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  • 讨论了求解二阶线性常微分方程初值问题的差分法,给出了边界条件的2种处理方法,并对数值结果与理论计算结果进行了比较。
  • 离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 成 绩 评 定 表 学生姓名 请叫我雷锋 班级学号 专 业 通信工程 课程设计题目 离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 评语 组长签字: 成绩 日期 2014 年 ...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gif离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解

    成 绩 评 定 表 学生姓名 请叫我雷锋 班级学号 专 业 通信工程 课程设计题目 离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 评语 组长签字: 成绩 日期 2014 年 6月 日 课程设计任务书 学 院 信息科学与工程 专 业 通信工程 学生姓名 请叫我雷锋 班级学号 课程设计题目 离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 内容及要求: 1、学习Matlab软件知识及应用 2、学习并研究离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 3、利用Matlab编程,完成离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 4、写出课程设计报告,打印程序,给出运行结果 进度安排: 第1-2天: 1、学习使用Matlab软件、上机练习 2、明确课题内容,初步编程 第3-5天: 1、上机编程、调试 2、撰写课程设计报告书 3、检查编程、运行结果、答辩 4、上交课程设计报告 指导教师: 2014 年 6月 日 专业负责人: 2014 年 6月 日 学院教学副院长: 2014 年 6 月 日 目 录 1引言1 2Matlab7.0入门1 3 利用Matlab 7.0实现一阶和二阶差分方程求解的设计2 3.1 设计原理分析2 3.1.1 差分方程定义2 3.1.2 差分方程的意义与应用2 3.1.3 用MATLAB仿真时用的相关函数说明3 3.2 一阶和二阶差分方程求解的编程设计及实现4 3.2.1 设计函数思路4 3.2.2 理论计算4 3.2.3 设计过程记录及运行结果4 4 结论5 5 参考文献6 1 引言 人们之间的交流是通过消息的传播来实现的,信号则是消息的表现形式,消息是信号的具体内容。 《信号与系统》课程是一门实用性较强、涉及面较广的专业基础课,该课程是将学生从电路分析的知识领域引入信号处理与传输领域的关键性课程,对后续专业课起着承上启下的作用. 该课的基本方法和理论大量应用于计算机信息处理的各个领域,特别是通信、数字语音处理、数字图像处理、数字信号分析等领域,应用更为广泛。 近年来,计算机多媒体教序手段的运用逐步普及,大量优秀的科学计算和系统仿真软件不断涌现,为我们实现计算机辅助教学和学生上机实验提供了很好的平台。通过对这些软件的分析和对比,我们选择MATLAB语言作为辅助教学工具,借助MATLAB强大的计算能力和图形表现能力,将《信号与系统》中的概念、方法和相应的结果,以图形的形式直观地展现给我们,大大的方便我们迅速掌握和理解老师上课教的有关信号与系统的知识。 2 Matlab7.0入门 MATLAB的名称源自Matrix Laboratory,它是一种科学计算软件,专门以矩阵的形式处理数据。MATLAB将高性能的数值计算和可视化集成在一起,并提供了大量的内置函数,从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分析、仿真和设计工作,而且利用MATLAB产品的开放式结构,可以非常容易地对MATLAB的功能进行扩充,从而在不断深化对问题认识的同时,不断完善MATLAB产品以提高产品自身的竞争能力。 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大,适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算,复数运算,高次方程求根,插值与数值微商运算,数值积分运算,常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等,即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算,均可用Matlab来解决。 MATLAB是MATLAB产品家族的基础,它提供了基本的数学算法,例如矩阵运算、数值分析算法,MATLAB集成了2D和3D图形功能,以完成相应数值可视化的工作,并且提供了一种交互式的高级编程语言——M语言,利用M语言可以通过编写脚本或者函数文件实现用户自己的算法。 利用M语言还开发了相应的MATLAB专业工具箱函数供用户直接使用。这些工具箱应用的算法是开放的可扩展的,用户不仅可以查看其中的算法,还可以针对一些算法进行修改,甚至允许开发自己的算法扩充工具箱的功能。目前MATLAB产品的工具箱有四十多个,分别涵盖了数据采集、科学计算、控制系统设计与分析、数字信号处理、数字图像处理、金融财务分析以及生物遗传工程等专业领域。 综上,在进行信号的分析与仿真时,MATLAB7.0无疑是一个强大而实用的工具。尤其对于信号的分析起到了直观而形象的作用,非常适合与相关课题的研究与分析。 ·3 利用Matlab 7.0实现一阶和二阶差分方程求解的设计 3.1 设计原理分析 3.1.1 差分方程定义 含有未知函数y(t)=f(t)以及yt的差分Dy(t), D2y(t),…的函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t,y(t),D y(t),…, Dn y(t))=0,其中F是t,y(t), D y(t),…, Dn y(t)的已知函数,且Dnyt一定要在方程中出现。 含有两个或两个以上函数值y(t),y(t+1),…的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t,y(t),y(t+1),…,y(t+n))=0,其中F为t,y(t),y(t+1),…,y(t+n)的已知函数,且y(t)和y(t+n)一定要在差分方程中出现。 3.1.2 差分方程的意义与应用 差分方程模型有着广泛的应用。实际上,连续变量可以用离散变量来近似逼近1,从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群数量结构规律分析、疫病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的的作用。可以这样讲,只要牵涉到关于变量的规律,性质,就可以适当的用差分方程模型来表现体与分析求解。 3.1.3 用MATLAB仿真时用的相关函数说明 在用MATLAB仿真离散系统的差分方程时可以用函数y=filter(p,d,x)实现差分方程的仿真,用y=impz(p,d,N)求系统的冲激响应。 (1)利用filter函数实现差分方程说明: filter([1,2],1,[1,2,3,4,5])实现 y[k]=x[k]+2*x[k-1] y[1]=x[1]+2*0=1%(x[1]之前状态都用0) y[2]=x[2]+2*x[1]=2+2*1=4 (2)用filter函数求该差分方程y[n]+0.75

