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  • [MIT]微积分重点 第三课 极值和二阶导数 学习笔记
    2022-03-01 15:50:20

    0.先上本节课目录:

    在这里插入图片描述

    1.二阶导数:导数的导数

    我们经常需要定位极值点,并判别是极大值还是极小值。定位极值点是一阶导数的职责,一阶导数为0即为极值点;是极大值还是极小值这就是二阶导数的职责了,二阶导数的符号表示曲线的弯曲方向。

    2.二阶导数的例子

    这里用距离、速度(距离的导数)和加速度(速度的导数)来举例。
    距离:
    y = x 2 y=x^2 y=x2
    速度:
    d ⁡ y d ⁡ x = 2 x \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=2x dxdy=2x
    加速度:
    d ⁡ 2 y d ⁡ x 2 = 2 \frac{\operatorname d^2y}{\operatorname dx^2}=2 dx2d2y=2
    后面会讲到,这里的二阶导数永远大于0,图像为凸。
    在这里插入图片描述

    3.凸函数和凹函数

    按照国外教材定义,如果该处的二阶导数大于0,则这里的曲线向上弯曲(bending up),图像为凸(convex);反之,二阶导数小于0,则这里的曲线向下弯曲(bending down),图像为凹(concave)。
    函数一:
    y = sin ⁡ x y=\sin x y=sinx
    函数二:
    d ⁡ y d ⁡ x = cos ⁡ x \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}=\cos x dxdy=cosx
    函数三:
    d ⁡ 2 y d ⁡ x 2 = − sin ⁡ x \frac{\operatorname d^2y}{\operatorname dx^2}=-\sin x dx2d2y=sinx
    观察下图中 x = π / 2 x=\pi/2 x=π/2 (画圆点的部分)的位置, y ′ = 0 y'=0 y=0 y y y 是极值位置, y ′ ′ < 0 y''<0 y<0 y y y 此时为凹,所以这里为极大值点;在 x = π x=\pi x=π (画方框的部分), y ′ ′ = 0 y''=0 y=0,这里为拐点,图像由凹变凸。
    总结下两个概念:
    极值是一阶导数为0的点;
    拐点(inflection point)是二阶导数为0的点,代表图形弯曲性的改变。
    在这里插入图片描述

    4.寻找极值点和拐点

    例子:寻找 y = x 3 − x 2 y=x^3-x^2 y=x3x2 的极值点和拐点。(极值点和拐点只需求出令一阶导数和二阶导数为0的点,这里教授似乎是想画图)
    先求一阶导数:
    y ′ = 3 x 2 − 2 x y'=3x^2-2x y=3x22x
    令一阶导数等于0:
    y ′ = 3 x 2 − 2 x = 0 x ( 3 x − 2 ) = 0 x 1 = 0 x 2 = 2 3 y'=3x^2-2x=0 \\ x(3x-2)=0 \\ x_1=0\quad x_2=\frac{2}{3} y=3x22x=0x(3x2)=0x1=0x2=32
    求二阶导数:
    y ′ ′ = 6 x − 2 y''=6x-2 y=6x2
    x 1 = 0 x 2 = 2 / 3 x_1=0\quad x_2=2/3 x1=0x2=2/3 代入 y ′ ′ y'' y 得到:
    y ′ ′ ( 0 ) = − 2 < 0 图 像 为 凹 y ′ ′ ( 2 3 ) = 2 > 0 图 像 图 凸 y''(0)=-2<0图像为凹 \\[2ex] y''(\frac{2}{3})=2>0图像图凸 y(0)=2<0y(32)=2>0
    令二阶导数等于0:
    y ′ ′ = 6 x − 2 = 0 x = 1 3 y''=6x-2=0 \\ x=\frac{1}{3} y=6x2=0x=31
    得到拐点为 x = 1 / 3 x=1/3 x=1/3 ,至此就可以画出 y y y 的大致图像,与下图相符。
    在这里插入图片描述
    PS:这里求拐点和图像的弯曲性直接求二阶导数大于0不是更简单,可能代入求值讲解更加直观。

    5.应用:上班的最短时间(求最小值)

