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  • 二阶常微分方程的解法
    2021-04-25 14:31:00

    w

    摘 要

    本文主要研究二阶常微分方程边值问题的数值解法。对线性边值问题,我们总结了两类常用的数值方法,即打靶法和有限差分方法,对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码,通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。

    关键字:常微分方程边值问题;打靶法;差分法;

    ABSTRACT

    This article mainly discusses the numerical methods for solving Second-Order boundary value problems for Ordinary Differential Equations. On the one hand, we review two types of commonly used numerical methods for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. For each method, we give both the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example.

    Key words:Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations;Shooting Method;Finite Difference Method;

    目 录

    TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc262710959" 第一章 引言 PAGEREF _Toc262710959 \h - 1 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710960" 第二章 二阶线性常微分方程 PAGEREF _Toc262710960 \h - 3 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710961" 2.1试射法(“打靶”法) PAGEREF _Toc262710961 \h - 4 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710962" 2.1.1简单的试射法 PAGEREF _Toc262710962 \h - 4 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710963" 2.1.2 基于叠加原理的试射法 PAGEREF _Toc262710963 \h - 5 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710964" 2.2 有限差分法 PAGEREF _Toc262710964 \h - 11 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710965" 2.2.1 有限差分逼近的相关概念 PAGEREF _Toc262710965 \h - 12 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710966" 2.2.2 有限差分方程的建立 PAGEREF _Toc262710966 \h - 14 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710967" 2.2.3 其他边值条件的有限差分方程 PAGEREF _Toc262710967 \h - 15 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710968" 2.2.4 有限差分方程的解法 PAGEREF _Toc262710968 \h - 17 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710969" 第三章 二阶非线性微分方程 PAGEREF _Toc262710969 \h - 22 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710970" 3.1基于牛顿迭代法的打靶法 PAGEREF _Toc262710970 \h - 22 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710971" 3.1.1 第一类边值条件推导 PAGEREF _Toc262710971 \h - 22 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710972" 3.1.2 其他边值条件的推导 PAGEREF _Toc262710972 \h - 24 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710973" 3.1.3 算法及程序代码 PAGEREF _Toc262710973 \h - 25 -

    HYPERLINK \l "_Toc262710974" 3.2 基于改进的牛

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    千次阅读 2022-04-08 09:51:02
    一阶二阶常系数微分方程的形式以及通解的解法

    最近各学科上都要用到微分方程的知识,发现自己微分方程差不多忘光了,而且由于书没有带回家,所以就想写个博客留着自己复习用。

    先说一阶常微分方程:

    有以下几种:

    1.可分离变量型微分方程

    2.一阶齐次线性微分方程

    3.一阶非齐次线性微分方程

    4.伯努利方程

    他们彼此之间的联系是比较明显的,且看我对他们解法的总结。

    可分离变量型微分方程:

    一阶齐次线性微分方程(本质上是可分离变量的微分方程)

    一阶非齐次线性微分方程 

    这里需要用到所谓的常数变易法:即是把一阶非齐次线性微分方程右边不为0的项变为0,这样就可以按一阶齐次线性微分方程解得此时的y,再把y的表达式中的任意常数变为关于x的方程(c(x)),再将此时y的表达式代回微分方程,反求出关于x的方程(c(x));

    伯努利方程

     接下来是高阶微分方程:

    其实也就是可降阶微分方程和二阶微分方程;

    可降阶微分方程:

     二阶微分方程分为:

    二阶常系数齐次线性微分方程;

    二阶常系数非齐次线性微分方程;

     关于证明可以看看b站上的这篇:二阶常系数齐次线性微分方程通解 - 哔哩哔哩 (bilibili.com)icon-default.png?t=M276https://www.bilibili.com/read/cv2769623讲的挺清楚的,而且有很惊喜的比喻。

     

     那么,关于微分方程的通解就到此告一段落了。

    第一次写博客,希望自己能坚持下去,我觉得写博客是一种很好的学习方式,写一篇博客没有想象中那么容易的。

    展开全文
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    第2讲 二阶线性微分方程的求解方法

    二阶线性微分方程形如 y’’ + P(x) y’ +Q(x) y = f(x),是二阶微分方程 y’’ =F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时,称为齐次的,否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度,利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。例见同济高数P329。知识点脑图如下:
    在这里插入图片描述

    学习要点

    1、和一阶微分方程对应,掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系
    2、牢记二级结论,对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢
    3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的,能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。

    一、解结构

    1、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)

    在这里插入图片描述
    当y1(x)和y2(x)是线性无关的,y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意,两个函数只要不是倍数关系,就是线性无关的。
    在这里插入图片描述

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    2、二阶非齐次方程的通解 Y + y*

    在这里插入图片描述
    证明比较简单,可见同济高数P333。
    可以看出,二阶线性微分方程的求解问题转化为两个问题:一是齐次方程的通解求法;二是非齐次方程的特解求法。其中,对常系数微分方程有通解公式,对一般的非齐次方程有常数变易求解方法,具体方法见同济高数P336,具体看是否有教学考核要求。

    二、常系数齐次线性微分方程通解的特征根解法

    一般的变系数齐次微分方程的通解是难以求出的,但对于常系数齐次微分方程 y’’ + py’ +qy =0 ,可以采用特征根方法,给出通解形式。实际计算中可以绕过推导过程,直接套用公式。
    根据第一部分齐次方程的通解结构,只要找到两个线性无关的解y1(x)和y2(x),就可以根据 C1y1(x)+C2y2(x)写出通解。因此关键是构造出两个这样的解。采用了erx进行构造。这种构造方法称为特征根方法 。

