已知：

二阶导数在灰度斜坡和灰度台阶过渡处会产生双边缘响应。

二阶导数的符号可以用于确定边缘的过渡是从亮到暗还是暗到亮。



斜坡开始处，二阶导数为负，斜坡结束二阶导数为正，斜坡上，二阶导数为0.（亮到暗边缘）

零交叉点的定义：零灰度轴和二阶导数极值的连线的交点称为该二阶导数的零交叉点



一条边缘的两个附加性质：

（1）对图像中的每条边缘，二阶导数生成两个值

  (2)二阶导数的零交叉点可用于定位粗边缘的中心

  总结:二阶导数提取边缘往往产生双边缘。而 通过求零交叉点可以确定边缘的中心，从而避免了产生双边缘的不方便。

转： 图像二阶导数的推导

前面我们介绍过了图像的梯度，以及图像的几个梯度算子。

这些本质上都是一阶导数，或一阶微分。就是求图像灰度变化的导数，能够突出图像中的对象边缘。那有一阶导数，有没有二阶导数呢？求导数的导数，这对灰度变化强烈的地方会更敏感。

在微积分中，一维函数的一阶微分的基本定义是这样的：

dfdx=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ

dfdx=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ

那么，二阶微分的基本定义就是这样的： 

d2fdx2=limϵ→0f′(x+ϵ)−f′(x)ϵ

d2fdx2=limϵ→0f′(x+ϵ)−f′(x)ϵ

而图像是一个二维函数f(x,y)，其二阶微分当然就是二阶偏微分。但为推导简单起见，我们先按x方向的一维函数来推导：

∂f∂x=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ

∂f∂x=limϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ

图像是按照像素来离散的，最小的ϵϵ就是1像素。因此有： 

∂f∂x=f′(x)=f(x+1)−f(x)

∂f∂x=f′(x)=f(x+1)−f(x)

那么二阶微分就是：

∂2f∂x2=∂f′(x)dx2=f′(x+1)−f′(x)

∂2f∂x2=∂f′(x)dx2=f′(x+1)−f′(x)

根据上面的一阶微分，则： 

∂2f∂x2=∂f′(x)dx2=f′(x+1)−f′(x)

∂2f∂x2=∂f′(x)dx2=f′(x+1)−f′(x)

=f((x+1)+1)−f((x+1))−(f(x+1)−f(x))

=f((x+1)+1)−f((x+1))−(f(x+1)−f(x))

=f(x+2)−f(x+1)−f(x+1)+f(x)

=f(x+2)−f(x+1)−f(x+1)+f(x)

=f(x+2)−2f(x+1)+f(x)

=f(x+2)−2f(x+1)+f(x)

令x=x-1 

则： 

∂2f∂x2=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)

∂2f∂x2=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)

于是，在x和y方向上，有： 

∂2f∂x2=f(x+1,y)+f(x−1,y)−2f(x,y)

∂2f∂x2=f(x+1,y)+f(x−1,y)−2f(x,y)

∂2f∂y2=f(x,y+1)+f(x,y−1)−2f(x,y)

∂2f∂y2=f(x,y+1)+f(x,y−1)−2f(x,y)

我们把x方向和y方向的二阶导数结合在一起：

∂2f∂x2+∂2f∂y2=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)

∂2f∂x2+∂2f∂y2=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)

这实质上就是著名的拉普拉斯二阶微分算子（Laplacian）。我们看一下实际效果。

 

import cv2
import numpy as np

moon = cv2.imread("moon.tif", 0)
row, column = moon.shape
moon_f = np.copy(moon)
moon_f = moon_f.astype("float")

two = np.zeros((row, column))

for x in range(1, row - 1):
    for y in range(1, column - 1):
        two[x, y] = moon_f[x + 1, y] \
                    + moon_f[x - 1, y] \
                    + moon_f[x, y + 1] \
                    + moon_f[x, y - 1] \
                    - 4 * moon_f[x, y]

sharp = moon_f - two
sharp = np.where(sharp < 0, 0, np.where(sharp > 255, 255, sharp))
sharp = sharp.astype("uint8")

cv2.imshow("moon", moon)
cv2.imshow("sharp", sharp)
cv2.waitKey()


