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  • 二阶微分的理解
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    2021-04-21 01:41:38

    MATLAB 求解微分方程

    x=dsolve('Dx=r*(1-x/xm)*x','x(0)=x0','t')x=xm/(1+exp(-r*t)*(xm-x0)/x0)

    用matlab求解这个微分方程:dx/dt=36.86+x

    x=dsolve('Dx=36.86+x')x=-1843/50+exp(t)*C1

    单摆微分方程求解:x''+(g/l)sin(x)=0,用Matlab求解,

    1.这段程序基本没有什么错误,只是在最后调用ode45求解时候,格式有点错误,修改一下就能运行了:[t,x]=ode45(@Pendel_DGL,[0,4],[pi/2,0])2. 在编程时

    MATLAB 求解微分方程数值解

    结果:代码:clearallclcf=@(x,y)([y(2);   0.357*y(1)-0.1905*y(1)*y(2)]);[x,Y]=ode45(f,[0100]

    求解二阶微分方程

    ∵齐次方程y''-6y'+9y=0的特征方程是r²-6r+9=0,则r=3(二重根)∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^(3x)(C1,C2是积分常数)∵设原方程的解为y=(Ax

    用Matlab编程求解 二阶微分方程:4*d^2y(t)/dt^2+y(t)=dx(t)/d(t)-0.5x(t)

    MATLAB提供了dsolve命令可以用于对符号常微分方程进行求解.语法:dsolve(‘eq’,’con’,’v’)%求解微分方程dsolve(‘eq1,eq2…’,’con1,con2…’,’v1

    利用MATLAB求解微分方程初值问题

    朋友,要根据初值积分对dM/dt积分求得M,才能求解M(t)=0或t(M)=0.solver(积分函数,积分时间,初值,设置)也是这样的数学方法.[时间,解]=solver(积分函数,积分时间,初值)

    matlab求解微分方程并画图

    symstv=dsolve('Dv=(190.708-90.64*v^2)/47.27','v(0)=0','t');t=0:0.00001:0.002;v=eval(v);plot(t,v)使用这样

    MATLAB 求解微分方程的错误

    看了看,运行了一下确实出问题 原因是在用ode数值求解时,x并不是1:0.01:3均匀分散的 解决方法:1.在画解析解和欧拉解时横轴用x的转置;在画数值解时横轴用x,已运行成功2.

    matlab求解微分方程的问题

    我运行的>>symsaknNzz1>>z=dsolve('Dx=a*x*(N-x)','t')z1=dsolve('Dx=a*x*(n-x)','t')结果:z=N0N/(exp(-N*(C3+a*t

    matlab ode45 求解二阶常微分方程

    functiontest()[t,y]=ode45(@func1,[0,1],[0;0;1;2;2;2]);figure(1);clf;plot(t,y);legend('x','y','z','dx

    matlab里的ode45求解二阶微分方程问题!

    新的matlab版本好像不鼓励采用global了.你的全局变量有点多了,哈哈.简单例子:m=2;[t,y]=ode45(@(t,x)f1(t,x,m),[0,10],[2])functiondy=f1

    matlab怎么求解偏微分方程

    Matlab偏微分方程工具箱应用简介1.概述本文只给出该工具箱的函数列表,读者应先具备偏微分方程的基本知识,然后根据本文列出的函数查阅Matlab的帮助,便可掌握该工具箱的使用.2.偏微分方程算法函数

    matlab 求解一阶偏微分方程

    i是虚数单位?那个1/3γ(u*v)中*是什么符号

    用matlab求解二阶微分方程数值解,程序出现错误,求大神指点

    1、把G=1/3*((5*Pp-2*P1)/(P1-2*Pp)-P1*c1^2/Pp*cp^2);改成G=1/3*((5*Pp-2*P1)/(P1+2*Pp)-P1*c1^2/(Pp*cp^2));表

    matlab 矩阵微分方程求解

    最常用的就是广义特征向量基础矩阵解方法.你要一个思路,我给一个2维情况的例子,其中特解x(t0)=x0的理解和如何使用都有,你看看是否够用.. Matlab下二维的例子:再问:嗯,这个不错,

    用MATLAB求解9阶微分方程用什么函数可以

    不管多少阶都可以用ode45,注意把高阶化成一阶即可,比如一个9阶微分方程可化为9个一阶方程,具体方法可网上找,很简单的

    matlab数值解法求解二阶微分方程 ODE45函数

    因为你x=0时2/x是无穷大呀,然后y'又是0,然后(2/x)y'就是nan了,所以后面算的全是nan了.

    用matlab方程求解微分方程

    y=dsolve('2000*Dy-(0.08-y*0.08)','y(0)=0','t')y=1-exp(-1/25000*t)即:C(t)=1-exp(-1/25000*t)

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    目录

    0、前言

    1、二阶微分算子的性质

    2、二阶微分算子

    2.1、Laplacian算子

    2.2、LOG算子


    0、前言

    微分算子其应用着重于图像中的灰度突变区域,而非灰度级缓慢变化的区域。

    之前所介绍的一阶微分算子,他们的计算都是一次,左边减去右边一次,下边减去上边一次,本节所介绍的是二阶微分算子,简单来说就是两次计算,左边减去右边两次,下边减去上边也是两次。

    思路:

    为了能设计出兼顾所有方向的''边缘滤波器'',就是即使不是360度划分的很密集的方向,那么至少是在上下垂直对角线上兼顾一下呢?操作就是使用减中心像素的思想,就是把四周的信息,和我们关心的中间点的信息进行对比,即把上下左右对角线上的和中间都比一下,把比较的总体结果进行一个中和;

    1、二阶微分算子的性质

     使用二阶微分进行图像锐化; 

    二阶微分,是一阶微分的导数,和一阶微分相对应,二阶微分的性质:

    • (1)在恒定区域二阶微分值为0;
    • (2)在灰度台阶或斜坡的起点处微分值不为0;
    • (3)沿着斜坡的微分值为0;

    2、二阶微分算子

    2.1、Laplacian算子

    Laplacian算子是二阶的Sobel导数,在OpenCV中是通过调用Sobel算子来计算Laplacian算子的,使用的公式和卷积核如下:

