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  • 二阶导数的定义是
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    2020-12-24 15:58:09

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    设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,

    (1)若32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431356666在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;

    (2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

    判断函数极大值以及极小值:

    结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。

    扩展资料

    1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) , 即V型,为“凸向原点”,或“下凸”(也可说上凹),(有的简称凸有的简称凹)

    2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) , 即A型,为“凹向原点”,或“上凸”(下凹),(同样有的简称凹有的简称凸)

    在二维环境下,就是通常所说的平面直角坐标系中,可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹,当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。但是,在多维情况下,图形是画不出来的,这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了,只能通过表达式。

    当然n维的表达式比二维的肯定要复杂,但是,不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解,都是描述的同一个客观事实。而且,按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。

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  • 导数:函数(因变量对应实数值) 偏导数:函数(因变量对应实数值) 梯度:向量(向量的每一维对应偏导数) 方向导数:函数(因变量...二阶导数:函数(因变量对应实数值) 二阶方向导数:函数(因变量对应实数值)

    为了清晰理解,先对这几个术语对应的具体内容形式做了一个总结,如下:

    导数:函数(因变量对应实数值)

    偏导数:函数(因变量对应实数值)

    梯度:向量(向量的每一维对应偏导数)

    方向导数:函数(因变量对应实数值)

    梯度下降:一种优化方法

    二阶导数:函数(因变量对应实数值)

    二阶方向导数:函数(因变量对应实数值)

    然后开始对这几个术语进行详细解释~

    导数

    假设函数 y=f(x) ,其中 xy 都是实数。(此时函数只有一个输入)

    那么这个函数的导数记做 f'(x) 或者 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}

    偏导数

    如果函数有多个输入,就需要引入偏导数的概念。

    假设函数 y=f( \boldsymbol{x}) ,其中  y 是实数,\boldsymbol{x} 是向量。(此时函数有多个输入)

    那么  \frac{\partial }{\partial x_{i}} f(\boldsymbol{x})  就是偏导数。\boldsymbol{x} 有多少维,函数  f  就有多少个偏导数。

    梯度

    梯度是所有偏导数拼接成的一个向量。

    假设函数 y=f( \boldsymbol{x}) ,其中  y 是实数,\boldsymbol{x} 是向量。(此时函数有多个输入)

    那么  \frac{\partial }{\partial x_{i}} f(\boldsymbol{x})  就是偏导数。\boldsymbol{x} 有多少维,函数  f  就有多少个偏导数。 所有的偏导数拼起来形成一个向量,就是梯度,记做 \bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 。

    方向导数

    在计算偏导数(自变量是多维时)时,实际上是固定自变量其他坐标轴不变,计算沿着某个自变量坐标轴的方向的导数,即偏导数。假设函数 f( \boldsymbol{x}) = f( {x_{1},x_{2}}) ,固定坐标轴 x_{1} 不变,f(\boldsymbol{x}) 在坐标轴 x_{2} 方向上的导数就是 \frac{\partial }{\partial x_{2}} f(\boldsymbol{x})

    那么函数沿着自变量维度空间内任意方向的导数,就是方向导数。我们可用数学表达式的形式表示一下方向导数的概念:

    假设用 \boldsymbol{u} 表示任意方向(\boldsymbol{u} 设为单位向量,并且 \boldsymbol{u} 的维度和自变量的维度相等)。根据导数的定义,函数 f 在\boldsymbol{u} 方向上的方向导数为   \boldsymbol{u}^{T}\bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}),其中\bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 是梯度。(推导可参考:方向导数公式的证明

    梯度下降

    假设函数 f 。为了最小化 f ,需要找到一个方向,使得沿着这个方向 f 下降的最快。

    当某个方向的方向导数为正时,沿着这个方向前进,f 会增大。方向导数越大, f 增大越快。

    当某个方向的方向导数为负时,沿着这个方向前进,f 会减小。 方向导数越小, f 减小越快。

    当某个方向的方向导数为 0 时,沿着这个方向前进,f 不变。

    使得  f 下降的方向是方向导数为负的方向。方向导数为负的方向中使得  f 下降的最快的方向是方向导数最小的方向。下式为方向导数的计算:

     式中的 \boldsymbol{\theta } 为\boldsymbol{u} 和 \bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 之间的夹角,将 \boldsymbol{\theta } 为 180^{\circ} 时,方向导数达到最小。此时 \boldsymbol{u} 和 \bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 反方向,即沿着与梯度相反的方向, f 下降的最快。