输出结果： 



我们可以看到，图像增强的效果比前几篇文章介绍的一阶微分要好很多。

需要注意，将原图像与拉普拉斯二阶导数图像合并的时候，必须考虑符号上的差别。注意上面的代码中用的是减号，而不是一阶导数中用的加号。到底用加号还是减号，与中心点f(x,y)的系数有关，这个定义的拉普拉斯二阶导数中，f(x,y)的系数是-4，是负的，原图像就要减去拉普拉斯二阶导数图像；拉普拉斯二阶导数还有其它的形式，例如： 

Laplacian=4f(x,y)−f(x+1,y)−f(x−1,y)−f(x,y+1)−f(x,y−1)

Laplacian=4f(x,y)−f(x+1,y)−f(x−1,y)−f(x,y+1)−f(x,y−1)

这时f(x,y)的系数是正的，原图像就要加上拉普拉斯二阶导数图像。

到这里，我们已经注意到，前面介绍图像一阶导数时，用的是绝对值，而二阶导数就没有使用绝对值，且需要考虑系数的正负符号问题，才能决定最后的图像合并是用原图像加上还是减去二阶导数图像，为什么是这样？这个下一篇再探讨。

 

上一期文章介绍了有关一阶广义导数的内容，很自然地可以预见到会有更高阶的广义导数，本期我们介绍有关二阶广义导数的内容。
经评论区 @张峻铭 提醒，有关广义导数（对称导数）的内容其实已经有了相关理论，大家可以自行搜索，或者点开链接：
对称导数及其相关理论 - 图文 - 百度文库​wenku.baidu.com
自行学习。本文依然称广义导数。
和正常高阶导数定义不同的是，高阶广义导数不是依赖于比它低一阶的广义导数递推定义，而是全部由原函数的代数式进行极限运算获得。例如本讲的二阶广义导数存在，当且仅当
存在且有限。 
我们知道，如果一个定义在 
 函数 
 的二阶导数存在，并且恒等于0，那么 
 一定为线性函数。实际上，若函数 
 在 
 上连续，当 
 的广义二阶导数存在并且也恒等于0时， 
 也为线性函数，也即本文希望说明结论：
设 
 为 
 上的连续函数，如果对任意的 
 ，均有
 ，证明 
 为线性函数。
本题和上一篇中的题目一样，形式简单但是思想不容易。理解本道题的做法需要对凸函数有比较深刻的理解。我们首先回忆一下，凸函数是怎么定义的。当一个函数二阶导数存在时，我们在初等数学中就知道凸性等价于二阶导数的半正定性，但高等数学中大多数情况下我们研究的函数不会有这么好的性质，正式的定义是这样的：
设 
 为区间 
 上定义的函数，如果对任意 
，均有 
 成立，其中 
 ，则称 
 为 
 上的凸函数。
这时我们会发现其中的关键元素在于由原函数所决定的线性函数，进一步说是需要将原函数与函数端点连线所构成的线段相比较。凹函数类似定义。在一些涉及到凸性的抽象函数问题中，由于缺少很好的条件及函数很好的性质，我们常常需要从定义入手解决问题，这时就需要借助这条直线。
本题看起来和凸函数无关，实则需要借助凸函数的思想。一方面，问题涉及广义二阶导数，和二阶导数没有直接关系但是是由其衍生而来，二阶导数又与凹凸性直接挂钩；另一方面，凸函数定义中所涉及的关键的直线直接启发我们猜想题设中的函数很可能即为该直线。
这么一分析第一个想法来了，将 
 与连接区间端点的直线 
 作差比较，叙述如下：
 任取闭区间
，设 
现在我们需要的是有关 
 的性质，直接利用题目中的极限。注意，这里代入的时候线性函数可以不用代入算，因为最后一定是0（为什么请读者自行思考）。于是我们有
也就是说题目中的条件对 
 同样成立。接下来该怎么办，大致方向该怎么走呢？我们再回过头来看一下凸函数的定义，凸性与 
 密切相关，并且可以由大小关系来刻画，而我们希望的是什么，是证明 
 ,再翻译一步：等号成立，用凹凸性的语言来讲就是即凸又凹！
事实上，这也很符合我们的直观感受，广义二阶导数为0若看成二阶导数，就反映了函数即凸又凹。
已经理解到此，其实具体的代数刻画依然很困难。我们在一些情况下极限为0的条件比较好处理，而有些情况下这种极限为0的对称性反而给我们造成了麻烦。例如本题，不管是凸性还是凹性都需要二阶导数的半正定性或者半负定性来刻画，极限的保号性质也需要极限值是有符号的。那么怎么办？
数学有一个很自然的思考问题的想法是：我们希望问题怎么样，或者我们想要通过某种操作达到怎么样的效果，我们就应该想方设法地去实现。这里我们需要的是把极限值变成非0，进一步说是打破这种对称性，于是我们有如下做法：
 调整 
。我们在最后又加了一个二次函数，而二次函数是有严格凸性或者严格凹性的，这也就打破了对称性。然后我们再想象一下该函数会长什么样，由前面的分析我们已经知道 
 应该恒等于0，那么实际上 
 就是最后的二次函数，此时我们有 
 与常数 
 同号，由于我们要考虑的就是大小和正负，所以这个信息已经相当关键可以指导我们底下的证明。
代入极限中我们得到：
接下来对于该极限的处理便和上一期中一阶广义导数的方法一样了。
由上我们有：
当 
 时，
若 
 ，由端点值为0知满足条件的 
 为闭区间的内点。进一步的我们令 
 ，根据函数的连续性知该点存在。同时我们有
取 
 ,此时 
 ，与 
 的定义矛盾。
于是得到此时 
 。当 
 ，类似有 
 。
总结一下就是 
 与 
 符号一定不相异。
注意这里的常数是任取的，这对于我们控制大小是非常有利的，下面的反证我想就不难了。
 若 
 ，不妨设 
 。取 
 ,于是有 
 ，这和
 与 
 符号一定不相异矛盾。
综上证明完成。
下一篇介绍一道我现在的数学分析老师苗老师给我们的思考题，以后可能会经常见到他的题目呢23333

