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  • 困扰我这么多年的问题终于解决了:为什么爷爷的爸爸和爸爸的...答案:二阶次序不影响结果的前提是导数在区间连续. [虽然以前看过,但是没有保存] 转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/4080880.html...

    困扰我这么多年的问题终于解决了:为什么爷爷的爸爸和爸爸的爷爷是同一个人,而奶奶的妈妈和妈妈的奶奶却不是同一个人?


    答案:二阶偏导次序不影响结果的前提是导数在区间连续.

     

    [虽然以前看过,但是没有保存]

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/4080880.html

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  • matlab求二阶代码弹道优化项目[2013] 介绍 这是NTU数学系2013数值优化课程的一个项目。 。 在这个项目中,我的目标是通过控制执行器的向量来优化其轨迹。 轨迹需要将对象从某个开始状态转换为某个目标状态,并受...
  • 转载出处:...多元函数Hessian矩阵半正定就相当于一元函数二阶导非负,半负定就相当于一元函数二阶导非正。如果这个类比成立的话,凸函数的Hessian恒半正定就非常容...

    转载出处:https://www.zhihu.com/question/40181086?sort=created


    教科书上有严格的证明,这个答案试图通过类比来提供一些直观上的理解。大概的结论是,多元函数的Hessian矩阵就类似一元函数的二阶导。多元函数Hessian矩阵半正定就相当于一元函数二阶导非负,半负定就相当于一元函数二阶导非正。如果这个类比成立的话,凸函数的Hessian恒半正定就非常容易理解了——这是一元凸函数二阶导必非负的多元拓展。

    至于为什么这个类是有道理的,你要这么看。对一元函数f(x)来说,就极值而言,一阶导为0是极值点的必要但不充分条件,一阶导为0切二阶导非负是极小值的充要条件。为什么呢,因为有泰勒展开f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot\text{d}x+\frac{1}{2}f''(x_0)\text{d}x^2。如果一阶导为0,二阶导非负,dx不论是多少,f(x)一定不比f(x0)小。

    你把多元函数也个泰勒展开,主要区别在于:
    1) 二阶导变成了Hessian。
    2) 以前只要考虑x怎么变,现在还要考虑y怎么变,x和y怎么一起变,头疼了很多。
    以二元为例,
    f(\begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix}) = f(\begin{bmatrix}x_0 & y_0\end{bmatrix}) + \begin{bmatrix}\text{d}x & \text{d}y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}f_x' \\ f_y' \end{bmatrix}+ \frac{1}{2} \begin{bmatrix}\text{d}x & \text{d}y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}f_{xx}' & f_{xy}' \\ f_{yx}' & f_{yy}' \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}\text{d}x \\ \text{d}y\end{bmatrix}
    从一元的情况类比过来,如果一阶导为0,是不是极小值完全取决于不同的dx, dy下,能不能做到最后一项一直非负。只有对于任意\Delta {\bf x},\Delta {\bf x} {\bf H} \Delta {\bf x}^T一直非负的情况,我们才能说这是极小值。如果\Delta {\bf x} {\bf H} \Delta {\bf x}^T一直非正,这就是极大值。如果它一会正一会负,就是鞍点。

    然后“对于任意\Delta {\bf x},\Delta {\bf x} {\bf H} \Delta {\bf x}^T一直非负”这是啥?半正定的定义嘛!它就是这么引出来的,也是我们为什么需要半正定这个概念的原因(之一)。


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  • matlab-高数 diff 二阶

    千次阅读 2019-02-17 16:18:00
    zx2=diff(zx1,x) % 传说中的二阶,连续两次对x   result z = x^3*y^2 - 3*x*y^3 - x*y + 1 zx2 = 6*x*y^2 >>   resource [文档] ww2.mathworks.cn/help/matlab [文档] ww2....

         matlab : R2018a 64bit
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    code

    clear
    clc
    
    syms x y;
    z=x^3*y^2-3*x*y^3-x*y+1
     
    zx1=diff(z,x);
    zx2=diff(zx1,x)    % 传说中的二阶偏导,连续两次对x
    
    

    result

     
    z =
     
    x^3*y^2 - 3*x*y^3 - x*y + 1
     
     
    zx2 =
     
    6*x*y^2
     
    >> 
    

    resource

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  • matlab求二阶代码[removed] </ script> [removed] hljs.initHighlightingOnLoad(); </ script> [removed] MathJax.Hub.Config({tex2jax:{inlineMath:[['$','$'],['\\(','\\)']}}));; </ ...
  • 凸函数一阶条件二阶条件证明

    千次阅读 2016-08-20 18:27:06
    凸函数一阶条件二阶条件证明

    定义

    如果domf是凸集, 且x,ydomf0θ1, 有

    f(θx+(1θ)y)θf(x)+(1θ)f(y),

    我们就称函数f:RnR是凸函数.
    几何意义上讲, 凸函数意味着点(x,f(x)), (y,f(y))之间的线段在函数f的上方. 如果不等式(1.1)对于xy0<θ<1严格成立, 我们就称函数f是严格凸的. 如果函数f是凸的(严格凸)的, 则函数f是凹(严格凹)的.
    对于仿射函数f(x)=Ax+b(线性函数与常数的和), 不等式(1.1)总成立, 因此所有的仿射函数(包括线性函数)既是凸的, 又是凹的. 反之也成立, 即如果函数既凸又凹, 则其一定是仿射函数.
    函数是凸的, 当且仅当其在与其定义域相交的任意直线上都是凸的. 也就是说, 函数f是凸的当且仅当xdomf和任意向量v, 函数g(t)=f(x+tv)是凸的, 其定义域是{t|x+tvdomf}. 根据这个性质, 我们可以将函数限制在直线上判断其是否是凸函数.

