精华内容
下载资源
问答
  • 从道理上来说,对一个函数 的二阶导数应该记为然后大家为了偷懒,就不区分 和 的差别,并且把 省略掉,也就是把上面的表达式写作然后基于 可以记为 ,所以上面的符号可以照葫芦画瓢,变成如果我们把 理解为 除以 的...

    好问题。

    从道理上来说,对一个函数

    的二阶导数应该记为

    然后大家为了偷懒,就不区分

    的差别,并且把

    省略掉,也就是把上面的表达式写作

    然后基于

    可以记为

    ,所以上面的符号可以照葫芦画瓢,变成

    如果我们把

    理解为

    除以

    的话,那么上面的式子就是

    也就是

    然后也是偷懒的原因,

    就被记作

    。所以二阶微商的表达式就是

    .

    二阶微分为什么记录为

    就解释完了。然而我们并不能止于此。我们采用一套记号,是希望它好用。所谓好用,指的是能把定理的内容“放到”符号里面去,让某些定理变得显然而易于接受。

    具体而言,导数表现的像是一阶微分的分式。有关导数的定理用微分的方式写起来就像是分式的性质。

    比如反函数的导数,用那个一个撇的符号表示就是:

    看起来完全没有自然的感觉。但是用微分记号表示的话,令

    ,有

    似乎可以把

    看做一个分式,把分式上下都除以

    就能得到反函数的导数公式。

    类似的,有

    撇记号:

    微分记号,令

    ,那么

    这么看可能还不够直观,那么这样呢?

    复合函数求导法则在微分记号看起来就像是个分式的约分。

    那么,为什么一阶微分有这么好的性质呢?

    一阶微分能把定理表现的像是乘除法一样,最重要的原因是因为一阶微分具有形式不变性,或者说一阶微分对于换元不敏感(所谓不敏感,指的是换元不影响原来的结论成立与否)。

    为什么一阶微分对于换元不敏感对于把导数看成微分的分式那么重要呢?

    举个例子,在

    中,我们用了

    。然而,第一个

    是一个自变量的微分,是。第二个

    是利用换元

    之后对因变量的微分。所以,上面的约分要成立,要求在

    这个代换下微分相等的特性要保持住。

    然而二阶微分并没有这么好的性质。其根本原因在于,在代换之下,

    这个等式无法保持。比如做一个非线性代换

    ,那么

    (利用了性质

    )。

    也就是说在非线性代换下,

    这个等式不再被保持。

    这就让二阶微分记号

    彻底的沦为了一个整体记号,不再能看做两个符号的商。也就不具有把二阶微分相关定理变成分式的性质这种魔力了。

    (要不然大家就都用微分记号了)

    展开全文
  • 导数微分的概念2.1. 导数微分的概念2.2. 连续、可导、可微之间的关系2.3. 导数的几何意义2.4. 相关变化率3. 导数公式及求导法则3.1. 基本初等函数的导数公式3.2. 求导法则4. 高阶导数4.1. 高阶导数的定义4.2. ...

    1c1d348891d81da986150e07a2e596c8.png

    目录

    • 目录
    • 1. 背景
    • 2. 导数与微分的概念
      • 2.1. 导数与微分的概念
      • 2.2. 连续、可导、可微之间的关系
      • 2.3. 导数的几何意义
      • 2.4. 相关变化率
    • 3. 导数公式及求导法则
      • 3.1. 基本初等函数的导数公式
      • 3.2. 求导法则
    • 4. 高阶导数
      • 4.1. 高阶导数的定义
      • 4.2. 常用的高阶导数公式
      • 4.3. 求高阶导数的方法
    • 5. 总结

    1. 背景

    前段时间复习完了高数第二章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

    2. 导数与微分的概念

    2.1. 导数与微分的概念

    • 导数
      • 概念:函数在某一点的变化率
    • 微分
      • 概念:函数值在某一点的改变量的近似值

    2.2. 连续、可导、可微之间的关系

    • 连续与可导
      • 连续不一定可导
      • 可导必定连续
    • 连续与可微
      • 连续不一定可微
      • 可微必定连续
    • 可导与可微(在一元函数中)
      • 可微必定可导
      • 可导必定可微
      • 可导是可微的充分必要条件

