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  • 讨论了求解二阶线性常微分方程初值问题的差分法,给出了边界条件的2种处理方法,并对数值结果与理论计算结果进行了比较。
  • 离散函数 什么是离散函数?我们来看几个例子: 这是 f(x) = sin x + sin {x \2}的函数图像。...差分和二阶差分 差分就是相邻两个离散值的差。以函数 f(x) = x^2, x ∈Z为例 x f(x) 1 1 2 4 3 9 4 1

    离散函数

    什么是离散函数?我们来看几个例子:
    在这里插入图片描述
    这是 f(x) = sin x + sin {x \2}的函数图像。它的定义域是 R,是连续的。

    再看下图这是 f(x) = sin x + sin {x \ 2} 当 x 是 1\2 的整数倍时的图像。是离散的。这样
    在这里插入图片描述
    如果再苛刻一点,定义域是自然数集,值域是实数域,那么这样的函数就是离散数值函数

    差分和二阶差分

    差分就是相邻两个离散值的差。以函数 f(x) = x^2, x ∈Z为例

    xf(x)
    11
    24
    39
    416
    525

    对于 x = 1,我们可以知道:

    f(1) = 1 \f(1 + 1) = 4

    那么差分

    Delta f(1) = f(1+1) - f(1) = 4 - 1 = 3
    内容补充
    这样用x+1和 x作差的差分,称为向前差分,记号是Delta。另有:

    f(x_i) - f(x_i - h):向后差分,记作 nabla

    f(x_i + h) - f(x_i - h) :中心差分。

    如果进行一次泰勒展开,还能得到一阶微分的中心差商,可用于更高精度要求。有兴趣的可以自行了解。
    x f(x) Delta f(x)
    1 1 3
    2 4 5
    3 9 7
    4 16 9
    你会发现执行一次差分之后,差分值为等差数列。实际上运用这个特点可以让电路进行求导等数学操作,神奇吧?
    我们对Delta f(x)也执行差分,也就是差分的差分,称为二阶差分。
    x f(x) Delta f(x) Delta ^2f(x)
    1 1 3 2
    2 4 5 2
    3 9 7 2
    二阶差分之后,我们得到了常数列。可以发现差分的作用和求导是十分类似的。

    偏导数的差分形式

    在这里插入图片描述

    拉普拉斯滤波

    差分和导数类似,可以反映变化的快慢。对灰度不同的两个像素进行差分,得到的值就是两个像素的过渡急缓。而过度急剧的地方,往往就是图像中物体的边缘,因此我们认为:一阶差分可以检测边缘存在的可能性。这是一阶差分在这里的实际意义。

    那么如果是二阶差分呢?在物理学中,对于位移 x ⃗ \vec{x} x 和时间 t t t,一阶导数表示速度,二阶差分表示速度的导数加速度。同样的,在图像处理上,一阶差分表示相邻像素的过渡急缓,二阶差分就表示这种过度急缓的变化强弱,可能你还是不明白,没关系,我们会在下面进一步解释。

    如果一阶差分就能检测边缘,我们为什么还要二阶差分呢?

    我们看下面的图:
    在这里插入图片描述
    这是一张从白到黑均匀渐变的图案,如果交给一阶差分来从上往下分析,会发现差分值一直都存在。于是一阶差分滤波器告诉你:这里全是边缘。但是这和我们的常识是不符的,因为虽然灰度变化了,但是变化的趋势却是均匀的。那么怎么样才能正确判断这是不是边缘呢?聪明的你应该想到了,用二阶差分来看,差分值一直是 0,说明变化是十分均匀的,说明边缘并不存在。因此,二阶差分才是真能确定边缘的存在性。
    在这里插入图片描述

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  • 离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 成 绩 评 定 表 学生姓名 请叫我雷锋 班级学号 专 业 通信工程 课程设计题目 离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 评语 组长签字: 成绩 日期 2014 年 ...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gif离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解