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  • ts=0.001;采样时间=0.001s sys=tf(400,[1,50,0]);建立被控对象传递函数 dsys=c2d(sys,ts,'z');把传递函数离散化(问题1) [num,den]=tfdata(dsys,'v');离散化后提取分子、分母
  • 方程知道特解形式,具体怎么求,代入到哪里?如果代入到y(k)、y(k-1)的方程组式里面,具体是怎么计算的?
  • 它可改写为一个线性常系数k阶非齐次的差分方程:T(n)-c1T(n-1)- c2T(n-2)-…-ckT(n-k)=f(n),n≥k (6.19)(6.19)与线性常系数k阶非齐次常微分方程的结构十分相似,因而解法类同。限于篇幅,这里...

    T(n)=c1T(n-1)+c2T(n-2)+…+ ckT(n-k)+f(n),n≥k (6.18)

    的递归方程。其中ci (i=l,2,…,k)为实常数,且ck≠0。它可改写为一个线性常系数k阶非齐次的差分方程:

    T(n)-c1T(n-1)- c2T(n-2)-…-ckT(n-k)=f(n),n≥k (6.19)

    (6.19)与线性常系数k阶非齐次常微分方程的结构十分相似,因而解法类同。限于篇幅,这里直接给出(6.19)的解法,略去其正确性的证明。

    第一步,求(6.19)所对应的齐次方程:

    T(n)-c1T(n-1)- c2T(n-2)-…-ckT(n-k)=0 (6.20)

    的基本解系:写出(6.20)的特征方程:

    C(t)=tk-c1tk-1-c2tk-2 -…-ck=0 (6.21)

    若t=r是(6.21)的m重实根,则得(6.20)的m个基础解rn,nrn,n2rn,…,nm-1rn;若ρeiθ和ρe-iθ是(6.21)的一对l重的共扼复根,则得(6.20)的2l个基础解ρncosnθ,ρnsinnθ,nρncosnθ,nρnsinnθ,…,nl-1ρncosnθ,nl-1ρncosnθ。如此,求出(6.21)的所有的根,就可以得到(6.20)的k个的基础解。而且,这k个基础解构成了(6.20)的基础解系。即(6.20)的任意一个解都可以表示成这k个基础解的线性组合。

