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  • 函数连续的例子

    2021-09-07 19:59:47
    例一:原函数连续可函数也连续 f(x)={xx<0ln⁡(1+x)x⩾0f(x)=\left\{\begin{aligned} &x&x<0\\ &\ln(1+x)&x\geqslant0\\ \end{aligned}\right.f(x)={​xln(1+x)​x<0x⩾0​ 原函数...

    函数
    f ( x ) = { x 2 sin ⁡ 1 x , x > 0 0 , x ⩽ 0 f(x)= \begin{cases}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases} f(x)={x2sinx1,0,x>0x0



    f − ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 − f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 − 0 − 0 x = 0 f + ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 + f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 + x 2 sin ⁡ 1 x − 0 x = lim ⁡ x → 0 + x sin ⁡ 1 x = 0 (  因无穷小  ×  有界量  =  无穷小  ) \begin{aligned} f_{-}^{\prime}(0) &=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{0-0}{x}=0 \\ f_{+}^{\prime}(0) &=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}-0}{x} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \sin \frac{1}{x}=0 \quad(\text { 因无穷小 } \times \text { 有界量 }=\text { 无穷小 }) \end{aligned} f(0)f+(0)=x0limx0f(x)f(0)=x0limx00=0=x0+limx0f(x)f(0)=x0+limxx2sinx10=x0+limxsinx1=0( 因无穷小 × 有界量 = 无穷小 )
    所以 f ′ ( 0 ) = 0 f^{\prime}(0)=0 f(0)=0, 当 x > 0 x>0 x>0
    f ′ ( x ) = ( x 2 sin ⁡ 1 x ) ′ = 2 x sin ⁡ 1 x + x 2 cos ⁡ 1 x ( − 1 x 2 ) = 2 x sin ⁡ 1 x − cos ⁡ 1 x f^{\prime}(x)=\left(x^{2} \sin \frac{1}{x}\right)^{\prime}=2 x \sin \frac{1}{x}+x^{2} \cos \frac{1}{x}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x} f(x)=(x2sinx1)=2xsinx1+x2cosx1(x21)=2xsinx1cosx1
    x < 0 x<0 x<0 时, f ′ ( x ) = ( 0 ) ′ = 0 f^{\prime}(x)=(0)^{\prime}=0 f(x)=(0)=0, 所以
    f ′ ( x ) = { 2 x sin ⁡ 1 x − cos ⁡ 1 x , x > 0 0 , x ⩽ 0 f^{\prime}(x)= \begin{cases}2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases} f(x)={2xsinx1cosx1,0,x>0x0
    因此
    f ′ ( 0 − ) = lim ⁡ x → 0 − f ′ ( x ) = lim ⁡ x → 0 − 0 = 0 f^{\prime}\left(0^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} 0=0 f(0)=x0limf(x)=x0lim0=0
    f ′ ( 0 + ) = lim ⁡ x → 0 + f ′ ( x ) = lim ⁡ x → 0 + ( 2 x sin ⁡ 1 x − cos ⁡ 1 x ) f^{\prime}\left(0^{+}\right)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\right) f(0+)=limx0+f(x)=limx0+(2xsinx1cosx1) 不存在(因为 lim ⁡ x → 0 2 x sin ⁡ 1 x = 0 \lim _{x \rightarrow 0} 2 x \sin \frac{1}{x}=0 limx02xsinx1=0, 而 lim ⁡ x → 0 cos ⁡ 1 x \lim _{x \rightarrow 0} \cos \frac{1}{x} limx0cosx1 属于振荡不存在).

    因为在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+) f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f(x) 都存在, 所以 f ( x ) f(x) f(x) ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+) 上连续, 又根据 f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f(x) 的表达式,显然当 x ≠ 0 x \neq 0 x=0 时, f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f(x) 连续, 而 x = 0 x=0 x=0 f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f(x) 的第二类振荡间断点.