    :在多元函数中,可导(偏导)不一定可微,可导(偏导)也不一定连续

    • 证明可导必可微

    根据可导定义,令

    则有

    即有

    ,故
    ,其中
    为常数,满足可微的定义,因此,可导必可微。
    • 证明可微必可导

    根据可微定义

    导数存在,故满足可导的定义,因此可微必可导,且

    .
    • 常见错误
      • 在某邻域可导
      • 不能推出
        点连续
      • 不能推出
        存在
      • 题型:第一章例
        ,考察洛必达法则的使用条件

    2.3. 导数的几何意义

    导数

    在几何上表示曲线
    在点
    处切线的斜率。

    :法线的斜率是切线斜率的负倒数。

    2.4. 相关变化率

    • 定义

    都是可导函数,而变量
    之间存在某种关系,从而他们的变化率
    之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率成为
    相关变化率
    • 例题(第二章例

    已知动点

    在曲线
    上运动,记坐标原点与点
    间的距离为
    。若点
    的横坐标对时间的变化率为常数
    ,则当点
    运动到点
    时,
    对时间的变化率是___.

    解:

    已知

    ,则

    带入数值

    ,则

    3. 导数公式及求导法则

    3.1. 基本初等函数的导数公式

    3.2. 求导法则

    3.2.1. 有理运算法则

    处可导,则

    3.2.2. 复合函数求导法

    处可导,
    在对应点可导,则复合函数
    处可导,则

    • 推论

    一个可导的奇(偶)函数,求一次导,其奇偶性发生一次变化

    • 证明推论
    1. 奇函数

    满足
    ,又根据复合函数求导法则,得到
    ,则

    偶函数
    1. 偶函数

    满足
    ,又根据复合函数求导法则,得到
    ,则

    奇函数

    3.2.3. 隐函数求导法

    是由方程
    所确定的可导函数,为求得
    ,可在方程
    两边对
    求导,可得到一个含有
    的方程,从中解出
    即可。

    也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式2.21得到。

    3.2.4. 反函数的导数

    在某区间内可导,且
    ,则其反函数
    在对应区间内也可导,且

    3.2.5. 参数方程求导法

    是由参数方程

    确定的函数,则

    1. 都可导,且
      ,则

    1. 都二阶可导,且
      ,则

    3.2.5.1. 极坐标方程转化为参数方程形式

    极坐标性质

    极坐标转化为直角坐标的转化公式

    已知经过点

    ,且直线与极轴所成角为
    的直线
    ,其极坐标方程为

    转化为参数方程形式

    3.2.6. 对数求导法

    如果

    的表达式由
    多个因式的乘除、乘幂构成,或是幂指函数的形式,则可先将函数去对数,然后两边对
    求导。

    :对等式两边取对数,需要满足等式两边都大于0的条件


    4. 高阶导数

    4.1. 高阶导数的定义

    含义:一般地,函数

    阶导数为
    ,也可记为
    ,即
    阶导数就是
    阶导函数的导数。

    :如果函数在点

    阶可导,则在点
    的某邻域内
    必定具有一切低于
    阶的导数。

    4.2. 常用的高阶导数公式

    式2.24可类比

    阶二项式公式

    • 推论

    ,则

    • 证明

    通过归纳法,求

    ,推出
    .

    4.3. 求高阶导数的方法

    1. 公式法,带入高阶导数公式
    2. 归纳法,求
      ,归纳

    5. 总结

    1. 导数
    • 定义
    • 求导法则
    • 高阶导数

    2. 微分

      • 定义
      • 微分与可导的关系
      • 微分方程求导
    展开全文
  • 图像二阶导数的推导

    千次阅读 2019-03-07 20:16:41
    转: 图像二阶导数的推导 前面我们介绍过了图像的梯度,以及图像的几个梯度算子。 这些本质上都是一阶导数,或一阶微分。就是求图像灰度变化的导数,能够突出图像中的对象边缘。那有一阶导数,有没有二阶导数呢?...

