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分式的二阶导数怎么求_数学提高反函数导数与原函数导数关系
2021-01-02 14:45:20设原函数为y=f(x),则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数(即原函数,前提要f'(x)存在,且不为0)。原函数的导数和反函数的导数成倒数关系首先,在这里反函数必须明白是什么样的反函数。我们一般设一个原来的函数y=f...反函数导数与原函数导数关系:互为倒数。设原函数为y=f(x),则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数(即原函数,前提要f'(x)存在,且不为0)。
原函数的导数和反函数的导数成倒数关系
首先,在这里反函数必须明白是什么样的反函数。
我们一般设一个原来的函数y=f(x)
那么反函数就设为y=f^-1(x),这两个图像关于y=x这条直线对称。
但是这样的原来函数和反函数之间的导数,谈不上什么关系。
那么要是什么样的反函数呢?
必须是写成x=f^-1(y)形式的反函数,其导数才是和原来函数的导数成倒数关系。
我们知道,在同一个x-y坐标系内,原函数y=f(x)和反函数x=f^-1(y)是同一个图像,那么对于函数上同一个点(x0,y0)点处的切线,当然就是同一条切线。
在原函数y=f(x)中,我们求的导数,从几何意义上说,就是x轴正半轴转到切线的角度的正切
而反函数x=f^-1(y)中,我们求的导数,从几何意义上说,就是y轴正半轴转到切线的角度的正切。
而这两个函数在同一个x-y坐标系内是同一条曲线,在同一个点(x0,y0)处是同一条切线。这同一条切线的“x轴正半轴转到切线的角度”和“y轴正半轴转到切线的角度”相加,当然就是90°,那么这两个角的正切当然就互为倒数。
所以才会有“原函数的导数和反函数的导数成倒数关系”的性质。
导数口诀
常为零,幂降次
对倒数(e为底时直接倒数,a为底时乘以1/lna)
指不变(特别的,自然对数的指数函数完全不变,一般的指数函数须乘以lna)
正变余,余变正
切割方(切函数是相应割函数(切函数的倒数)的平方)
割乘切,反分式
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python 求一阶导数 二阶导数_极值与二阶导数的关系
2021-01-10 10:04:05前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,我们接着研究这道题,【解析】函数有极值,则导数 有变号零点.转化为方程 有解问题,观察函数 与 有交点,由直线和 都过定点 ,只要他们不在相切,则必定相交.而...【思考题】
有极值,则
的取值范围为_________________.
前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,
我们接着研究这道题,
【解析】函数有极值,则导数
有变号零点.
转化为方程
有解问题,
观察函数
与
有交点,
由直线
和
都过定点
,
只要他们不在
相切,则必定相交.
而相切时,
,
.
故
.
【小结】有极值,则导数有变号零点,如何求变号零点的,我们介绍了两种方法:①变号零点法;②交点法(小题可以做,大题不可以用哟).
1、极值与二阶导数的关系
【例1】(2019全国1卷理数20-1)设函数
为
的导数,证明:
在区间
存在唯一极大值点.
【分析】解答题,求导数变号零点;
【解析】设
,则有
,
由于
在区间
上单调递减,
所以
在区间
上单调递增,而
,
,
所以
在区间
存在唯一零点
.
且在
上
单调递增,在
上
单调递减,所以在
处取得唯一极大值.
【例2】(2018全国3卷理数21-2)已知函数
,若
是
的极大值点,求
.
【分析】求极大值,由定义,先增后减.我们就来判断函数
的增加性.
【解析】求导
.
有
,这是必要条件,我们来研究充分性.
如图:
(
)示意图,在这种情形下,
在
有极大值.
令
,则
与
同正负区间.
而
,
需要满足
在
附近先增后减(如下图),所以
在
左侧附近递增,右侧附近递减.则
的导数
在
附近,左正右负,
不间断函数,由零点存在定理,则
,有
.
检验,当
时,
在
上单调递减.而
,所以:
,
当
时,
单调递增;
当
时,
单调递减;
而
,所以
,且仅有
时取等号.
所以
单调递减,且由于
,
与
同符号.
所以有:
当
时,
单调递增;
当
时,
单调递减;
则
在
处取得极大值.
【总结】极值要求的函数在极值点两侧单调性发生改变,如果是可导函数,对应导数为变号零点.本题比较全面的诠释了极值存在的意义.很有深意!对应有以下关系
若在
处取得极大(小)值,则
在
处有变号零点,
在
处单调递减(增).
【例2】(2016山东卷文数20-2)设
.已知
在
处取得极大值,求正实数
的取值范围.
【分析】
是可导函数,则
处,导数为变号零点,且先正后负,通过讨论导数符号来解题.
【解析】
.
如图:
因为
,要在
处取得极值,则在
附近,
左侧递增,右侧递减;对应
在
附近左正右负.即
在
附近单调递减.
所以
在
附近,满足
.
所有
.
检验,
当
时,
,易证明:
在
上恒成立,则
单调递减,无极值,不满足.
当
时,有
.
由于
单调递减,且
,
所以在
上,
单调递减,且
,
所以易判断
在
处取得极大值.
综上,
.
【小结】用二阶导数来判断一届导数的符号,借助单调性和零点,数形结合应用.会大大简化讨论过程,但是需要检验哦.
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怎么判断二阶导数是否异号_「高等数学」给出函数的二阶导函数图形,求该曲线图形拐点的个数...