    几何解释(穿插)

    自变量维度为一维情况下:

    假设函数 f = x^{2} ,并且此时位于 A (1,1)点,有两个方向可供选择,\boldsymbol{v_{1}} 和 \boldsymbol{v_{2}} 。沿着 \boldsymbol{v_{2}} 方向移动的话 f 变大,沿着\boldsymbol{v_{1}} 方向移动的话 f 变小。为使 f 下降的最快,需沿着 \boldsymbol{v_{1}} 方向移动。 

    自变量维度为二维情况下:

    假设函数 f = x^{2}-y^{2} ,并且此时位于 A (2,1,3)点,有二维平面内无数个方向可供选择。其中 \boldsymbol{v_{1}} 是梯度的方向,沿着 \boldsymbol{-v_{1}} 也就是图中的 \boldsymbol{u} 的方向移动,使得  f 下降的最快。

    图中,\boldsymbol{v_{1}} 是梯度向量,\boldsymbol{u} 是与梯度向量方向相反的向量。粉色的平面是梯度向量的垂面,荧光绿色的线是粉色平面和蓝色平面相交的线。A点顺着荧光绿色的线往 \boldsymbol{u} 方向走,A点走一步,就会使得 f 下降。A点走一步迈的步子的大小,是学习率,学习率大,迈的步子大,学习率小,迈的步子小。

     

    二阶导数/偏导数

    当函数的自变量是一维时,二阶导数是导数的导数,函数只有一个二阶导。假设函数 y=f(x) ,其中 xy 都是实数。(此时函数只有一个输入)。那么这个函数的导数记做 f'(x) 或者 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} ,二阶导数记做 f{}'{}'(x) 或者 \frac{d^{2}y}{dx^{2}} 。

    当函数的自变量是 n 维时,二阶导数是偏导数的偏导数,函数有 n^{2} 个偏导数。假设函数 y=f( \boldsymbol{x}) ,其中  y 是实数,\boldsymbol{x} 是向量。(此时函数有多个输入)。那么  \frac{\partial }{\partial x_{i}} f(\boldsymbol{x})  就是偏导数。\boldsymbol{x} 有多少维,函数  f  就有多少个偏导数。二阶偏导数记做 \frac{\partial^{2} }{\partial x_{i}\partial x_{j}} f(\boldsymbol{x})。二阶偏导数可以组成一个n\times n 的方阵(Hessian矩阵)。

    二阶方向导数

    函数沿着自变量维度空间内任意方向的二阶导数,就是二阶方向导数,我们可以根据一阶方向导数推导出二阶方向导数。

    假设用 \boldsymbol{u} 表示任意方向(\boldsymbol{u} 设为单位向量,并且 \boldsymbol{u} 的维度和自变量的维度相等)。我们知道,函数 f 在\boldsymbol{u} 方向上的一阶方向导数为   \boldsymbol{u}^{T}\bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}),其中\bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 是梯度。此时假设自变量的维度是2,假设 \boldsymbol{u} 为 [cos\alpha ,sin\alpha ],  \bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 为 [\frac{\partial }{\partial x_{1}} f(\boldsymbol{x}),\frac{\partial }{\partial x_{2}} f(\boldsymbol{x})]。那么可把\boldsymbol{u}^{T}\bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 展开为cos\alpha \frac{\partial }{\partial x_{1}} f(\boldsymbol{x}) + sin\alpha \frac{\partial }{\partial x_{2}} f(\boldsymbol{x}) ,这个式子就是一阶方向导数,可简化为f'_{u}(\boldsymbol{x})。接着求一阶方向导数的方向导数就是二阶方向导数:

    cos\alpha \frac{\partial }{\partial x_{1}} f'_{u}(\boldsymbol{x}) + sin\alpha \frac{\partial }{\partial x_{2}} f'_{u}(\boldsymbol{x}) \\ \\ = cos\alpha \frac{\partial }{\partial x_{1}} (cos\alpha \frac{\partial }{\partial x_{1}} f(\boldsymbol{x}) + sin\alpha \frac{\partial }{\partial x_{2}} f(\boldsymbol{x}))+ sin\alpha \frac{\partial }{\partial x_{2}} (cos\alpha \frac{\partial }{\partial x_{1}} f(\boldsymbol{x}) + sin\alpha \frac{\partial }{\partial x_{2}} f(\boldsymbol{x})) \\ \\ = cos\alpha ^{2} \frac{\partial^2 }{\partial x_{1}\partial x_{1}}f(\boldsymbol{x})+cos\alpha sin\alpha \frac{\partial^2 }{\partial x_{1}\partial x_{2}}f(\boldsymbol{x})+cos\alpha sin\alpha \frac{\partial^2 }{\partial x_{2}\partial x_{1}}f(\boldsymbol{x})+sin\alpha ^{2} \frac{\partial^2 }{\partial x_{2}\partial x_{2}}f(\boldsymbol{x})