    如下计算P5点他的Laplacian算子的梯度:

    88为一个图像中的像素点,计算该点的梯度值。

      相当于是左边和右边运算两次:P4-P5和 P6-P5(相当于上下与中间像素操作两次)

    上边和下边运算两次:P2-P5P8-P5

     一阶微分算子每个方向上(X和Y方向)都是运算了一次。(在同一个方向上只运算了一次。)

     而二阶微分算子,Laplacian算子在X方向上是左边减去中间一次,右边也减去中间一次;在Y方向上下边减去中间,上边也减去中间。(切记操作都是取的绝对值)实际上每个方向上都运算了两次(所以是二阶导数,不知道这样理解对不对?意味着在同一个方向上边我进行了两次操作,都这么直观的理解二阶的由来)

    在OpenCV里边不需要我们一步步的去算,他直接给我们提供了Laplacian这个函数:

    通过调用下边函数就可以对图像进行Laplacian算子的梯度计算:

     

    实际应用中,还会有假如对角线方向上的考虑。 

    PS:Laplacian其实就是一个二阶导数,用来寻找零交叉点的。

    2.2、LOG算子

    LOG(Laplacian of Gaussian):在使用高斯滤波器对f(x,y)滤波(平滑)之后,通过寻找零交叉来查找边缘。(因为二阶导数对图像是非常敏感的,所以一般先进行滤波操作,再进行边缘查找。)

    参考链接:https://www.cnblogs.com/wj-1314/p/9800272.html

    展开全文
  • 朋友问题: 有微分方程如下: md2ydt2+dydtexp(t)−y2=5m \frac{d^2y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} exp(t) - y^2 = 5mdt2d2y​+dtdy​exp(t)−y2=5 其中, y(t=0)=1y(t=0)=1y(t=0)=1, dy/dt(t=0)=−10dy/dt (t=0) = -10...

    朋友问题: 有微分方程如下:
    m d 2 y d t 2 + d y d t e x p ( t ) − y 2 = 5 m \frac{d^2y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} exp(t) - y^2 = 5 mdt2d2y+dtdyexp(t)y2=5
    其中, y ( t = 0 ) = 1 y(t=0)=1 y(t=0)=1 d y / d t ( t = 0 ) = − 10 dy/dt (t=0) = -10 dy/dt(t=0)=10
    请在区间 [ 0 , 5 ] [0, 5] [0,5]内绘制两个子图,分别为 d y / d t dy/dt dy/dt y y y,每个子图涵盖 m = 1 m=1 m=1 m = 2 m=2 m=2两种情况。

    所以本题的核心问题在于:用数值计算的方法求解该方程,得到各点,绘制点图。

    使用 matlab 自带的 ode45 ,方程组用句柄表示。

    ode45 参见教程:如何使用ODE45

    首先把题目方程转换,转换为 ode45 能理解的方式。

    先声明变量:
    y 1 = y y 2 = y ′ \begin{aligned} y_1 & = y \\ y_2 & = y' \\ \end{aligned} y1y2=y=y

    于是整理方程:

    y 1 ′ = y 2 y 2 ′ = 1 m ( 5 − y 1 ′ e y 1 + y 1 2 ) \begin{aligned} y_1' & = y_2 \\ y_2' & = \frac{1}{m} (5 - y_1' e^{y_1} + y_1^2) \end{aligned} y1y2=y2=m1(5y1ey1+y12)

    于是我们知道,ode45中要有2个变量,且将其右边的式子分别表示出来,即:

    dy = @(t, y)[y(2); (5 - y(2)*exp(y(1)) + y(1)^2)/m];
    

    其中:

    • y(2)代表 y 1 ′ = y 2 y_1' = y_2 y1=y2
    • (5 - y(1)*exp(y(2)) + y(2)^2)/m代表 y 2 ′ = 1 m ( 5 − y 1 ′ e y 1 + y 1 2 ) y_2' = \frac{1}{m} (5 - y_1' e^{y_1} + y_1^2) y2=m1(5y1ey1+y12)

    接着,规定初值: y ( t = 0 ) = 1 y(t=0)=1 y(t=0)=1 d y / d t ( t = 0 ) = − 10 dy/dt (t=0) = -10 dy/dt(t=0)=10

    y10 = 1;
    y20 = -10;
    

    规定自变量 t t t 范围:

    tspan = [0, 5];
    

    输入 ode45 则为:

    [t, y] = ode45(dy, tspan, [y10, y20]);
    

    整个题目的代码为:

    % 表示该方程组
    m = 1;
    dy = @(t, y)[y(2); (5 - y(2)*exp(y(1)) + y(1)^2)/m];
    y10 = 1;
    y20 = -10;
    tspan = [0, 5];
    
    % m = 1
    [t_m_1, y_m_1] = ode45(dy, tspan, [y10, y20]);
    % m = 2
    m = 2;
    dy = @(t, y)[y(2); (5 - y(2)*exp(y(1)) + y(1)^2)/m];
    [t_m_2, y_m_2] = ode45(dy, tspan, [y10, y20]);
    
    % plot
    subplot(1, 2, 1);
    plot(t_m_1, y_m_1(:, 2));
    hold on
    plot(t_m_2, y_m_2(:, 2));
    title('dy/dt')
    legend('m=1','m=2')
    
    subplot(1, 2, 2);
    plot(t_m_1, y_m_1(:, 1));
    hold on
    plot(t_m_2, y_m_2(:, 1));
    title('y')
    legend('m=1','m=2')
    

    在这里插入图片描述

    顺便学了 ode45 ,不错。

    展开全文
  • 二阶微分边缘算子二阶微分边缘算子二阶微分边缘算子基本思想Laplace 算子拉普拉斯表达式图像中的Laplace 算子 二阶微分边缘算子 二阶微分边缘算子基本思想 边缘即是图像的一阶导数局部最大值的地方,那么也意味着...