    第二步,求(6.19)的一个特解。理论上,(6.19)的特解可以用Lagrange常数变易法得到。但其中要用到(6.20)的通解的显式表达,即(6.20)的基础解系的线性组合,十分麻烦。因此在实际中,常常采用试探法,也就是根据f(n)的特点推测特解的形式,留下若干可调的常数,将推测解代人(6.19)后确定。由于(6.19)的特殊性,可以利用迭加原理,将f(n)线性分解为若干个单项之和并求出各单项相应的特解,然后迭加便得到f(n)相应的特解。这使得试探法更为有效。为了方便,这里对三种特殊形式的f(n),给出(6.19)的相应特解并列在表6-1中,可供直接套用。其中pi,i=1,2,…,s是待定常数。

    表6-1 方程(6.19)的常用特解形式

    f(n)的形式  条    件  方程(6.19)的特解的形式

    {此处无法正常显示,请看原文。}

    第三步,写出(6.19)即(6.18)的通解

    (6.22)

    其中{Ti(n),i=0,1,2,…,n}是(6.20)的基础解系,g(n)是(6.19)的一个特解。然后由(6.18)的初始条件

    T(i)=Ti ,i=1,2,…,k-1

    来确定(6.22)中的待定的组合常数{ai},即依靠线性方程组

    解出{ai},并代回(6.22)。其中βj=Tj-g(j),j=0,1,2,…,k-1。

    第四步,估计(6.22)的渐近阶,即为所要求。

    下面用两个例子加以说明。

    例l 考虑递归方程

    它的相应特征方程为:

    C(t)=t2-t-1=0

    解之得两个单根和。相应的(6.20)的基础解系为{r0n,r1n}。相应的(6.19)的一个特解为F*(n)=-8,因而相应的(6.19)的通解为:

    F(n)=a0r0n +a1r1n- 8

    令其满足初始条件,得二阶线性方程组:

    解之得,,从而

    于是

    例2 考虑递归方程

    T(n)=4T(n-1)-4T(n-2)+2nn (6.23)

    和初始条件T(0)=0,T(1)=4/3。

    它对应的特征方程(6.21)为

    C(t)=t2-4t+4=0

    有一个两重根r =2。故相应的(6.20)的基础解系为{2n,2nn}。由于f(n)=2nn,利用表6-1,相应的(6.19)的一个特解为

    T*(n)=n2(p0+p1n)2n,

    代人(6.23),定出p0=1/2,p1=1/6。因此相应的(6.19)的通解为:

    T(n)=a02n+a1n2n+n2(1/2+n/6)2n,

    令其满足初始条件得a0=a1=0,从而

    T(n)=n2(1/2+n/6)2n

    于是T(n)=θ(n32n)。

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  • 关于差分方程

    2021-05-24 08:08:32
    在数学上,递推关系(recurrencerelation),也就是差分方程(difference equation),是一种递推地定义一个序列的方程式:序列的每一项目是定义为前一项的函数。举个例子(户口调查映射(logisticmap)):某些简单定义的...

    在数学上,递推关系(recurrence

    relation),也就是差分方程(difference equation),是一种递推地定义一个序列的方程式:序列的每一项目是定义为前一项的函数。

    举个例子(户口调查映射(logistic

    map)):

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    某些简单定义的递推关系式可能拥有非常复杂的(混乱的)行为,且有时候在数学的领域称为非线性分析中被物理学家和数学家所研究。

