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  • 设原函数为y=f(x),则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数(即原函数,前提要f'(x)存在,且为0)。原函数的导数和反函数的导数成倒数关系首先,在这里反函数必须明白是什么样的反函数。我们一般设一个原来的函数y=f...

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    反函数导数与原函数导数关系:互为倒数。设原函数为y=f(x),则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数(即原函数,前提要f'(x)存在,且不为0)。

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    函数的导数和反函数的导数成倒数关系

    首先,在这里反函数必须明白是什么样的反函数。

    我们一般设一个原来的函数y=f(x)

    那么反函数就设为y=f^-1(x),这两个图像关于y=x这条直线对称。

    但是这样的原来函数和反函数之间的导数,谈不上什么关系。

    那么要是什么样的反函数呢?

    必须是写成x=f^-1(y)形式的反函数,其导数才是和原来函数的导数成倒数关系。

    我们知道,在同一个x-y坐标系内,原函数y=f(x)和反函数x=f^-1(y)是同一个图像,那么对于函数上同一个点(x0,y0)点处的切线,当然就是同一条切线。

    在原函数y=f(x)中,我们求的导数,从几何意义上说,就是x轴正半轴转到切线的角度的正切

    而反函数x=f^-1(y)中,我们求的导数,从几何意义上说,就是y轴正半轴转到切线的角度的正切。

    而这两个函数在同一个x-y坐标系内是同一条曲线,在同一个点(x0,y0)处是同一条切线。这同一条切线的“x轴正半轴转到切线的角度”和“y轴正半轴转到切线的角度”相加,当然就是90°,那么这两个角的正切当然就互为倒数。

    所以才会有“原函数的导数和反函数的导数成倒数关系”的性质。

    导数口诀

    常为零,幂降次

    对倒数(e为底时直接倒数,a为底时乘以1/lna)

    指不变(特别的,自然对数的指数函数完全不变,一般的指数函数须乘以lna)

    正变余,余变正

    切割方(切函数是相应割函数(切函数的倒数)的平方)

    割乘切,反分式

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  • 前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,我们接着研究这道题,【解析】函数有极值,则导数 有变号零点.转化为方程 有解问题,观察函数 与 有交点,由直线和 都过定点 ,只要他们在相切,则必定相交.而...

    【思考题】

    equation?tex=f%28x%29%3De%5Ex-ax%5E2-x有极值,则
    equation?tex=a的取值范围为_________________.

    前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,

    我们接着研究这道题,

    【解析】函数有极值,则导数

    equation?tex=f%27%28x%29%3De%5Ex-2ax-1 有变号零点.

    转化为方程

    equation?tex=e%5Ex%3D2ax%2B1 有解问题,

    观察函数

    equation?tex=y%3De%5Ex
    equation?tex=y%3D2ax%2B1 有交点,

    由直线

    equation?tex=y%3D2ax%2B1
    equation?tex=y%3De%5Ex 都过定点
    equation?tex=%280%2C1%29

    只要他们不在

    equation?tex=%280%2C1%29相切,则必定相交.

    而相切时,

    equation?tex=k%3De%5E%7B0%7D%3D1

    equation?tex=2a%5Cne+1%5CRightarrow+a%5Cne%5Cfrac12 .

    equation?tex=a%5Cin%28-%5Cinfty%2C%5Cfrac12%29%5Ccup%28%5Cfrac12%2C%5Cinfty%29 .

    【小结】有极值,则导数有变号零点,如何求变号零点的,我们介绍了两种方法:①变号零点法;②交点法(小题可以做,大题不可以用哟).

    1、极值与二阶导数的关系

    【例1】(2019全国1卷理数20-1)设函数

    equation?tex=f%28x%29%3Dsinx-ln%281%2Bx%29%2Cf%27%28x%29
    equation?tex=f%28x%29 的导数,证明:
    equation?tex=f%27%28x%29 在区间
    equation?tex=%28-1%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29 存在唯一极大值点.