    二阶微分边缘算子

    二阶微分边缘算子基本思想

    • 边缘即是图像的一阶导数局部最大值的地方,那么也意味着该点的二阶导数为零。

    • 二阶微分边缘检测算子就是利用图像在边缘处的阶跃性导致图像二阶微分在边缘处出现零值这一特性进行边缘检测的。

    对于图像的二阶微分可以用拉普拉斯算子来表示:
    ∇ 2 I = ∂ 2 I ∂ x 2 + ∂ 2 I ∂ y 2 \nabla^{2} I=\frac{\partial^{2} I}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} I}{\partial y^{2}} 2I=x22I+y22I
    我们在像素点(i,j)的3×3 的邻域内,可以有如下的近似:
    ∂ 2 I ∂ x 2 = I ( i , j + 1 ) − 2 I ( i , j ) + I ( i , j − 1 ) \frac{\partial^{2} I}{\partial x^{2}}=I(i, j+1)-2 I(i, j)+I(i, j-1) x22I=I(i,j+1)2I(i,j)+I(i,j1)
    ∂ 2 I ∂ y 2 = I ( i + 1 , j ) − 2 I ( i , j ) + I ( i − 1 , j ) \frac{\partial^{2} I}{\partial y^{2}}=I(i+1, j)-2 I(i, j)+I(i-1, j) y22I=I(i+1,j)2I(i,j)+I(i1,j)
    ∇ 2 I = − 4 I ( i , j ) + I ( i , j + 1 ) + I ( i , j − 1 ) + I ( i + 1 , j ) + I ( i − 1 , j ) \nabla^{2} I=-4 I(i, j)+I(i, j+1)+I(i, j-1)+I(i+1, j)+I(i-1, j) 2I=4I(i,j)+I(i,j+1)+I(i,j1)+I(i+1,j)+I(i1,j)

    对应的二阶微分卷积核为 :
    m = [ 0 1 0 1 4 1 0 1 0 ] \boldsymbol{m}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] m=010141010

    所以二阶微分检测边缘的方法就分两步:

    1. 用上面的 Laplace 核与图像进行卷积;
    2. 对卷积后的图像,取得那些卷积结果为0 的点。

    Laplace 算子

    拉普拉斯表达式

    Laplace (拉普拉斯)算子是最简单的各向同性微分算子,一个二维图像函数的拉普拉斯变换是各向同性的二阶导数。下式为 Laplace 算子的表达式:
    ∇ 2 f ( x , y ) = ∂ 2 f ( x , y ) ∂ x 2 + ∂ 2 f ( x , y ) ∂ y 2 \nabla^{2} f(x, y)=\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial y^{2}} 2f(x,y)=x22f(x,y)+y22f(x,y)
    我们知道梯度的表达式为: ∇ = ∂ ∂ x i ⃗ + ∂ ∂ y j ⃗ \nabla=\frac{\partial}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j} =xi +yj
    于是上式的推导过程就是:
    ∇ 2 ≜ ∇ ⋅ ∇ = ( ∂ ∂ x i ⃗ + ∂ ∂ y j ⃗ ) ⋅ ( ∂ ∂ x i ⃗ + ∂ ∂ y j ⃗ ) = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 \nabla^{2} \triangleq \nabla \cdot \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j}\right) \cdot\left(\frac{\partial}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j}\right)=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} 2=(xi +yj )(xi +yj )=x22+y22

    图像中的Laplace 算子

    考虑到图像是离散的二维矩阵,用差分近似微分可以得到:
    ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ G ∂ x = ∂ [ f ( i , j ) − f ( i , j − 1 ) ] ∂ x = ∂ f ( i , j ) ∂ x − ∂ f ( i , j − 1 ) ∂ x \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial G}{\partial x}=\frac{\partial[\mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j})-\mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j}-1)]}{\partial x}=\frac{\partial \mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j})}{\partial x}-\frac{\partial \mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j}-1)}{\partial x} x22f=xG=x[f(i,j)f(i,j1)]=xf(i,j)xf(i,j1)
    = [ f ( i , j + 1 ) − f ( i , j ) ] − [ f ( i , j ) − f ( i , j − 1 ) ] =[\mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j}+1)-\mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j})]-[\mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j})-\mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j}-1)] =[f(i,j+1)f(i,j)][f(i,j)f(i,j1)]
    = f ( i , j + 1 ) − 2 f ( i , j ) + f ( i , j − 1 ) =\mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j}+1)-2 \mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j})+\mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j}-1) =f(i,j+1)2f(i,j)+f(i,j1)
    同理,可得:
    ∂ f 2 ∂ x 2 = f ( i + 1 , j ) − 2 f ( i , j ) + f ( i − 1 , j ) \frac{\partial_{f}^{2}}{\partial x^{2}}=\mathrm{f}(\mathrm{i}+1, \mathrm{j})-2 \mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j})+\mathrm{f}(\mathrm{i}-1, \mathrm{j}) x2f2=f(i+1,j)2f(i,j)+f(i1,j)
    于是有:
    ∇ 2 f = ∂ f 2 ∂ x 2 + ∂ f 2 ∂ x 2 = f ( i + 1 , j ) + f ( i − 1 , j ) + f ( i , j + 1 ) + f ( i , j − 1 ) − 4 f ( i , j ) \nabla^{2} \mathrm{f}=\frac{\partial_{f}^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial_{f}^{2}}{\partial x^{2}}=\mathrm{f}(\mathrm{i}+1, \mathrm{j})+\mathrm{f}(\mathrm{i}-1, \mathrm{j})+\mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j}+1)+\mathrm{f }(\mathrm{i}, \mathrm{j}-1)-4 \mathrm{f}(\mathrm{i}, \mathrm{j}) 2f=x2f2+x2f2=f(i+1,j)+f(i1,j)+f(i,j+1)+f(i,j1)4f(i,j)
    用模板来表示为:
    [ 0 1 0 1 − 4 1 0 1 0 ] \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] 010141010
    还有一种常用的卷积模板为:
    [ − 1 − 1 − 1 − 1 8 − 1 − 1 − 1 − 1 ] \left[\begin{array}{ccc}-1 & -1 & -1\\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right] 111181111
    有时我们为了在邻域中心位置取到更大的权值,还使用如下卷积模板:
    [ 1 4 1 4 − 20 4 1 4 1 ] \left[\begin{array}{ccc}1 & 4 & 1 \\ 4 & -20 & 4 \\ 1 & 4 & 1\end{array}\right] 1414204141