    例子:教授从家到MIT上课需要先开普通公路(30 mile/h)再开高速公路(60 mile/h),假设普通公路到高速公路是连续的,求何时上高速最快。
    解:
    T I M E = b − x 60 + a 2 + x 2 30 T I M E ′ = − 1 60 + 1 2 ⋅ 1 30 a 2 + x 2 ⋅ 2 x ( 这 里 求 导 需 要 后 面 的 知 识 : 链 式 法 则 ) TIME=\frac{b-x}{60}+\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{30} \\[2ex] TIME'=-\frac{1}{60}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}\cdot2x\quad(这里求导需要后面的知识:链式法则) TIME=60bx+30a2+x2 TIME=601+2130a2+x2 12x()
    T I M E ′ = 0 TIME'=0 TIME=0,得到:
    T I M E ′ = − 1 60 + 1 2 ⋅ 1 30 a 2 + x 2 ⋅ 2 x = 0 TIME'=-\frac{1}{60}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}\cdot2x\quad=0 \\ TIME=601+2130a2+x2 12x=0
    a 2 + x 2 = 2 x a 2 + x 2 = 4 x 2 x = a 3 \begin{aligned} \sqrt{a^2+x^2}&=2x \\ a^2+x^2&=4x^2 \\ x&=\frac{a}{\sqrt{3}} \end{aligned} a2+x2 a2+x2x=2x=4x2=3 a
    求二阶导:(链式法则和乘法法则)
    T I M E ′ ′ = 1 ⋅ 1 30 ( a 2 + x 2 ) − 1 2 + x ⋅ 1 30 ⋅ ( − 1 2 ) ( a 2 + x 2 ) − 2 2 ⋅ 2 x = 1 30 a 2 + x 2 − x 2 30 ( a 2 + x 2 ) 3 2 \begin{aligned} TIME''&=1\cdot\frac{1}{30}(a^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}+x\cdot\frac{1}{30}\cdot(-\frac{1}{2})(a^2+x^2)^{-\frac{2}{2}}\cdot2x \\[2ex] &=\frac{1}{30\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{x^2}{30(a^2+x^2)^\frac{3}{2}} \\ \end{aligned} TIME=1301(a2+x2)21+x301(21)(a2+x2)222x=30a2+x2 130(a2+x2)23x2
    T I M E ′ ′ ( a 3 ) = 1 30 ⋅ 2 a 3 − a 2 3 30 ( 2 a 3 ) 3 = 1 20 3 a − 1 30 ⋅ 8 a 3 3 3 ⋅ 3 a 2 = 1 20 3 a − 1 80 3 a = 3 80 3 a > 0 \begin{aligned} TIME''(\frac{a}{\sqrt{3}})&=\frac{1}{30\cdot\frac{2a}{\sqrt{3}}}-\frac{\frac{a^2}{3}}{30(\frac{2a}{\sqrt{3}})^3} \\ &=\frac{1}{20\sqrt{3}a}-\frac{1}{30\cdot\frac{8a^3}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{3}{a^2}} \\ &=\frac{1}{20\sqrt{3}a}-\frac{1}{80\sqrt{3}a} \\ &=\frac{3}{80\sqrt{3}a}>0 \end{aligned} TIME(3 a)=303 2a130(3 2a)33a2=203 a13033 8a3a231=203 a1803 a1=803 a3>0
    此时图像为凸, x = a / 3 x=a/\sqrt{3} x=a/3 ,为极小值,又只有一个极值点,所以该点为最小值点。
    在这里插入图片描述

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    热门讨论 2011-06-10 16:04:23
    在网上一位仁兄的博客上找的,针对图像的一阶导数和二阶导数,免费供大家下载。共同进步.
  • 为何二阶微分要记为 d²y/dx²?

    千次阅读 2020-12-23 16:52:49
    从道理上来说,对一个函数 的二阶导数应该记为然后大家为了偷懒,就不区分 和 的差别,并且把 省略掉,也就是把上面的表达式写作然后基于 可以记为 ,所以上面的符号可以照葫芦画瓢,变成如果我们把 理解为 除以 的...

    好问题。

    从道理上来说,对一个函数

    的二阶导数应该记为

    然后大家为了偷懒,就不区分

    的差别,并且把

    省略掉,也就是把上面的表达式写作

    然后基于

    可以记为

    ,所以上面的符号可以照葫芦画瓢,变成

    如果我们把

    理解为

    除以

    的话,那么上面的式子就是

    也就是

    然后也是偷懒的原因,

    就被记作

    。所以二阶微商的表达式就是

    .