    2021年9月9日12:55:37

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  • 处处可函数连续的例子

    万次阅读 2015-06-28 13:27:41
    f(x) 处处可 f ′ ( x ) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 x s i n ( 1 x ) − c o s ( 1 x ) lim x → 0 x s i n ( 1 x ) = 0 x ≠ 0 x = 0 f^{'}(x)=\left \{ \begin{matrix} 2xsin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}) &...

    f(x) 处处连续

    f(x)=x2sin(1x)0x0x=0

    这里写图片描述

    f(x) 处处可导

    f(x)=2xsin(1x)cos(1x)limx0xsin(1x)=0x0x=0

    这里写图片描述

    x=0 是第二类间断点(一个震荡间断点)

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  • 假设f(x,y)f(x,y)f(x,y)在全平面内存在且足够的光滑,求fxy(x0,y0)f_{xy}(x_0,y_0)fxy​(x0​,y0​)的计算式与误差阶 引理一: 若fxy(x0,y0),fyx(x0,y0)f_{xy}(x_0,y_0),f_{yx}(x_0,y_0)fxy​(x0​,y0​),fyx​(x0​...

    二元函数二阶混合偏导数的近似计算式与误差阶推导

    问题

    假设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在全平面内存在且足够的光滑,求 f x y ( x 0 , y 0 ) f_{xy}(x_0,y_0) fxy(x0,y0)的计算式与误差阶

    引理一:

    f x y ( x 0 , y 0 ) , f y x ( x 0 , y 0 ) f_{xy}(x_0,y_0),f_{yx}(x_0,y_0) fxy(x0,y0),fyx(x0,y0)均在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处存在且连续,则 f x y ( x 0 , y 0 ) = f y x ( x 0 , y 0 ) f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0) fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)

    引理二:

    D ⊂ R 2 D \subset R^2 DR2为一区域,函数 f ( x , y ) ∈ C 2 ( D ) f(x,y)\in C^{2}(D) f(x,y)C2(D),且 ( x 0 , y 0 ) ∈ D , ( x 0 + h , y 0 + k ) ∈ D (x_0,y_0)\in D,(x_0+h,y_0+k) \in D (x0,y0)D,(x0+h,y0+k)D,则有二元函数带皮亚诺余项的泰勒公式
    f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 + o ( ρ 2 ) f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2}+o(\rho^2) f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)+2h2fxx(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)+o(ρ2)
    其中, ρ = h 2 + k 2 \rho=\sqrt{h^2+k^2} ρ=h2+k2

    引理三:

    (一元函数带拉格朗日余项的泰勒公式)设函数f(x)在包含点 x 0 x_0 x0的区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则对任意 x ∈ ( a , b ) x\in(a,b) x(a,b)都有
    f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + 1 2 ! f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 + . . . + 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f^{''}(x_0)(x-x_0)^2+...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+2!1f(x0)(xx0)2+...+n!1f(n)(x0)(xx0)n+Rn(x)
    其中, R n ( x ) = 1 ( n + 1 ) ! f ( n + 1 ) ( ξ ) ( x − x 0 ) ( n + 1 ) R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{(n+1)} Rn(x)=(n+1)!1f(n+1)(ξ)(xx0)(n+1), ξ \xi ξ x 0 x_0 x0 x x x之间

    引理四:

    (二元函数带拉格朗日余项的泰勒公式)设 D ⊂ R 3 D \subset R^3 DR3为一区域,函数 f ( x , y ) ∈ C 3 ( D ) f(x,y)\in C^{3}(D) f(x,y)C3(D),且 ( x 0 , y 0 ) ∈ D , ( x 0 + h , y 0 + k ) ∈ D (x_0,y_0)\in D,(x_0+h,y_0+k) \in D (x0,y0)D,(x0+h,y0+k)D,则有
    f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!} f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)

    + h 3 f x x x ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + k 3 f y y y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) 3 ! , θ ∈ ( 0 , 1 ) +\frac{h^3f_{xxx}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+k^3f_{yyy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)}{3!},\theta \in (0,1) +3!h3fxxx(x0+θh,y0+θk)+3h2kfxxy(x0+θh,y0+θk)+3hk2fxyy(x0+θh,y0+θk)+k3fyyy(x0+θh,y0+θk),θ(0,1)

    命题

    f x y ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 − h , y 0 + k ) − f ( x 0 + h , y 0 − k ) + f ( x 0 − h , y 0 − k ) 4 h k f_{xy}(x_0,y_0)=\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0-h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0-k)+f(x_0-h,y_0-k)}{4hk} fxy(x0,y0)=4hkf(x0+h,y0+k)f(x0h,y0+k)f(x0+h,y0k)+f(x0h,y0k)

    证明:
    由引理四得到

    f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!} f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)