2021-01-10 10:04:05那么拐点和二阶导函数之间有什么关系呢,我们一般说如果某曲线图形函数在拐点有二阶导数,则二阶导数载拐点处异号(正到负或者负到正)或者说不存在。那么我们一般怎么来求拐点呢,我们往往有如下步骤:1、求该曲线...拐点,又叫做反曲点,从字面意思上来说,拐就是拐弯的意思,顾名思义,指的是改变曲线向上或者向下方向的点,也可以说拐点是使切线穿越曲线的点。
那么拐点和二阶导函数之间有什么关系呢,我们一般说如果某曲线图形函数在拐点有二阶导数,则二阶导数载拐点处异号(正到负或者负到正)或者说不存在。
那么我们一般怎么来求拐点呢,我们往往有如下步骤:
1、求该曲线图形函数的二阶导数。
2、令该曲线图形函数的二阶导数等于零,解出该方程在区间内的实数根,并求出在该区间内二阶导数不存在的根。
3、对于第二个步骤求出来的根或者说二阶导数不存在的点,我们就可以进行观察了,检查二阶导数在该点左右两侧邻近的符号,当两侧的符号相反时,很明显,该点满足异号这个条件,就说明该点是拐点,反之,该点不是拐点。
话不多说,我们来看一道实际例题,这道题目是2015年考研数学一的第一题,难度不是很大,只需要判断异号的个数即可。
图一
如图所示,这道题已经很友善了,直接给出二阶导函数f''(x)的图形,直接让我们求拐点。
那我们就可以直接得到一些信息,在x1点和x2点两个点的时候,该二阶导函数的值为零。
我们可以观察,得到x1左右两侧同号,所以x1不是拐点,排除。
x2左右两侧异号,所以x2是拐点,选择。
但是我们要注意,这里还有一个情况,那就是0这个点,由前面的信息可得,在0这个点处,二阶导函数不存在,并且点0左右异号,所以0也是一个拐点。
综上所述,这道题目的答案就应该选C。
总结一下,遇到这种题目,只需要掌握拐点的概念即可,难度不大,仔细一点就肯定没什么问题,关键还在于二阶导数等于零和二阶导数不存在求出的点可能是拐点,最后再用左右是否同号还是异号来进行判断即可。
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一阶导与二阶导的关系_极值与二阶导数的关系
2021-01-13 18:32:11前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,我们接着研究这道题,【解析】函数有极值,则导数 有变号零点.转化为方程 有解问题,观察函数 与 有交点,由直线和 都过定点 ,只要他们不在相切,则必定相交.而...【思考题】
有极值,则
的取值范围为_________________.
前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,
我们接着研究这道题,
【解析】函数有极值,则导数
有变号零点.
转化为方程
有解问题,
观察函数
与
有交点,
由直线
和
都过定点
,
只要他们不在
相切,则必定相交.
而相切时,
,
.
故
.
【小结】有极值,则导数有变号零点,如何求变号零点的,我们介绍了两种方法:①变号零点法;②交点法(小题可以做,大题不可以用哟).
1、极值与二阶导数的关系
【例1】(2019全国1卷理数20-1)设函数
为
的导数,证明:
在区间
存在唯一极大值点.
【分析】解答题,求导数变号零点;
【解析】设
,则有
,
由于
在区间
上单调递减,
所以
在区间
上单调递增,而
,
,
所以
在区间
存在唯一零点
.
且在
上
单调递增,在
上
单调递减,所以在
处取得唯一极大值.
【例2】(2018全国3卷理数21-2)已知函数
,若
是
的极大值点,求
.
【分析】求极大值,由定义,先增后减.我们就来判断函数
的增加性.
【解析】求导
.
有
,这是必要条件,我们来研究充分性.
如图:
(
)示意图,在这种情形下,
在
有极大值.
令
,则
与
同正负区间.
而
,
需要满足
在
附近先增后减(如下图),所以
在
左侧附近递增,右侧附近递减.则
的导数
在
附近,左正右负,
不间断函数,由零点存在定理,则
,有
.
检验,当
时,
在
上单调递减.而
,所以:
,
当
时,
单调递增;
当
时,
单调递减;
而
,所以
,且仅有
时取等号.
所以
单调递减,且由于
,
与
同符号.
所以有:
当
时,
单调递增;
当
时,
单调递减;
则
在
处取得极大值.
【总结】极值要求的函数在极值点两侧单调性发生改变,如果是可导函数,对应导数为变号零点.本题比较全面的诠释了极值存在的意义.很有深意!对应有以下关系
若在
处取得极大(小)值,则
在
处有变号零点,
在
处单调递减(增).
【例2】(2016山东卷文数20-2)设
.已知
在
处取得极大值,求正实数
的取值范围.
【分析】
是可导函数,则
处,导数为变号零点,且先正后负,通过讨论导数符号来解题.
【解析】
.
如图:
因为
,要在
处取得极值,则在
附近,
左侧递增,右侧递减;对应
在
附近左正右负.即
在
附近单调递减.
所以
在
附近,满足
.
所有
.
检验,
当
时,
,易证明:
在
上恒成立,则
单调递减,无极值,不满足.
当
时,有
.
由于
单调递减,且
,
所以在
上,
单调递减,且
,
所以易判断
在
处取得极大值.
综上,
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【小结】用二阶导数来判断一届导数的符号,借助单调性和零点,数形结合应用.会大大简化讨论过程,但是需要检验哦.
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