    成 绩 评 定 表 学生姓名 请叫我雷锋 班级学号 专 业 通信工程 课程设计题目 离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 评语 组长签字: 成绩 日期 2014 年 6月 日 课程设计任务书 学 院 信息科学与工程 专 业 通信工程 学生姓名 请叫我雷锋 班级学号 课程设计题目 离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 内容及要求: 1、学习Matlab软件知识及应用 2、学习并研究离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 3、利用Matlab编程,完成离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 4、写出课程设计报告,打印程序,给出运行结果 进度安排: 第1-2天: 1、学习使用Matlab软件、上机练习 2、明确课题内容,初步编程 第3-5天: 1、上机编程、调试 2、撰写课程设计报告书 3、检查编程、运行结果、答辩 4、上交课程设计报告 指导教师: 2014 年 6月 日 专业负责人: 2014 年 6月 日 学院教学副院长: 2014 年 6 月 日 目 录 1引言1 2Matlab7.0入门1 3 利用Matlab 7.0实现一阶和二阶差分方程求解的设计2 3.1 设计原理分析2 3.1.1 差分方程定义2 3.1.2 差分方程的意义与应用2 3.1.3 用MATLAB仿真时用的相关函数说明3 3.2 一阶和二阶差分方程求解的编程设计及实现4 3.2.1 设计函数思路4 3.2.2 理论计算4 3.2.3 设计过程记录及运行结果4 4 结论5 5 参考文献6 1 引言 人们之间的交流是通过消息的传播来实现的,信号则是消息的表现形式,消息是信号的具体内容。 《信号与系统》课程是一门实用性较强、涉及面较广的专业基础课,该课程是将学生从电路分析的知识领域引入信号处理与传输领域的关键性课程,对后续专业课起着承上启下的作用. 该课的基本方法和理论大量应用于计算机信息处理的各个领域,特别是通信、数字语音处理、数字图像处理、数字信号分析等领域,应用更为广泛。 近年来,计算机多媒体教序手段的运用逐步普及,大量优秀的科学计算和系统仿真软件不断涌现,为我们实现计算机辅助教学和学生上机实验提供了很好的平台。通过对这些软件的分析和对比,我们选择MATLAB语言作为辅助教学工具,借助MATLAB强大的计算能力和图形表现能力,将《信号与系统》中的概念、方法和相应的结果,以图形的形式直观地展现给我们,大大的方便我们迅速掌握和理解老师上课教的有关信号与系统的知识。 2 Matlab7.0入门 MATLAB的名称源自Matrix Laboratory,它是一种科学计算软件,专门以矩阵的形式处理数据。MATLAB将高性能的数值计算和可视化集成在一起,并提供了大量的内置函数,从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分析、仿真和设计工作,而且利用MATLAB产品的开放式结构,可以非常容易地对MATLAB的功能进行扩充,从而在不断深化对问题认识的同时,不断完善MATLAB产品以提高产品自身的竞争能力。 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大,适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算,复数运算,高次方程求根,插值与数值微商运算,数值积分运算,常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等,即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算,均可用Matlab来解决。 MATLAB是MATLAB产品家族的基础,它提供了基本的数学算法,例如矩阵运算、数值分析算法,MATLAB集成了2D和3D图形功能,以完成相应数值可视化的工作,并且提供了一种交互式的高级编程语言——M语言,利用M语言可以通过编写脚本或者函数文件实现用户自己的算法。 利用M语言还开发了相应的MATLAB专业工具箱函数供用户直接使用。这些工具箱应用的算法是开放的可扩展的,用户不仅可以查看其中的算法,还可以针对一些算法进行修改,甚至允许开发自己的算法扩充工具箱的功能。目前MATLAB产品的工具箱有四十多个,分别涵盖了数据采集、科学计算、控制系统设计与分析、数字信号处理、数字图像处理、金融财务分析以及生物遗传工程等专业领域。 综上,在进行信号的分析与仿真时,MATLAB7.0无疑是一个强大而实用的工具。尤其对于信号的分析起到了直观而形象的作用,非常适合与相关课题的研究与分析。 ·3 利用Matlab 7.0实现一阶和二阶差分方程求解的设计 3.1 设计原理分析 3.1.1 差分方程定义 含有未知函数y(t)=f(t)以及yt的差分Dy(t), D2y(t),…的函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t,y(t),D y(t),…, Dn y(t))=0,其中F是t,y(t), D y(t),…, Dn y(t)的已知函数,且Dnyt一定要在方程中出现。 含有两个或两个以上函数值y(t),y(t+1),…的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t,y(t),y(t+1),…,y(t+n))=0,其中F为t,y(t),y(t+1),…,y(t+n)的已知函数,且y(t)和y(t+n)一定要在差分方程中出现。 3.1.2 差分方程的意义与应用 差分方程模型有着广泛的应用。实际上,连续变量可以用离散变量来近似逼近1,从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群数量结构规律分析、疫病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的的作用。可以这样讲,只要牵涉到关于变量的规律,性质,就可以适当的用差分方程模型来表现体与分析求解。 3.1.3 用MATLAB仿真时用的相关函数说明 在用MATLAB仿真离散系统的差分方程时可以用函数y=filter(p,d,x)实现差分方程的仿真,用y=impz(p,d,N)求系统的冲激响应。 (1)利用filter函数实现差分方程说明: filter([1,2],1,[1,2,3,4,5])实现 y[k]=x[k]+2*x[k-1] y[1]=x[1]+2*0=1%(x[1]之前状态都用0) y[2]=x[2]+2*x[1]=2+2*1=4 (2)用filter函数求该差分方程y[n]+0.75

