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  • 二维高斯函数高斯函数在图像滤波、边缘检测等中发挥...下面逐一梳理了高斯函数一维和二维的定义以及一阶和二阶导数的公式。一维高斯函数: 二维高斯函数: 二阶高斯函数的一阶偏数为: 二维高斯函数的二阶数为...

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    二维高斯函数

    高斯函数在图像滤波、边缘检测等中发挥着重要的作用。高斯滤波是典型的低通滤波,对图像有平滑作用。同时,高斯函数的一阶、二阶导数也可以用于高通滤波,比如canny算子中用到的是高斯函数的一阶导数,

    equation?tex=LOG 算子中用到的是高斯函数的二阶导数。下面逐一梳理了高斯函数一维和二维的定义以及一阶和二阶导数的公式。

    一维高斯函数:

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+G%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2+%5Cpi%7D+%5Csigma%7D+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B1%7D

    二维高斯函数:

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+G%28x%2C+y%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B2%7D

    二阶高斯函数的一阶偏导数为:

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+x%7D%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi+%5Csigma%5E%7B4%7D%7D%5Cright%29+x+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D++%5Ctag%7B3%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+y%7D%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi+%5Csigma%5E%7B4%7D%7D%5Cright%29+y+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B4%7D

    二维高斯函数的二阶偏导数为:

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi+%5Csigma%5E%7B4%7D%7D%5Cright%29%5Cleft%281-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%5Cright%29+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B5%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+y%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Cpi+%5Csigma%5E%7B4%7D%7D%5Cright%29%5Cleft%281-%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%5Cright%29+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B6%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+x+%5Cpartial+y%7D%3D%5Cfrac%7Bx+y%7D%7B2+%5Cpi+%5Csigma%5E%7B6%7D%7D+e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D%7D%7B2+%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B6%7D

    在图像处理中,二维高斯函数的一阶梯度和二阶梯度的定义为:

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cnabla+G%28x%2C+y%29%3D%5Cleft%7C%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+x%7D%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+y%7D%5Cright%7C+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B7%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cnabla%5E%7B2%7D+G%28x%2C+y%29%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7B2%7D%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+y%5E%7B2%7D%7D+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B8%7D

    方向梯度为(角度

    equation?tex=%5Ctheta 取弧度):

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cvec%7Bl%7D%3Dx%5Ccos+%5Ctheta%2By+%5Csin+%5Ctheta+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B9%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+%5Cvec%7Bl%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+x%7D+%5Ccos+%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+y%7D+%5Csin+%5Ctheta+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B10%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+%5Cvec%7Bl%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7B2%7D%7D+%5Ccos+%5E%7B2%7D+%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+y%5E%7B2%7D%7D+%5Csin+%5E%7B2%7D+%5Ctheta%2B2+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E%7B2%7D+G%7D%7B%5Cpartial+x+%5Cpartial+y%7D+%5Ccos+%5Ctheta+%5Csin+%5Ctheta+%5Cend%7Bequation%7D%5Ctag%7B11%7D

    将梯度函数进行离散,可以得到一阶和二阶的梯度算子,使用这些算子与图像进行卷积,可以求取图像的一阶、二阶梯度以及各方向梯度。

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  • 目录目录1. 背景2. 导数与微分的概念2.1.... 高阶导数的定义4.2. 常用的高阶导数公式4.3. 求高阶导数的方法5. 总结1. 背景前段时间复习完了高数第二章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲...

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    目录

    • 目录
    • 1. 背景
    • 2. 导数与微分的概念
      • 2.1. 导数与微分的概念
      • 2.2. 连续、可导、可微之间的关系
      • 2.3. 导数的几何意义
      • 2.4. 相关变化率
    • 3. 导数公式及求导法则
      • 3.1. 基本初等函数的导数公式
      • 3.2. 求导法则
    • 4. 高阶导数
      • 4.1. 高阶导数的定义
      • 4.2. 常用的高阶导数公式
      • 4.3. 求高阶导数的方法
    • 5. 总结