    + h 3 f x x x ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + k 3 f y y y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) 3 ! +\frac{h^3f_{xxx}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+k^3f_{yyy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)}{3!} +3!h3fxxx(x0+θ1h,y0+θ1k)+3h2kfxxy(x0+θ1h,y0+θ1k)+3hk2fxyy(x0+θ1h,y0+θ1k)+k3fyyy(x0+θ1h,y0+θ1k)

    f ( x 0 − h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) − h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) − 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0-h,y_0+k)=f(x_0,y_0)-hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)-2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!} f(x0h,y0+k)=f(x0,y0)hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)

    + − h 3 f x x x ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) − 3 h k 2 f x y y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) + k 3 f y y y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) 3 ! +\frac{-h^3f_{xxx}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)+3h^2kf_{xxy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)-3hk^2f_{xyy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)+k^3f_{yyy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)}{3!} +3!h3fxxx(x0θ2h,y0+θ2k)+3h2kfxxy(x0θ2h,y0+θ2k)3hk2fxyy(x0θ2h,y0+θ2k)+k3fyyy(x0θ2h,y0+θ2k)

    f ( x 0 + h , y 0 − k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) − k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) − 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0+h,y_0-k)=f(x_0,y_0)+hf_x(x_0,y_0)-kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)-2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!} f(x0+h,y0k)=f(x0,y0)+hfx(x0,y0)kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)

    + h 3 f x x x ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − k 3 f y y y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) 3 ! +\frac{h^3f_{xxx}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-k^3f_{yyy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)}{3!} +3!h3fxxx(x0+θ3h,y0θ3k)3h2kfxxy(x0+θ3h,y0θ3k)+3hk2fxyy(x0+θ3h,y0θ3k)k3fyyy(x0+θ3h,y0θ3k)

    f ( x 0 − h , y 0 − k ) = f ( x 0 , y 0 ) − h f x ( x 0 , y 0 ) − k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0-h,y_0-k)=f(x_0,y_0)-hf_x(x_0,y_0)-kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!} f(x0h,y0k)=f(x0,y0)hfx(x0,y0)kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)

    + − h 3 f x x x ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − 3 h 2 k f x x y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − 3 h k 2 f x y y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − k 3 f y y y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) 3 ! +\frac{-h^3f_{xxx}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-3h^2kf_{xxy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-3hk^2f_{xyy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-k^3f_{yyy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)}{3!} +3!h3fxxx(x0θ4h,y0θ4k)3h2kfxxy(x0θ4h,y0θ4k)3hk2fxyy(x0θ4h,y0θ4k)k3fyyy(x0θ4h,y0θ4k)

    所以,误差等于
    f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 + h , y 0 − k ) − f ( x 0 − h , y 0 + k ) + f ( x 0 − h , y 0 − k ) 4 h k − f y x ( x 0 , y 0 ) \frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0-k)-f(x_0-h,y_0+k)+f(x_0-h,y_0-k)}{4hk}-f_{yx}(x_0,y_0) 4hkf(x0+h,y0+k)f(x0+h,y0k)f(x0h,y0+k)+f(x0h,y0k)fyx(x0,y0)

    = 1 24 h k ( ( h 3 f x x x ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + k 3 f y y y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) ) =\frac{1}{24hk}((h^3f_{xxx}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+k^3f_{yyy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)) =24hk1((h3fxxx(x0+θ1h,y0+θ1k)+3h2kfxxy(x0+θ1h,y0+θ1k)+3hk2fxyy(x0+θ1h,y0+θ1k)+k3fyyy(x0+θ1h,y0+θ1k))

    − ( − h 3 f x x x ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) − 3 h k 2 f x y y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) + k 3 f y y y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) ) -(-h^3f_{xxx}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)+3h^2kf_{xxy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)-3hk^2f_{xyy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)+k^3f_{yyy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)) (h3fxxx(x0θ2h,y0+θ2k)+3h2kfxxy(x0θ2h,y0+θ2k)3hk2fxyy(x0θ2h,y0+θ2k)+k3fyyy(x0θ2h,y0+θ2k))

    − ( h 3 f x x x ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − k 3 f y y y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) ) -(h^3f_{xxx}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-k^3f_{yyy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)) (h3fxxx(x0+θ3h,y0θ3k)3h2kfxxy(x0+θ3h,y0θ3k)+3hk2fxyy(x0+θ3h,y0θ3k)k3fyyy(x0+θ3h,y0θ3k))