http://www.cnblogs.com/dengdan890730/p/6145585.html

一阶导数与二阶导数的计算
图像I可以看作(x,y)∈N2→N的映射: i=f(x,y). 其中N为正整数.很明显f在定义域上是不连续的.
不连续函数f(x,y)的导数, 严格来说不算能算作导数, 只是形式上与真正的导数相似. 取Δx=1, 一阶与二阶偏导数分别为:

为简单起见, f(x,y)简写成f(x), 因为求关于x的偏导数时y是恒定的.
作为Spatial Domain Filter的特点
一阶导数提取出来的边缘较粗,
二阶导数对细节更敏感, 如细线, 噪声等. 它提取出来的边缘更细更强(sharp)
二阶导数的符号可用来判断一个转变(transition)是从亮到暗或者相反.
应用二阶导数时容易出现double-line effect. (中间位置的二阶导数值与两边的往往不同). 出现双线效应的前提是线本身的宽度小于mask, 否则就不当作线, 而是region了.(见10.2.3)
注意, 上面的中间和两边的含义是: 只在一条水平线考察图片, x处理edge上为中间位置, x−1,x+1为两边位置.

Reference
Digital Image Processing, 3rd edition, Chapter 10


关于导数总结如下：
（1）一阶导数通常图像中产生较粗的边缘
（2）二阶导数对精细细节，如细线、孤立点和噪声有较强的响应
（3）二阶导数在灰度斜坡和灰度台阶过度处会产生双边沿响应
（4）二阶导数的符号可以确定边缘的过渡是从亮到暗还是从暗到亮
（5）选导数提取边沿之前最好是做下图像的平滑，导数对噪声比较敏感