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  • 信号波峰波谷二阶差分识别算法

    千次阅读 2021-02-23 22:52:16
    而对于数字信号的处理通过采样都会变成离散信号,信号对时间的微分在离散域内即为差分。 在进行波形识别之前数据采集是必不可少的,其中最重要的是采样速率精度,以便从采样信号中不失真的恢复原连续信号。(香农...

    1、聊一聊

        其实每个人在无助的时候都需要一句"Cry On My Shoulder!"

        今天跟大家介绍一种波峰波谷的检测方法,不是很难,不过能够凸显数学在编程算法中的重要作用。

    2、正文部分

    1

    波峰波谷用处

    对于信号波峰波谷识别在嵌入式领域应该是非常广泛的,因为大部分的信号都处于一种时变的状态,信号在时域上处于一种类似于正弦波的波动状态。

    比如计步软件就是通过IMU模块所采集的变化的波形状态来识别波峰波谷,最终估算你所走过步数;

    图片来源网络侵删

    上图显示了一个典型的x-, y-和z-测量模式,对应于一个跑步者的垂直,向前和侧面加速度。无论如何佩戴计步器,至少有一个轴会有相对较大的周期性加速度变化,因此通过检测其波峰波谷等算法即可对于检测步行或跑步的单位周期至关重要。

    图片来源网络侵删

    还有在电力系统中的交流电压电流,我们需要通过检测波峰波谷来确定电压电流在交流周期中的最大最小值,从而动态调节系统参数来达到自适应的目的,所以波峰波谷的检测是非常有用的。

    2

    比较法识别

    常规的设计办法为比较法 : 其中x表示当前采样点

    波峰:f(x) > f(x−1) 且 f(x) > f(x+1)

    波谷:f(x) < f(x−1) 且 f(x) < f(x+1)

    然而这样识别对于没有什么噪声,且每个采样点为不同的信号来说还是合适的,但在严苛的环境中还需要构造更多的判断条件来进行一些错误判断的规避,终究还是麻烦了一些,并且容易遗漏。

    3

    差分识别

    在学生阶段我们就学习了导数的概念,如果一个函数一阶导数左右异号,那分别就是波峰或者波谷。而对于数字信号的处理通过采样都会变成离散信号,信号对时间的微分在离散域内即为差分。

    在进行波形识别之前数据采集是必不可少的,其中最重要的是采样速率和精度,以便从采样信号中不失真的恢复原连续信号。(香农采样)