    + ( − h 3 f x x x ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − 3 h 2 k f x x y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − 3 h k 2 f x y y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − k 3 f y y y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) ) ) +(-h^3f_{xxx}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-3h^2kf_{xxy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-3hk^2f_{xyy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-k^3f_{yyy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k))) +(h3fxxx(x0θ4h,y0θ4k)3h2kfxxy(x0θ4h,y0θ4k)3hk2fxyy(x0θ4h,y0θ4k)k3fyyy(x0θ4h,y0θ4k)))

    将等式右边合并同类项按照 h 3 , h 2 k , h k 2 , k 3 h^3,h^2k,hk^2,k^3 h3,h2k,hk2,k3分成四类考虑

    h 3 h^3 h3的几项为

    h 3 24 h k ( f x x x ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + f x x x ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) − f x x x ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − f x x x ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) ) \frac{h^3}{24hk}(f_{xxx}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+f_{xxx}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)-f_{xxx}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-f_{xxx}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)) 24hkh3(fxxx(x0+θ1h,y0+θ1k)+fxxx(x0θ2h,y0+θ2k)fxxx(x0+θ3h,y0θ3k)fxxx(x0θ4h,y0θ4k))

    G ( θ ) = f x x x ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) , H ( θ ) = f x x x ( x 0 − θ h , y 0 + θ k ) G(\theta)=f_{xxx}(x_0+\theta h,y_0+\theta k),H(\theta)=f_{xxx}(x_0-\theta h,y_0+\theta k) G(θ)=fxxx(x0+θh,y0+θk),H(θ)=fxxx(x0θh,y0+θk)

    则上面几项可以化为 h 2 24 k ( ( G ( θ 1 ) − G ( − θ 4 ) + ( H ( θ 2 ) − H ( − θ 3 ) ) ) \frac{h^2}{24k}((G(\theta_1)-G(-\theta_4)+(H(\theta_2)-H(-\theta_3))) 24kh2((G(θ1)G(θ4)+(H(θ2)H(θ3)))

    = h 2 24 k ( ( θ 1 + θ 4 ) G ′ ( ξ 1 ) + ( θ 2 + θ 3 ) H ′ ( ξ 2 ) ) =\frac{h^2}{24k}((\theta_1+\theta_4)G^{'}(\xi_1)+(\theta_2+\theta_3)H^{'}(\xi_2)) =24kh2((θ1+θ4)G(ξ1)+(θ2+θ3)H(ξ2))

    而用链式法则对 G , H G,H G,H求导,得到

    G ′ ( θ ) = h f x x x x ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + k f x x x y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) G^{'}(\theta)=hf_{xxxx}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+kf_{xxxy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k) G(θ)=hfxxxx(x0+θh,y0+θk)+kfxxxy(x0+θh,y0+θk)

    H ′ ( θ ) = − h f x x x x ( x 0 − θ h , y 0 + θ k ) + k f x x x y ( x 0 − θ h , y 0 + θ k ) H^{'}(\theta)=-hf_{xxxx}(x_0-\theta h,y_0+\theta k)+kf_{xxxy}(x_0-\theta h,y_0+\theta k) H(θ)=hfxxxx(x0θh,y0+θk)+kfxxxy(x0θh,y0+θk)

    因此,原来几项可以化为

    h 2 24 k ( ( θ 1 + θ 4 ) ( h f x x x x ( x 0 + ξ 1 h , y 0 + ξ 1 k ) + k f x x x y ( x 0 + ξ 1 h , y 0 + ξ 1 k ) ) \frac{h^2}{24k}((\theta_1+\theta_4)(hf_{xxxx}(x_0+\xi_1 h,y_0+\xi_1 k)+kf_{xxxy}(x_0+\xi_1 h,y_0+\xi_1 k)) 24kh2((θ1+θ4)(hfxxxx(x0+ξ1h,y0+ξ1k)+kfxxxy(x0+ξ1h,y0+ξ1k))

    + ( θ 2 + θ 3 ) ( − h f x x x x ( x 0 − ξ 2 h , y 0 + ξ 2 k ) + k f x x x y ( x 0 − ξ 2 h , y 0 + ξ 2 k ) ) ) +(\theta_2+\theta_3)(-hf_{xxxx}(x_0-\xi_2 h,y_0+\xi_2 k)+kf_{xxxy}(x_0-\xi_2 h,y_0+\xi_2 k))) +(θ2+θ3)(hfxxxx(x0ξ2h,y0+ξ2k)+kfxxxy(x0ξ2h,y0+ξ2k)))

