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  • 二阶导数的中心差商 (1999年)
  • 数值计算中,采用三点法求函数的二阶导数,计算结果较为精确
  • 数值计算中,采用四点法求函数的二阶导数,计算结果比较精确
  • 范例1: 使用 fchd2 求函数 f(x) = tan(x) 的二阶导数在 [-1,1] 上,并与 f''(x) = 2 tan(x) sec(x)^2 进行比较。 x = cos(pi*(0:10)/10); % 创建 11 点的稀疏切比雪夫间隔网格xx = linspace(-1,1); % 创建密集的、...
  • 图像二阶导数的推导

    2019-07-09 17:42:59
    那有一阶导数,有没有二阶导数呢?求导数的导数,这对灰度变化强烈的地方会更敏感。 在微积分中,一维函数的一阶微分的基本定义是这样的: dfdx=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ dfdx=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ 那么,二阶...

    前面我们介绍过了图像的梯度,以及图像的几个梯度算子。

    这些本质上都是一阶导数,或一阶微分。就是求图像灰度变化的导数,能够突出图像中的对象边缘。那有一阶导数,有没有二阶导数呢?求导数的导数,这对灰度变化强烈的地方会更敏感。

    在微积分中,一维函数的一阶微分的基本定义是这样的:

    dfdx=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ
    dfdx=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ
    那么,二阶微分的基本定义就是这样的: 
    d2fdx2=limϵ→0f′(x+ϵ)−f′(x)ϵ
    d2fdx2=limϵ→0f′(x+ϵ)−f′(x)ϵ
    而图像是一个二维函数f(x,y),其二阶微分当然就是二阶偏微分。但为推导简单起见,我们先按x方向的一维函数来推导:

    ∂f∂x=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ
    ∂f∂x=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ
    图像是按照像素来离散的,最小的ϵϵ就是1像素。因此有: 
    ∂f∂x=f′(x)=f(x+1)−f(x)
    ∂f∂x=f′(x)=f(x+1)−f(x)

    那么二阶微分就是:
    ∂2f∂x2=∂f′(x)dx2=f′(x+1)−f′(x)
    ∂2f∂x2=∂f′(x)dx2=f′(x+1)−f′(x)
    根据上面的一阶微分,则: 
    ∂2f∂x2=∂f′(x)dx2=f′(x+1)−f′(x)
    ∂2f∂x2=∂f′(x)dx2=f′(x+1)−f′(x)
    =f((x+1)+1)−f((x+1))−(f(x+1)−f(x))
    =f((x+1)+1)−f((x+1))−(f(x+1)−f(x))

    =f(x+2)−f(x+1)−f(x+1)+f(x)
    =f(x+2)−f(x+1)−f(x+1)+f(x)

    =f(x+2)−2f(x+1)+f(x)
    =f(x+2)−2f(x+1)+f(x)
    令x=x-1 
    则: 
    ∂2f∂x2=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)
    ∂2f∂x2=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)
    于是,在x和y方向上,有: 
    ∂2f∂x2=f(x+1,y)+f(x−1,y)−2f(x,y)
    ∂2f∂x2=f(x+1,y)+f(x−1,y)−2f(x,y)

    ∂2f∂y2=f(x,y+1)+f(x,y−1)−2f(x,y)
    ∂2f∂y2=f(x,y+1)+f(x,y−1)−2f(x,y)
    我们把x方向和y方向的二阶导数结合在一起:

    ∂2f∂x2+∂2f∂y2=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)
    ∂2f∂x2+∂2f∂y2=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)
    这实质上就是著名的拉普拉斯二阶微分算子(Laplacian)。我们看一下实际效果。

    import cv2
    import numpy as np

    moon = cv2.imread("moon.tif", 0)
    row, column = moon.shape
    moon_f = np.copy(moon)
    moon_f = moon_f.astype("float")

    two = np.zeros((row, column))

    for x in range(1, row - 1):
        for y in range(1, column - 1):
            two[x, y] = moon_f[x + 1, y] \
                        + moon_f[x - 1, y] \
                        + moon_f[x, y + 1] \
                        + moon_f[x, y - 1] \
                        - 4 * moon_f[x, y]

    sharp = moon_f - two
    sharp = np.where(sharp < 0, 0, np.where(sharp > 255, 255, sharp))
    sharp = sharp.astype("uint8")

    cv2.imshow("moon", moon)
    cv2.imshow("sharp", sharp)
    cv2.waitKey()

    输出结果: 