     二阶方向导数可用矩阵的形式表示为 \boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{H}\boldsymbol{u} ,其中 \boldsymbol{H} 为函数f 的 Hessian 矩阵。

    如有不正确的地方欢迎各位大佬留言吖~ 

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  • 是极大值还是极小值这就是二阶导数的职责了,二阶导数的符号表示曲线的弯曲方向。 2.二阶导数的例子 这里用距离、速度(距离的导数)和加速度(速度的导数)来举例。 距离: y=x2y=x^2y=x2 速度: d⁡yd⁡x=2x\frac{...

    0.先上本节课目录:

    在这里插入图片描述

    1.二阶导数:导数的导数

    我们经常需要定位极值点,并判别是极大值还是极小值。定位极值点是一阶导数的职责,一阶导数为0即为极值点;是极大值还是极小值这就是二阶导数的职责了,二阶导数的符号表示曲线的弯曲方向。

    2.二阶导数的例子

    这里用距离、速度(距离的导数)和加速度(速度的导数)来举例。
    距离:
    y = x 2 y=x^2 y=x2
    速度:
    d ⁡ y d ⁡ x = 2 x \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=2x dxdy=2x
    加速度:
    d ⁡ 2 y d ⁡ x 2 = 2 \frac{\operatorname d^2y}{\operatorname dx^2}=2 dx2d2y=2
    后面会讲到,这里的二阶导数永远大于0,图像为凸。
    在这里插入图片描述

    3.凸函数和凹函数

    按照国外教材定义,如果该处的二阶导数大于0,则这里的曲线向上弯曲(bending up),图像为凸(convex);反之,二阶导数小于0,则这里的曲线向下弯曲(bending down),图像为凹(concave)。
    函数一:
    y = sin ⁡ x y=\sin x y=sinx
    函数二:
    d ⁡ y d ⁡ x = cos ⁡ x \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=\cos x dxdy=cosx
    函数三:
    d ⁡ 2 y d ⁡ x 2 = − sin ⁡ x \frac{\operatorname d^2y}{\operatorname dx^2}=-\sin x dx2d2y=sinx
    观察下图中 x = π / 2 x=\pi/2 x=π/2 (画圆点的部分)的位置, y ′ = 0 y'=0 y=0 y y y 是极值位置, y ′ ′ < 0 y''<0 y<0 y y y 此时为凹,所以这里为极大值点;在 x = π x=\pi x=π (画方框的部分), y ′ ′ = 0 y''=0 y=0,这里为拐点,图像由凹变凸。
    总结下两个概念:
    极值是一阶导数为0的点;
    拐点(inflection point)是二阶导数为0的点,代表图形弯曲性的改变。
    在这里插入图片描述

    4.寻找极值点和拐点

    例子:寻找 y = x 3 − x 2 y=x^3-x^2 y=x3x2 的极值点和拐点。(极值点和拐点只需求出令一阶导数和二阶导数为0的点,这里教授似乎是想画图)
    先求一阶导数:
    y ′ = 3 x 2 − 2 x y'=3x^2-2x y=3x22x
    令一阶导数等于0:
    y ′ = 3 x 2 − 2 x = 0 x ( 3 x − 2 ) = 0 x 1 = 0 x 2 = 2 3 y'=3x^2-2x=0 \\ x(3x-2)=0 \\ x_1=0\quad x_2=\frac{2}{3} y=3x22x=0x(3x2)=0x1=0x2=32
    求二阶导数:
    y ′ ′ = 6 x − 2 y''=6x-2 y=6x2
    x 1 = 0 x 2 = 2 / 3 x_1=0\quad x_2=2/3 x1=0x2=2/3 代入 y ′ ′ y'' y 得到:
    y ′ ′ ( 0 ) = − 2 < 0 图 像 为 凹 y ′ ′ ( 2 3 ) = 2 > 0 图 像 图 凸 y''(0)=-2<0图像为凹 \\[2ex] y''(\frac{2}{3})=2>0图像图凸 y(0)=2<0y(32)=2>0
    令二阶导数等于0:
    y ′ ′ = 6 x − 2 = 0 x = 1 3 y''=6x-2=0 \\ x=\frac{1}{3} y=6x2=0x=31
    得到拐点为 x = 1 / 3 x=1/3 x=1/3 ,至此就可以画出 y y y 的大致图像,与下图相符。
    在这里插入图片描述
    PS:这里求拐点和图像的弯曲性直接求二阶导数大于0不是更简单,可能代入求值讲解更加直观。

