反函数导数与原函数导数关系：互为倒数。设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数(即原函数，前提要f'(x)存在，且不为0)。
原函数的导数和反函数的导数成倒数关系
首先，在这里反函数必须明白是什么样的反函数。
我们一般设一个原来的函数y=f(x)
那么反函数就设为y=f^-1(x)，这两个图像关于y=x这条直线对称。
但是这样的原来函数和反函数之间的导数，谈不上什么关系。
那么要是什么样的反函数呢？
必须是写成x=f^-1(y)形式的反函数，其导数才是和原来函数的导数成倒数关系。
我们知道，在同一个x-y坐标系内，原函数y=f(x)和反函数x=f^-1(y)是同一个图像，那么对于函数上同一个点(x0，y0)点处的切线，当然就是同一条切线。
在原函数y=f(x)中，我们求的导数，从几何意义上说，就是x轴正半轴转到切线的角度的正切
而反函数x=f^-1(y)中，我们求的导数，从几何意义上说，就是y轴正半轴转到切线的角度的正切。
而这两个函数在同一个x-y坐标系内是同一条曲线，在同一个点(x0，y0)处是同一条切线。这同一条切线的“x轴正半轴转到切线的角度”和“y轴正半轴转到切线的角度”相加，当然就是90°，那么这两个角的正切当然就互为倒数。
所以才会有“原函数的导数和反函数的导数成倒数关系”的性质。
导数口诀
常为零，幂降次
对倒数(e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna)
指不变(特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna)
正变余，余变正
切割方(切函数是相应割函数(切函数的倒数)的平方)
割乘切，反分式

【思考题】
有极值，则
的取值范围为_________________.
前面研究了极值存在的条件，不知你们是怎么完成的，
我们接着研究这道题，
【解析】函数有极值，则导数 
 有变号零点.
转化为方程 
 有解问题，
观察函数 
 与 
 有交点,
由直线
和 
 都过定点 
 ，
只要他们不在
相切，则必定相交.
而相切时， 
 ，
 .
故 
 .
【小结】有极值，则导数有变号零点，如何求变号零点的，我们介绍了两种方法：①变号零点法；②交点法（小题可以做，大题不可以用哟）.
1、极值与二阶导数的关系
【例1】（2019全国1卷理数20-1）设函数 
 为 
 的导数，证明： 
 在区间 
 存在唯一极大值点.
【分析】解答题，求导数变号零点；
【解析】设 
 ，则有 
 ,
由于 
 在区间 
 上单调递减，
所以 
 在区间 
 上单调递增，而 
 , 
 ，
所以 
 在区间 
 存在唯一零点 
 .
且在 
 上 
 单调递增，在 
 上 
 单调递减，所以在 
 处取得唯一极大值.
【例2】(2018全国3卷理数21-2)已知函数 
 ,若 
 是 
 的极大值点，求 
 .
【分析】求极大值，由定义，先增后减.我们就来判断函数 
 的增加性.
【解析】求导 
 .
有 
 ,这是必要条件，我们来研究充分性.
如图： 
 （ 
 ）示意图，在这种情形下， 
 在 
 有极大值.
令 
 ，则 
 与 
 同正负区间.
而 
 , 
需要满足 
 在 
 附近先增后减（如下图），所以 
 在 
 左侧附近递增，右侧附近递减.则 
 的导数 
 在 
 附近，左正右负，
 不间断函数，由零点存在定理，则 
 ，有 
 .
检验，当 
 时， 
 在 
 上单调递减.而 
 ，所以：
 ,
当 
 时， 
 单调递增；
当 
 时， 
 单调递减；
而 
 ,所以 
 ，且仅有 
 时取等号.
所以 
 单调递减，且由于 
 ， 
 与 
 同符号.
所以有：
当 
 时， 
 单调递增；
当 
 时， 
 单调递减；
则 
 在 
 处取得极大值.
【总结】极值要求的函数在极值点两侧单调性发生改变，如果是可导函数，对应导数为变号零点.本题比较全面的诠释了极值存在的意义.很有深意！对应有以下关系
 若在 
 处取得极大(小)值，则 
 在 
 处有变号零点， 
 在 
 处单调递减（增）.
【例2】（2016山东卷文数20-2）设 
 .已知 
 在 
 处取得极大值，求正实数 
 的取值范围.
【分析】 
 是可导函数，则 
 处，导数为变号零点，且先正后负，通过讨论导数符号来解题.
【解析】 
 .
如图：
因为 
 ,要在 
 处取得极值，则在 
 附近， 
 左侧递增，右侧递减；对应 
 在 
 附近左正右负.即 
 在 
 附近单调递减.
所以 
 在 
 附近，满足 
 .
所有 
 .
检验，
当 
 时， 
 ,易证明： 
 在 
 上恒成立，则 
 单调递减，无极值，不满足.
当 
 时，有 
 .
由于 
 单调递减，且 
 ,
所以在 
 上， 
 单调递减，且 
 ,
所以易判断 
 在 
 处取得极大值.
综上， 
 .
【小结】用二阶导数来判断一届导数的符号，借助单调性和零点，数形结合应用.会大大简化讨论过程，但是需要检验哦.