    Laplace算法过程

    (1)遍历图像(除去边缘,防止越界),对每个像素做Laplancian模板卷积运算
    (2)复制到目标图像,结束。

    Laplace算子的旋转不变性证明

    ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x ′ 2 + ∂ 2 f ∂ y ′ 2 = ∂ ∂ x ′ ( ∂ f ∂ x ′ ) + ∂ ∂ y ′ ( ∂ f ∂ y ′ ) = ∂ ∂ x ′ ( ∂ f ∂ x ∂ x ∂ x ′ + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ x ′ ) + ∂ ∂ y ′ ( ∂ f ∂ x ∂ x ∂ y ′ + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ y ′ ) = ∂ ∂ x ′ ( ∂ f ∂ x cos ⁡ θ + ∂ f ∂ y sin ⁡ θ ) + ∂ ∂ y ′ ( − sin ⁡ θ ∂ f ∂ x + cos ⁡ ∂ f ∂ y ) = ∂ ∂ x ( ∂ f ∂ x cos ⁡ θ + ∂ f ∂ y sin ⁡ θ ) ∂ x ∂ x ′ + ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x cos ⁡ θ + ∂ f ∂ y sin ⁡ θ ) ∂ y ∂ x ′ + ∂ ∂ x ( − sin ⁡ θ ∂ f ∂ x + cos ⁡ ∂ f ∂ y ) ∂ x ∂ y ′ + ∂ ∂ y ( − sin ⁡ θ ∂ f ∂ x + cos ⁡ ∂ f ∂ y ) ∂ y ∂ y ′ = ∂ ∂ x ( ∂ f ∂ x cos ⁡ θ + ∂ f ∂ y sin ⁡ θ ) cos ⁡ θ + ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x cos ⁡ θ + ∂ f ∂ y sin ⁡ θ ) sin ⁡ θ + ∂ ∂ x ( − sin ⁡ θ ∂ f ∂ x + cos ⁡ ∂ f ∂ y ) ( − sin ⁡ θ ) + ∂ ∂ y ( − sin ⁡ θ ∂ f ∂ x + cos ⁡ θ ∂ f ∂ y ) cos ⁡ θ = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 \begin{aligned} \nabla^{2} f &=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{\prime 2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{\prime 2}} \\ &=\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\left(\frac{\partial f}{\partial x^{\prime}}\right)+\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}\left(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}\right) \\ &=\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\left(\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x^{\prime}}\right)+\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}\left(\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial y^{\prime}}\right) \\ &=\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\left(\frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta\right)+\frac{\partial}{\partial y^{\prime}}\left(-\sin \theta \frac{\partial f}{\partial x}+\cos \frac{\partial f}{\partial y}\right) \\ &=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta\right) \frac{\partial x}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta\right) \frac{\partial y}{\partial x^{\prime}} \\ &+\frac{\partial}{\partial x}\left(-\sin \theta \frac{\partial f}{\partial x}+\cos \frac{\partial f}{\partial y}\right) \frac{\partial x}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial}{\partial y}\left(-\sin \theta \frac{\partial f}{\partial x}+\cos \frac{\partial f}{\partial y}\right) \frac{\partial y}{\partial y^{\prime}} \\ &=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta\right) \cos \theta+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta+\frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta\right) \sin \theta \\ & \quad+\frac{\partial}{\partial x}\left(-\sin \theta \frac{\partial f}{\partial x}+\cos \frac{\partial f}{\partial y}\right)(-\sin \theta)+\frac{\partial}{\partial y}\left(-\sin \theta \frac{\partial f}{\partial x}+\cos \theta \frac{\partial f}{\partial y}\right) \cos \theta \\ &=\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial f}{\partial y} \\ &=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{aligned} 2f=x22f+y22f=x(xf)+y(yf)=x(xfxx+yfxy)+y(xfyx+yfyy)=x(xfcosθ+yfsinθ)+y(sinθxf+cosyf)=x(xfcosθ+yfsinθ)xx+y(xfcosθ+yfsinθ)xy+x(sinθxf+cosyf)yx+y(sinθxf+cosyf)yy=x(xfcosθ+yfsinθ)cosθ+y(xfcosθ+yfsinθ)sinθ+x(sinθxf+cosyf)(sinθ)+y(sinθxf+cosθyf)cosθ=xxf+yyf=x22f+y22f

    Laplace算子优缺点

    Laplace算子具有旋转不变性,适用于仅注重边缘点所处的具体位置,而对边缘点附近的实际灰度差没有要求的情况。不过在边缘检测中并不常用拉普拉斯算子,而主要是用在判断像素是在边缘亮的一面还是暗的一面,主要有以下三点原因:
    (1) 二阶导数算子与一阶导数算子相比,去除噪声的能力更弱
    (2) 该算子对边缘的方向检测不到
    (3) 该算子的幅值会产生双边元抗噪能力弱

    LOG算子

    1980年,Marr和Hildreth提出将Laplace算子与高斯低通滤波相结合,提出了LOG(Laplace and Guassian)算子,又称为马尔(Marr)算子。 该算子是先运用高斯滤波器平滑图像达到去除噪声的目的,然后用 Laplace 算子对图像边缘进行检测。这样既达到了降低噪声的效果,同时也使边缘平滑,并得到了延展。为了防止得到不必要的边缘,边缘点应该选取比某阈值高的一阶导数零交叉点。 LOG 算子已经成为目前对阶跃边缘用二阶导数过零点来检测的最好的算子。