    1. 背景

    前段时间复习完了高数第二章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

    2. 导数与微分的概念

    2.1. 导数与微分的概念

    • 导数
      • 概念:函数在某一点的变化率
    • 微分
      • 概念:函数值在某一点的改变量的近似值

    2.2. 连续、可导、可微之间的关系

    • 连续与可导
      • 连续不一定可导
      • 可导必定连续
    • 连续与可微
      • 连续不一定可微
      • 可微必定连续
    • 可导与可微(在一元函数中)
      • 可微必定可导
      • 可导必定可微
      • 可导是可微的充分必要条件

    :在多元函数中,可导(偏导)不一定可微,可导(偏导)也不一定连续

    • 证明可导必可微

    根据可导定义,令

    则有

    即有

    ,故
    ,其中
    为常数,满足可微的定义,因此,可导必可微。
    • 证明可微必可导

    根据可微定义

    导数存在,故满足可导的定义,因此可微必可导,且

    .
    • 常见错误
      • 在某邻域可导
      • 不能推出
        点连续
      • 不能推出
        存在
      • 题型:第一章例
        ,考察洛必达法则的使用条件

    2.3. 导数的几何意义

    导数

    在几何上表示曲线
    在点
    处切线的斜率。

    :法线的斜率是切线斜率的负倒数。

    2.4. 相关变化率

    • 定义

    都是可导函数,而变量
    之间存在某种关系,从而他们的变化率
    之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率成为
    相关变化率
    • 例题(第二章例

    已知动点

    在曲线
    上运动,记坐标原点与点
    间的距离为
    。若点
    的横坐标对时间的变化率为常数
    ,则当点
    运动到点
    时,
    对时间的变化率是___.

    解:

    已知

    ,则

    带入数值

    ,则

    3. 导数公式及求导法则

    3.1. 基本初等函数的导数公式

    3.2. 求导法则

    3.2.1. 有理运算法则

    处可导,则

    3.2.2. 复合函数求导法

    处可导,
    在对应点可导,则复合函数
    处可导,则

    • 推论

    一个可导的奇(偶)函数,求一次导,其奇偶性发生一次变化

    • 证明推论
    1. 奇函数

    满足
    ,又根据复合函数求导法则,得到
    ,则

    偶函数
    1. 偶函数

    满足
    ,又根据复合函数求导法则,得到
    ,则

    奇函数

    3.2.3. 隐函数求导法

    是由方程
    所确定的可导函数,为求得
    ,可在方程
    两边对
    求导,可得到一个含有
    的方程,从中解出
    即可。

    也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式2.21得到。

    3.2.4. 反函数的导数

    在某区间内可导,且
    ,则其反函数
    在对应区间内也可导,且

    3.2.5. 参数方程求导法

    是由参数方程

    确定的函数,则

    1. 都可导,且
      ,则

    1. 都二阶可导,且
      ,则

    3.2.5.1. 极坐标方程转化为参数方程形式

    极坐标性质

    极坐标转化为直角坐标的转化公式

    已知经过点

    ,且直线与极轴所成角为
    的直线
    ,其极坐标方程为

    转化为参数方程形式

    3.2.6. 对数求导法

    如果

    的表达式由
    多个因式的乘除、乘幂构成,或是幂指函数的形式,则可先将函数去对数,然后两边对
    求导。

    :对等式两边取对数,需要满足等式两边都大于0的条件


    4. 高阶导数

    4.1. 高阶导数的定义

    含义:一般地,函数

    阶导数为
    ,也可记为
    ,即
    阶导数就是
    阶导函数的导数。

    :如果函数在点

    阶可导,则在点
    的某邻域内
    必定具有一切低于
    阶的导数。

    4.2. 常用的高阶导数公式

    式2.24可类比

    阶二项式公式

    • 推论

    ,则

    • 证明

    通过归纳法,求

    ,推出
    .

    4.3. 求高阶导数的方法

    1. 公式法,带入高阶导数公式
    2. 归纳法,求
      ,归纳

    5. 总结

    1. 导数
    • 定义
    • 求导法则
    • 高阶导数

    2. 微分

      • 定义
      • 微分与可导的关系
      • 微分方程求导
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  • 摘要: 本节给出了凸函数三个等价条件,分别是从割线角度,导函数角度,二阶导函数角度来研究,并且给出了凸函数三个推论,由此可知凸函数在定义每一点(除去端点)连续,且左右导数都存在。凸函数定义设...