    5.应用:上班的最短时间(求最小值)

    例子:教授从家到MIT上课需要先开普通公路(30 mile/h)再开高速公路(60 mile/h),假设普通公路到高速公路是连续的,求何时上高速最快。
    解:
    T I M E = b − x 60 + a 2 + x 2 30 T I M E ′ = − 1 60 + 1 2 ⋅ 1 30 a 2 + x 2 ⋅ 2 x ( 这 里 求 导 需 要 后 面 的 知 识 : 链 式 法 则 ) TIME=\frac{b-x}{60}+\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{30} \\[2ex] TIME'=-\frac{1}{60}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}\cdot2x\quad(这里求导需要后面的知识:链式法则) TIME=60bx+30a2+x2 TIME=601+2130a2+x2 12x()
    T I M E ′ = 0 TIME'=0 TIME=0,得到:
    T I M E ′ = − 1 60 + 1 2 ⋅ 1 30 a 2 + x 2 ⋅ 2 x = 0 TIME'=-\frac{1}{60}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}\cdot2x\quad=0 \\ TIME=601+2130a2+x2 12x=0
    a 2 + x 2 = 2 x a 2 + x 2 = 4 x 2 x = a 3 \begin{aligned} \sqrt{a^2+x^2}&=2x \\ a^2+x^2&=4x^2 \\ x&=\frac{a}{\sqrt{3}} \end{aligned} a2+x2 a2+x2x=2x=4x2=3 a
    求二阶导:(链式法则和乘法法则)
    T I M E ′ ′ = 1 ⋅ 1 30 ( a 2 + x 2 ) − 1 2 + x ⋅ 1 30 ⋅ ( − 1 2 ) ( a 2 + x 2 ) − 2 2 ⋅ 2 x = 1 30 a 2 + x 2 − x 2 30 ( a 2 + x 2 ) 3 2 \begin{aligned} TIME''&=1\cdot\frac{1}{30}(a^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}+x\cdot\frac{1}{30}\cdot(-\frac{1}{2})(a^2+x^2)^{-\frac{2}{2}}\cdot2x \\[2ex] &=\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{x^2}{30(a^2+x^2)^\frac{3}{2}} \\ \end{aligned} TIME=1301(a2+x2)21+x301(21)(a2+x2)222x=30a2+x2 130(a2+x2)23x2
    T I M E ′ ′ ( a 3 ) = 1 30 ⋅ 2 a 3 − a 2 3 30 ( 2 a 3 ) 3 = 1 20 3 a − 1 30 ⋅ 8 a 3 3 3 ⋅ 3 a 2 = 1 20 3 a − 1 80 3 a = 3 80 3 a > 0 \begin{aligned} TIME''(\frac{a}{\sqrt{3}})&=\frac{1}{30\cdot\frac{2a}{\sqrt{3}}}-\frac{\frac{a^2}{3}}{30(\frac{2a}{\sqrt{3}})^3} \\ &=\frac{1}{20\sqrt{3}a}-\frac{1}{30\cdot\frac{8a^3}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{3}{a^2}} \\ &=\frac{1}{20\sqrt{3}a}-\frac{1}{80\sqrt{3}a} \\ &=\frac{3}{80\sqrt{3}a}>0 \end{aligned} TIME(3 a)=303 2a130(3 2a)33a2=203 a13033 8a3a231=203 a1803 a1=803 a3>0
    此时图像为凸, x = a / 3 x=a/\sqrt{3} x=a/3 ,为极小值,又只有一个极值点,所以该点为最小值点。
    在这里插入图片描述

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  • 极值与二阶导数的关系

    千次阅读 2021-01-13 18:32:11
    前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,我们接着研究这道题,【解析】函数有极值,则导数 有变号零点.转化为方程 有解问题,观察函数 与 有交点,由直线和 都过定点 ,只要他们不在相切,则必定相交.而...

