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    本篇笔记从解方程组开始,并引入一种新运算,然后了解二阶行列式和三阶行列式相关定义,如元素、行标、列标、主对角线、次对角线等。同时为了研究行列式展开项与元素下标之间的关系,还引入了排列、逆序、逆序数、奇排列、偶排列、标准排列、自然排列、N级标准排列以及对换等概念。

    1 方程组

    { 5 x + 6 y = 7 ① 9 x + 4 y = 3 ② \begin{cases} 5x+6y=7\qquad①\\ 9x+4y=3\qquad②\\ \end{cases} {5x+6y=79x+4y=3

    ① × 9 、 ② × 5 ①×9、②×5 ×9×5得:
    { 5 × 9 x + 6 × 9 y = 7 × 9 ③ 9 × 5 x + 4 × 5 y = 3 × 5 ④ \begin{cases} 5×9x+6×9y=7×9\qquad③\\ 9×5x+4×5y=3×5\qquad④\\ \end{cases} {5×9x+6×9y=7×99×5x+4×5y=3×5

    ③ − ④ ③-④ 得:
    ( 5 × 4 − 6 × 9 ) y = 3 × 5 − 7 × 9 (5×4-6×9)y=3×5-7×9 (5×46×9)y=3×57×9

    解得:
    y = 3 × 5 − 7 × 9 5 × 4 − 6 × 9 ⑤ y=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}\qquad⑤ y=5×46×93×57×9

    同理可得:
    x = 7 × 4 − 6 × 3 5 × 4 − 6 × 9 ⑥ x=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}\qquad⑥ x=5×46×97×46×3

    通过观察上述 ⑤ , ⑥ ⑤, ⑥ ,的值可以发现,分子和分母都是四个数分别为:两两先相乘,再相减

    2 定义一种新运算

    通过左右两条竖线,中间放入四个数字,表示对角线上数字先相乘再相减,定义以下运算:
    ∣ a b c d ∣ = a d − c b \begin{vmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{vmatrix} =ad-cb acbd=adcb

    上述 x , y x, y x,y可表示为:
    { x = 7 × 4 − 6 × 3 5 × 4 − 6 × 9 = ∣ 7 3 6 4 ∣ ∣ 5 9 6 4 ∣ y = 3 × 5 − 7 × 9 5 × 4 − 6 × 9 = ∣ 3 9 7 5 ∣ ∣ 5 9 6 4 ∣ \begin{cases} x=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}= \frac{ \begin{vmatrix} 7&3\\ 6&4\\ \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 5&9\\ 6&4\\ \end{vmatrix} }\\\\ y=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}= \frac{ \begin{vmatrix} 3&9\\ 7&5\\ \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 5&9\\ 6&4\\ \end{vmatrix} } \end{cases} x=5×46×97×46×3=56947634y=5×46×93×57×9=56943795

    3 二阶行列式

    二阶行列式由4个数写成2行和2列,并在左右两边加上竖线组成。
    ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{vmatrix} a11a21a12a22

    行列式表示一个数,上述二阶行列式的值为: a 11 a 22 − a 12 a 21 a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} a11a22a12a21

    元素:每个元素使用 a i j a_{ij} aij表示。
    行标 i i i为行标,表示第几行。
    列标 j j j为列标,表示第几列。
    主对角线:\,从左上角到右下角。
    次对角线:/,从左下角到右上角。

    举例:
    ∣ 1 7 9 3 ∣ = 1 × 3 − 9 × 7 \begin{vmatrix} 1&7\\ 9&3\\ \end{vmatrix} =1×3-9×7 1973=1×39×7

    ∣ m n a b ∣ = m b − a n \begin{vmatrix} m&n\\ a&b\\ \end{vmatrix} =mb-an manb=mban

    ∣ λ − 1 1 2 λ ∣ = λ ( λ − 1 ) − 1 × 2 \begin{vmatrix} \lambda-1&1\\ 2&\lambda\\ \end{vmatrix} =\lambda(\lambda-1)-1×2 λ121λ=λ(λ1)1×2

    ∣ 爱 子 辈 你 ∣ = 爱 你 − 辈 子 \begin{vmatrix} 爱&子\\ 辈&你\\ \end{vmatrix} =爱你-辈子 =

    4 三阶行列式

    三阶行列式也可以由方程组推出。它由9个数写成3行和3列,并在左右两边加上竖线组成。
    ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33

    三阶行列式也可按照二阶行列式的划线法(对角线展开法)方式求值,其值为:
    a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32

    总共有6项,其中主对角线方向3项为正数,次对角线方向3项为负数。

    举例:
    ∣ λ 1 0 1 λ 1 0 0 1 ∣ = λ × λ × 1 + 1 × 1 × 0 + 1 × 0 × 0 − 0 × λ × 0 − 1 × 1 × 0 − 0 × 1 × λ \begin{vmatrix} \lambda&1&0\\ 1&\lambda&1\\ 0&0&1\\ \end{vmatrix} =\lambda×\lambda×1+1×1×0+1×0×0-0×\lambda×0-1×1×0-0×1×\lambda λ101λ0011=λ×λ×1+1×1×0+1×0×00×λ×01×1×00×1×λ