    二阶微分为什么记录为

    就解释完了。然而我们并不能止于此。我们采用一套记号,是希望它好用。所谓好用,指的是能把定理的内容“放到”符号里面去,让某些定理变得显然而易于接受。

    具体而言,导数表现的像是一阶微分的分式。有关导数的定理用微分的方式写起来就像是分式的性质。

    比如反函数的导数,用那个一个撇的符号表示就是:

    看起来完全没有自然的感觉。但是用微分记号表示的话,令

    ,有

    似乎可以把

    看做一个分式,把分式上下都除以

    就能得到反函数的导数公式。

    类似的,有

    撇记号:

    微分记号,令

    ,那么

    这么看可能还不够直观,那么这样呢?

    复合函数求导法则在微分记号看起来就像是个分式的约分。

    那么,为什么一阶微分有这么好的性质呢?

    一阶微分能把定理表现的像是乘除法一样,最重要的原因是因为一阶微分具有形式不变性,或者说一阶微分对于换元不敏感(所谓不敏感,指的是换元不影响原来的结论成立与否)。

    为什么一阶微分对于换元不敏感对于把导数看成微分的分式那么重要呢?

    举个例子,在

    中,我们用了

    。然而,第一个

    是一个自变量的微分,是。第二个

    是利用换元

    之后对因变量的微分。所以,上面的约分要成立,要求在

    这个代换下微分相等的特性要保持住。

    然而二阶微分并没有这么好的性质。其根本原因在于,在代换之下,

    这个等式无法保持。比如做一个非线性代换

    ,那么

    (利用了性质

    )。

    也就是说在非线性代换下,

    这个等式不再被保持。

    这就让二阶微分记号

    彻底的沦为了一个整体记号,不再能看做两个符号的商。也就不具有把二阶微分相关定理变成分式的性质这种魔力了。

    (要不然大家就都用微分记号了)

    展开全文
  • 结合一阶、二阶导数可以函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0 0,而二阶导数小于0时,为极大值点,当一阶0时,为驻点。 曲线在某点的曲率和导数的关系: 参考链接:...

    QT绘制贝塞尔曲线


    程序演示
    刚开始学习计算机图形学,觉得很有趣,我的水平不高,代码可供参考。

    部分代码

    typedef struct
    {
    	float X;
    	float Y;
    } PointF;
     
    PointF bezier_interpolation_func(float t, PointF *points)
    {
    	//PointF *tmp_points = (PointF *)malloc(point_count * sizeof(PointF));
    	//内存溢出?
    	PointF tmp_points[300];
    	for (int i = 1; i < point_count; ++i)
    	{
    		for (int j = 0; j < point_count - i; ++j)
    		{
    			if (i == 1)
    			{
    				tmp_points[j].X = (float)(points[j].X * (1 - t) + points[j + 1].X * t);
    				tmp_points[j].Y = (float)(points[j].Y * (1 - t) + points[j + 1].Y * t);
    				continue;
    			}
    			tmp_points[j].X = (float)(tmp_points[j].X * (1 - t) + tmp_points[j + 1].X * t);
    			tmp_points[j].Y = (float)(tmp_points[j].Y * (1 - t) + tmp_points[j + 1].Y * t);
    		}
    	}
    	return tmp_points[0];
    }

        void Widget::mouseMoveEvent(QMouseEvent *event)
        {
        	QPoint p1;
        	int x, y;
        	int i;
        	bool if_in;
        	p1 = event->pos();
        	x = p1.x();
        	y = p1.y();
        	if (right_move == true)
        	{
        		now = point_count - 1;
        		point[now].setX(x);
        		point[now].setY(y);
        		if (point_count > 2)
        		{
        			bezier_point.clear();
        			bezier(point);
        		}
        		update();
        	}
        	else
        	{
        		if (now == 0)
        		{
        			for (i = 0; i < point_count; i++)
        			{
        				if (x > point[i].x() - 40 && x < point[i].x() + 40 && y > point[i].y() - 40 && y < point[i].y() + 40)
        				{
        					now = i;
        					break;
        				}
        			}
        		}
        		if (con > 0 || x > point[now].x() - 10 && x < point[now].x() + 10 && y > point[now].y() - 10 && y < point[now].y() + 10)
        		{
        			if_in = true;
        		}
        		else
        		{
        			if_in = false;
        		}
        		if (if_in == true)
        		{
        			con = 5;
        			point[now].setX(x);
        			point[now].setY(y);
        		}
        		if (point_count > 2)
        		{
        			bezier_point.clear();
        			bezier(point);
        		}
        		update();
        	}
        }
        void Widget::mouseReleaseEvent(QMouseEvent *event)
        {
        	con = 0;
        	now = 0;
        	right_move = false;
        }
         