    解一个递推关系式的意思,就是得到一种n的非递回函数。

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    常系数线性齐次递推关系式

    线性字眼的意思是序列的每一项目是被定义为前一项的一种线性函数。系数和常数可能视 n 而定,甚至是非线性地。

    一种特别的情况是当系数并不依照 n 而定。

    齐次意思为关系的常数项为零。

    为了要得到线性递回唯一的解,必须有一些起始条件,就是序列的第一个数字无法依照该序列的其他数字而定时,且必须设定为某些数值。

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    解线性递推关系式

    递推关系式的解通常是由系统的方法中找出来,通常借由使用生成函数(generating

    function) (形式幂级数(formal

    power

    series))或借由观察rn是一种对r的特定数值之解的事实。

    二阶递推关系式的形式:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    我们拥有解为rn:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    两边除以rn − 2我们可以得到:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    这就是递推关系式的特征方程。解出r可获得两个根(roots)λ1,λ2,且如果两个根是不同的,我们可得到解为

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    而如果两个根是相同的(当A2+4B=0),我们得到

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    C 和 D 都是常数。

    换句话说,将这种an =

    Aan − 1 +

    B形式的方程式,用 2 代入 n 后,就得到上述的r2 =

    Ar + B。常数 "C" 和 "D" 可以从

    "边界条件(side conditions)" 中得到,通常会像是“已知a0 =

    c1, a1 =

    c2”。

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    范例:斐波那契数(Fibonacci Number)

    斐波那契数是使用一种线性递推关系式来定义:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    设若:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    当n趋于无限大之极限值存在,则其值为

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    = Φ

    恰为黄金分割之ㄧ值,1.618....,另一值则为0.618....,两值互为倒数,也就是说1.618....分之1=0.618....,反之亦然。

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    起始条件为:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    因此,斐波那契数的序列为:

    0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ...

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    常系数非齐次线性递推关系

    对于常系数非齐次线性递推关系,我们可以用待定系数法来求出它的一个特解,而它的通解就是这个特解与对应的齐次递推关系的通解的和。也可以使用迭代法求解,但只能得到确切的数值解,不能直接以解析式作答,该方法可利用计算机求解。

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    时域经典法求解

    一般情况下,常系数线性差分方程可以写作:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    则对应的齐次方程形式为:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    则特征方程为:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    当特征根非重根时,齐次解为:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    当特征根为重根时,若α1为特征方程的K重根,齐次解为:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    特解yp(n) =

    D(n)的形式由激励函数x(n)的形式决定。

    一般情况,当激励函数x(n)代入方程。

    方程右方出现nk的形式,则特解选择

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    当方程右方出现an的形式,则特解选择

    当a不是特征根时

    yp(n) =

    Aan

    当a是特征根时

    yp(n) =

    (A1n +

    A0)an

    当a为r重根时

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    将特解带入原方程,求出待定系数。根据边界条件,可求出齐次节待定系数。

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    例子

    我们用待定系数法来解以下的常系数非齐次线性递推关系:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    对应的齐次递推关系

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    的齐次解是:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    我们猜测特解的形式为:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    代入原递推关系中,我们便得到:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    比较等式两端的3n项的系数,可得:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    比较等式两端的n项的系数,可得:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    比较等式两端的常数项,可得:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    因此原递推关系的通解为:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

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    与差分方程的关系

    数值求解常微分方程时,经常会遇到递归关系。例如,求解如下初值问题时

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    如采用欧拉法和步长h,可以通过如下递归关系计算y0

    = y(t0), y1 =

    y(t0 + h),

    y2 =

    y(t0 + 2h),...

    yn

    + 1 = yn +

    hf(tn,yn).

    线性一阶微分方程组可以用离散化条目中介绍的方法解析地精确离散化。

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  • (一)高阶差分方程的解: 高阶差分齐次方程: 1仍然可得是该齐次方程的解 2得到对应的特征方程(其实以后我们可以直接写出相应的特征方程,参考高数中写微分方程的特征方程) 将有n个特征根(相异实数根...
     