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    摘要: 本节给出了凸函数的三个等价条件,分别是从割线角度,导函数的角度,二阶导函数的角度来研究,并且给出了凸函数的三个推论,由此可知凸函数在定义域的每一点(除去端点)连续,且左右导数都存在。

    凸函数定义

    为定义在区间上的函数,若对上的任意两点和任意实数总有

    则称上的凸函数。注意:
    大家注意凸函数的定义是从函数值角度来研究的,这里面涉及到了三个点为和在之间的

    凸函数等价条件1

    上的凸函数等价于:上任意

    上任意

    上任意

    分析:
    此等价条件可看成凸函数的另一个定义,是从割线的斜率的角度来考察的,大家画一个凸函数的图像即可明白,但问题是如何证明?对于此等价条件我们只需要证即可。
    下面先证明从左到右,对于此三点

    显然可知,应该是由通过某一个建立联系,即

    此时可解得则利用凸函数的定义可得

    整理后即可得

    下面从右到左,在上任取两点,此时我们把

    当成,即

    可得

    由条件

    可得

    的证明思想相同!

    凸函数推论1

    上的凸函数,则任给,令

    则可得上单调递增,则上单调递增。证明:
    由凸函数等价条件1中的可得,
    对任给,当

    此时有

    则可得上单调递增。
    同理可得,当

    此时有

    则可得上单调递增。

    凸函数推论2

    上的凸函数,则上两个单侧导数

    都存在,且都是增函数,即对上任意的,有

    分析:
    由凸函数推论1可得,

    上单调递增,则上单调递增。
    并且由凸函数性质可得,当

    上单调递增有上界,上单调递增有下界,由单调有界定理可得, 此时函数处两侧极限都存在,且

    又当

    由凸函数的性质可得

    由函数极限的保不等式性可得

    同理可得

    凸函数推论3

    上的凸函数,则上连续。分析:
    对任意,由凸函数推论2可得,此时处单侧导数

    都存在,此时可得处连续,即得上连续。

    凸函数等价条件2

    上的凸函数且可导,等价于:
    1.上的增函数;
    2.对上的任意两点,有

    分析:
    具体证明参考华师课本第六章微分中值定理及其应用第五节函数的凸性与拐点153页可得,其实利用凸函数推论2也可以证明出来。总结:
    凸函数等价条件2会和定积分结合证明不等式题目,是考研中经常出现的一类题。

    凸函数等价条件3

    上的凸函数且二阶可导,等价于:

    经典例题总结

    【例1】.
    (詹森不等式)若为区间上的凸函数,则对任意

    分析:
    此题利用数学归纳法,利用凸函数的定义即可,具体可参考华师课本第六章微分中值定理及其应用第五节函数的凸性与拐点154页例5

    【例2】.
    为区间上的凸函数,不恒为常数,证明:不取最大值。证明:
    反证法,若在区间上能够取最大值,不妨为,由于不恒为常数,则必存在一点,使得

    不妨设

    时,则可由凸函数的性质可得,

    可得

    可得

    矛盾。

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  • 视频内容更全面9.2_1 偏的定义及求导方法9.2_2 偏数的几何意义与高阶偏数9.3_1 全微分定义9.3_2 可微的必要条件与充分条件9.3_3 全微分的计算9.4_1 多元复合函数求导9.4_2 多元复合函数二阶求导及全微分形式...

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    • 9.2_1 偏导数的定义及求导方法

    • 9.2_2 偏导数的几何意义与高阶偏导数

    • 9.3_1 全微分定义

    • 9.3_2 可微的必要条件与充分条件

    • 9.3_3 全微分的计算

    • 9.4_1 多元复合函数求导

    • 9.4_2 多元复合函数二阶求导及全微分形式不变性

    • 9.5_1 隐函数求导公式1(类型F(x,y)=0))

    • 9.5_2 隐函数求导公式2(类型F(x,y,z)=0))

    • 9.5_3 隐函数求导公式3(方程组的情形)