        void Widget::mousePressEvent(QMouseEvent *event)
        {
        	if (event->button() == Qt::RightButton)
        	{
        		right_move = true;
        		Pt = event->pos();
        		point.push_back(Pt);
        		point_count++;
        		if (point_count > 2)
        		{
        			bezier_point.clear();
        			bezier(point);
        		}
        		update();
        	}
        	else if (event->button() == Qt::LeftButton)
        	{
        		update();
        	}
        	else if (event->button() == Qt::MidButton)
        	{
        		if (point_count > 0)
        		{
        			--point_count;
        			point.pop_back();
        			bezier_point.clear();
        			bezier(point);
        			update();
        		}
        	}
        }

    下载(笔者根据原文和链接,进行了强势优化,增加注释,使用qt的api函数绘图,不用重复造轮子)

    下载: https://download.csdn.net/download/jiesunliu3215/20705613

    动感的贝塞尔曲线

    相信很多同学都知道“贝塞尔曲线”这个词,我们在很多地方都能经常看到。但是,可能并不是每位同学都清楚地知道,到底什么是“贝塞尔曲线”,又是什么特点让它有这么高的知名度。

    贝塞尔曲线的数学基础是早在 1912 年就广为人知的伯恩斯坦多项式。但直到 1959 年,当时就职于雪铁龙的法国数学家 Paul de Casteljau 才开始对它进行图形化应用的尝试,并提出了一种数值稳定的 de Casteljau 算法。然而贝塞尔曲线的得名,却是由于 1962 年另一位就职于雷诺的法国工程师 Pierre Bézier 的广泛宣传。他使用这种只需要很少的控制点就能够生成复杂平滑曲线的方法,来辅助汽车车体的工业设计。

    正是因为控制简便却具有极强的描述能力,贝塞尔曲线在工业设计领域迅速得到了广泛的应用。不仅如此,在计算机图形学领域,尤其是矢量图形学,贝塞尔曲线也占有重要的地位。今天我们最常见的一些矢量绘图软件,如 Flash、Illustrator、CorelDraw 等,无一例外都提供了绘制贝塞尔曲线的功能。甚至像 Photoshop 这样的位图编辑软件,也把贝塞尔曲线作为仅有的矢量绘制工具(钢笔工具)包含其中。

    贝塞尔曲线在 web 开发领域同样占有一席之地。CSS3 新增了 transition-timing-function 属性,它的取值就可以设置为一个三次贝塞尔曲线方程。在此之前,也有不少 JavaScript 动画库使用贝塞尔曲线来实现美观逼真的缓动效果。

    下面我们就通过例子来了解一下如何用 de Casteljau 算法绘制一条贝塞尔曲线。

    在平面内任选 3 个不共线的点,依次用线段连接。图片

    在第一条线段上任选一个点 D。计算该点到线段起点的距离 AD,与该线段总长 AB 的比例。

    图片

    根据上一步得到的比例,从第二条线段上找出对应的点 E,使得 AD:AB = BE:BC图片

    连接这两点 DE。

    图片

    从新的线段 DE 上再次找出相同比例的点 F,使得 DF:DE = AD:AB = BE:BC图片

    到这里,我们就确定了贝塞尔曲线上的一个点 F。接下来,请稍微回想一下中学所学的极限知识,让选取的点 D 在第一条线段上从起点 A 移动到终点 B,找出所有的贝塞尔曲线上的点 F。所有的点找出来之后,我们也得到了这条贝塞尔曲线。图片

    如果你实在想象不出这个过程,没关系,看动画!