    【分析】解答题,求导数变号零点;

    【解析】设

    equation?tex=g%28x%29%3Df%27%28x%29%3Dcosx-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B1%7D ,则有
    equation?tex=g%27%28x%29%3D-sinx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D ,

    由于

    equation?tex=y%3D-sinx%2Cy%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D 在区间
    equation?tex=%28-1%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29 上单调递减,

    所以

    equation?tex=g%27%28x%29 在区间
    equation?tex=%28-1%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29 上单调递增,而
    equation?tex=g%28-%5Cfrac12%29%3Dsin%5Cfrac12%2B%5Cfrac49%3E0 ,
    equation?tex=g%27%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29%3C-1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%281%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29%5E2%7D%3C0

    所以

    equation?tex=g%27%28x%29 在区间
    equation?tex=%28-1%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29 存在唯一零点
    equation?tex=x_0 .

    且在

    equation?tex=%28-1%2Cx_0%29
    equation?tex=g%27%28x%29%3E0%2Cg%28x%29 单调递增,在
    equation?tex=%28x_0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29
    equation?tex=g%27%28x%29%3C0%2Cg%28x%29 单调递减,所以在
    equation?tex=x%3Dx_0 处取得唯一极大值.

    【例2】(2018全国3卷理数21-2)已知函数

    equation?tex=f%28x%29%3D%282%2Bx%2Bax%5E2%29ln%281%2Bx%29-2x ,若
    equation?tex=x%3D0
    equation?tex=f%28x%29 的极大值点,求
    equation?tex=a .

    【分析】求极大值,由定义,先增后减.我们就来判断函数

    equation?tex=f%28x%29 的增加性.

    【解析】求导

    equation?tex=f%27%28x%29%3D%281%2B2ax%29ln%281%2Bx%29-2%2B%5Cfrac%7B2%2Bx%2Bax%5E2%7D%7B1%2Bx%7D
    equation?tex=%3D%5Cfrac%7Bax%5E2-x%2B%281%2B2ax%29%281%2Bx%29ln%28x%2B1%29%7D%7B1%2Bx%7D%28x%3E-1%29 .

    equation?tex=f%27%280%29%3D0 ,这是必要条件,我们来研究充分性.

    如图:

    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=h%28x%29 )示意图,在这种情形下,
    equation?tex=f%28x%29
    equation?tex=x%3D0 有极大值.

    41f4e9cc865332a0124db396ff95cf85.png

    equation?tex=h%28x%29%3Dax%5E2-x%2B%281%2B2ax%29%281%2Bx%29ln%28x%2B1%29 ,则
    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=h%28x%29 同正负区间.

    equation?tex=h%27%28x%29%3D4ax%2B%284ax%2B2a%2B1%29ln%281%2Bx%29 ,
    equation?tex=h%27%280%29%3D0

    需要满足

    equation?tex=h%27%28x%29
    equation?tex=x%3D0 附近先增后减(如下图),所以
    equation?tex=h%27%28x%29
    equation?tex=x%3D0 左侧附近递增,右侧附近递减.则
    equation?tex=h%27%28x%29 的导数
    equation?tex=h%27%27%28x%29
    equation?tex=x%3D0 附近,左正右负,

    ca4deeca52ee737c49bed12a91bb8603.png

    equation?tex=h%27%27%28x%29%3D8a%2B4aln%281%2Bx%29%2B%5Cfrac%7B1-2a%7D%7B1%2Bx%7D 不间断函数,由零点存在定理,则
    equation?tex=h%27%27%280%29%3D6a%2B1%3D0 ,有
    equation?tex=a%3D-%5Cfrac16 .

    检验,当

    equation?tex=a%3D-%5Cfrac16 时,
    equation?tex=h%27%27%28x%29%3D-%5Cfrac43-%5Cfrac23ln%28x%2B1%29%2B%5Cfrac%7B%5Cfrac23%7D%7B1%2Bx%7D
    equation?tex=%28-1%2C%2B%5Cinfty%29 上单调递减.而
    equation?tex=h%27%27%280%29%3D0 ,所以:

    equation?tex=h%27%28x%29%3D-%5Cfrac23x%2B%28-%5Cfrac23x%2B%5Cfrac23%29ln%281%2Bx%29 ,

    equation?tex=-1%3Cx%3C0 时,
    equation?tex=h%27%27%28x%29%3E0%5CRightarrow+h%27%28x%29 单调递增;

    equation?tex=x%3E0 时,
    equation?tex=h%27%27%28x%29%3C0%5CRightarrow+h%27%28x%29 单调递减;

    equation?tex=h%27%280%29%3D0 ,所以
    equation?tex=h%27%28x%29%5Cleq0 ,且仅有
    equation?tex=x%3D0 时取等号.