    LoG解决的问题

    直接使用Laplace算法,去噪的能力是非常弱的,最终提取出的边缘信息极易被噪音干扰,如下图所示
    在这里插入图片描述

    由图可以看出,LoG解决的最重要的问题是在提取边缘信息之前给原始图像增添一层高斯滤波器,使得原始图像的梯度异常点大大减少,最终能够更有效地提取出边缘信息。

    LoG算子的计算过程

    在图像处理中,常用的二维高斯函数为 :
    G ( x , y , σ ) = 1 2 π σ 2 e − ( x 2 + y 2 ) / 2 σ 2 G(x, y, \sigma)=\frac{1}{2 \pi \sigma^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right) / 2 \sigma^{2}} G(x,y,σ)=2πσ21e(x2+y2)/2σ2

    拉普拉斯算子为 :
    ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x ′ 2 + ∂ 2 f ∂ y ′ 2 \begin{aligned} \nabla^{2} f &=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{\prime 2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{\prime 2}} \end{aligned} 2f=x22f+y22f

    对二维高斯函数应用拉普拉斯算子得 : ∇ 2 G = ∂ 2 G ∂ x 2 + ∂ 2 G ∂ y 2 = − 2 σ 2 + x 2 + y 2 2 π σ 6 e − ( x 2 + y 2 ) / 2 σ 2 \nabla^{2} G=\frac{\partial^{2} G}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} G}{\partial y^{2}}=\frac{-2 \sigma^{2}+x^{2}+y^{2}}{2 \pi \sigma^{6}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right) / 2 \sigma^{2}} 2G=x22G+y22G=2πσ62σ2+x2+y2e(x2+y2)/2σ2

    LoG(Laplacian of Gaussian)算子定义为 :
    L o G = σ 2 ∇ 2 G L o G=\sigma^{2} \nabla^{2} G LoG=σ22G

    注意到LoG算子,该函数轴对称,且函数的平均值为0(在定义域内),所以用它与图像进行卷积计算并不会对完整的图像动态区域有所改变,而是会使图像变模糊(因为它相当平滑),且模糊程度与σ成正比。当σ较大时,高斯滤波起到了很好的平滑效果,较大程度地抑制了噪声,但同时使一些边缘细节丢失,降低了图像边缘的定位精度;当σ比较小时,有很强的图像边缘定位精度,反而信噪比较低。因此,在应用 LOG 算子时,如何选取适当的σ值很重要,要根据边缘的定位精度的需求以及噪声情况而定 。

    LoG的卷积模板

    LOG 算子的卷积模板通常采用 5×5的矩阵,如:
    在这里插入图片描述
    计算方法
    在这里插入图片描述
    其中左边这个模板是在高斯标准差为0.5时的逼近,右边的模板的高斯标准差为1。Normalize是一个正则函数,它确保模板系数的总和为1. 以便在均匀亮度区域不会检测到边缘。最后由于整数比浮点数更易于计算,模板的系数都会近似为整数。

    LoG算法过程

    (1)遍历图像(除去边缘,防止越界),对每个像素做Gauss -Laplancian模板卷积运算。
    (2)复制到目标图像,结束。

    DoG与LoG

    由于数学上的关系, 我们可以简化 LOG 的计算一一这便是 DOG 算子。
    DoG (Difference of Gaussian ) 算子定义为
    D o G = G ( x , y , σ 1 ) − G ( x , y , σ 2 ) D o G=G\left(x, y, \sigma_{1}\right)-G\left(x, y, \sigma_{2}\right) DoG=G(x,y,σ1)G(x,y,σ2)
    下面我们来证明为何 DoG 能近似替代 LoG。
    对二维高斯函数关于 σ \sigma σ 求一阶偏导数得
    ∂ G ∂ σ = − 2 σ 2 + x 2 + y 2 2 π σ 5 e − ( x 2 + y 2 ) / 2 σ 2 \frac{\partial G}{\partial \sigma}=\frac{-2 \sigma^{2}+x^{2}+y^{2}}{2 \pi \sigma^{5}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right) / 2 \sigma^{2}} σG=2πσ52σ2+x2+y2e(x2+y2)/2σ2
    不难发现
    ∂ G ∂ σ = σ ∇ 2 G \frac{\partial G}{\partial \sigma}=\sigma \nabla^{2} G σG=σ2G
    D o G D o G DoG 算子中, 令 σ 1 = k σ 2 = k σ \sigma 1=k \sigma 2=k \sigma σ1=kσ2=kσ, 则
    D o G = G ( x , y , k σ ) − G ( x , y , σ ) D o G=G(x, y, k \sigma)-G(x, y, \sigma) DoG=G(x,y,kσ)G(x,y,σ)
    进一步地
    ∂ G ∂ σ = lim ⁡ Δ σ → 0 G ( x , y , σ + Δ σ ) − G ( x , y , σ ) ( σ + Δ σ ) − σ ≈ G ( x , y , k σ ) − G ( x , y , σ ) k σ − σ \frac{\partial G}{\partial \sigma}=\lim _{\Delta \sigma \rightarrow 0} \frac{G(x, y, \sigma+\Delta \sigma)-G(x, y, \sigma)}{(\sigma+\Delta \sigma)-\sigma} \approx \frac{G(x, y, k \sigma)-G(x, y, \sigma)}{k \sigma-\sigma} σG=Δσ0lim(σ+Δσ)σG(x,y,σ+Δσ)G(x,y,σ)kσσG(x,y,kσ)G(x,y,σ)
    因此
    σ ∇ 2 G = ∂ G ∂ σ ≈ G ( x , y , k σ ) − G ( x , y , σ ) k σ − σ \sigma \nabla^{2} G=\frac{\partial G}{\partial \sigma} \approx \frac{G(x, y, k \sigma)-G(x, y, \sigma)}{k \sigma-\sigma} σ2G=σGkσσG(x,y,kσ)G(x,y,σ)
    [日]
    G ( x , y , k σ ) − G ( x , y , σ ) ≈ ( k − 1 ) σ 2 ∇ 2 G G(x, y, k \sigma)-G(x, y, \sigma) \approx(k-1) \sigma^{2} \nabla^{2} G G(x,y,kσ)G(x,y,σ)(k1)σ22G
    这表明 DoG 算子可以近似于 LoG 算子, 证毕。
    于是, 使用 DoG 算子, 让我们只需对图像进行两次高斯平滑再将结果相减就可以近似 得到 LOG 作用于图像的效果了。
    值得注意的是, 当我们用 DOG 算子代替 LOG 算子与图像卷积的时候:
    D o G ( x , y , σ 1 , σ 2 ) ∗ I ( x , y ) = G ( x , y , σ 1 ) ∗ I ( x , y ) − G ( x , y , σ 2 ) ∗ I ( x , y ) D o G\left(x, y, \sigma_{1}, \sigma_{2}\right) * I(x, y)=G\left(x, y, \sigma_{1}\right) * I(x, y)-G\left(x, y, \sigma_{2}\right) * I(x, y) DoG(x,y,σ1,σ2)I(x,y)=G(x,y,σ1)I(x,y)G(x,y,σ2)I(x,y)
    近似的 LOG 算子值的选取:
    σ 2 = σ 1 2 σ 2 2 σ 1 2 − σ 2 2 ln ⁡ [ σ 1 2 σ 2 2 ] \sigma^{2}=\frac{\sigma_{1}^{2} \sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}-\sigma_{2}^{2}} \ln \left[\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right] σ2=σ12σ22σ12σ22ln[σ22σ12]
    当使用这个值时, 可以保证 LoG 和 DoG 的过零点相同, 只是幅度大小不同。

