高斯函数在图像滤波、边缘检测等中发挥着重要的作用。高斯滤波是典型的低通滤波，对图像有平滑作用。同时，高斯函数的一阶、二阶导数也可以用于高通滤波，比如canny算子中用到的是高斯函数的一阶导数， 
 算子中用到的是高斯函数的二阶导数。下面逐一梳理了高斯函数一维和二维的定义以及一阶和二阶导数的公式。
一维高斯函数： 
二维高斯函数： 
二阶高斯函数的一阶偏导数为： 
二维高斯函数的二阶偏导数为：
在图像处理中，二维高斯函数的一阶梯度和二阶梯度的定义为：
方向梯度为（角度 
 取弧度）：
将梯度函数进行离散，可以得到一阶和二阶的梯度算子，使用这些算子与图像进行卷积，可以求取图像的一阶、二阶梯度以及各方向梯度。

目录
目录
1. 背景
2. 导数与微分的概念
2.1. 导数与微分的概念
2.2. 连续、可导、可微之间的关系
2.3. 导数的几何意义
2.4. 相关变化率
3. 导数公式及求导法则
3.1. 基本初等函数的导数公式
3.2. 求导法则
4. 高阶导数
4.1. 高阶导数的定义
4.2. 常用的高阶导数公式
4.3. 求高阶导数的方法
5. 总结
1. 背景
前段时间复习完了高数第二章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。
2. 导数与微分的概念
2.1. 导数与微分的概念
导数
概念：函数在某一点的变化率
微分
概念：函数值在某一点的改变量的近似值
2.2. 连续、可导、可微之间的关系
连续与可导
连续不一定可导
可导必定连续
连续与可微
连续不一定可微
可微必定连续
可导与可微(在一元函数中)
可微必定可导
可导必定可微
可导是可微的充分必要条件
注：在多元函数中，可导（偏导）不一定可微，可导（偏导）也不一定连续
证明可导必可微
根据可导定义，令
则有
即有
，故
，其中
为常数，满足可微的定义，因此，可导必可微。
证明可微必可导
根据可微定义
则
导数存在，故满足可导的定义，因此可微必可导，且
.
常见错误
在某邻域可导
不能推出
在
点连续
不能推出
存在
题型：第一章例
，考察洛必达法则的使用条件
2.3. 导数的几何意义
导数
在几何上表示曲线
在点
处切线的斜率。
注：法线的斜率是切线斜率的负倒数。
2.4. 相关变化率
定义
设
及
都是可导函数，而变量
与
之间存在某种关系，从而他们的变化率
与
之间也存在一定关系，这样两个相互依赖的变化率成为
相关变化率
例题（第二章例
）
已知动点
在曲线
上运动，记坐标原点与点
间的距离为
。若点
的横坐标对时间的变化率为常数
，则当点
运动到点
时，
对时间的变化率是___.
解：
已知
，
，则
带入数值
，则
3. 导数公式及求导法则
3.1. 基本初等函数的导数公式
注：
，
3.2. 求导法则
3.2.1. 有理运算法则
设
在
处可导，则
3.2.2. 复合函数求导法
设
在
处可导，
在对应点可导，则复合函数
在
处可导，则
推论
一个可导的奇（偶）函数，求一次导，其奇偶性发生一次变化
证明推论
若
为
奇函数。
满足
,又根据复合函数求导法则，得到
，则
即
为
偶函数
若
为
偶函数。
满足
,又根据复合函数求导法则，得到
，则
即
为
奇函数
3.2.3. 隐函数求导法
设
是由方程
所确定的可导函数，为求得
，可在方程
两边对
求导，可得到一个含有
的方程，从中解出
即可。
注：
也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式2.21得到。
3.2.4. 反函数的导数
若
在某区间内可导，且
，则其反函数
在对应区间内也可导，且
即
3.2.5. 参数方程求导法
设
是由参数方程
确定的函数，则
若
和
都可导，且
，则
若
和
都二阶可导，且
，则
3.2.5.1. 极坐标方程转化为参数方程形式
极坐标性质
极坐标转化为直角坐标的转化公式
已知经过点
，且直线与极轴所成角为
的直线
，其极坐标方程为
即
转化为参数方程形式
3.2.6. 对数求导法
如果
的表达式由
多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，则可先将函数去对数，然后两边对
求导。
注：对等式两边取对数，需要满足等式两边都大于0的条件
4. 高阶导数
4.1. 高阶导数的定义
含义：一般地，函数
的
阶导数为
，也可记为
或
，即
阶导数就是
阶导函数的导数。
注：如果函数在点
处
阶可导，则在点
的某邻域内
必定具有一切低于
阶的导数。
4.2. 常用的高阶导数公式
式2.24可类比
阶二项式公式
推论
若
，则
证明
通过归纳法，求
和
，推出
.
4.3. 求高阶导数的方法
公式法，带入高阶导数公式
归纳法，求
，
，归纳
5. 总结
导数
定义
求导法则
高阶导数
2. 微分
定义
微分与可导的关系
微分方程求导