    由于 θ 1 + θ 4 \theta_1+\theta_4 θ1+θ4 θ 2 + θ 3 \theta_2+\theta_3 θ2+θ3一般不相等,所以无法用拉格朗日中值定理进一步化简

    因此当 h , k h,k h,k大小接近的时候,若假设上面的四阶偏导数均有界,则有误差阶数为 O ( h 2 ) O(h^2) O(h2)

    类似地对 h 2 k , h k 2 , k 3 h^2k,hk^2,k^3 h2k,hk2,k3讨论,得到在h与k同阶的时候,误差阶数为 O ( h 2 ) O(h^2) O(h2)

    数值实验

    函数一

    f ( x , y ) = x 2 s i n ( y ) + e x y 2 f(x,y)=x^2sin(y)+e^{xy^2} f(x,y)=x2sin(y)+exy2

    f x ( x , y ) = 2 x s i n ( y ) + y 2 e x y 2 f_{x}(x,y)=2xsin(y)+y^2e^{xy^2} fx(x,y)=2xsin(y)+y2exy2

    f y ( x , y ) = x 2 c o s ( y ) + 2 x y e x y 2 f_{y}(x,y)=x^2cos(y)+2xye^{xy^2} fy(x,y)=x2cos(y)+2xyexy2

    f x y ( x , y ) = 2 x c o s ( y ) + 2 y e x y 2 + 2 x y 3 e x y 2 f_{xy}(x,y)=2xcos(y)+2ye^{xy^2}+2xy^3e^{xy^2} fxy(x,y)=2xcos(y)+2yexy2+2xy3exy2

    	import numpy as np
    	def f1(x,y):
    	    return x*x*np.sin(y)+np.exp(x*y*y)
    	def f1xy(x,y):
    	    return 2*x*np.cos(y)+2*y*np.exp(x*y*y)+2*x*y*y*y*np.exp(x*y*y)
    	x=2.5
    	y=1.8
    	h=0.1
    	k=0.1
    	print("(%.4f,%.4f)二阶混合偏导数真实值:%.10f"%(x,y,f2xy(x,y)))
    	print("序号\th,k\t\t近似公式计算值\t\t误差\t\t误差衰减倍数")
    	for i in range(20):
    	    now=(f1(x+h,y+k)-f1(x-h,y+k)-f1(x+h,y-k)+f1(x-h,y-k))*0.25/h/k
    	    print("%d\t%.7f\t%.10f\t%.10f"%(i+1,h,now,now-f1xy(x,y)),end='')
    	    if i>0:
    	        print("\t%.6f"%(las/(now-f1xy(x,y))))
    	    else:
    	        print()
    	    las=now-f1xy(x,y)
    	    h*=0.5
    	    k*=0.5
    

    (2.5000,1.8000)二阶混合偏导数真实值:2.6708851424
    序号 h,k 近似公式计算值 误差 误差衰减倍数
    1 0.1000000 133118.5135877089 25192.8754518838
    2 0.0500000 113820.5496154785 5894.9114796533 4.273665
    3 0.0250000 109375.4104465985 1449.7723107733 4.066095
    4 0.0125000 108286.6028087446 360.9646729195 4.016383
    5 0.0062500 108015.7871949166 90.1490590915 4.004087
    6 0.0031250 107948.1696480652 22.5315122401 4.001021
    7 0.0015625 107931.2706538942 5.6325180690 4.000256
    8 0.0007813 107927.0462427288 1.4081069037 4.000064
    9 0.0003906 107925.9901575744 0.3520217493 4.000057
    10 0.0001953 107925.7261663675 0.0880305424 3.998859
    11 0.0000977 107925.6601095200 0.0219736948 4.006178
    12 0.0000488 107925.6436347961 0.0054989710 3.995965
    13 0.0000244 107925.6391525269 0.0010167017 5.408637
    14 0.0000122 107925.6431579590 0.0050221338 0.202444
    15 0.0000061 107925.5615234375 -0.0766123876 -0.065553
    16 0.0000031 107925.3906250000 -0.2475108251 0.309531
    17 0.0000015 107925.4882812500 -0.1498545751 1.651673
    18 0.0000008 107926.7578125000 1.1196766749 -0.133837
    19 0.0000004 107917.9687500000 -7.6693858251 -0.145993
    20 0.0000002 107887.5000000000 -38.1381358251 0.201095