    LoG算子优缺点

    值得肯定的是,LoG这种方法寻找二阶导数是很稳定的。高斯平滑有效地抑制了距离当前像素3σ范围内的所有像素的影响,这样Laplace算子就构成了一种反映图像变化的有效而稳定的度量。 但是,这种传统的二阶导数过零点技术也有缺点。第一,对形状作了过分的平滑。第二,它有产生环形边缘的倾向。

    Canny算子

    Canny算子概述

    Canny边缘检测算法是1986年有John F. Canny开发出来一种基于图像梯度计算的边缘检测算法,同时Canny本人对计算图像边缘提取学科的发展也是做出了很多的贡献。尽管至今已经许多年过去,但是该算法仍然是图像边缘检测方法经典算法之一。
    Canny 根据以前的边缘检测算子以及应用,归纳了如下三条准则:

    (1) 信噪比准则:避免真实的边缘丢失,避免把非边缘点错判为边缘点;
    (2) 定位精度准则:得到的边缘要尽量与真实边缘接近;
    (3) 单一边缘响应准则:单一边缘需要具有独一无二的响应,要避免出现多个响应,并最大抑制虚假响应。
    以上三条准则是由 Canny 首次明确提出并对这个问题进行完全解决的,虽然在他之前有人提出过类似的要求。更为重要的是, Canny 同时给出了它们的数学表达式(现以一维为例),这就转化成为一个泛函优化的问题。

    Canny算子检测步骤

    经典的Canny边缘检测算法通常都是从高斯模糊开始,到基于双阈值实现边缘连接结束。但是在实际工程应用中,考虑到输入图像都是彩色图像,最终边缘连接之后的图像要二值化输出显示,所以完整的Canny边缘检测算法实现步骤如下:

    1. 彩色图像转换为灰度图像
    2. 对图像进行高斯模糊
    3. 计算图像梯度,根据梯度计算图像边缘幅值与角度
    4. 非极大值抑制(边缘细化)
    5. 双阈值检测
    6. 通过抑制孤立的弱边缘完成边缘检测
    7. 二值化图像输出结果

    Canny算子各步骤详解

    彩色图像转换为灰度图像

    根据彩色图像RGB转灰度公式:gray = R * 0.299 + G * 0.587 + B * 0.114。

    对图像进行高斯模糊

    为了尽可能减少噪声对边缘检测结果的影响,所以必须滤除噪声以防止由噪声引起的错误检测。为了平滑图像,使用高斯滤波器与图像进行卷积,该步骤将平滑图像,以减少边缘检测器上明显的噪声影响。大小为(2k+1)x(2k+1)的高斯滤波器核的生成方程式由下式给出:
    H i j = 1 2 π σ 2 exp ⁡ ( − ( i − ( k + 1 ) ) 2 + ( j − ( k + 1 ) ) 2 2 σ 2 ) ; 1 ≤ i , j ≤ ( 2 k + 1 ) H_{i j}=\frac{1}{2 \pi \sigma^{2}} \exp \left(-\frac{(i-(k+1))^{2}+(j-(k+1))^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) ; 1 \leq i, j \leq(2 k+1) Hij=2πσ21exp(2σ2(i(k+1))2+(j(k+1))2);1i,j(2k+1)
    下面是一个sigma = 1.4,尺寸为3x3的高斯卷积核的例子(需要注意归一化):
    H = [ 0.0924 0.1192 0.0924 0.1192 0.1538 0.1192 0.0924 0.1192 0.0924 ] H=\left[\begin{array}{lll}0.0924 & 0.1192 & 0.0924 \\ 0.1192 & 0.1538 & 0.1192 \\ 0.0924 & 0.1192 & 0.0924\end{array}\right] H=0.09240.11920.09240.11920.15380.11920.09240.11920.0924
    若图像中一个3x3的窗口为A,要滤波的像素点为e,则经过高斯滤波之后,像素点e的亮度值为:
    e = H ∗ A = [ h 11   h 12   h 13   h 21   h 22   h 23   h 31   h 32   h 33 ] ∗ [ a b c d e f g h i ] = sum ⁡ ( [ a × h 11   b × h 12 c × h 13   d × h 21 e × h 22 f × h 23   g × h 31   h × h 32 i × h 33 ] ) e=H * A=\left[\begin{array}{lll}\mathrm{h}_{11} & \mathrm{~h}_{12} & \mathrm{~h}_{13} \\ \mathrm{~h}_{21} & \mathrm{~h}_{22} & \mathrm{~h}_{23} \\ \mathrm{~h}_{31} & \mathrm{~h}_{32} & \mathrm{~h}_{33}\end{array}\right] *\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right]=\operatorname{sum}\left(\left[\begin{array}{lll}\mathrm{a} \times \mathrm{h}_{11} & \mathrm{~b} \times \mathrm{h}_{12} & \mathrm{c} \times \mathrm{h}_{13} \\ \mathrm{~d} \times \mathrm{h}_{21} & \mathrm{e} \times \mathrm{h}_{22} & \mathrm{f} \times \mathrm{h}_{23} \\ \mathrm{~g} \times \mathrm{h}_{31} & \mathrm{~h} \times \mathrm{h}_{32} & \mathrm{i} \times \mathrm{h}_{33}\end{array}\right]\right) e=HA=h11 h21 h31 h12 h22 h32 h13 h23 h33adgbehcfi=suma×h11 d×h21 g×h31 b×h12e×h22 h×h32c×h13f×h23i×h33
    其中*为卷积符号,sum表示矩阵中所有元素相加求和。 重要的是需要理解,高斯卷积核大小的选择将影响Canny检测器的性能。尺寸越大,检测器对噪声的敏感度越低,但是边缘检测的定位误差也将略有增加。一般5x5是一个比较不错的trade off。