    采样的过程中由于电子器件的杂讯等,数据难免会引入噪声,为了简化识别算法一般都会进行滤波处理,比如一些平滑处理等,然后才开始波峰波谷识别。

    A

    识别算法过程

    1、获得采样点序列

    2、进行差分处理

    3、由于不在乎具体的差分幅值,把所有数据归一到-1,0,1

    4、差分值为0的点即为相同点,如果使用比较法则峰值检测可能失效,便需要更多的条件,而这里我们直接把相同点0置为前一个非0即可规避该问题。

    5、最终Diff再次进行差分,-2/+2即为波峰/波谷。

    B

    参考代码

      1#include <stdio.h>
      2#include <stdlib.h>
      3#define SAMPLE_MAX  20
      4#define PV_MAX      10
      5
      6float Sample[SAMPLE_MAX]={1,2,3,4,4,4,5,2,1,0,0,5,1,0,0,1,2,3,4,0};
      7float SampleDiff[SAMPLE_MAX]={0};
      8
      9typedef struct _tag_FindPV
     10{
     11    int Pos_Peak[PV_MAX];    //波峰位置存储
     12    int Pos_Valley[PV_MAX];  //波谷位置存储
     13    int Pcnt;                //所识别的波峰计数
     14    int Vcnt;                //所识别的波谷计数
     15}SFindPV;
     16
     17SFindPV stFindPV;
     18
     19/********************************************
     20 *  Fuction : initialFindPV
     21 *  Note    : 初始化相关数据 
     22 *******************************************/ 
     23void initialFindPV(void)
     24{
     25    int Index = 0;
     26
     27    for(Index = 0; Index < SAMPLE_MAX;Index ++)
     28    {
     29        SampleDiff[Index] = 0;
     30    }
     31
     32    for(Index = 0; Index < PV_MAX;Index ++)
     33    {
     34        stFindPV.Pos_Peak[Index] = -1;
     35        stFindPV.Pos_Valley[Index] = -1;
     36    }
     37    stFindPV.Pcnt = 0;
     38    stFindPV.Vcnt = 0;
     39
     40}
     41
     42/********************************************
     43 *  Fuction : FindPV
     44 *  Note    : 找波峰波谷 
     45 *******************************************/ 
     46void FindPV(SFindPV *pFindPV,float *Sample)
     47{
     48    int i = 0;
     49
     50    //step 1 :首先进行前向差分,并归一化
     51    for(i= 0; i < SAMPLE_MAX - 1; i++)
     52    {
     53        if (Sample[i + 1] - Sample[i]>0)
     54            SampleDiff[i] = 1;
     55        else if (Sample[i + 1] - Sample[i] < 0)
     56            SampleDiff[i] = -1;
     57        else
     58            SampleDiff[i] = 0;
     59    }
     60
     61    //step 2 :对相邻相等的点进行领边坡度处理
     62    for(i= 0; i < SAMPLE_MAX-1; i++)
     63    {
     64        if(SampleDiff[i] == 0)
     65        {
     66            if(i == (SAMPLE_MAX-2))
     67            {
     68                if (SampleDiff[i - 1] >= 0)
     69                    SampleDiff[i] = 1;
     70                else
     71                    SampleDiff[i] = -1;
     72            }
     73            else
     74            {
     75                if (SampleDiff[i + 1] >= 0)
     76                    SampleDiff[i] = 1;
     77                else
     78                    SampleDiff[i] = -1;
     79            }
     80
     81        }
     82    }
     83
     84    //step 3 :对相邻相等的点进行领边坡度处理
     85    for(i= 0; i < SAMPLE_MAX-1; i++)
     86    {
     87        if(SampleDiff[i + 1] - SampleDiff[i] == -2) //波峰识别
     88        {
     89            pFindPV->Pos_Peak[pFindPV->Pcnt] = i + 1;
     90            pFindPV->Pcnt++; 
     91        }
     92        else if(SampleDiff[i + 1] - SampleDiff[i] == 2) //波谷识别
     93        {
     94            pFindPV->Pos_Valley[pFindPV->Vcnt] = i + 1;
     95            pFindPV->Vcnt++;
     96        }
     97    }
     98}
     99
    100/********************************************
    101 *  Fuction : main
    102 *  Note    : 模拟查找波峰波谷 
    103 *******************************************/ 
    104int main(int argc, char *argv[]) {
    105
    106    int i = 0;
    107
    108    initialFindPV();
    109
    110    FindPV(&stFindPV,Sample);
    111
    112    printf("Peak\n");
    113    for(i = 0 ;i< stFindPV.Pcnt;i++)
    114    {
    115        printf("-%d",stFindPV.Pos_Peak[i] + 1);  //加1是为了与上图横坐标一致 
    116    }
    117
    118    printf("\nValley\n");
    119    for(i = 0 ;i< stFindPV.Vcnt;i++)
    120    {
    121        printf("-%d",stFindPV.Pos_Valley[i] + 1);
    122    }
    123
    124    printf("\n\n");
    125    printf("欢迎关注:最后一个bug\n");
    126    return 0;
    127}
    