    函数二

    f ( x , y ) = x 3 2 s i n ( x + y ) f(x,y)=x^{\frac{3}{2}}sin(x+y) f(x,y)=x23sin(x+y)

    f x ( x , y ) = x 3 2 c o s ( x + y ) + 3 2 x 1 2 s i n ( x + y ) f_{x}(x,y)=x^{\frac{3}{2}}cos(x+y)+\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}sin(x+y) fx(x,y)=x23cos(x+y)+23x21sin(x+y)

    f y ( x , y ) = x 3 2 c o s ( x + y ) f_{y}(x,y)=x^{\frac{3}{2}}cos(x+y) fy(x,y)=x23cos(x+y)

    f x y ( x , y ) = − x 3 2 s i n ( x + y ) + 3 2 x 1 2 c o s ( x + y ) f_{xy}(x,y)=-x^{\frac{3}{2}}sin(x+y)+\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}cos(x+y) fxy(x,y)=x23sin(x+y)+23x21cos(x+y)

    	import numpy as np
    	def f2(x,y):
    	    return x**1.5*np.sin(x+y)
    	def f2xy(x,y):
    	    return 1.5*(x**0.5)*np.cos(x+y)-x**1.5*np.sin(x+y)
    	x=5
    	y=5
    	h=0.1
    	k=0.1
    	print("(%.4f,%.4f)二阶混合偏导数真实值:%.10f"%(x,y,f2xy(x,y)))
    	print("序号\th,k\t\t近似公式计算值\t\t误差\t\t误差衰减倍数")
    	for i in range(15):
    	    now=(f2(x+h,y+k)-f2(x-h,y+k)-f2(x+h,y-k)+f2(x-h,y-k))*0.25/h/k
    	    print("%d\t%.7f\t%.10f\t%.10f"%(i+1,h,now,now-f2xy(x,y)),end='')
    	    if i>0:
    	        print("\t%.6f"%(las/(now-f2xy(x,y))))
    	    else:
    	        print()
    	    las=now-f2xy(x,y)
    	    h*=0.5
    	    k*=0.5
    

    (5.0000,5.0000)二阶混合偏导数真实值:3.2680094602
    序号 h,k 近似公式计算值 误差 误差衰减倍数
    1 0.1000000 3.2674426586 -0.0005668017
    2 0.0500000 3.2678703460 -0.0001391142 4.074362
    3 0.0250000 3.2679748435 -0.0000346167 4.018704
    4 0.0125000 3.2680008162 -0.0000086441 4.004682
    5 0.0062500 3.2680072998 -0.0000021604 4.001154
    6 0.0031250 3.2680089201 -0.0000005401 4.000008
    7 0.0015625 3.2680093253 -0.0000001350 4.001843
    8 0.0007813 3.2680094264 -0.0000000338 3.989878
    9 0.0003906 3.2680094504 -0.0000000098 3.446221
    10 0.0001953 3.2680094533 -0.0000000069 1.421488
    11 0.0000977 3.2680094242 -0.0000000360 0.191759
    12 0.0000488 3.2680093311 -0.0000001291 0.278833
    13 0.0000244 3.2680094242 -0.0000000360 3.586371
    14 0.0000122 3.2680064440 -0.0000030162 0.011938
    15 0.0000061 3.2679975033 -0.0000119569 0.252259

    由上面几个函数的例子可以看出,h和k减小为原来一半时,误差减小为原来的四分之一,因此验证了误差的阶数为平方级别

    结论

    对于足够光滑的函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),有二阶混合偏导数计算式:

    f x y ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 − h , y 0 + k ) − f ( x 0 + h , y 0 − k ) + f ( x 0 − h , y 0 − k ) 4 h k f_{xy}(x_0,y_0)=\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0-h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0-k)+f(x_0-h,y_0-k)}{4hk} fxy(x0,y0)=4hkf(x0+h,y0+k)f(x0h,y0+k)f(x0+h,y0k)+f(x0h,y0k)

    该计算式的误差阶上界数为二阶

    由于作者水平有限,如果推导过程中有错误或考虑不周之处,还望不吝指正。

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  • 牛顿法为什么是二阶

    千次阅读 2019-06-22 16:04:47
    查了很多地方说牛顿法是二阶算法,一直没找到二阶项在哪。花了大半天的时间才弄明白。记录一下。 牛顿法一般应用场景: 求方程的根; 求解最优化方法; 比如要求f(x)=0f(x)=0f(x)=0的根。 首先,选择一个接近函数 ...