    【思考题】

    有极值,则

    的取值范围为_________________.

    前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,

    我们接着研究这道题,

    【解析】函数有极值,则导数

    有变号零点.

    转化为方程

    有解问题,

    观察函数

    有交点,

    由直线

    都过定点

    只要他们不在

    相切,则必定相交.

    而相切时,

    .

    .

    【小结】有极值,则导数有变号零点,如何求变号零点的,我们介绍了两种方法:①变号零点法;②交点法(小题可以做,大题不可以用哟).

    1、极值与二阶导数的关系

    【例1】(2019全国1卷理数20-1)设函数

    的导数,证明:

    在区间

    存在唯一极大值点.

    【分析】解答题,求导数变号零点;

    【解析】设

    ,则有

    ,

    由于

    在区间

    上单调递减,

    所以

    在区间

    上单调递增,而

    ,

    所以

    在区间

    存在唯一零点

    .

    且在

    单调递增,在

    单调递减,所以在

    处取得唯一极大值.

    【例2】(2018全国3卷理数21-2)已知函数

    ,若

    的极大值点,求

    .

    【分析】求极大值,由定义,先增后减.我们就来判断函数

    的增加性.

    【解析】求导

    .

    ,这是必要条件,我们来研究充分性.

    如图:

    (

    )示意图,在这种情形下,

    有极大值.

    ,则

    同正负区间.

    ,

    需要满足

    附近先增后减(如下图),所以

    左侧附近递增,右侧附近递减.则

    的导数

    附近,左正右负,

    不间断函数,由零点存在定理,则

    ,有

    .

    检验,当

    时,

    上单调递减.而

    ,所以:

    ,

    时,

    单调递增;

    时,

    单调递减;

    ,所以

    ,且仅有

    时取等号.

    所以

    单调递减,且由于

    同符号.

    所以有:

    时,

    单调递增;

    时,

    单调递减;

    处取得极大值.

    【总结】极值要求的函数在极值点两侧单调性发生改变,如果是可导函数,对应导数为变号零点.本题比较全面的诠释了极值存在的意义.很有深意!对应有以下关系

    若在

    处取得极大(小)值,则

    处有变号零点,

    处单调递减(增).

    【例2】(2016山东卷文数20-2)设

    .已知

    处取得极大值,求正实数

    的取值范围.

    【分析】

    是可导函数,则

    处,导数为变号零点,且先正后负,通过讨论导数符号来解题.

    【解析】

    .

    如图:

    因为

    ,要在

    处取得极值,则在

    附近,

    左侧递增,右侧递减;对应

    附近左正右负.即

    附近单调递减.

    所以

    附近,满足

    .

    所有

    .

    检验,

    时,

    ,易证明:

    上恒成立,则

    单调递减,无极值,不满足.

    时,有

    .

    由于

    单调递减,且

    ,

    所以在

    上,

    单调递减,且

    ,

    所以易判断

    处取得极大值.

    综上,

    .

    【小结】用二阶导数来判断一届导数的符号,借助单调性和零点,数形结合应用.会大大简化讨论过程,但是需要检验哦.

    展开全文
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  • 二阶导数的几何意义

    万次阅读 2019-08-27 17:00:53
    二阶导数在分析和几何中都是重要的,因为表示(曲线y=f(x)的斜率)f’(x)的变化率的f’’(x),给出了曲线弯曲程度的表示方法。如果f’’(x)在一个区间是正的,那么f’(x)的变化率是正的。一个函数的变化率是正的是指...
  • 图像分割-二阶导数零交叉点的含义

    千次阅读 多人点赞 2020-02-10 21:24:19
    已知: ...零交叉点的定义:零灰度轴和二阶导数极值的连线的交点称为该二阶导数的零交叉点 一条边缘的两个附加性质: (1)对图像中的每条边缘,二阶导数生成两个值   (2)二阶导数的零交叉点可...
  • 什么是函数的凹凸性 函数的凹凸性即对一个在某区间A上单调的函数,它的图像上凸或者上凹,则分别称为凸函数或者凹函数。而对于在某个区间内既有凹图像又有凸图像,则将凹图像所在区间称为函数的凹...凹凸性数学定义...
  • 目前遇到了一个问题:如何在loss函数定义过程中加入梯度相关的内容。 如果直接进行backward与求grad的操作,会导致无法继续求导。例如,先算出结果相对于输入h^\hat hh^的导数,再算结果的模长相对于网络参数的导数...
  • OpenCV二阶导数图像边缘检测算子:Laplacian算子0.综述1.Laplacian算子原理分析2.OpenCV中的Laplacian算子API3.代码实践Laplacian算子 0.综述 前面介绍了Sobel等几种一阶导数图像边缘检测算子,图像通过与这些算子的...
  • 数字图像处理--图像二阶导数的推导