    5 一些概念

    为了解理N阶行列式,引入以下概念:
    排列:由 1 , 2 , . . . , n 1, 2, ..., n 1,2,...,n组成的一个有序数组叫n级排列。

    例如:
    123 123 123
    132 132 132
    213 213 213
    231 231 231
    312 312 312
    321 321 321
    以上都是3级排列。

    3145不是5级排列,因为缺少数字2,不满足有序的条件,所以数组中不能缺数。

    n级排列一共有 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . 3 × 2 × 1 = n ! n(n-1)(n-2)...3×2×1=n! n(n1)(n2)...3×2×1=n! 种。

    逆序:比较大的数排在比较小的数前面构成逆序。例如:在排列 4213 4213 4213中,4排在2前面就构成了逆序。
    逆序数:排列中逆序的总数。
    例如:
    在排列 4213 4213 4213中,逆序数为4,具体计算如下:
    3(4后面比4小的数的个数)+1(2后面比2小的数的个数)+0(1后面比1小的数的个数)+0(3后面比3小的数的个数)

    逆序数使用 N N N表示,例如: N ( 4213 ) = 4 N(4213)=4 N(4213)=4

    奇排列:逆序数为奇数的排列。
    偶排列:逆序数为偶数的排列。

    标准排列:逆序数为0的排列,也称为自然排列
    由n个数构成的逆序数为0的排列称为N级标准排列。例如: N ( 123... n ) = 0 N(123...n)=0 N(123...n)=0

    举例:
    求: N ( 54123 ) N(54123) N(54123)
    解:
    = 4 + 3 + 0 + 0 + 0 =4+3+0+0+0 =4+3+0+0+0
    = 7 =7 =7
    数逆序数的方法:从第一个数开始,依次数后面有几个比它小的数,顺序不能乱。

    求: N ( n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . 321 ) N(n(n-1)(n-2)...321) N(n(n1)(n2)...321)
    解:
    = ( n − 1 ) + ( n − 2 ) + . . . + 2 + 1 =(n-1)+(n-2)+...+2+1 =(n1)+(n2)+...+2+1
    = n ( n − 1 ) 2 =\frac{n(n-1)}2 =2n(n1)

    对换:交换排列中的两个数。

    例如: 54 12 ↔ 3 → 54213 54\overleftrightarrow{12}3→54213 5412 354213

    由前面可知: N ( 54123 ) = 7 N(54123)=7 N(54123)=7,而交换两个数后, N ( 54213 ) = 4 + 3 + 1 + 0 + 0 = 8 N(54213)=4+3+1+0+0=8 N(54213)=4+3+1+0+0=8

    6 定理

    定理 1.1.1:一个排列经过一次对换,奇偶性会改变。

    一个排列做偶数次对换,其奇偶性不变;一个排列做奇数次对换,其奇偶性改变。

    定理 1.1.2:在所有的N级排列中,奇排列和偶排列的数量相等,各占: n ! 2 \frac{n!}2 2n!

    7 引用

    《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.1 二阶三阶行列式

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  • 一阶板,一次压合即成,可以想像成最...三板就比上面更复杂,先压3-6层,再加上2和7层,最后加上1到8层,一共要压合三次,一般厂家做不了. 一阶的比较简单,流程和工艺都好控制。 二阶的就开始麻烦了,一...
     
    一阶板,一次压合即成,可以想像成最普通的板
    二阶板,两次压合,以盲埋孔的八层板为例,先做2-7层的板,压好,这时候2-7的通孔埋孔已经做好了,再加1层和8层压上去,打1-8的通孔,做成整板.
    三阶板就比上面更复杂,先压3-6层,再加上2和7层,最后加上1到8层,一共要压合三次,一般厂家做不了.
     
    一阶的比较简单,流程和工艺都好控制。

    二阶的就开始麻烦了,一个是对位问题,一个打孔和镀铜问题。二阶的设计有多种,一种是各阶错开位置,需要连接次邻层时通过导线在中间层连通,做法相当于2个一阶HDI。第二中是,两个一阶的孔重叠,通过叠加方式实现二阶,加工也类似两个一阶,但有很多工艺要点要特别控制,也就是上面所提的。第三种是直接从外层打孔至第3层(或N-2层),工艺与前面有很多不同,打孔的难度也更大。

    对于三阶的以二阶类推即是。

    向左转|向右转

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    转载于:https://www.cnblogs.com/tszr/p/11159787.html

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    1. 一元一次方程、二元一次、三元一次线性方程组的求解

     

    2. 方程组的解的分母可用行列式表示

     

    3. 三阶行列式的记忆方法——对角线法

     

    4. 行列式方程的求解

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