    我们可以看到,图像增强的效果比前几篇文章介绍的一阶微分要好很多。

    需要注意,将原图像与拉普拉斯二阶导数图像合并的时候,必须考虑符号上的差别。注意上面的代码中用的是减号,而不是一阶导数中用的加号。到底用加号还是减号,与中心点f(x,y)的系数有关,这个定义的拉普拉斯二阶导数中,f(x,y)的系数是-4,是负的,原图像就要减去拉普拉斯二阶导数图像;拉普拉斯二阶导数还有其它的形式,例如: 
    Laplacian=4f(x,y)−f(x+1,y)−f(x−1,y)−f(x,y+1)−f(x,y−1)
    Laplacian=4f(x,y)−f(x+1,y)−f(x−1,y)−f(x,y+1)−f(x,y−1)
    这时f(x,y)的系数是正的,原图像就要加上拉普拉斯二阶导数图像。

    到这里,我们已经注意到,前面介绍图像一阶导数时,用的是绝对值,而二阶导数就没有使用绝对值,且需要考虑系数的正负符号问题,才能决定最后的图像合并是用原图像加上还是减去二阶导数图像,为什么是这样?这个下一篇再探讨。
    --------------------- 
    作者:saltriver 
    来源:CSDN 
    原文:https://blog.csdn.net/saltriver/article/details/78990520 
    版权声明:本文为博主原创文章,转载请附上博文链接!

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  • 求隐函数二阶导数.ppt

    千次阅读 2021-04-22 00:15:45
    求隐函数二阶导数2.4 高阶导数 一、显函数高阶导数 二、隐函数的二阶导数 三、参数方程确定的函数的二阶导数 四、二阶导数的力学意义 五、 内容小结 作业 * 主要内容: 1.显函数高阶导数. 2.隐函数的二阶导数. 3.参数...

    求隐函数二阶导数

    2.4 高阶导数 一、显函数高阶导数 二、隐函数的二阶导数 三、参数方程确定的函数的二阶导数 四、二阶导数的力学意义 五、 内容小结 作业 * 主要内容: 1.显函数高阶导数. 2.隐函数的二阶导数. 3.参数方程确定的函数的二阶导数. 4.二阶导数的力学意义. 如果函数 y=f(x) 的导数 仍然是x的 可导函数. 则把 的导数叫做函数 y=f(x) 即 类似地,二阶导数 的导数叫做函数 y=f(x)的三阶导数,记作 即 的二阶导数,记作 一般地,函数y=f(x)的(n-1)阶导数的导数叫做 y=f(x) 的 n 阶导数. 记作 即 把函数 y=f(x) 的导数 叫做函数y=f(x)的一阶导数. 把二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数. 例1 解 已知 解 例2 求函数的n导数时,逐次求出一阶,二阶,三阶导数, 从中发现,总结规律,求出n阶导数的一般表达式. 求函数 的n阶导数. 解 特殊地, 的 n 阶导数. 一般地,可得 例3 求正弦函数的n阶导数. 解 一般地,可得 用类似方法,可得 例4  求函数 的n阶导数. 解 一般地,可得 即 例5 举例说明求隐函数的二阶导数的方法. 对方程两边关于x求导,得 两边再求导,得 将 代入上式得 说明: 求隐函数的二阶导数,要先求出隐函数的一阶导数, 在一阶导数表达式的两边再对x求导数, 例6 解 把求出的一阶表达式代入二阶导数的表达式. 由参数方程 确定的函数 的导数公式为 参数方程确定的函数的二阶导数为: 设 解 例8 求参数方程 确定的函数的二阶导数. 解 代入公式得 例7 计算由摆线的参数方程 确定的 的二阶导数. 函数 解 例9 设物体作变速直线运动,运动方程为 那么它的瞬时度为 若速度v仍是时间 t 的函数,我们可以求速度v对时间t的变化率: ,在力学中把它叫做物体在给定的 时刻加速度,记作 也就是说,物体加速度 是路程 对时间t的二阶导数 , 即 这就是二阶导数的力学意义. 设某质点作直线运动,其运动方程为 求该质点在 t=3 时的加速度. 解 故 已知物体的运动方程为 是常数, 求物体运动的加速度. 解 例10 例11 一 显函数高阶导数 逐次求导,从中发现,总结规律 二 隐函数的二阶导数 求隐函数的二阶导数,先求出一阶导数, 在一阶导数表达式的两边再对 x 求导数, 隐函数的导数的表达式中只能有 x, y 而不能保留 三 参数方程确定的函数的二阶导数 *

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  • 二阶导数求导过程: 用数学公式表达一阶微分(不同于连续函数的无限趋向于0的 [公式] ,数字领域最小单位为1): 摘自:第三章 灰度变换与空间滤波-(六)锐化空间滤波器之基础 从上面两个公式可以看出,对图像的...