    所以

    equation?tex=h%28x%29 单调递减,且由于
    equation?tex=h%280%29%3D0
    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=h%28x%29 同符号.

    所以有:

    equation?tex=-1%3Cx%3C0 时,
    equation?tex=h%28x%29%3E0%5CRightarrow+f%28x%29 单调递增;

    equation?tex=x%3E0 时,
    equation?tex=h%28x%29%3C0%5CRightarrow+f%28x%29 单调递减;

    equation?tex=f%28x%29
    equation?tex=x%3D0 处取得极大值.

    【总结】极值要求的函数在极值点两侧单调性发生改变,如果是可导函数,对应导数为变号零点.本题比较全面的诠释了极值存在的意义.很有深意!对应有以下关系

    equation?tex=f%28x%29 若在
    equation?tex=x%3Dx_0 处取得极大(小)值,则
    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=x%3Dx_0 处有变号零点,
    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=x%3Dx_0 处单调递减(增).

    【例2】(2016山东卷文数20-2)设

    equation?tex=f%28x%29%3Dxlnx-ax%5E2%2B%282a-1%29x%2Ca%5Cin+R .已知
    equation?tex=f%28x%29
    equation?tex=x%3D1 处取得极大值,求正实数
    equation?tex=a 的取值范围.

    【分析】

    equation?tex=f%28x%29 是可导函数,则
    equation?tex=x%3D1 处,导数为变号零点,且先正后负,通过讨论导数符号来解题.

    【解析】

    equation?tex=f%27%28x%29%3Dlnx-2a%28x-1%29%28x%3E0%2Ca%3E0%29 .

    如图:

    92171233aaea2539ee4a808823f9c039.png

    因为

    equation?tex=f%27%281%29%3D0 ,要在
    equation?tex=x%3D1 处取得极值,则在
    equation?tex=x%3D1 附近,
    equation?tex=f%28x%29 左侧递增,右侧递减;对应
    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=x%3D1 附近左正右负.即
    equation?tex=f%27%28x%29
    equation?tex=x%3D1 附近单调递减.

    所以

    equation?tex=f%27%27%28x%29
    equation?tex=x%3D1 附近,满足
    equation?tex=f%27%27%28x%29%5Cleq0 .

    所有

    equation?tex=f%27%27%281%29%3D1-2a%5Cleq0%5CRightarrow+a%5Cgeq%5Cfrac12 .

    检验,

    equation?tex=a%3D%5Cfrac12 时,
    equation?tex=f%27%28x%29%3Dlnx-x%2B1 ,易证明:
    equation?tex=f%27%28x%29%5Cleq0
    equation?tex=%280%2C%2B%5Cinfty%29 上恒成立,则
    equation?tex=f%28x%29 单调递减,无极值,不满足.

    equation?tex=a%3E%5Cfrac12 时,有
    equation?tex=f%27%27%28x%29%3D%5Cfrac1x-2a%28x%3E0%29 .

    由于

    equation?tex=f%27%27%28x%29 单调递减,且
    equation?tex=f%27%27%281%29%3D1-2a%3C0 ,

    所以在

    equation?tex=%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%EF%BC%8C%2B%5Cinfty%29%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%3C1%29 上,
    equation?tex=f%27%27%28x%29%3C0%5CRightarrow
    equation?tex=f%27%28x%29 单调递减,且
    equation?tex=f%27%281%29%3D0 ,

    所以易判断

    equation?tex=f%28x%29
    equation?tex=x%3D1 处取得极大值.

    综上,

    equation?tex=a%5Cin%28%5Cfrac12%2C%2B%5Cinfty%29 .

    【小结】用二阶导数来判断一届导数的符号,借助单调性和零点,数形结合应用.会大大简化讨论过程,但是需要检验哦.

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  • 那么拐点和二阶导函数之间有什么关系呢,我们一般说如果某曲线图形函数在拐点有二阶导数,则二阶导数载拐点处异号(正到负或者负到正)或者说不存在。那么我们一般怎么来求拐点呢,我们往往有如下步骤:1、求该曲线...