    转: 图像二阶导数的推导

    前面我们介绍过了图像的梯度,以及图像的几个梯度算子。

    这些本质上都是一阶导数,或一阶微分。就是求图像灰度变化的导数,能够突出图像中的对象边缘。那有一阶导数,有没有二阶导数呢?求导数的导数,这对灰度变化强烈的地方会更敏感。

    在微积分中,一维函数的一阶微分的基本定义是这样的:

    dfdx=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ
    dfdx=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ
    那么,二阶微分的基本定义就是这样的: 
    d2fdx2=limϵ→0f′(x+ϵ)−f′(x)ϵ
    d2fdx2=limϵ→0f′(x+ϵ)−f′(x)ϵ
    而图像是一个二维函数f(x,y),其二阶微分当然就是二阶偏微分。但为推导简单起见,我们先按x方向的一维函数来推导:

    ∂f∂x=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ
    ∂f∂x=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ
    图像是按照像素来离散的,最小的ϵϵ就是1像素。因此有: 
    ∂f∂x=f′(x)=f(x+1)−f(x)
    ∂f∂x=f′(x)=f(x+1)−f(x)

    那么二阶微分就是:
    ∂2f∂x2=∂f′(x)dx2=f′(x+1)−f′(x)
    ∂2f∂x2=∂f′(x)dx2=f′(x+1)−f′(x)
    根据上面的一阶微分,则: 
    ∂2f∂x2=∂f′(x)dx2=f′(x+1)−f′(x)
    ∂2f∂x2=∂f′(x)dx2=f′(x+1)−f′(x)
    =f((x+1)+1)−f((x+1))−(f(x+1)−f(x))
    =f((x+1)+1)−f((x+1))−(f(x+1)−f(x))

    =f(x+2)−f(x+1)−f(x+1)+f(x)
    =f(x+2)−f(x+1)−f(x+1)+f(x)

    =f(x+2)−2f(x+1)+f(x)
    =f(x+2)−2f(x+1)+f(x)
    令x=x-1 
    则: 
    ∂2f∂x2=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)
    ∂2f∂x2=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)
    于是,在x和y方向上,有: 
    ∂2f∂x2=f(x+1,y)+f(x−1,y)−2f(x,y)
    ∂2f∂x2=f(x+1,y)+f(x−1,y)−2f(x,y)

    ∂2f∂y2=f(x,y+1)+f(x,y−1)−2f(x,y)
    ∂2f∂y2=f(x,y+1)+f(x,y−1)−2f(x,y)
    我们把x方向和y方向的二阶导数结合在一起:

    ∂2f∂x2+∂2f∂y2=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)
    ∂2f∂x2+∂2f∂y2=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)
    这实质上就是著名的拉普拉斯二阶微分算子(Laplacian)。我们看一下实际效果。
     

    import cv2
    import numpy as np
    
    moon = cv2.imread("moon.tif", 0)
    row, column = moon.shape
    moon_f = np.copy(moon)
    moon_f = moon_f.astype("float")
    
    two = np.zeros((row, column))
    
    for x in range(1, row - 1):
        for y in range(1, column - 1):
            two[x, y] = moon_f[x + 1, y] \
                        + moon_f[x - 1, y] \
                        + moon_f[x, y + 1] \
                        + moon_f[x, y - 1] \
                        - 4 * moon_f[x, y]
    
    sharp = moon_f - two
    sharp = np.where(sharp < 0, 0, np.where(sharp > 255, 255, sharp))
    sharp = sharp.astype("uint8")
    
    cv2.imshow("moon", moon)
    cv2.imshow("sharp", sharp)
    cv2.waitKey()
    

    输出结果: 

    è¿éåå¾çæè¿°

    我们可以看到,图像增强的效果比前几篇文章介绍的一阶微分要好很多。

    需要注意,将原图像与拉普拉斯二阶导数图像合并的时候,必须考虑符号上的差别。注意上面的代码中用的是减号,而不是一阶导数中用的加号。到底用加号还是减号,与中心点f(x,y)的系数有关,这个定义的拉普拉斯二阶导数中,f(x,y)的系数是-4,是负的,原图像就要减去拉普拉斯二阶导数图像;拉普拉斯二阶导数还有其它的形式,例如: 
    Laplacian=4f(x,y)−f(x+1,y)−f(x−1,y)−f(x,y+1)−f(x,y−1)
    Laplacian=4f(x,y)−f(x+1,y)−f(x−1,y)−f(x,y+1)−f(x,y−1)
    这时f(x,y)的系数是正的,原图像就要加上拉普拉斯二阶导数图像。