    查了很多地方说牛顿法是二阶算法,一直没找到二阶项在哪。花了大半天的时间才弄明白。记录一下。
    牛顿法一般应用场景:

    1. 求方程的根;
    2. 求解最优化方法;

    比如要求 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0的根。
    首先,选择一个接近函数 f ( x ) f(x) f(x)零点的 x 0 x_0 x0,计算相应的 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)和切线斜率 f ′ ( x 0 ) f &#x27; (x_0) f(x0)(这里 f ′ f &#x27; f表示函数 f f f的导数)。然后我们计算穿过点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0, f (x_0)) (x0,f(x0))并且斜率为 f ′ ( x 0 ) f &#x27;(x0) f(x0)的直线和 x x x 轴的交点的 x x x坐标,也就是求如下方程的解:
    f ( x 1 ) − f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ⋅ ( x 1 − x 0 ) f(x_1)-f(x_0) = f^{\prime}\left(x_{0}\right) \cdot (x_1-x_0) f(x1)f(x0)=f(x0)(x1x0)
    通常x1会比x0更接近方程f (x) = 0的解。因此我们现在可以利用x1开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:
    x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} xn+1=xnf(xn)f(xn)
    已经证明,如果f ’ 是连续的,并且待求的零点x是孤立的,那么在零点x周围存在一个区域,只要初始值x0位于这个邻近区域内,那么牛顿法必定收敛。 并且,如果f ’ (x)不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说,这意味着每迭代一次,牛顿法结果的有效数字将增加一倍。下图为一个牛顿法执行过程的例子。

    由于牛顿法是基于当前位置的切线来确定下一次的位置,所以牛顿法又被很形象地称为是"切线法"。牛顿法的搜索路径(二维情况)如下图所示:

    牛顿法搜索动态示例图:
     牛顿法搜索示意图关于牛顿法和梯度下降法的效率对比:

    从本质上去看,牛顿法是二阶收敛,梯度下降是一阶收敛,所以牛顿法就更快。如果更通俗地说的话,比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部,梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步,牛顿法在选择方向时,不仅会考虑坡度是否够大,还会考虑你走了一步之后,坡度是否会变得更大。所以,可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点,能更快地走到最底部。(牛顿法目光更加长远,所以少走弯路;相对而言,梯度下降法只考虑了局部的最优,没有全局思想。)

    根据wiki上的解释,从几何上说,牛顿法就是用一个二次曲面去拟合你当前所处位置的局部曲面,而梯度下降法是用一个平面去拟合当前的局部曲面,通常情况下,二次曲面的拟合会比平面更好,所以牛顿法选择的下降路径会更符合真实的最优下降路径。
      在这里插入图片描述
      注:红色的牛顿法的迭代路径,绿色的是梯度下降法的迭代路径。

    牛顿法的优缺点总结:
      优点:二阶收敛,收敛速度快;
      缺点:牛顿法是一种迭代算法,每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵,计算比较复杂。


    当我们将牛顿法用作优化算法的时候,它就是二阶的。
    假设我们有一个凸优化问题
    min ⁡ x f ( x ) \min _{x} f(x) xminf(x)
    也就是说我们要找一个x来最小化f(x)。对于凸优化问题,f(x)的最小值点就是f(x)的极值点,也就是导数为0的点。那么我们上面的优化问题就转换为了如下的求根问题:
    f ′ ( x ) = 0 f^{\prime}(x)=0 f(x)=0
    利用牛顿法求解上面的式子,我们先选取初始点x0,然后进行如下迭代
    x n + 1 = x n − f ′ ( x n ) f ′ ′ ( x n ) x_{n+1}=x_{n}-\frac{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}{f^{\prime \prime}\left(x_{n}\right)} xn+1=xnf(xn)f(xn)
    直到 ∣ x n + 1 − x n ∣ &lt; ϵ | x_{n+1}-x_{n} |&lt;\epsilon xn+1xn<ϵ
    综上,牛顿法求根是一阶算法,我们将优化问题转为求根问题需要一阶导数,所以用牛顿法进行最优化是二阶算法。