	

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摘要： 本节给出了凸函数的三个等价条件，分别是从割线角度，导函数的角度，二阶导函数的角度来研究，并且给出了凸函数的三个推论，由此可知凸函数在定义域的每一点(除去端点)连续，且左右导数都存在。
凸函数定义
设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有
则称为上的凸函数。注意：
大家注意凸函数的定义是从函数值角度来研究的，这里面涉及到了三个点为和在与之间的。
凸函数等价条件1
为上的凸函数等价于:对上任意
有
对上任意
有
对上任意
有
分析：
此等价条件可看成凸函数的另一个定义，是从割线的斜率的角度来考察的，大家画一个凸函数的图像即可明白，但问题是如何证明？对于此等价条件我们只需要证即可。
下面先证明从左到右，对于此三点
显然可知，应该是由和通过某一个建立联系，即
此时可解得则利用凸函数的定义可得
整理后即可得
下面从右到左，在上任取两点，此时我们把
，
当成，即
可得
由条件
可得
即
和的证明思想相同！
凸函数推论1
为上的凸函数，则任给，令
则可得在上单调递增，则上单调递增。证明：
由凸函数等价条件1中的和可得，
对任给，当
此时有
即
则可得在上单调递增。
同理可得，当
此时有
即
则可得在上单调递增。
凸函数推论2
为上的凸函数，则在上两个单侧导数
都存在，且都是增函数，即对上任意的，有
分析：
由凸函数推论1可得，
在上单调递增，则上单调递增。
并且由凸函数性质可得，当
有
在上单调递增有上界，上单调递增有下界，由单调有界定理可得， 此时函数在处两侧极限都存在，且
即
即
又当
由凸函数的性质可得
由函数极限的保不等式性可得
即
同理可得
凸函数推论3
为上的凸函数，则在上连续。分析：
对任意，由凸函数推论2可得，此时在处单侧导数
都存在，此时可得在处连续，即得在上连续。
凸函数等价条件2
为上的凸函数且可导，等价于:
1.为上的增函数；
2.对上的任意两点，有
分析：
具体证明参考华师课本第六章微分中值定理及其应用第五节函数的凸性与拐点153页可得，其实利用凸函数推论2也可以证明出来。总结：
凸函数等价条件2会和定积分结合证明不等式题目，是考研中经常出现的一类题。
凸函数等价条件3
为上的凸函数且二阶可导，等价于:
，
经典例题总结
【例1】.
(詹森不等式)若为区间上的凸函数，则对任意
有
分析：
此题利用数学归纳法，利用凸函数的定义即可，具体可参考华师课本第六章微分中值定理及其应用第五节函数的凸性与拐点154页例5
【例2】.
设为区间上的凸函数，不恒为常数，证明：不取最大值。证明：
反证法，若在区间上能够取最大值，不妨为，由于不恒为常数，则必存在一点，使得
不妨设
当时，则可由凸函数的性质可得，
可得
可得
矛盾。
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▼往期精彩回顾▼你一定要知道的一所985--电子科技大学两电都有了，一邮必须来——北京邮电大学数学分析|第六章 微分中值定理及其应用--具体函数一致连续性问题总结
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主要内容
部分讲课内容截图，视频内容更全面
 
9.2_1 偏导数的定义及求导方法
9.2_2 偏导数的几何意义与高阶偏导数
9.3_1 全微分定义
9.3_2 可微的必要条件与充分条件
9.3_3 全微分的计算
9.4_1 多元复合函数求导
9.4_2 多元复合函数二阶求导及全微分形式不变性
9.5_1 隐函数求导公式1(类型F(x,y)=0))
9.5_2 隐函数求导公式2(类型F(x,y,z)=0))
9.5_3 隐函数求导公式3(方程组的情形)
9.5_4 隐函数习题课
9.6_1 一元向量值函数的定义与极限
9.6_2 向量值函数导数及其几何意义
9.6_3 空间曲线的切线与法平面
9.6_4 空间曲面的切平面与法线
9.7_1 方向导数概念理解
9.7_2 方向导数的计算公式
9.7_3 梯度概念详解
9.7_4 梯度习题讲解
9.7_5 多元函数极值与最值
9.7_6 条件极值：拉格朗日乘数法