    以下内容都是从这篇博客中摘抄的,中间写了一些自己的理解和疑问。


    一阶导数求导过程:

    在这里插入图片描述

    二阶导数求导过程:

    在这里插入图片描述

    用数学公式表达一阶微分(不同于连续函数的无限趋向于0的 [公式] ,数字领域最小单位为1):
    摘自:第三章 灰度变换与空间滤波-(六)锐化空间滤波器之基础
    在这里插入图片描述
    从上面两个公式可以看出:

    • 对图像的某元素求一阶导数,就是用相邻像素的像素值减去这个像素的像素值。不过上面只展示了一维的x,另一维的y没写出来,也就是y不变时,该像素的右边像素的像素值减去该像素的像素值。这是检测横向的。同理,也可以检测纵向的,还有斜线的,这就涉及到下面要讲的二维图像的梯度了。
    • 对图像的某元素求二阶导数,就是用前一个像素的像素值+后一个像素,再减去2倍的这个像素

    但是,图像是二维的,有x,有y,你要检测的特征都可以使用一阶导数的最大值(即梯度)来检测,对于二维图像,梯度是一个向量,他的方向指向你要检测的方向,而你要检测的方向是由算子来指定的。


    原文链接用梯度(一阶微分)实现图像锐化
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    看清楚,上面的3x3是图像的一小块,并不是卷积核,也不是算子模板。

    卷积核与算子:

    可以参考下这篇博客

    卷积核并不是算子,因为卷积核,顾名思义,就是卷积操作(加权和)。
    算子不止进行卷积,还得进行额外的运算,即求梯度,求梯度的就用到了平方和后在开方的操作,并且一个算子是两个模板(每个模板就像卷积核一样的划窗),分别表示梯度的两个方向gxgy。并且,卷积核的总和为1,而算子的每个模板的总和都为0。


    下面内容摘自【第三章 灰度变换与空间滤波-(六)锐化空间滤波器之梯度】
    在这里插入图片描述

    Sobel算子的数字中间那一行或者那一列比其他的行或列大,可能是因为最靠近中心点像素吧。
    以sobel算子为例,本来中间那一行应该是0.5 0 0.5,但是却定为-2 0 2,是因为乘以一个系数(这里乘了4)并不影响,因为图像的每一个像素都是相同的处理,所以并不影响。在这里插入图片描述

    Sobel算子:在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

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  • 前面我们介绍过了图像的二阶导数,并且指出,二阶导数比一阶导数有更好的细节增强表现。那么,其原理是什么呢? 我们仍然简化问题,考虑下x方向,选取某个像素,如下图所示: 可以看出,在图中标红色框框的像素...

    转载自  https://blog.csdn.net/saltriver/article/details/78990575 侵删

    前面我们介绍过了图像的二阶导数,并且指出,二阶导数比一阶导数有更好的细节增强表现。那么,其原理是什么呢?

    我们仍然简化问题,考虑下x方向,选取某个像素,如下图所示: 

    è¿éåå¾çæè¿°
    可以看出,在图中标红色框框的像素附近是一个明显的分界线,上面是一片平坦的灰度区域,下面是灰度缓慢变化的区域。而且有着明显的灰度突变:从100突变到50。我们可以把这个看作图像中物体的轮廓边缘。

    根据前几篇文章的介绍,图像在x方向的一阶导数和二阶导数分别是:


    我们根据上面的式子计算下这个像素x方向上的一阶导数和二阶导数,如下图所示: 

     è¿éåå¾çæè¿°

     


    我们注意到:对于一阶导数,除了灰度突变的地方,其它灰度缓慢变化的地方数值相同,而且符号也相同。而二阶导数在灰度缓慢变化的地方数值为0,而在灰度突变的地方有符号相反的2个数值。也即二阶导数产生了一个像素宽的双边缘。

    前面提到,求一阶导数时,用的是绝对值,而二阶导数并没有用绝对值,因为在边缘处,有符号相反的二阶导数值,可以强化这个边缘的对比度。如下图所示:

    è¿éåå¾çæè¿°

     

    我们看到,原图像与二阶导数图像合并后,在灰度均匀或灰度缓慢变化的地方,图像并没有任何改变;但在灰度突变的边缘处,原来是100和50的灰度差别,现在是150和10的灰度差别,对比度增强了很多。

    因为二阶导数产生了一个像素宽的双边缘,且2个边缘的二阶导数值符号相反,因此在合并图像时,就要考虑符号的问题,不然就适得其反。如果像一阶导数那样,使用了绝对值,那么这种双边缘的对比反差就没有了,所以二阶导数也就没有使用绝对值。

    一般来说,二阶导数比一阶导数获得的物体边界更加细致。但是,显而易见的,二阶导数对噪声点也更加敏感,会放大噪声的影响。看看下图就明白了:

    è¿éåå¾çæè¿°

     

    在一片灰度均匀的区域,有一个噪声点,经过二阶导数处理后,噪声点更加孤立明显了,尤其在这些灰度平滑区域更加的显眼,噪声被放大了。
     

    展开全文
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空空如也

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二阶导数微分