    到这里,我们已经注意到,前面介绍图像一阶导数时,用的是绝对值,而二阶导数就没有使用绝对值,且需要考虑系数的正负符号问题,才能决定最后的图像合并是用原图像加上还是减去二阶导数图像,为什么是这样?这个下一篇再探讨。
     

    展开全文
  • 二阶导数的理解

    2019-08-25 23:28:58
    速度本身的变化率称为加速度,简单来说,就是导数的导数,记作f''(t)或者称作f(t)的二阶导数 伽利略(Galileo)观察到,经过时间t,自由落体经过的铅直距离x由公式: x=f(x)=1/2gt²给出(1) 其中g为重力加...

    速度本身的变化率称为加速度,简单来说,就是导数的导数,记作f''(t)或者称作f(t)的二阶导数

    伽利略(Galileo)观察到,经过时间t,自由落体经过的铅直距离x由公式:

    x=f(x)=1/2gt²给出(1)

    其中g为重力加速度,是一个常数,令g=9.8。

    将式子微分,可得落体在时间t的速度公式:

    v=f’(t)=gt(2)

    而且加速度等于:

    a = f’’(t)=g(3)

    它是常数。

    假设需求落体在下落后3秒时的速度。

    在从t=3到t=3.1的时间间隔内的平均速度是:

    (1/2g(3.1)²-1/2g(3)²)/(3.1-3.0)=   29.890000000000114(结果用matlab给出,format long格式)

    然后t=3到t=3.01的时间间隔内的平均速度是:

    (1/2g(3.01)²-1/2g(3)²)/(3.01-3.0)=   29.448999999999614(结果用matlab给出,format long格式)

    然后t=3到t=3.01的时间间隔内的平均速度是:

    (1/2g(3.001)²-1/2g(3)²)/(3.001-3.0)=   29.404899999995848(结果用matlab给出,format long格式)

    最后令t=3,代入(2)式子,得v=f’(3)= 29.400000000000002(结果用matlab给出,format long格式)

    展开全文
  • 本文研究了一种利用多项式近似解的插值和配置方法求解常微分方程的刚性一阶初值问题的二阶导数方法的开发和实现。 本文的结果带来了一些有用的信息。 所构造的方法是A稳定的,直到8级。如数值示例所示,新方法对于...
  • 二阶导数到平面波

    2020-10-24 10:27:26
    1. 二阶导数 为方便起见,以下均用偏微分方式表示。 函数f(x)f(x)f(x)在点x−Δxx - \Delta xx−Δx的导数为 ∂f(x−Δx)∂x=f(x)−f(x−Δx)Δx(1)\frac{\partial f(x - \Delta x)}{\partial x} = \frac{f(x) - f(x...
  • 目录锐化(高通)空间滤波器基础 - 一阶导数和二阶导数的锐化滤波器二阶导数锐化图像--拉普拉斯 锐化(高通)空间滤波器 平滑通过称为低通滤波 类似于积分运算 锐化通常称为高通滤波 微分运算 高过(负责细节的)...
  • 数字图像处理--图像二阶导数的推导

