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  • 二阶和三阶
    2022-04-05 20:18:41

    一阶随机占优 (First-degree Stochastic Dominance, FSD )

    • F S D FSD FSD效用函数**(非递减效用函数)**

      • 效用函数 U ( x ) U(x) U(x) 满足: U ′ ( x ) ≥ 0 U'(x) \geq 0 U(x)0
    • F S D FSD FSD风险偏好

      使用 F S D F S D FSD 的投资者并没有特别的风险偏好

      • 有可能是风险厌恶者
      • 有可能是风险爱好者
      • 或者在某一阶段表现为风险厌恶, 在另一阶段表现为风险爱好。
    • 一阶随机占优**【累积概率分布】**

      在比较两个投资方案 F F F G G G

      假设投资 F F F 的收益的累计概率分布为 F ( R ) F(R) F(R), 投资 G G G 的收益的累计概率分布为 G ( R ) G(R) G(R)

      如果在所有的收益水平 R R R, 有:
      F ( R ) ≤ G ( R ) F(R) \leq G(R) F(R)G(R)
      至少存在一个点使得不等号严格成立, 则称方案 F F F 一阶随机占优于方案 G G G, 记为 F > F S D G F>{ }_{F S D} G F>FSDG【小的累积概率分布一阶随机占优大的累积概率分布】

    • 由于 F S D F S D FSD 仅对投资者的效用函数做了一阶假设 U ( x ) ≥ 0 U(x) \geq 0 U(x)0, 而对投资者效用函数的二阶形式没有特别要求, 因此 F S D FSD FSD适用于具有任何形式风险倾向的投资者,
      在理论上优于其他的评价方法。然而正是由于 FSD适用面广, 使得该标准的筞选能力较低, 限制了它的实用性。

    二阶随机占优 (Second-degree Stochastic Dominance, SSD)

    • S S D S S D SSD 效用函数**(边际效用递减效用函数)**

      • U ′ ( x ) ≥ 0 U^{\prime}(x) \geq 0 U(x)0, U ′ ′ ( x ) ≤ 0 U''(x) \leq 0 U(x)0
    • S S D S S D SSD风险偏好

      使用 S S D S S D SSD 的投资者是风险厌恶型的

      • 不在意风险厌恶程度可以递增还是递减
    • 二阶随机占优**【累积概率分布的积分】**

      在比䢂两个投资方案 F F F G G G

      假设投资 F F F 的收益的累计概率分布为 F ( R ) F(R) F(R), 投资 G G G 的收益的累计概率分布为 G ( R ) G(R) G(R)

      如果在所有的收益水平 R R R 下, 有:

    ∫ − ∞ R F ( t ) d t ≤ ∫ − ∞ R G ( t ) d t  或  ∫ − ∞ R [ G ( t ) − F ( t ) ] d t ≥ 0 \int_{-\infty}^{R} F(t) d t \leq \int_{-\infty}^{R} G(t) d t \text { 或 } \int_{-\infty}^{R}[G(t)-F(t)] d t \geq 0 RF(t)dtRG(t)dt  R[G(t)F(t)]dt0

    且至少存在一个点使得不等号严格成立, 则称方案 F F F 二阶随机占优于方案 G G G, 记 为 F > S S D G F>_{S S D} G F>SSDG

    三阶随机占优 (Third-degree Stochastic Dominance, TSD)

    • T S D T S D TSD效用函数 U ( x ) U(x) U(x) (绝对风险厌恶递减)

      • 效用函数 U ( x ) U(x) U(x) 满足 U ( x ) ≥ 0 U(x) \geq 0 U(x)0, U ′ ′ ( x ) ≤ 0 , U ′ ′ ′ ( x ) > 0 U^{\prime \prime}(x) \leq 0, U^{\prime \prime \prime}(x)>0 U(x)0,U(x)>0
    • T S D TSD TSD风险偏好

      使用 T S D T S D TSD 的投资者是风险厌恶的

      • 风险厌恶程度是随着财富的增加而递减的。
    • 三阶随机占优【累积概率分布二重积分】

      在比䢂两个投资方案 F F F G G G

      假设投资 F F F 的收益的累计概率分布为 F ( R ) F(R) F(R), 投资 G G G 的收益的累计概率分布为 G ( R ) G(R) G(R)

      如果在所有的收益水平 R R R 下, 有:
      ∫ − ∞ R ∫ − ∞ R F ( t ) d t d z ≤ ∫ − ∞ R ∫ − ∞ R G ( t ) d t d z \int_{-\infty}^{R} \int_{-\infty}^{R} F(t) d t d z \leq \int_{-\infty}^{R} \int_{-\infty}^{R} G(t) d t d z RRF(t)dtdzRRG(t)dtdz
      或者
      ∫ − ∞ R ∫ − ∞ R [ G ( t ) − F ( t ) ] d t d z ≥ 0 \int_{-\infty}^{R} \int_{-\infty}^{R}[G(t)-F(t)] d t d z \geq 0 RR[G(t)F(t)]dtdz0
      且至少存在一个点使得不等号严格成立, 则称方案 F F F 三阶随机占优于方案 G G G, 记 为 F > T S D G F>{ }_{T S D} G F>TSDG