    千次阅读 2019-04-03 11:56:31
    那有一阶导数,有没有二阶导数呢?求导数的导数,这对灰度变化强烈的地方会更敏感。 在微积分中,一维函数的一阶微分的基本定义是这样的: dfdx=lim⁡ϵ→0f(x+ϵ)−f(x)ϵ \frac{df}{dx}=\lim_{\epsilon\rightarro....
  • 图像处理中的一阶导数与二阶导数

    千次阅读 2017-11-23 10:05:11
    一阶导数与二阶导数的计算 图像I可以看作(x,y)∈N2→N的映射: i=f(x,y). 其中N为正整数.很明显f在定义域上是不连续的. 不连续函数f(x,y)的导数, 严格来说不算能算作导数, 只是形式上与真正的导数相似. 取Δx=1, ...
  • 二阶导数与函数凹凸性证明

    千次阅读 2020-12-20 20:23:41
    ***证明设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么若在(a,b)内f"(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。设x1和x2是[a,b]内任意两点,且x1,记(x1+x2)/2=x0,并记x2-x0=x0-x1=h,则x1=x0-h,x2=x0+h,...
  • 2、Laplacian算法功能函数构造 1)、Laplacian算法功能函数构造 ''' Laplacian二阶导数轮廓提取算法 ''' #通过原理,编写对应的Roberts图像轮廓提取算法 def Laplacian(thresh1,Neighborhood):#Neighborhood表示领域...
  • 再进行编程。以下是我的求解程序:clc;clear allh=0.01;...%定义yy=sin(0.3*x).*cos(3*x);hold ongrid onyx=zeros(1,n);yxx=zeros(1,n);for i=2:n-1yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);yxx(i-1)=(y(i+1...
  • 多元函数的泰勒公式 问题引入 海赛矩阵 海赛矩阵定义(二元函数的二阶导数) 推广到n元函数的海赛矩阵 例1 例2 定理1 麦克劳林公式 二阶导数 二元函数的拉格朗日中值公式(一阶) 例3 一阶带拉格朗日余项的泰勒公式...
  • 介绍数字图中f(x)的二阶导数的由来。
  • 二阶导数到平面波

    2020-10-24 10:27:26
    1. 二阶导数 为方便起见,以下均用偏微分方式表示。 函数f(x)f(x)f(x)在点x−Δxx - \Delta xx−Δx的导数为 ∂f(x−Δx)∂x=f(x)−f(x−Δx)Δx(1)\frac{\partial f(x - \Delta x)}{\partial x} = \frac{f(x) - f(x...
  • 多元函数的二阶导数对应的矩阵

    千次阅读 2013-10-07 18:25:00
    设 $f:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m$ 是从 $n$ 维线性空间 $\mathbf{R}^n$ ...如果 $f$在 $\mathbf{R}^n$ 中的 某点可微,定义为存在线性映 射 $T:\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^m$,使得 \begin{equation} f(x)=f(x_0)+...
  • 函数凹凸性检验: 很容易看到,观察类似抛物线这类曲线,能够看到它们有一个向上凹或者向下凹的这样一个过程,而我们将这个过程细化并观察一系列点的导数的变化情况我们给出... 局部极值二阶导数检验法: ...
  • 一级导数和二级导数的意义

    万次阅读 2018-04-10 00:14:59
    通俗来讲:一阶求导是求函数各点的斜率 整体就是函数的单调性,而二阶是求函数整体的凹凸性,也就相当于求各点斜率的...二阶导数的物理意义:函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)。f'(x)=dy/d...
  • 第12讲:导数的基本运算法则与高阶导数例题与练习题【注】如果公式显示不全,请在公式上左右滑动显示!练习1:用反函数求导法则求下列函数的导数.(1);...练习5:求下列函数指定阶的导数.(1)( 二阶可导...

空空如也

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