    计算图像梯度,根据梯度计算图像边缘幅值与角度

    图像中的边缘可以指向各个方向,因此Canny算法使用四个算子来检测图像中的水平、垂直和对角边缘。边缘检测的算子(如Roberts,Prewitt,Sobel等)返回水平Gx和垂直Gy方向的一阶导数值,由此便可以确定像素点的梯度G和方向theta 。
    G = G x 2 + G y 2 G=\sqrt{G_{x}^{2}+G_{y}^{2}} G=Gx2+Gy2
    θ = arctan ⁡ ( G y / G x ) \theta=\arctan \left(G_{y} / G_{x}\right) θ=arctan(Gy/Gx)
    其中G为梯度强度, theta表示梯度方向,arctan为反正切函数。

    非极大值抑制(边缘细化)

    非极大值抑制是一种边缘稀疏技术,非极大值抑制的作用在于“瘦”边。对图像进行梯度计算后,仅仅基于梯度值提取的边缘仍然很模糊。对于标准3,对边缘有且应当只有一个准确的响应。而非极大值抑制则可以帮助将局部最大值之外的所有梯度值抑制为0,对梯度图像中每个像素进行非极大值抑制的算法是: 1) 将当前像素的梯度强度与沿正负梯度方向上的两个像素进行比较。 2) 如果当前像素的梯度强度与另外两个像素相比最大,则该像素点保留为边缘点,否则该像素点将被抑制。 通常为了更加精确的计算,在跨越梯度方向的两个相邻像素之间使用线性插值来得到要比较的像素梯度,现举例如下:
    在这里插入图片描述
    如上图所示,将梯度分为8个方向,分别为E、NE、N、NW、W、SW、S、SE,其中0代表0°45°,1代表45°90°,2代表-90°-45°,3代表-45°0°。像素点P的梯度方向为theta,则像素点P1和P2的梯度线性插值为:
    tan ⁡ ( θ ) = G y / G x \tan (\theta)=G_{y} / G_{x} tan(θ)=Gy/Gx
    G p 1 = ( 1 − tan ⁡ ( θ ) ) × E + tan ⁡ ( θ ) × N E G_{p 1}=(1-\tan (\theta)) \times E+\tan (\theta) \times N E Gp1=(1tan(θ))×E+tan(θ)×NE
    G p 2 = ( 1 − tan ⁡ ( θ ) ) × W + tan ⁡ ( θ ) × S W G_{p 2}=(1-\tan (\theta)) \times W+\tan (\theta) \times S W Gp2=(1tan(θ))×W+tan(θ)×SW
    因此非极大值抑制的伪代码描写如下:

    if G p ≥ G p 1 G_{p} \geq G_{p 1} GpGp1 and G p ≥ G p 2 G_{p} \geq G_{p 2} GpGp2
    G p G_{p} Gp may be an edge
    else
    G p G_{p} Gp should be sup pressed
    需要注意的是,如何标志方向并不重要,重要的是梯度方向的计算要和梯度算子的选取保持一致。

    双阈值检测

    在施加非极大值抑制之后,剩余的像素可以更准确地表示图像中的实际边缘。然而,仍然存在由于噪声和颜色变化引起的一些边缘像素。为了解决这些杂散响应,必须用弱梯度值过滤边缘像素,并保留具有高梯度值的边缘像素,可以通过选择高低阈值来实现。如果边缘像素的梯度值高于高阈值,则将其标记为强边缘像素;如果边缘像素的梯度值小于高阈值并且大于低阈值,则将其标记为弱边缘像素;如果边缘像素的梯度值小于低阈值,则会被抑制。阈值的选择取决于给定输入图像的内容。
    双阈值检测的伪代码描写如下:

    if G p ≥ G_{p} \geq Gp HighThreshold
    G p G_{p} Gp is an strong edge
    else if G p ≥ G_{p} \geq Gp Low Threshold
    G p G_{p} Gp is an weak edge
    else
    G p G_{p} Gp should be sup pressed

    通过抑制孤立的弱边缘完成边缘检测

    到目前为止,被划分为强边缘的像素点已经被确定为边缘,因为它们是从图像中的真实边缘中提取出来的。然而,对于弱边缘像素,将会有一些争论,因为这些像素可以从真实边缘提取也可以是因噪声或颜色变化引起的。为了获得准确的结果,应该抑制由后者引起的弱边缘。通常,由真实边缘引起的弱边缘像素将连接到强边缘像素,而噪声响应未连接。为了跟踪边缘连接,通过查看弱边缘像素及其8个邻域像素,只要其中一个为强边缘像素,则该弱边缘点就可以保留为真实的边缘。 抑制孤立边缘点的伪代码描述如下:

    if G p = = G_{p}== Gp== LowThreshold and G p G_{p} Gp connected to a strong edge pixel G p G_{p} Gp is an strong edge
    else
    G p G_{p} Gp should be sup pressed

    二值化图像输出结果

    将结果二值化输出,即将图像上的像素点的灰度值设置为0或255,也就是将整个图像呈现出明显的黑白效果的过程。

    Canny算子优缺点

    Canny 算子在二维空间的检测效果、定位性能及抗噪性能方面都更要优于 LOG 算子。
    Canny 算子的不足之处是对于无噪声的图像会使图像边缘变模糊。(高斯滤波属于低通滤波,去除一些高频细节)
    为使检测效果更好,我们在运用该算子时一般选取稍大的滤波尺度,但是这样做易使图像的某些边缘细节特征丢失掉。

    链接: Glab.