    一阶条件

    假设f可微, 则函数f是凸函数的充要条件是domf是凸集, 且x,ydomf, 下式成立

    f(y)f(x)+f(x)T(yx).

    这里关于y的仿射函数f(x)+f(x)T(yx)是函数fx附近的Taylor近似. 从不等式(1.2)可以看出, 对于一个凸函数, 其一阶Taylor展开实际上是该函数的一个全局下估计. 反之, 如果一个函数的一阶Taylor展开总是其全局下估计, 那么这个函数是凸的.
    不等式(1.2)还说明从一个函数的可以得到函数的一些. 由不等式可以知道, 如果f(x)=0, 那么ydomf都有f(y)f(x), 即x是函数f的全局极小点.
    严格凸性也可以由一阶条件刻画: 函数f严格凸的充要条件是domf是凸集且x,ydomf,xy, 下式成立
    f(y)>f(x)+f(x)T(yx).

    证明

    先考虑n=1的情况. 我们证明可微函数f:RR是凸函数的充要条件是对于domf内的任意x,y, 有

    f(y)f(x)+f(x)(yx).

    必要性: 假设f凸, 且x,ydomf. 因为domf凸, 0t, 我们有x+t(yx)domf, 由函数的凸性可以得出
    f(x+t(yx))(1t)f(x)+tf(y).

    两端同时除t并移项可得
    f(y)f(x)+f(x+t(yx))f(x)t,

    t0, 可得不等式(1.4).
    充分性:假设domf中任意两点x,y(xy), 对于任意的0θ1, 令z=θx+(1θ)y. 分别对x,y应用不等式(1.4), 可得
    f(x)f(z)+f(z)(xz),f(y)f(z)+f(z)(yz).

    将(1.7)乘以θ, (1.8)乘以1θ然后相加可得
    θf(x)+(1θ)f(y)f(z),

    这就说明函数f是凸的.
    对于一般情况, 即f:RnR. 设x,yRn, 考虑将f限制在穿过x,y的直线, 即g(t)=f(ty+(1t)x), 该函数对t求导可得
    g(t)=f(ty+(1t)x)T(yx).

    首先假设f是凸的, 则函数g是凸的, 由n=1时的结论可知g(1)g(0)+g(0), 即
    f(y)f(x)+f(x)T(yx).

    再假设此不等式x,y均成立, 因此若ty+(1t)xdomf以及t~y+(1t~)xdomf, 我们有
    f(ty+(1t)x)f(t~y+(1t~)x)+f(t~y+(1t~)x)T(yx)(tt~).

    g(t)g(t~)+g(t~)(tt~), 说明函数g是凸的, 也就是说f是凸的.

    二阶条件

    现假设f二阶可微, 即对于开集domf内的任意一点, f的二阶导或者Hessian矩阵存在, 则函数f是凸函数的充要条件是, 其Hessian矩阵半正定, 即xdomf, 有

    2f(x)0.

    对于R上的函数, 上式退化为f′′(x)0. 该条件表明函数f的导数非减, 从几何上解释就是函数f在点x处具有向上(正)的曲率.

    证明

    先证n=1时的情况.
    必要性: 假设f:RR是凸函数, 取x,ydomf, 且x<y. 根据一阶条件我们有

    f(x)(yx)f(y)f(x)f(y)(yx).

    左右两边同时除yx有,
    f(y)f(x)yx0.

    yx可得f′′(x)0.
    充分性: 假设zdomf都有f′′(z)0. 考虑任意的x,ydomf, 且x<y. 我们有
    yxf′′(z)(yz)dz0,(f(z)(yz))|z=yz=x+yxf(z)dz0,f(y)f(x)f(x)(yx)0.

    同样, 对于一般情况, 我们注意到一个函数是凸函数当且仅当它在与定义域相交的所有直线上都是凸函数, 比如函数g(t)=f(x0+tv)对于任意的x0f和任意的v是关于t的凸函数.
    所以说, 函数f是凸函数当且仅当对于任意的x0domf,vRn, 以及t|x0+tvdomf
    g′′(t)=vt2f(x0+tv)v0.

    也就是说, 对于任意的xdomf2f(x)0是函数f凸的充分必要条件.

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  • 参考文章:二阶混合偏数在连续的条件下与求导的次序无关 A. 错误 B. 正确
  • P11 二阶条件

    2019-09-23 11:58:37
    若f:Rn↦Rf: R^n \mapsto Rf:Rn↦R 二阶可微,则fff为凸 等价于 domfdomfdomf为凸 ▽2f(x)≽0,∀x∈domf\triangledown^2f(x) \succcurlyeq 0, \forall x \in domf▽2f(x)≽0,∀x∈domf HessoinHessoinHessoin 矩阵 ...
  • P12 二阶条件2

    2019-09-27 20:52:20
    P12二阶条件 二阶条件 仿射函数:f(x)=Ax+b▽2f(x)=0f(x)=Ax+b\quad\triangledown^2f(x)=0f(x)=Ax+b▽2f(x)=0 指数函数:f(x)=eax,x∈Rf(x)=e^{ax},x\in R\quadf(x)=eax,x∈R f′(x)=aeaxf'(x)=ae^{ax}f′(x)=aeax f′...
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  • 凸函数二阶条件的证明

    千次阅读 2019-02-15 02:10:18
    一阶条件什么没写呢?因为Boyd那么书上写的很详细,但是二阶的书上没证。。。当然二阶的证明是基于一阶的结论的~ 先从最简单的情况f:Rf: Rf:R-&gt;RRR证明,高维直接类比就行了。 首先将凸函数的定义以及一阶...
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空空如也

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二阶可导的条件是什么