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  • 二阶导的定义公式
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    2021-01-17 16:25:30

    二阶偏导数公式详解2019-11-27 09:04:36文/董月

    当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时,我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导,那么称函数f(x,y)在域D可导。

    bf5980ceb22826400617512c2e9fff41.png

    公式

    ∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

    ∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

    ∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

    ∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]

    求二阶偏导数的方法

    当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时,我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导,那么称函数f(x,y)在域D可导。

    此时,对应于域D的每一点(x,y),必有一个对x(对y)的偏导数,因而在域D确定了一个新的二元函数,称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

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    关于高等数学参数方程二阶可导的公式推导

    设x = f(t) 且 y = g(t)
    在这里插入图片描述
    理解为在一阶导数的基础上,对x再次求导。
    个人理解:d(dy/dx)/dx
    整体可以看作先对t求导,再令t对x求导;而括号中的dy/dx则是g’(t)/f’(t);得出第一个等号后的式子。
    之后在算乘号左侧的部分时,视为对t的求导,且是除法形式的求导:

      子导母不导-子不导母导 
    ------------------------------
        分母的平方
    

    (以上三行假装是分数形式……)
    之后的部分就很好理解,按部就班即可

    最终结论公式
    在这里插入图片描述

    今天做题发现了另外一种,好像比较简单的?

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    jio着,先求dy/dx,记作I,然后再用I‘/x’(t),应该比上边的更好理解吧。

    展开全文
  • 图像运算中的一阶二阶导

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    首先,图像是离散的数据,若求其导数就要用差分的方法,常用的差分方法是前向差分(forward differencing)与中心差分(central differencing)。一阶导本质上求的是斜率,二阶导求的是拐点。

    一阶导

    连续函数,其微分可表达为

     ,或,                     (1.1)

    对于图像这种离散的数据,其可以表达为:

    ,或,                                       (1.2)

    以Prewitt一阶微分边缘检测算子为例,其利用像素点上下、左右邻点的灰度差,在边缘处达到极值检测边缘,去掉部分伪边缘,对噪声具有平滑作用 。其原理是在图像空间利用两个方向模板与图像进行邻域卷积来完成的,这两个方向模板一个检测水平边缘,一个检测垂直边缘,这两个方向的模板就是一阶微分运算。具体如下:

            (1.3)

            (1.4)

    ,或,

                                                              (1.5)

    Prewitt梯度算子法就是先求平均,再求差分来求梯度。水平和垂直梯度模板分别为:

             

    二阶导

    对于一维函数,其二阶导数为:

    ,即           (2.1)

    它的差分函数为:

                                                                                (2.2)

    二阶导部分以Laplacian边缘检测算子为例。Laplace算子是一种各向同性算子,二阶微分算子,在只关心边缘的位置而不考虑其周围的象素灰度差值时比较合适。Laplace算子对孤立象素的响应要比对边缘或线的响应要更强烈,因此只适用于无噪声图象。存在噪声情况下,使用Laplacian算子检测边缘之前需要先进行低通滤波。所以,通常的分割算法都是把Laplacian算子和平滑算子结合起来生成一个新的模板。拉普拉斯算子也是最简单的各向同性微分算子,具有旋转不变性。

    拉普拉斯算子是n维欧式空间的一个二阶微分算子。它定义为两个梯度向量算子的内积:

                              (2.3)

    其在二维空间上的公式为:

                                                                                                                (2.4)

    1、对于1维离散情况,其二阶导数变为二阶差分:

    1)首先,其一阶差分为:

                                                                    (2.5)

    2)因此,二阶差分为:

             (2.6)

    3)因此,1维拉普拉斯运算可以通过1维卷积核[1,-2, 1]实现

    2、对于2维离散情况(图像),拉普拉斯算子是2个维上二阶差分的和(见式2.4),其公式为:

    其卷积可写为:

    其可拓展为

    参考文章:图像处理-线性滤波-2 图像微分(1、2阶导数和拉普拉斯算子)