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    不要嘲笑我,我百度经验搬过来的二阶常系数线性非齐次方程的形式如下2基本求解思路如下,我们先要有一个总的思路用于解题3难点:对于特解的求法END一.特解求法一:待定系数法1优点:简单易懂,不易错缺点:计算量...
  • 二阶常系数线性方程的通解反推方程@(微积分)引例是这样的: 设cosxcosx与xexxe^x为某n阶常系数线性齐次方程的两个解,则最小的n = ?,相应的首项系数为1的方程是? 分析:由cosx是一个解,则必有另一解sinx,±i\...
  • 图像处理总结2、图像增强

    千次阅读 2021-08-06 14:07:17
    图像增强 空域指像素位置所在的空间,也称图像空间,一般看作图像的原始空间 1空域增强:点操作 图像是对三维实际景物的平面投影。为了观测需要,常常需要进行各种不同的坐标变换。 注意一点,实际上坐标变换不改变...
  • 龙格库塔法求微分方程

    万次阅读 2017-10-17 16:30:30
    我第一次接触到该方法是对四轴姿态角进行四元数解算的时候,当时用的是一阶龙格库塔,当时的理解就是这不就是泰勒展开式取一阶嘛,然后觉得二阶龙格库塔应该就是取二阶了,依次类推,所以当时没有深入的了解,现在...
  • 这样显著地跟程序说明需要计算什么,就能加速运算,因为有的软件所有东西不管有用没用都一块计算,比如二阶导数、法向量等。注意最后用了按位或这一运算符,这在c语言中很常见,这里的意思就是我要计算谁“和”谁。1...
  • (2)基于二阶微分的图像增强—拉普拉斯算子 对图像求二阶微分(近似), 在 x x x 方向上, 在 y y y 方向上, 则二阶微分为 ▽ 2 f = [ f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) + f ( x , y + 1 ) + f ( ...
  • 二阶常系数齐次线性微分方程通解

    千次阅读 2020-12-23 06:36:46
    下面的微分方程,为二阶常系数齐次线性微分方程。微分方程与特征方程当特征方程的解为两个不同的实根时,微分方程的通解为:若为两个相同重根:若为共轭虚根:但这些都是怎么来的呢,为何要用特征方程来辅助研究呢?...
  • 研究了具有振动位势的二阶非线性时滞微分方程的区间强迫振动 。利用 H迸lder不等式与数学分析的方法,对于满足不同条件时的情形进行了讨论,给出了在不同条件下具有振动位势的二阶非线性时滞微分方程的区间强迫振动的...
  • simulink建模之求解微分方程

    万次阅读 多人点赞 2019-03-27 21:46:40
    simulink建模的基础其实就是利用加减乘除等数学基本四则运算,有时加上积分和微分对数学公式进行表示,因此理解这些数学公式背后的物理意义,才是重点。所以各行各业都有门槛,但是通用的数学知识确实基础的基础,...
  • 《实验五__用matlab求解常微分方程》由会员分享,可在线阅读,更多相关《实验五__用matlab求解常微分方程(5页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、实验五 用matlab求解常微分方程1微分方程的概念未知的函数以及它的...
  • 二阶导数的理解

    千次阅读 2019-08-25 23:28:58
    速度本身的变化率称为加速度,简单来说,就是导数的导数,记作f''(t)或者称作f(t)的二阶导数 伽利略(Galileo)观察到,经过时间t,自由落体经过的铅直距离x由公式: x=f(x)=1/2gt²给出(1) 其中g为重力加...
  • 二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′+py′+qy=Pm(x)eλxy^{''}+py^{'}+qy=P_m(x)e^{\lambda x}y′′+py′+qy=Pm​(x)eλx 有形如 y∗=xkQm(x)eλxy*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}y∗=xkQm​(x)eλx 的特解,其中Qm(x)Qm(x)...
  • 微积分:如何理解多元函数可微和全微分

    千次阅读 多人点赞 2020-08-13 17:52:52
    文章目录前言理解一元函数微分理解二元函数微分与全微分总结 前言 在准备数学竞赛时,对多元函数微分学部分的基础概念一直存有困惑,从学数分期间至今一直没有解决,希望趁着竞赛的机会彻底弄明白这些数学概念的...
  • 二阶龙格-库塔法 数值分析(Numerical Analysis) 提示:2021年第一条博客也是2021最后一条博客,仅做测试用 文章目录 二阶龙格-库塔法 前言 一、基本原理 1.概念推导 2.二阶R-K法公式 2.n阶R-K法公式 二、二阶Runge...
  • 在考研数学中,微分方程是一个重要的章节,每年必考,其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分,它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础,但很多同学对其求解公式不是十分理解,做题时也感到...
  • 第二讲 matlab求微分方程、导数、积分 第二讲 导数与微分方程 一、 实验内容 1、 实际引例 (牛顿冷却模型)警察上午9点钟发现一被谋杀者,并测得尸体温度为32.4℃,一小时以后,尸体的温度变为31.7℃,尸体所在房间的...
  • 二阶齐次线性微分方程 解的叠加 这样的处理可以让解的形式更加简洁,也便于理解的叠加原理 线性相关与线性无关 注:以下用到线性代数的知识,但这个我是上个学期自学的,可能会有错误。 就记两条准则来判断线性...
  • 在Matlab中使用改进的Euler方法

    千次阅读 2021-04-19 05:37:01
    我试图在Matlab中求解二阶微分方程。我能够使用前向欧拉方法做到这一点,但由于这需要相当短的时间步骤来获得准确的结果,我已经研究了其他一些选项。更具体地说,改进的欧拉方法(Heun'方法)。我理解改进欧拉...

空空如也

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