      三者关系

      由于这三条随机占优标准在投资者风险偏好假设上的递进关系: T S D T S D TSD 包含了$ SSD$, S S D S S D SSD 包含了 F S D F S D FSD

      T S D T S D TSD 有效, 则 S S D S S D SSD 必然有效;

      S S D S S D SSD 有效, 则 F S D F S D FSD 必然有效,

      投资者可以根据自身的风险偏好类型, 决定采用哪一个标准。

    参考文献

    [1]谭妮. 基于风险偏好的投资组合模型研究[D].湖南大学,2010.

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    本篇笔记从解方程组开始,并引入一种新运算,然后了解二阶行列式和三阶行列式相关定义,如元素、行标、列标、主对角线、次对角线等。同时为了研究行列式展开项与元素下标之间的关系,还引入了排列、逆序、逆序数、奇排列、偶排列、标准排列、自然排列、N级标准排列以及对换等概念。

    1 方程组

    { 5 x + 6 y = 7 ① 9 x + 4 y = 3 ② \begin{cases} 5x+6y=7\qquad①\\ 9x+4y=3\qquad②\\ \end{cases} {5x+6y=79x+4y=3

    ① × 9 、 ② × 5 ①×9、②×5 ×9×5得:
    { 5 × 9 x + 6 × 9 y = 7 × 9 ③ 9 × 5 x + 4 × 5 y = 3 × 5 ④ \begin{cases} 5×9x+6×9y=7×9\qquad③\\ 9×5x+4×5y=3×5\qquad④\\ \end{cases} {5×9x+6×9y=7×99×5x+4×5y=3×5

    ③ − ④ ③-④ 得:
    ( 5 × 4 − 6 × 9 ) y = 3 × 5 − 7 × 9 (5×4-6×9)y=3×5-7×9 (5×46×9)y=3×57×9

    解得:
    y = 3 × 5 − 7 × 9 5 × 4 − 6 × 9 ⑤ y=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}\qquad⑤ y=5×46×93×57×9

    同理可得:
    x = 7 × 4 − 6 × 3 5 × 4 − 6 × 9 ⑥ x=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}\qquad⑥ x=5×46×97×46×3

    通过观察上述 ⑤ , ⑥ ⑤, ⑥ ,的值可以发现,分子和分母都是四个数分别为:两两先相乘,再相减

    2 定义一种新运算

    通过左右两条竖线,中间放入四个数字,表示对角线上数字先相乘再相减,定义以下运算:
    ∣ a b c d ∣ = a d − c b \begin{vmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{vmatrix} =ad-cb acbd=adcb

    上述 x , y x, y x,y可表示为:
    { x = 7 × 4 − 6 × 3 5 × 4 − 6 × 9 = ∣ 7 3 6 4 ∣ ∣ 5 9 6 4 ∣ y = 3 × 5 − 7 × 9 5 × 4 − 6 × 9 = ∣ 3 9 7 5 ∣ ∣ 5 9 6 4 ∣ \begin{cases} x=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}= \frac{ \begin{vmatrix} 7&3\\ 6&4\\ \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 5&9\\ 6&4\\ \end{vmatrix} }\\\\ y=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}= \frac{ \begin{vmatrix} 3&9\\ 7&5\\ \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 5&9\\ 6&4\\ \end{vmatrix} } \end{cases} x=5×46×97×46×3=56947634y=5×46×93×57×9=56943795

    3 二阶行列式

    二阶行列式由4个数写成2行和2列,并在左右两边加上竖线组成。
    ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{vmatrix} a11a21a12a22

    行列式表示一个数,上述二阶行列式的值为: a 11 a 22 − a 12 a 21 a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} a11a22a12a21

    元素:每个元素使用 a i j a_{ij} aij表示。
    行标 i i i为行标,表示第几行。
    列标 j j j为列标,表示第几列。
    主对角线:\,从左上角到右下角。
    次对角线:/,从左下角到右上角。

    举例:
    ∣ 1 7 9 3 ∣ = 1 × 3 − 9 × 7 \begin{vmatrix} 1&7\\ 9&3\\ \end{vmatrix} =1×3-9×7 1973=1×39×7

    ∣ m n a b ∣ = m b − a n \begin{vmatrix} m&n\\ a&b\\ \end{vmatrix} =mb-an manb=mban

    ∣ λ − 1 1 2 λ ∣ = λ ( λ − 1 ) − 1 × 2 \begin{vmatrix} \lambda-1&1\\ 2&\lambda\\ \end{vmatrix} =\lambda(\lambda-1)-1×2 λ121λ=λ(λ1)1×2