    图片

    回过头来看这条贝塞尔曲线,为了确定曲线上的一个点,需要进行两轮取点的操作,因此我们称得到的贝塞尔曲线为二次曲线(这样记忆很直观,但曲线的次数其实是由前面提到的伯恩斯坦多项式决定的)。

    当控制点个数为 4 时,情况是怎样的?图片

    步骤都是相同的,只不过我们每确定一个贝塞尔曲线上的点,要进行三轮取点操作。如图,AE:AB = BF:BC = CG:CD = EH:EF = FI:FG = HJ:HI,其中点 J 就是最终得到的贝塞尔曲线上的一个点。

    图片

    这样我们得到的是一条三次贝塞尔曲线。图片

    看过了二次和三次曲线,更高次的贝塞尔曲线大家应该也知道要怎么画了吧。那么比二次曲线更简单的一次(线性)贝塞尔曲线存在吗?长什么样?根据前面的介绍,只要稍作思考,想必你也能猜出来了。哈!就是一条直线

    贝塞尔曲线数学公式

    一阶贝塞尔曲线(线段):

    图片

    图片

     意义:由 P0 至 P1 的连续点, 描述的一条线段

    二阶贝塞尔曲线(抛物线)

    图片

    图片

     原理:由 P0 至 P1 的连续点 Q0,描述一条线段。 
          由 P1 至 P2 的连续点 Q1,描述一条线段。 
          由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t),描述一条二次贝塞尔曲线。

    经验:P1-P0为曲线在P0处的切线。

    三阶贝塞尔曲线:

    图片

    图片

    通用公式:

    图片

    4阶曲线:

    图片

     5阶曲线:

    图片

     上面介绍的内容并不足以展示贝塞尔曲线的真正威力。推广到三维空间的贝塞尔曲面,以及更进一步的非均匀有理 B 样条(NURBS),早已成为当今计算机辅助设计(CAD)的行业标准,不论是我们平常用到的各种产品,还是在电影院看到的精彩大片,都少不了它们的功劳。图片

    参考链接:

    https://mp.weixin.qq.com/s/yFM6iZl-5F-u23nNrgToBQ

    基本公式推导链接:

    https://blog.csdn.net/cfan927/article/details/104649623/

    此文到此结束*************************************************************此文到此结束

    附件:对于之后可能用到的对贝塞尔曲线求解一阶导数和二阶导数

    所以附上,基本公式,以作笔记使;

     

     
    cotθ=1/tanθ  secx=1/(cosx)  cscx=1/(sinx)

    简单来说,一阶导数是自变量的变化率,二阶导数是一阶导数的变化率,也就是一
    连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导大于0,则递增,一阶导小
    0,则递减,一阶导等于0,则不增不减。
    而二阶导数可以反应图像的凹凸。二阶导数大于0,图像为凹,二阶导数小于0,
    0,不凸不凹。
    结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0
    0,而二阶导数小于0时,为极大值点,当一阶0时,为驻点。

    曲线在某点的曲率和导数的关系:

    参考链接:https://www.docin.com/p-341333864.html

                       https://www.zhihu.com/question/50500344/answer/1413729175

    其中两个关键转化过程:

    y'=dy/dx = ᵩ'(t)/ ᵠ'(t);

    y"=d(y')/dx = d(dy/dx)  /dx = d( ᵩ'(t)/ ᵠ'(t) )  /  ᵠ'(t)

     

     

     

     

     另外:

    展开全文
  • 图像运算中的一阶导与二阶

    千次阅读 2019-07-04 15:46:40
    首先,图像是离散的数据,若导数就要用差分的方法,常用的差分方法是前向差分(forward differencing)与中心差分(central differencing)。一阶导本质上的是斜率,二阶的是拐点。 一阶导 连续函数,其...

    首先,图像是离散的数据,若求其导数就要用差分的方法,常用的差分方法是前向差分(forward differencing)与中心差分(central differencing)。一阶导本质上求的是斜率,二阶导求的是拐点。

    一阶导

    连续函数,其微分可表达为

    f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} ,或,f^{\prime}(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2 h}                     (1.1)

    对于图像这种离散的数据,其可以表达为:

    I_{x}=\frac{I(x)-I(x-h)}{h},或,I_{x}=\frac{I(x+h)-I(x-h)}{2 h}                                       (1.2)