拐点，又叫做反曲点，从字面意思上来说，拐就是拐弯的意思，顾名思义，指的是改变曲线向上或者向下方向的点，也可以说拐点是使切线穿越曲线的点。
那么拐点和二阶导函数之间有什么关系呢，我们一般说如果某曲线图形函数在拐点有二阶导数，则二阶导数载拐点处异号(正到负或者负到正)或者说不存在。
那么我们一般怎么来求拐点呢，我们往往有如下步骤：
1、求该曲线图形函数的二阶导数。
2、令该曲线图形函数的二阶导数等于零，解出该方程在区间内的实数根，并求出在该区间内二阶导数不存在的根。
3、对于第二个步骤求出来的根或者说二阶导数不存在的点，我们就可以进行观察了，检查二阶导数在该点左右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，很明显，该点满足异号这个条件，就说明该点是拐点，反之，该点不是拐点。
话不多说，我们来看一道实际例题，这道题目是2015年考研数学一的第一题，难度不是很大，只需要判断异号的个数即可。
图一
如图所示，这道题已经很友善了，直接给出二阶导函数f''(x)的图形，直接让我们求拐点。
那我们就可以直接得到一些信息，在x1点和x2点两个点的时候，该二阶导函数的值为零。
我们可以观察，得到x1左右两侧同号，所以x1不是拐点，排除。
x2左右两侧异号，所以x2是拐点，选择。
但是我们要注意，这里还有一个情况，那就是0这个点，由前面的信息可得，在0这个点处，二阶导函数不存在，并且点0左右异号，所以0也是一个拐点。
综上所述，这道题目的答案就应该选C。
总结一下，遇到这种题目，只需要掌握拐点的概念即可，难度不大，仔细一点就肯定没什么问题，关键还在于二阶导数等于零和二阶导数不存在求出的点可能是拐点，最后再用左右是否同号还是异号来进行判断即可。

【思考题】
有极值，则
的取值范围为_________________.
前面研究了极值存在的条件，不知你们是怎么完成的，
我们接着研究这道题，
【解析】函数有极值，则导数
 有变号零点.
转化为方程
 有解问题，
观察函数
 与 
 有交点,
由直线
和 
 都过定点 
 ，
只要他们不在
相切，则必定相交.
而相切时，
 ，
 .
故
 .
【小结】有极值，则导数有变号零点，如何求变号零点的，我们介绍了两种方法：①变号零点法；②交点法(小题可以做，大题不可以用哟).
1、极值与二阶导数的关系
【例1】(2019全国1卷理数20-1)设函数
 为 
 的导数，证明： 
 在区间 
 存在唯一极大值点.
【分析】解答题，求导数变号零点；
【解析】设
 ，则有 
 ,
由于
 在区间 
 上单调递减，
所以
 在区间 
 上单调递增，而 
 , 
 ，
所以
 在区间 
 存在唯一零点 
 .
且在
 上 
 单调递增，在 
 上 
 单调递减，所以在 
 处取得唯一极大值.
【例2】(2018全国3卷理数21-2)已知函数
 ,若 
 是 
 的极大值点，求 
 .
【分析】求极大值，由定义，先增后减.我们就来判断函数
 的增加性.
【解析】求导
 .
有
 ,这是必要条件，我们来研究充分性.
如图：
 ( 
 )示意图，在这种情形下， 
 在 
 有极大值.
令
 ，则 
 与 
 同正负区间.
而
 , 
需要满足
 在 
 附近先增后减(如下图)，所以 
 在 
 左侧附近递增，右侧附近递减.则 
 的导数 
 在 
 附近，左正右负，
 不间断函数，由零点存在定理，则 
 ，有 
 .
检验，当
 时， 
 在 
 上单调递减.而 
 ，所以：
 ,
当
 时， 
 单调递增；
当
 时， 
 单调递减；
而
 ,所以 
 ，且仅有 
 时取等号.
所以
 单调递减，且由于 
 ， 
 与 
 同符号.
所以有：
当
 时， 
 单调递增；
当
 时， 
 单调递减；
则
 在 
 处取得极大值.
【总结】极值要求的函数在极值点两侧单调性发生改变，如果是可导函数，对应导数为变号零点.本题比较全面的诠释了极值存在的意义.很有深意！对应有以下关系
 若在 
 处取得极大(小)值，则 
 在 
 处有变号零点， 
 在 
 处单调递减(增).
【例2】(2016山东卷文数20-2)设
 .已知 
 在 
 处取得极大值，求正实数 
 的取值范围.
【分析】
 是可导函数，则 
 处，导数为变号零点，且先正后负，通过讨论导数符号来解题.
【解析】
 .
如图：
因为
 ,要在 
 处取得极值，则在 
 附近， 
 左侧递增，右侧递减；对应 
 在 
 附近左正右负.即 
 在 
 附近单调递减.
所以
 在 
 附近，满足 
 .
所有
 .
检验，
当
 时， 
 ,易证明： 
 在 
 上恒成立，则 
 单调递减，无极值，不满足.
当
 时，有 
 .
由于
 单调递减，且 
 ,
所以在
 上， 
 单调递减，且 
 ,
所以易判断
 在 
 处取得极大值.
综上，
 .
【小结】用二阶导数来判断一届导数的符号，借助单调性和零点，数形结合应用.会大大简化讨论过程，但是需要检验哦.