    1、特征根求解公式

    在这里插入图片描述
    在实际求解时可以套用公式,下面简要给出推导过程。

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    2、几个求解例子

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    3、变形问题:从特解反求微分方程

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    注意特解的构造性,利用了齐次方程特解线性组合也是特解的性质,目的是为了构造出erx的特解。

    三、常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法

    在这里插入图片描述
    非齐次方程的解结构为 齐次方程通解加上非齐次的一个特解,而利用特征根法已经解决了通解求解问题,下面将针对几种特殊的f(x)给出特解求解方法,其本质是构造法给出特解,其特点是不用积分就能求出,称为待定系数法。

    1、f(x) = eaxPm(x)型

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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    2、f(x) = eax[Pl(x) coswx + Qn(x) sinwx]型

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    待定系数法的本质就是构造出了特解,只要确定系数就可以,所以牢记二级结论的公式定理很重要。举几个例子加强理解。
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    如果对复数形式比较熟悉,可以更加简洁一点的过程。在这里插入图片描述
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  • 微分方程的数值解法主要包括两大类:有限差分法和有限单元法。这里主要介绍有限单元法。 However,对于一个只学过微积分和矩阵论的工科生来说,要了解有限元法的数学原理还是有些困难,所以这里重点是介绍有限元法...

    我们常常用微分方程来描述现实世界中的一些物理现象。由于微分方程的复杂性,只有在很简单的情况下才能得到微分方程的解析解。由于计算机的发展,采用数值方法求解微分方程的数值近似解得到广泛应用。微分方程的数值解法主要包括两大类:有限差分法和有限单元法。这里主要介绍有限单元法。

    However,对于一个只学过微积分和矩阵论的工科生来说,要了解有限元法的数学原理还是有些困难,所以这里重点是介绍有限元法的思想和具体计算方法,深层的数学原理并不涉及,主要是本人也不懂~~~

    1.微分方程基本概念

    微分方程主要分为常微分方程和偏微分方程。
    常微分方程:未知函数是单一自变量的函数,按照方程中导数的阶数,分为一阶、二阶、n阶常微分方程。
    偏微分方程:未知函数是多个自变量的函数,至少是两个自变量,同样可以分为一阶、二阶、n阶偏微分微分方程。

    二阶偏微分方程研究较多,又可以分为椭圆型方程、双曲型方程、抛物型方程等。这里不展开,具体可以查看偏微分方程数值解法相关书籍。

    2.二阶常微分方程的有限元法求解举例

    由于下面涉及大量公式,所以采用截图的方式进行介绍

    3.具体Matlab实现如下: 

    %% main program
    %一次有限元求一维常微分方程,基函数为分片线性函数
    n = 10;
    err = zeros(8, 1);
    
    % Linear interpolation
    index = zeros(8, 1);
    for i=1:8
        index(i) = 2^(i-1) * n; %10,20,40,80,160,320,640,1280
    end
    for i = 1:8
        N = index(i); %网格数量
        h = 1 / N; %网格大小
        x = 0:h:1; %节点向量
        xx = 0:1/1000:1;
        exact_solu = sin(pi.*xx); %精确解
        K = zeros(N-1); %初始化系数矩阵(刚度矩阵)
        K = K + diag(ones(N-1,1).*(2/h+2/3*h), 0) + diag((h/6-1/h).*ones(N-2,1), 1)...
              + diag((h/6-1/h).*ones(N-2,1), -1);
        F = (1+pi^2)/(h*pi^2) * (2.*sin(pi.*x(2:N))-sin(pi.*x(1:N-1))-sin(pi.*x(3:N+1)))';
        K = sparse(K);
        coeff = K\F; %Ax=b,matlab求法x=A\b
        solu = [0; coeff; 0]; %u(x)节点解
        
    %     figure()
        subplot(3,3,i)
        plot(x', solu, 'o--',xx', exact_solu, 'g--');
        legend('numerical solution', 'exact solution')
        xlabel('x')
        ylabel('U');
        xlim([-0.05,1.05])
        ylim([-0.05,1.05]);
        title(['numerical solution and exact solution N=',num2str(index(i))]);
     
    % calculate the error
        du = solu(2:N+1) - solu(1:N);
        y1 = sin(2.*pi.*x);
        dy1 = y1(2:N+1) - y1(1:N);
        y2 = sin(pi.*x);
        dy2 = y2(2:N+1) - y2(1:N);
        error = pi^2*h/2*ones(1,N) + du'.^2/h + pi/4*dy1 - 2/h*dy2.*du';
        err(i) = sqrt(sum(error));
    end
    % figure()
    subplot(3,3,9)
    plot(log2(err),'o--');
    title('误差阶')
    xlabel('N')
    ylabel('$log_{2}Error$', 'Interpreter','LaTex')
    xlim([0.8,8.2])
    
    axis on;
    set(gca,'xtick',1:1:8);
    set(gca,'xticklabel',{5,10,20,40,80,160,320,640});
    
    [order,~] = polyfit(1:1:(length(err)), log2(err)', 1);
    disp(order)
    
    

    最后计算结果如下图所示:

    参考文献:

    代码 https://blog.csdn.net/waitingwinter/article/details/106164350

    展开全文
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