    ∣ 爱 子 辈 你 ∣ = 爱 你 − 辈 子 \begin{vmatrix} 爱&子\\ 辈&你\\ \end{vmatrix} =爱你-辈子 =

    4 三阶行列式

    三阶行列式也可以由方程组推出。它由9个数写成3行和3列,并在左右两边加上竖线组成。
    ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33

    三阶行列式也可按照二阶行列式的划线法(对角线展开法)方式求值,其值为:
    a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32

    总共有6项,其中主对角线方向3项为正数,次对角线方向3项为负数。

    举例:
    ∣ λ 1 0 1 λ 1 0 0 1 ∣ = λ × λ × 1 + 1 × 1 × 0 + 1 × 0 × 0 − 0 × λ × 0 − 1 × 1 × 1 − 0 × 1 × λ \begin{vmatrix} \lambda&1&0\\ 1&\lambda&1\\ 0&0&1\\ \end{vmatrix} =\lambda×\lambda×1+1×1×0+1×0×0-0×\lambda×0-1×1×1-0×1×\lambda λ101λ0011=λ×λ×1+1×1×0+1×0×00×λ×01×1×10×1×λ

    注 \color{red}{注} :此处在视频21:27有误,第5项写成了:-1×1×0

    5 一些概念

    为了解理N阶行列式,引入以下概念:
    排列:由 1 , 2 , . . . , n 1, 2, ..., n 1,2,...,n组成的一个有序数组叫n级排列。

    例如:
    123 123 123
    132 132 132
    213 213 213
    231 231 231
    312 312 312
    321 321 321
    以上都是3级排列。

    3145不是5级排列,因为缺少数字2,不满足有序的条件,所以数组中不能缺数。

    n级排列一共有 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . 3 × 2 × 1 = n ! n(n-1)(n-2)...3×2×1=n! n(n1)(n2)...3×2×1=n! 种。

    逆序:比较大的数排在比较小的数前面构成逆序。例如:在排列 4213 4213 4213中,4排在2前面就构成了逆序。
    逆序数:排列中逆序的总数。
    例如:
    在排列 4213 4213 4213中,逆序数为4,具体计算如下:
    3(4后面比4小的数的个数)+1(2后面比2小的数的个数)+0(1后面比1小的数的个数)+0(3后面比3小的数的个数)

    逆序数使用 N N N表示,例如: N ( 4213 ) = 4 N(4213)=4 N(4213)=4

    奇排列:逆序数为奇数的排列。
    偶排列:逆序数为偶数的排列。

    标准排列:逆序数为0的排列,也称为自然排列
    由n个数构成的逆序数为0的排列称为N级标准排列。例如: N ( 123... n ) = 0 N(123...n)=0 N(123...n)=0

    举例:
    求: N ( 54123 ) N(54123) N(54123)
    解:
    = 4 + 3 + 0 + 0 + 0 =4+3+0+0+0 =4+3+0+0+0
    = 7 =7 =7
    数逆序数的方法:从第一个数开始,依次数后面有几个比它小的数,顺序不能乱。

    求: N ( n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . 321 ) N(n(n-1)(n-2)...321) N(n(n1)(n2)...321)
    解:
    = ( n − 1 ) + ( n − 2 ) + . . . + 2 + 1 =(n-1)+(n-2)+...+2+1 =(n1)+(n2)+...+2+1
    = n ( n − 1 ) 2 =\frac{n(n-1)}2 =2n(n1)

    对换:交换排列中的两个数。

    例如: 54 12 ↔ 3 → 54213 54\overleftrightarrow{12}3→54213 5412 354213

    由前面可知: N ( 54123 ) = 7 N(54123)=7 N(54123)=7,而交换两个数后, N ( 54213 ) = 4 + 3 + 1 + 0 + 0 = 8 N(54213)=4+3+1+0+0=8 N(54213)=4+3+1+0+0=8

    6 定理

    定理 1.1.1:一个排列经过一次对换,奇偶性会改变。

    一个排列做偶数次对换,其奇偶性不变;一个排列做奇数次对换,其奇偶性改变。

    定理 1.1.2:在所有的N级排列中,奇排列和偶排列的数量相等,各占: n ! 2 \frac{n!}2 2n!

    7 引用

    《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.1 二阶三阶行列式

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  • MATLAB 的简单一阶、二阶和三阶 PID 仿真
  • 转载于:https://www.cnblogs.com/tszr/p/11159787.html

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/tszr/p/11159787.html

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    1. 一元一次方程、二元一次、三元一次线性方程组的求解

     

    2. 方程组的解的分母可用行列式表示

     

    3. 三阶行列式的记忆方法——对角线法

     

    4. 行列式方程的求解

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