    参考资料
    http://sofasofa.io/forum_main_post.php?postid=1000966
    https://www.cnblogs.com/shixiangwan/p/7532830.html

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    千次阅读 2018-07-25 15:47:50
    * scp,p:foo.scp ,p表示如果scp索引的文件存在不存在的情况,程序crash(prevent of crash)。 * 对于写,选项t表示文本模式。 script文件格式是, <key> |wspecifier> 如 utt1 /foo/bar/utt1.mat 从命令行...
  • 漫步微积分十五——凹凸性和拐点

    千次阅读 2016-08-10 18:26:57
    二阶导的符号可以向我们提供凹凸信息。 图1 正的二阶导f′′(x)>0f''(x)>0说明f′(x)f'(x)的斜率是xx的增函数。这意味着切线从左到右逆时针转动,如图2左边。我们说曲线是凹的(凹面是空心的那一边)。除了切点...
  • 数学分析_函数连续问题分析

    千次阅读 2020-10-13 11:10:23
    所以,当我们判断一个函数在某点连连续,就要看上面这个式子成立与否,通常情况下我们要判断的函数都是连续的,因为连续的情况太好判断了。 f(x)f(x)f(x)是连续函数,f’(a)=limx−>af(x)−f(a)x−a=limx−&...
  • 多元函数微分的几何...多元函数就存在,偏就是固定其他因素,看两个可变因素之间是存在线性或非线性的函数关系。 通过物理性质理解。偏与全微分的意义 1、偏的物理意义: 单一参数的变化,引起的物理...
  • 第 5 章 连续性和可性 5.1连续性 5.1.1 在一点连续 如果lim⁡x→af(x)=f(a),函数f在点x=a处连续。 如果\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a),函数f在点x=a处连续。 如果x→alim​f(x)=f(a),函数f在点x=a处连续。 ...
  • §8.1 多元函数的基本概念 本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的...的偏数都存在,那未这个偏数就是 的函数,称它为函数 对自变量 的 偏函数 ,记作  。 类似地,可以定义函数 对自变量 的偏...
  • 如果该极限存在,则称函数在该点可。导数的几何意义就是函数在某一点处的切线的斜率。 以下列出了各种基本函数和运算的求导公式(这些都是高中的知识点)。 复合函数的求导公式可以推广到多层复合函数和多元复合...
  • 在微积分里面,对多元函数的参数求∂偏数,把求得的各个参数的偏数以向量的形式写出来,就是梯度。比如函数f(x,y), 分别对x,y求偏数,求得的梯度向量就是(∂f/∂x, ∂f/∂y)T,简称grad f(x,y)或者▽f(x,y)。...
  • 在LGBM的文档中,可以看到有两个参数来处理类别平衡,分别是is_unbalance和scale_pos_weight 。 在上图中的介绍中,这2个参数只能选其一,能同时选。这说明了什么呢?这2个参数肯定是起到了相同的作用。这2个...
  • 前言 以下是我为大家准备的几个精品专栏,喜欢的小伙伴可自行订阅,你的支持就是我不断更新的动力哟! MATLAB-30天带你从入门到精通 ...因为描述自治系统,只需要知道系统的空间上的各个变量的
  • 因此这些偏函数再对变量 xxx和 yyy进一步求偏,就能够得到阶数更高的偏数,也就是函数 fff的二阶数,显然二元函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y)的二阶数有四个: fxx=∂∂x(∂f∂x)=∂2f∂x2f_{xx}=\frac{\...
  • 海森矩阵及其应用

    万次阅读 2019-03-28 10:55:39
    在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶数组成的方块矩阵, 此函数如下: f(x1,x2…,xn) 如果ff的所有二阶导数都存在, 那么ff的海森矩阵即: H(f)ij(x)=DiDjf(x) ...
  • 通俗理解kaggle比赛大杀器xgboost

    万次阅读 多人点赞 2018-08-04 14:18:38
    举一个非常简单的例子,比如我今年30岁了,但计算机或者模型GBDT并知道我今年多少岁,那GBDT咋办呢? 它会在第一个弱分类器(或第一棵树中)随便用一个年龄比如20岁来拟合,然后发现误差有10岁; 接下来在第...

空空如也

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二阶导不存在的例子