    (一)高阶差分方程的解:
    高阶差分齐次方程:
    1仍然可得是该齐次方程的解
    2得到对应的特征方程(其实以后我们可以直接写出相应的特征方程,参考高数中写微分方程的特征方程)
    将有n个特征根(相异实数根,多重根,共轭复根)
     
    (1)相异实根:
    (2)实根,m重根:
    这里只是举一个例子,太复杂的并没有阐述,即:阿尔法1到阿尔法m都相等吗,但阿尔法m+1到阿尔法n都是相异实根。(其实还是不够一般化)(注意,最后那个因为相等所以阿尔法1改写为了阿尔法m)(而且他没把剩下的相异实根 部分写上去,容易引起误解)
     
    所以上面这个表述是有歧义的。因为假如重根有5个,分别为阿尔法1,2,3,4,5。但是他们的重数可能是不同的,比如重数分别为2,2,3,4,5.所以他们的上面这个表述是有问题的。
    应该改为:
    这里的n替换为t,这里仅是假设阿尔法1为k重,而其余的k+1到N个根都是相异实根。
    那么其余的怎么写,就了然了。
    看两个例子:
     
    (3)复根
    复根出现重根的情况不再给出了
     
    (二)稳定性条件
    要得到上述结论,需要先证明下式:
    然后再由此式即可推导出上述结论。
    (详细版笔记中我已证明和推导)
     
    (三)非齐次特解
    非齐次差分方程的形式和推动过程x(t)有关
    即推动过程为确定性过程
    下面几种为讨论推动过程包含常数项,时间趋势项t的情形。
    (1)(高阶差分方程)
             此时的方程为:
             则猜想解的形式为:
             代入方程,解出c的值为:
             但是分母可能为0,那么c就不存在了。
             此时,我们应猜想解的形式为:
             代入方程,解出c的值为:
             若分母可能为0,那么c就不存在了。
             继续尝试这样形式的解,知道找到为止,总能找到的。
    (2)其中b,d,r都是常数(仅指出了一阶)
             此时的方程为:
             我们仅考虑一阶:
             猜想解的形式为:
             代入方程,接触c0,c1
             
             于是,得到一个特解为:
             只要|d^r|<1,该解收敛
             
             即:1
                      (常数项乘以了t)
                    2,尝试使用
                     每一项都乘以了t
            对于高阶方程,仍然可以使用此方法(不过猜想的第一个解需要一定的智慧)
    (3)其中b为常数,d为正常数。
             此时的方程为:
             猜想其特解的一般形式为:
             举一个二阶差分方程的例子:
             方程形式为:(此时d=1)
             猜想其特解的一般形式为:
             代入可能到两个系数为:
             同样考虑,则令此时的特解形式为:
     
    (四)待定系数法
    (待定系数法在微分方程中也常用,先猜一个挑战解,假定其满足,然后代入,最终去求出这些系数,如果系数有解,则这个挑战解就是方程的解,如果系数无解,则这个挑战解就不是方程的解
    即推动过程是随机干扰项的非齐次方程的特解
    待定系数法可能误解,所以我们将一开始提出的用于尝试的解之为挑战解
    (1)简单情形1:一阶差分方程+一个随机干扰项方程为
             猜想的挑战解形式为:
             代入方程得
            对任意的t和efshow,上述的式子都要成立,那就只能让常数项和系数都为零啦~
            于是可以得到:
                                 和
           考虑到分母,还是分类讨论:
           分类情形1:
           
          这个结果和第一部分中使用向前迭代解本方程对所得的解的结果完全一致
          最后我们可以配上对应的齐次方程的通解,组合成非齐次方程的通解,如下:  
          
          分类情形2:
         
         由于efshow的求和未必有限,所以该解可能发散。于是施加如下初始条件:
         
        最终将特解写为:
          
         但是我觉得,由于t的存在,这个解还是发散的,所以前面施加初始条件然并卵。
       (2)简单情形2:一阶差分方程+两个随机干扰项
                方程为:
                猜想的挑战解形式为:
                使用(1)简单情形1中的步骤和方法,不再赘述。
        
       (3)二阶差分方程+一个随机干扰项 ,方程为:
                猜想的挑战解形式为:
                代入方程可以得到:
                
               和
               和(可以解出a(j))
               
           
    (五)滞后算子
             滞后算子L
             滞后算子的性质:
             
             
           利用性质5和性质6,结合性质1,就可以解出差分方程。(级数求和与展开)
          如果是高阶,则可以因式分解,拆分后,再进行级数展开。





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