    以Prewitt一阶微分边缘检测算子为例,其利用像素点上下、左右邻点的灰度差,在边缘处达到极值检测边缘,去掉部分伪边缘,对噪声具有平滑作用 。其原理是在图像空间利用两个方向模板与图像进行邻域卷积来完成的,这两个方向模板一个检测水平边缘,一个检测垂直边缘,这两个方向的模板就是一阶微分运算。具体如下:

    G(x)=|[f(i-1, j-1)+f(i-1, j)+f(i-1, j+1)]-[f(i+1, j-1)+f(i+1, j)+f(i+1, j+1)]|        (1.3)

    G(y)=|[f(i-1, j+1)+f(i, j+1)+f(i+1, j+1)]-[f(i-1, j-1)+f(i, j-1)+f(i+1, j-1)]|        (1.4)

          G=\max [G(x), G(y)],或,\mathrm{G}=\mathrm{G}(\mathrm{x})+\mathrm{G}(\mathrm{y})                                                          (1.5)

    Prewitt梯度算子法就是先求平均,再求差分来求梯度。水平和垂直梯度模板分别为:

    G_{x}=\left[\begin{array}{lll}{-1} & {0} & {1} \\ {-1} & {0} & {1} \\ {-1} & {0} & {1}\end{array}\right]         G_{y}=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} \\ {-1} & {-1} & {-1}\end{array}\right]

    二阶导

    对于一维函数,其二阶导数为:

    f^{\prime \prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h},即 f^{\prime \prime}(x)=\frac{f(x+h)-2 f(x)+f(x-h)}{h^{2}}          (2.1)

    它的差分函数为:

    I_{x x}=\frac{I(x+h)-2 I(x)+I(x-h)}{h^{2}}                                                                            (2.2)

    二阶导部分以Laplacian边缘检测算子为例。Laplace算子是一种各向同性算子,二阶微分算子,在只关心边缘的位置而不考虑其周围的象素灰度差值时比较合适。Laplace算子对孤立象素的响应要比对边缘或线的响应要更强烈,因此只适用于无噪声图象。存在噪声情况下,使用Laplacian算子检测边缘之前需要先进行低通滤波。所以,通常的分割算法都是把Laplacian算子和平滑算子结合起来生成一个新的模板。拉普拉斯算子也是最简单的各向同性微分算子,具有旋转不变性。

    拉普拉斯算子是n维欧式空间的一个二阶微分算子。它定义为两个梯度向量算子的内积:

    \triangle \triangleq \nabla^{2} \triangleq \nabla \cdot \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j}\right) \cdot\left(\frac{\partial}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j}\right)=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}                          (2.3)

    其在二维空间上的公式为:

    \Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}                                                                                                            (2.4)

    1、对于1维离散情况,其二阶导数变为二阶差分:

    1)首先,其一阶差分为:

    \nabla f[n]=f^{\prime}[n]=D_{n}[f[n]]=f[n+1]-f[n]                                                                (2.5)

    2)因此,二阶差分为:

    \begin{aligned} \Delta f[n] =& \nabla^{2} f[n]=f^{\prime \prime}[n]=D_{n}^{2}[f[n]]=f^{\prime}[n]-f^{\prime}[n-1] \\ =&(f[n+1]-f[n])-(f[n]-f[n-1])=f[n+1]-2 f[n]+f[n-1] \end{aligned}         (2.6)

    3)因此,1维拉普拉斯运算可以通过1维卷积核[1,-2, 1]实现

    2、对于2维离散情况(图像),拉普拉斯算子是2个维上二阶差分的和(见式2.4),其公式为:

    \begin{array}{ll}{\Delta f[m, n]} &= {D_{m}^{2}[f[m, n]]+D_{n}^{2}[f[m, n]]=f[m+1, n]-2 f[m, n]+f[m-1, n]+f[m, n+1]-2 f[m, n]+f[m, n-1]} \\ {} &= {f[m+1, n]+f[m-1, n]+f[m, n+1]+f[m, n-1]-4 f[m, n]}\end{array}

    其卷积可写为:

    \left[\begin{array}{ccc}{0} & {1} & {0} \\ {1} & {-4} & {1} \\ {0} & {1} & {0}\end{array}\right]     

    其可拓展为

    \left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {1} \\ {1} & {-8} & {1} \\ {1} & {1} & {1}\end{array}\right]

    参考文章:图像处理-线性滤波-2 图像微分(1、2阶导数和拉普拉斯算子)

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