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  • 下面我来不用这些函数,介绍简单的函数求一阶导数二阶导数差分方法以及其MATLAB实现。 工具/原料 matlab软件 一组数据,程序中已经准备好了 方法/步骤 求解一阶导数的公式:y'=[y(x0+h)-y(x0-h)]...

    matlab在计算数值求导方面有很多函数。下面我来不用这些函数,介绍简单的函数求一阶导数二阶导数的差分方法以及其MATLAB实现。

    工具/原料

    • matlab软件
    • 一组数据,程序中已经准备好了

    方法/步骤

    1. 求解一阶导数的公式:y'=[y(x0+h)-y(x0-h)]/(2h);

      求解二阶导数的公式:y''=[y(x0+h)-2*y(x0)+y(x0-h)]/h²;

      这里的自变量是x,因变量是y,步长是h

    2. 再进行编程。以下是我的求解程序:

      clc;clear all

      h=0.01;

      %x属于【a,b】

      a=-5;b=5;

      x=a:h:b;

      n=length(x);

      %定义y

      y=sin(0.3*x).*cos(3*x);

      hold on

      grid on

      yx=zeros(1,n);

      yxx=zeros(1,n);

      for i=2:n-1

        yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);

        yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/h^2;

      end

      plot(x,y,'r','linewidth',2)

      plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),'g','linewidth',2);

      plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),'b','linewidth',2);

      legend('原函数','差分一阶导数','差分二阶导数')

      xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);

      ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);

    3. 复制以上程序到*.m文件中去,保存并运行,可以得到函数图像确实十分接近理论上的解答。以下是运行以后作出的图。

      MATLAB中用差分法求解函数的一阶导数和二阶导数
    4. 4

      最后就大功告成啦!对于任意一组数据(间距相等)这个程序都可以很好滴求解一阶导数、二阶导数哟;还有你可以加以改进,不管是间距相等还是不相等都好做。

      END

    注意事项

    • 间距h自己输入;ab范围自己定义
    • 仅仅适用于等间隔差分
    展开全文
  • 摘要:本课题主要研究运用有限差分法来数值求解线性及非线性的二阶常微分方程的边值问题,以差商公式替换微分方程中的各阶导数,得到差分方程。经过分析差分方程的本质,联系解三对角线性方程组的Crout分解法和解非...

    摘要:本课题主要研究运用有限差分法来数值求解线性及非线性的二阶常微分方程的边值问题,以差商公式替换微分方程中的各阶导数,得到差分方程。经过分析差分方程的本质,联系解三对角线性方程组的Crout分解法和解非线性方程组的Newton法,求解差分方程,从而给出解二阶常微分方程边值问题的有限差分算法。最后,我们利用MATLAB数学应用软件上机编写程序,并用他们求解一些具体的二阶常微分方程的边值问题。我们将实验的数值结果同理论的精确解进行对比和进行误差分析,由此说明了这些方法的有效可行。同时,我们对同一道题目选择不同的实验步长,比较在不同情况下的误差大小,进一步明确本课题所研究运用的算法的优缺点。

    关键词   常微分方程;边值问题;有限差分;数值解

    目录

    摘要

    Abstract

    1 绪论-1

    1.1 研究背景及意义-1

    1.2 研究的现状-1

    1.3 本文的主要工作-2

    2 有限差分法的原理-3

    2.1 差分概念-3

    2.2 构造差分的方法-4

    2.3 建立差分格式的步骤-4

    3 求解线性及非线性方程组的核心算法-5

    3.1 解三对角线性方程组的Crout分解法-5

    3.2 解非线性方程组的Newton方法-6

    4 解两类二阶常微分方程的边值问题的方法-9

    4.1 线性问题的有限差分法-9

    4.2 非线性问题的有限差分法-11

    5 数值实验及应用-15

    5.1 线性问题的数值求解及应用-15

    5.1.1 验证型数值实验-15

    5.1.2 应用型实例解析-17

    5.2 非线性问题的数值实验及应用-19

    5.2.1 验证型数值实验-19

    5.2.2 应用型实例解析-22

    结论-25

    致谢-26

    参考文献-27

    附录-28

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    数值微分意义:

     

    前向差分公式

    后向差分公式

    两点中心差分公式(一阶导数近似、二阶导数近似)

     

    Richardson外推

     

     

     

    展开全文
  • 在所有有限差分表达式中,系数之和为...为了解决这个矛盾,我们可以采取以下措施:1 使用双精度浮点数运算2 采用精确度至少为的有限差分公式例如,用中心差分法计算 在 处的二阶导数。取不同的 值以及精度为 和 ,手...

    cf1ee881dc0803e814e36ead39217f6e.png

    在所有有限差分表达式中,系数之和为零。对舍入误差的影响可能很大。很小时,的值几乎相等。当它们通过系数相乘再相加,可能会丢失几个有效数字。

    以(1)为例,分子可能会为0。但是我们不能使h太大,因为这样截断错误将变得过大。为了解决这个矛盾,我们可以采取以下措施:

    • 1 使用双精度浮点数运算
    • 2 采用精确度至少为的有限差分公式

    例如,用中心差分法计算 处的二阶导数。取不同的 值以及精度为 ,手算结果见下表

    b79c2d1b5cae57061e512143660c3e2d.png

    精确值为。精度为 时,的最佳值为0.08。由于截断和舍入错误的共同影响,三位有效数字丢失。大于最佳值,主要错误是由截断引起的。小于最佳值,舍入误差变得明显。

    精度为 时,结果精确到四位有效数字。这是因为额外的精度降低了舍入误差。最佳约为0.02。

    Python的双精度计算

    import mathh = 0.02x = 1.0                                                                                   ddf = ( math.exp(-(x+h)) - 2*math.exp(-(x)) + math.exp(-(x-h)) ) / (h*h)print(ddf)

    输出结果:

    95cca804b62009df0e1ce6006a63837e.png

    h的取值对双精度计算影响不大。

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