    2、最后

       

        当然在实际的项目中为了更加稳定的识别波峰波谷可能会对波峰波谷的出现特点进行限制,从而进一步减少误识别,也有许多人使用数据拟合的办法来识别波峰波谷,那么识别的准确度就与所拟合的函数有关,通过数学方法对所拟合函数进行波峰波谷的求解,最终得到信号的波峰波谷,不过这样的拟合过程对平台的处理能力提出了一定的要求。

        好了,今天的分享就到这里,我是bug菌,最近在公众号推送了一些软文,当不会忘本!感谢各位,顺手点个赞!

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    展开全文
  • 在本文中,我们考虑了拟线性双曲型偏微分方程初值问题(IVP)数值解的特征数值方法,以及差分方案中央时间中心空间(CTCS),Crank-Nicolson方案,ω方案一维齐次波动方程初值和边值问题数值解的特征方法。...
  • 转自:http://www.cnblogs.com/pegasus/archive/2011/05/20/2051780.html更复杂些的滤波算子一般是先利用高斯滤波来平滑,然后计算其1阶2阶微分。由于它们滤除高频低频,因此称为带通滤波器(band-pass filters)...

    转自:http://www.cnblogs.com/pegasus/archive/2011/05/20/2051780.html

    更复杂些的滤波算子一般是先利用高斯滤波来平滑,然后计算其1阶和2阶微分。由于它们滤除高频和低频,因此称为带通滤波器(band-pass filters)。

    在介绍具体的带通滤波器前,先介绍必备的图像微分知识。

    1 一阶导数

    连续函数,其微分可表达为0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png ,或0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png                         (1.1)

    对于离散情况(图像),其导数必须用差分方差来近似,有

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png,前向差分 forward differencing                  (1.2)

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png ,中心差分 central differencing                     (1.3)

    1)前向差分的Matlab实现

    2)中心差分的Matlab实现

    实例:技术图像x方向导数

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png 0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    原图像                                                   x方向1阶导数

    2 图像梯度(Image Gradient)

    图像I的梯度定义为0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png  ,其幅值为0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png 。出于计算性能考虑,幅值也可用0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png 来近似。

    Matlab函数

    1)gradient:梯度计算

    2)quiver:以箭头形状绘制梯度。注意放大下面最右侧图可看到箭头,由于这里计算横竖两个方向的梯度,因此箭头方向都是水平或垂直的。

    实例:仍采用上面的原始图像

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png 0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    梯度幅值                                   梯度幅值+梯度方向

    3 二阶导数

    对于一维函数,其二阶导数0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png ,即0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png 。它的差分函数为

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png                  (3.1)

    3.1 普拉斯算子(laplacian operator)

    3.1.2 概念

    拉普拉斯算子是n维欧式空间的一个二阶微分算子。它定义为两个梯度向量算子的内积

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png       (3.2)

    其在二维空间上的公式为:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png                (3.3)

    对于1维离散情况,其二阶导数变为二阶差分

    1)首先,其一阶差分为0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    2)因此,二阶差分为

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    3)因此,1维拉普拉斯运算可以通过1维卷积核0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png实现

    对于2维离散情况(图像),拉普拉斯算子是2个维上二阶差分的和(见式3.3),其公式为:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png   (3.4)

    上式对应的卷积核为

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    常用的拉普拉斯核有:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    3.1.2 应用

    拉普拉斯算子会突出像素值快速变化的区域,因此常用于边缘检测。

    Matlab里有两个函数

    1)del2

    计算公式:0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png ,0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    2)fspecial:图像处理中一般利用Matlab函数fspecial

    h = fspecial('laplacian', alpha) returns a 3-by-3 filter approximating the shape of the two-dimensional Laplacian operator.

    The parameter alpha controls the shape of the Laplacian and must be in the range 0.0 to 1.0. The default value for alpha is 0.2.

    3.1.3 资源

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二阶差分和二阶微分