本篇笔记从解方程组开始，并引入一种新运算，然后了解二阶行列式和三阶行列式相关定义，如元素、行标、列标、主对角线、次对角线等。同时为了研究行列式展开项与元素下标之间的关系，还引入了排列、逆序、逆序数、奇排列、偶排列、标准排列、自然排列、N级标准排列以及对换等概念。
1 方程组
$\begin{cases}
5x+6y=7\qquad①\\
9x+4y=3\qquad②\\
\end{cases}$
将$①×9、②×5$得：

$\begin{cases}
5×9x+6×9y=7×9\qquad③\\
9×5x+4×5y=3×5\qquad④\\
\end{cases}$
将$③-④$得：

$(5×4-6×9)y=3×5-7×9$
解得：

$y=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}\qquad⑤$
同理可得：

$x=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}\qquad⑥$
通过观察上述$⑤, ⑥$的值可以发现，分子和分母都是四个数分别为：两两先相乘，再相减。
2 定义一种新运算
通过左右两条竖线，中间放入四个数字，表示对角线上数字先相乘再相减，定义以下运算：

$\begin{vmatrix}
a&b\\
c&d\\
\end{vmatrix}
=ad-cb$
上述$x, y$可表示为：

$\begin{cases}
x=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}=
\frac{
\begin{vmatrix}
7&3\\
6&4\\
\end{vmatrix}}{
\begin{vmatrix}
5&9\\
6&4\\
\end{vmatrix}
}\\\\
y=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}=
\frac{
\begin{vmatrix}
3&9\\
7&5\\
\end{vmatrix}}{
\begin{vmatrix}
5&9\\
6&4\\
\end{vmatrix}
}
\end{cases}$
3 二阶行列式
二阶行列式由4个数写成2行和2列，并在左右两边加上竖线组成。

$\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}\\
\end{vmatrix}$
行列式表示一个数，上述二阶行列式的值为：$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
元素：每个元素使用$a_{ij}$表示。

行标：$i$为行标，表示第几行。

列标：$j$为列标，表示第几列。

主对角线：\，从左上角到右下角。

次对角线：/，从左下角到右上角。
举例：

$\begin{vmatrix}
1&7\\
9&3\\
\end{vmatrix}
=1×3-9×7$
$\begin{vmatrix}
m&n\\
a&b\\
\end{vmatrix}
=mb-an$
$\begin{vmatrix}
\lambda-1&1\\
2&\lambda\\
\end{vmatrix}
=\lambda(\lambda-1)-1×2$
$\begin{vmatrix}
爱&子\\
辈&你\\
\end{vmatrix}
=爱你-辈子$
4 三阶行列式
三阶行列式也可以由方程组推出。它由9个数写成3行和3列，并在左右两边加上竖线组成。

$\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}\\
\end{vmatrix}$
三阶行列式也可按照二阶行列式的划线法（对角线展开法）方式求值，其值为：

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$
总共有6项，其中主对角线方向3项为正数，次对角线方向3项为负数。
举例：

$\begin{vmatrix}
\lambda&1&0\\
1&\lambda&1\\
0&0&1\\
\end{vmatrix}
=\lambda×\lambda×1+1×1×0+1×0×0-0×\lambda×0-1×1×0-0×1×\lambda$
5 一些概念
为了解理N阶行列式，引入以下概念：

排列：由$1, 2, ..., n$组成的一个有序数组叫n级排列。
例如：

$123$

$132$

$213$

$231$

$312$

$321$

以上都是3级排列。
3145不是5级排列，因为缺少数字2，不满足有序的条件，所以数组中不能缺数。
n级排列一共有 $n(n-1)(n-2)...3×2×1=n!$ 种。
逆序：比较大的数排在比较小的数前面构成逆序。例如：在排列$4213$中，4排在2前面就构成了逆序。

逆序数：排列中逆序的总数。

例如：

在排列$4213$中，逆序数为4，具体计算如下：

3（4后面比4小的数的个数）+1（2后面比2小的数的个数）+0（1后面比1小的数的个数）+0（3后面比3小的数的个数）
逆序数使用$N$表示，例如：$N(4213)=4$
奇排列：逆序数为奇数的排列。

偶排列：逆序数为偶数的排列。
标准排列：逆序数为0的排列，也称为自然排列。

由n个数构成的逆序数为0的排列称为N级标准排列。例如：$N(123...n)=0$
举例：

求：$N(54123)$

解：

$=4+3+0+0+0$

$=7$

数逆序数的方法：从第一个数开始，依次数后面有几个比它小的数，顺序不能乱。
求：$N(n(n-1)(n-2)...321)$

解：

$=(n-1)+(n-2)+...+2+1$

$=\frac{n(n-1)}2$
对换：交换排列中的两个数。
例如：$54\overleftrightarrow{12}3→54213$，
由前面可知：$N(54123)=7$，而交换两个数后，$N(54213)=4+3+1+0+0=8$
6 定理
定理 1.1.1：一个排列经过一次对换，奇偶性会改变。
一个排列做偶数次对换，其奇偶性不变；一个排列做奇数次对换，其奇偶性改变。
定理 1.1.2：在所有的N级排列中，奇排列和偶排列的数量相等，各占：$\frac{n!}2$。
7 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.1 二阶三阶行列式

 

一阶板,一次压合即成,可以想像成最普通的板
二阶板,两次压合,以盲埋孔的八层板为例,先做2-7层的板,压好,这时候2-7的通孔埋孔已经做好了,再加1层和8层压上去,打1-8的通孔,做成整板.
三阶板就比上面更复杂,先压3-6层,再加上2和7层,最后加上1到8层,一共要压合三次,一般厂家做不了.
 
一阶的比较简单，流程和工艺都好控制。





二阶的就开始麻烦了，一个是对位问题，一个打孔和镀铜问题。二阶的设计有多种，一种是各阶错开位置，需要连接次邻层时通过导线在中间层连通，做法相当于2个一阶HDI。第二中是，两个一阶的孔重叠，通过叠加方式实现二阶，加工也类似两个一阶，但有很多工艺要点要特别控制，也就是上面所提的。第三种是直接从外层打孔至第3层（或N-2层），工艺与前面有很多不同，打孔的难度也更大。
对于三阶的以二阶类推即是。
向左转|向右转








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1. 一元一次方程、二元一次、三元一次线性方程组的求解



 

2. 方程组的解的分母可用行列式表示



 

3. 三阶行列式的记忆方法——对角线法



 

4. 行列式方程的求解