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    前面我们介绍过了图像的梯度,以及图像的几个梯度算子。

    这些本质上都是一阶导数,或一阶微分。就是求图像灰度变化的导数,能够突出图像中的对象边缘。那有一阶导数,有没有二阶导数呢?求导数的导数,这对灰度变化强烈的地方会更敏感。

    在微积分中,一维函数的一阶微分的基本定义是这样的:

    dfdx=limϵ0f(x+ϵ)f(x)ϵ

    那么,二阶微分的基本定义就是这样的:

    d2fdx2=limϵ0f(x+ϵ)f(x)ϵ

    而图像是一个二维函数f(x,y),其二阶微分当然就是二阶偏微分。但为推导简单起见,我们先按x方向的一维函数来推导:

    fx=limϵ0f(x+ϵ)f(x)ϵ

    图像是按照像素来离散的,最小的 ϵ 就是1像素。因此有:

    fx=f(x)=f(x+1)f(x)

    那么二阶微分就是:

    2fx2=f(x)dx2=f(x+1)f(x)

    根据上面的一阶微分,则:

    2fx2=f(x)dx2=f(x+1)f(x)

    =f((x+1)+1)f((x+1))(f(x+1)f(x))

    =f(x+2)f(x+1)f(x+1)+f(x)

    =f(x+2)2f(x+1)+f(x)

    令x=x-1
    则:

    2fx2=f(x+1)+f(x1)2f(x)

    于是,在x和y方向上,有:

    2fx2=f(x+1,y)+f(x1,y)2f(x,y)

    2fy2=f(x,y+1)+f(x,y1)2f(x,y)

    我们把x方向和y方向的二阶导数结合在一起:

    2fx2+2fy2=f(x+1,y)+f(x1,y)+f(x,y+1)+f(x,y1)4f(x,y)

    这实质上就是著名的拉普拉斯二阶微分算子(Laplacian)。我们看一下实际效果。

    import cv2
    import numpy as np
    
    moon = cv2.imread("moon.tif", 0)
    row, column = moon.shape
    moon_f = np.copy(moon)
    moon_f = moon_f.astype("float")
    
    two = np.zeros((row, column))
    
    for x in range(1, row - 1):
        for y in range(1, column - 1):
            two[x, y] = moon_f[x + 1, y] \
                        + moon_f[x - 1, y] \
                        + moon_f[x, y + 1] \
                        + moon_f[x, y - 1] \
                        - 4 * moon_f[x, y]
    
    sharp = moon_f - two
    sharp = np.where(sharp < 0, 0, np.where(sharp > 255, 255, sharp))
    sharp = sharp.astype("uint8")
    
    cv2.imshow("moon", moon)
    cv2.imshow("sharp", sharp)
    cv2.waitKey()
    

    输出结果:
    这里写图片描述

    我们可以看到,图像增强的效果比前几篇文章介绍的一阶微分要好很多。

    需要注意,将原图像与拉普拉斯二阶导数图像合并的时候,必须考虑符号上的差别。注意上面的代码中用的是减号,而不是一阶导数中用的加号。到底用加号还是减号,与中心点f(x,y)的系数有关,这个定义的拉普拉斯二阶导数中,f(x,y)的系数是-4,是负的,原图像就要减去拉普拉斯二阶导数图像;拉普拉斯二阶导数还有其它的形式,例如:

    Laplacian=4f(x,y)f(x+1,y)f(x1,y)f(x,y+1)f(x,y1)

    这时f(x,y)的系数是正的,原图像就要加上拉普拉斯二阶导数图像。

    到这里,我们已经注意到,前面介绍图像一阶导数时,用的是绝对值,而二阶导数就没有使用绝对值,且需要考虑系数的正负符号问题,才能决定最后的图像合并是用原图像加上还是减去二阶导数图像,为什么是这样?这个下一篇再探讨。

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