    • 9.5_4 隐函数习题课

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    • 9.6_2 向量值函数导数及其几何意义

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    • 9.6_4 空间曲面的切平面与法线

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    • 9.7_4 梯度习题讲解

    • 9.7_5 多元函数极值与最值

    • 9.7_6 条件极值:拉格朗日乘数法

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  • 一. 简介  点到点轨迹规划算法可以理解为在规定时间T内,从已知起始点运动到末尾点方法。...对t求二阶导是加速度,即  所以 由于和是已知,所以速度和加速度随时间变化取决于...
  • 由基本初等函数构成复合函数被称为初等函数2.1 Sigmoid与tanh2.2 重要特殊函数三、反函数四、凸函数与凸集(凸优化问题)五、对偶...定义8.2 导数几何意义8.3 基本导数公式8.4 偏与全8.5 二阶导数8.6 复合
  • 这两天在准备应用统计硕士案例分析比赛前期工作,慕课网上...并令其偏导数为0,可以得到一个驻点求二阶导可以判断该驻点是否为极值点套用公式,即可得到结果值接下来就是做预测,详细数据在书上,这里就不多描述当...
  • 2.3.多元微积分 2.3.1.偏二阶数 2.3.2.多元复合函数的求导法则 ...根据最上面偏的定义公式,把看成一个整体,可转换为: 由于,所以有 再看右边,,分
  • Harris角点检测算法基本理解

    千次阅读 2016-04-29 17:40:54
    HARRIS 定义的角点位于图像二阶导数自相关矩阵有两个最大特征值地方,所以采用二阶导数。 算法流程: 1. 对每个像素点计算图像在X方向Y方向的二阶数,计算图像XY方向导数 首先计算Ix,Iy采用Sobel ...
  • 文章目录一、映射二、函数三、基本初等函数四、极限五、导数5.1 定义5.2 基本公式5.3 几何意义5.4 复合函数求导5.5 与单调性关系5.6 导数阶数5.7 偏数5.8 高阶导数意义5.9 可微、可、连续关系5.10 二阶导数...
  • 二阶数2.多元复合函数求导法则1.一元函数和多元函数复合的情形2.多元函数和多元函数复合的情形3.方向导数与梯度1.方向导数的定义2.梯度的定义3.梯度的几何意义4.多元函数泰勒公式1.二元函数的泰勒展式2.黑塞矩阵...
  • 前言:高阶导数对于一阶...高阶导数的定义:函数的导数仍是 x 的函数,通常把函数的导数叫做函数的二阶导数,记作即或者可以写成:类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数…… . 一般地...
  • 1. 一阶导定义 2. 二阶导数 二、梯度下降 1.方向导数. 1.1 定义 1.2 方向导数计算公式. 1.3 梯度下降最快方向 1.4 最速下降方向判断. 1.5 最速梯度下降迭代式 2. 牛顿法 2.1 引入一元函数极值判别...
  • 高数学习笔记 第二章 导数与微分 本章难点 ...(四)函数在一点处可导的充分必要条件 (五)函数可导性与连续性的关系 二、求导方法 (一)基本导数公式 (二)求导法则 1、四则运...
  • Rosenbrock函数的定义如下: 其函数图像如下: 我分别使用梯度下降法和牛顿法做了寻找Rosenbrock函数的实验。 梯度下降 梯度下降的更新公式: 图中蓝色的点为起点,橙色的曲线(实际上是折线)是寻找最小值点的...
  • 面试问题

    2018-07-26 23:31:19
    五次及以上多项式方程没有根式解(所谓根式解,是指没有像二次方程那样的万能公式) 使用牛顿迭代法来求解这种变态的高次方程...函数在整个定义域内最好是二阶导的; 起始点对求根计算影响重大,可以不断试错。...
  • 4. 二次可二阶导数和三阶导数的定义 5. n阶导数、高阶导数的定义 6. 多项式函数对数函数、正弦函数高阶导数求解示例 7. 莱布尼兹公式 8. 显函数与隐函数 9. ...
  • 拟牛顿法

    2017-05-12 14:30:15
    用途:同牛顿法,解f(x)极值,解决了牛顿法求海瑟矩阵逆慢问题 限制f(x)必须是凸(凹)...以DFP为例:定义G迭代公式为(用代替)( , , )显然 递推公式满足上述要求 BFGS算法同理,但在逆矩阵迭代公式处理上有不
  • 概要介绍 我们主要关注拉普拉斯算子在图像方面的应用。首先,列出二维拉普拉斯算子的定义: Δf=∂2f∂x2+∂2f∂y2\Delta f = \frac{\...从公式中可以看到,Laplace 算子在图像上,实际就是 x, y 两个方向的二阶...

空空如也

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二阶导的定义公式