    千次阅读 2019-04-03 11:56:31
    那有一阶导数,有没有二阶导数呢?求导数的导数,这对灰度变化强烈的地方会更敏感。 在微积分中,一维函数的一阶微分的基本定义是这样的: dfdx=lim⁡ϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ \frac{df}{dx}=\lim_{\epsilon\rightarro....
  • 关注“考研数学帝(ID:King_maths)”↑突破来自点滴的积累~微分中值定理与导数的应用~(辨析细节知识点,深挖基础概念,方能在考场中游刃有余~)Q1:微分中值定理的证明中,辅助函数的引入是否唯一???★★★★★★...
  • 本节介绍导数部分的内容,极限、中值定理等相关内容见下方:10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题(考研、期末复习均可以用)10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题(考研、期末复习均可以用)更新丨10分钟掌握...
  • y)+3]/[ln(x-y)+2] 即:dy/dx=[ln(x-y)+3]/[ln(x-y)+2] 要求二阶导数的话,就是再对一阶导数求一次导就行了。但仍然要注意:y是x的函数喔~ 我们直接利用①式再对x进行求导。 因为:y'(2+ln(x-y))=ln(x-y)+3……① →...
  • 一维泊松方程 二维泊松方程(图像处理)
  • 质量M相对于初始位置的位移,速度,加速度分别为x(t),x(t)一阶导数,x(t)二阶导数;根据牛顿运动定律:作用在物体上的力等于质量与加速度平方的乘积:阻力方向与运动方向相反,大小与运动速度成比例,比例系数为f;...
  • 摘要:本课题主要研究运用有限差分法来数值求解线性及非线性的二阶微分方程的边值问题,以差商公式替换微分方程中的各阶导数,得到差分方程。经过分析差分方程的本质,联系解三对角线性方程组的Crout分解法和解非...
  • 基于步进的步进恢复特性反向偏置的恢复二极管(SRD),二阶导数超宽带(UWB)高斯脉冲发生器是本文设计。 与以前的发电机相比基于SRD,在提出的结构中采用了一种新颖的结构。 发电机由分流SRD,串联SRD,3 RC组成...
  • §2.5 高阶导数 我们知道,变速直线运动的速度是位置函数对时间的导数,即 或 。...类似地, 二阶导数的导数,叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,…,一般地,阶导数的导数叫做 阶导数,分...
  • 一阶和二阶导的含义 一阶导问题: 几何意义:曲线斜率 二阶导问题: 意义如下:(1)斜线斜率变化的速度(2)函数的凹凸性。...应用:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)&g...
  • Sobel算子可用于计算图像梯度。 水平方向上:
  • 文章目录一、导数1、极限定义导数2、导数含义3、左、右导数(左、右极限延伸)4、可导条件5、一阶导数与二阶导数特点二、微分1、微分定义2、微分与导数的关系3、微分性质4、可导、可微、连续关系 一、导数 1、极限...
  • 二阶微分算子,求图像灰度变化导数导数,对图像中灰度变化强烈的地方很敏感,从而可以突出图像的纹理结构下面介绍几个常见二阶微分算子:其模板为: 图(a)表示离散拉普拉斯算子的模板,图(b)表示其扩展...
  • 基于二阶微分的边缘检测方法:

    千次阅读 2012-05-22 14:58:07
    Laplacian 算子是二阶导数边缘算子,考察的是3*3邻域,上图是两种比较常用的模板,算法简述如下: 【1】,遍历图像(除去边缘,防止越界),对每个像素做Laplancian模板卷积运算,注意是只做其中的一种模板运算,并...
  • 导数微分是微积分内容的基础,就计算来说一元函数与多元函数的导数的计算思想一致. 不管是一元函数还是多元函数,导数、偏导数的计算都是将函数视为求导变量的一元函数求导数微分在描述形式略有区别,但是其计算...
  • 二阶非线性微分方程的两种混合数值格式,吴奇,化存才,在构造算法时,通过同时运用数值积分和差商近似导数的方法,给出解二阶非线性微分方程的两种混合数值格式,分析得到了它们的局部
  • 需要补充些微分的知识,我把孩子问到的问题讲解后用形象的语言整理了一下,恰好近期在整理初高中衔接知识点导数:曲线某点的导数就是该点切线的斜率,在物理学里体现了是瞬时速度,二阶导数则是加速度。这个是由牛顿...
  • 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 导数概念 导数的MATLAB符号求解 函数的微分 微分中值定理 洛必达法则 ......Outline 7.1 导数概念 7.2 导数的MATLAB符号求解 7.3 函数的微分 7.4 微分中值定理...
  • 二阶常系数齐次常微分方程,指的就是那些形如y''+py'+qy=0的微分方程如果是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,就叫做二阶常系数线性微分方程顾名思义,就是有二阶导数微分方程,且p、q是实数下面给出一道例题,能够...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 19
收藏数 376
精华内容 150
关键字:

二阶导数微分