    拐点,又叫做反曲点,从字面意思上来说,拐就是拐弯的意思,顾名思义,指的是改变曲线向上或者向下方向的点,也可以说拐点是使切线穿越曲线的点。

    那么拐点和二阶导函数之间有什么关系呢,我们一般说如果某曲线图形函数在拐点有二阶导数,则二阶导数载拐点处异号(正到负或者负到正)或者说不存在。

    那么我们一般怎么来求拐点呢,我们往往有如下步骤:

    1、求该曲线图形函数的二阶导数。

    2、令该曲线图形函数的二阶导数等于零,解出该方程在区间内的实数根,并求出在该区间内二阶导数不存在的根。

    3、对于第二个步骤求出来的根或者说二阶导数不存在的点,我们就可以进行观察了,检查二阶导数在该点左右两侧邻近的符号,当两侧的符号相反时,很明显,该点满足异号这个条件,就说明该点是拐点,反之,该点不是拐点。

    话不多说,我们来看一道实际例题,这道题目是2015年考研数学一的第一题,难度不是很大,只需要判断异号的个数即可。

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    图一

    如图所示,这道题已经很友善了,直接给出二阶导函数f''(x)的图形,直接让我们求拐点。

    那我们就可以直接得到一些信息,在x1点和x2点两个点的时候,该二阶导函数的值为零。

    我们可以观察,得到x1左右两侧同号,所以x1不是拐点,排除。

    x2左右两侧异号,所以x2是拐点,选择。

    但是我们要注意,这里还有一个情况,那就是0这个点,由前面的信息可得,在0这个点处,二阶导函数不存在,并且点0左右异号,所以0也是一个拐点。

    综上所述,这道题目的答案就应该选C。

    总结一下,遇到这种题目,只需要掌握拐点的概念即可,难度不大,仔细一点就肯定没什么问题,关键还在于二阶导数等于零和二阶导数不存在求出的点可能是拐点,最后再用左右是否同号还是异号来进行判断即可。

    展开全文
  • 前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,我们接着研究这道题,【解析】函数有极值,则导数 有变号零点.转化为方程 有解问题,观察函数 与 有交点,由直线和 都过定点 ,只要他们在相切,则必定相交.而...

    【思考题】

    有极值,则

    的取值范围为_________________.

    前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,

    我们接着研究这道题,

    【解析】函数有极值,则导数

    有变号零点.

    转化为方程

    有解问题,

    观察函数

    有交点,

    由直线

    都过定点

    只要他们不在

    相切,则必定相交.

    而相切时,

    .

    .

    【小结】有极值,则导数有变号零点,如何求变号零点的,我们介绍了两种方法:①变号零点法;②交点法(小题可以做,大题不可以用哟).

    1、极值与二阶导数的关系

    【例1】(2019全国1卷理数20-1)设函数

    的导数,证明:

    在区间

    存在唯一极大值点.

    【分析】解答题,求导数变号零点;

    【解析】设

    ,则有

    ,

    由于

    在区间

    上单调递减,

    所以

    在区间

    上单调递增,而

    ,

    所以

    在区间

    存在唯一零点

    .

    且在

    单调递增,在

    单调递减,所以在

    处取得唯一极大值.

    【例2】(2018全国3卷理数21-2)已知函数

    ,若

    的极大值点,求

    .

    【分析】求极大值,由定义,先增后减.我们就来判断函数

    的增加性.

    【解析】求导

    .

    ,这是必要条件,我们来研究充分性.

    如图:

    (

    )示意图,在这种情形下,

    有极大值.

    ,则

    同正负区间.

    ,

    需要满足

    附近先增后减(如下图),所以

    左侧附近递增,右侧附近递减.则

    的导数

    附近,左正右负,

    不间断函数,由零点存在定理,则

    ,有

    .

    检验,当

    时,

    上单调递减.而

    ,所以:

    ,

    时,

    单调递增;

    时,

    单调递减;

    ,所以

    ,且仅有

    时取等号.

    所以

    单调递减,且由于

    同符号.

    所以有:

    时,

    单调递增;

    时,

    单调递减;

    处取得极大值.

    【总结】极值要求的函数在极值点两侧单调性发生改变,如果是可导函数,对应导数为变号零点.本题比较全面的诠释了极值存在的意义.很有深意!对应有以下关系

    若在

    处取得极大(小)值,则

    处有变号零点,

    处单调递减(增).

    【例2】(2016山东卷文数20-2)设

    .已知

    处取得极大值,求正实数

    的取值范围.

    【分析】

    是可导函数,则

    处,导数为变号零点,且先正后负,通过讨论导数符号来解题.

    【解析】

    .

    如图:

    因为

    ,要在

    处取得极值,则在

    附近,

    左侧递增,右侧递减;对应

    附近左正右负.即

    附近单调递减.

