数
    2. 微分
      • 定义
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