    所以

    附近,满足

    .

    所有

    .

    检验,

    时,

    ,易证明:

    上恒成立,则

    单调递减,无极值,不满足.

    时,有

    .

    由于

    单调递减,且

    ,

    所以在

    上,

    单调递减,且

    ,

    所以易判断

    处取得极大值.

    综上,

    .

    【小结】用二阶导数来判断一届导数的符号,借助单调性和零点,数形结合应用.会大大简化讨论过程,但是需要检验哦.

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  • 利用Matlab寻找曲线拐点

    万次阅读 2017-03-28 21:05:05
    参考文章:数学凸凹性和拐点(数学知识:了解如何寻找曲线拐点) 详细:对函数二阶导数,判断二阶导数的值,如果二阶导数为常数恒大于零-------------则在定义域内是上凹不存在拐点。
  • 牛顿法需要一阶和二阶导数,如果导函数不可用,则可以通过伪牛顿(Quasi-Newton)方法近似它们。如果导函数直接不存在怎么办?函数中存在不连续则可能发生这种情况。 Nelder-Mead Method 在Nelder-Mead算法下即使...
  • 拐点和驻点区别先说定义,驻点bai:一阶导数为0点。拐点:函du数凹凸性发生变化点。极值zhi点:在邻域内为最大值点。...如何判定极值点:取极值点 一阶导数为0或导数不存在。1,一阶导为0时,...
  • opencv 学习(5)拐点查找

    千次阅读 2018-11-22 21:34:11
    引言  图像处理过程中,拐点...若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数,则二阶导数在拐点处异号(由正变负或由负变正)或不存在。 拐点的定义:若曲线图形在一点由凸转凹,或由凹转凸,则称此点为拐点。直观地说,...
  • Mexican Hat函数是Gauss函数的二阶导数,Mexican Hat小波变换优点是在时域和频率都有很好局部化,是对称,可用于连续小波变换。并且比较接近人眼空间响应特征,可用于计算机视觉中图像边缘检测。但它不存在...
  • 极值只可能是导数为0或者导数不存在的点 如何判断: 左右导数是否变号 二阶导数是否!=0 导数不存在且为极值的条件是该点必须连续 有关分段函数在分界点上是否为拐点或取得极值,只需要要求函数连续,然后判断左右...
  • 拐点

    2017-08-29 16:58:00
    若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数,则二阶导数在拐点处异号(由正变负或由负变正)或不存在。 重庆 我一直在思考,我怎么成为了我?究竟有哪些事情影响了一生的走向?现在发现,人生就像数学中起起伏伏的曲线,...
  • 拐点:二阶导数为零,且三阶导不为零;驻点:一阶导数为零或不存在。区别:可导函数f(x)极值点【必定】是它驻点。驻点与拐点区别驻点仅仅就是指一阶导数等于0点。拐点是指凹凸性改变点。函数的一阶导数为0...
  • 摘要: 本节给出了凸函数的三个等价条件,分别是从割线角度,导函数的角度,二阶函数的角度来研究,并且给出了凸函数的三个推论,由此可知凸函数在定义域每一点(除去端点)连续,且左右导数存在。凸函数定义设...
  • 存在灰度值突变,但在人理解下应该是)突变 == 函数的一阶导数(变化)极值点 == 函数的二阶导数的零点 函数是什么? 图片坐标(x, y)到灰度值映射(一个二元函数) 噪音:求导阶数越大,受噪音影响越大...
  • 引言 ... 直接搜索方法往往收敛速度较慢,但可以对函数和约束条件中噪声存在的限制更为宽松. 通常情况下,算法只建立问题的局部模型. 此外,许多这种算法总是寻求目标函数,或者由目标函数和约束条
  • 二阶导数和高阶导数 在一点上连续 如果,函数在点处连续 假设函数有一个点附近是连续【左,右连续】,这个函数的其它地方连续没关系,只要在附近连续就可以,总结点上连续;一、点存在,必须有定义,...
  • 高等数学(1)

    2015-09-29 23:26:00
    高等数学几点理解: ...0时候,在原点附近剧烈震荡,所以极限不存在。  (sinx)/x , 当x->0时候,极限值是1。 2.导数某种程度是对函数的进一步刻画,二阶导数是更进一步刻画 3.类比...

空空如也

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二阶导数不存在的函数