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  • 关于高等数学参数方程二阶可导的公式推导 理解为在一阶导数的基础上,对x再次求导。 个人理解:d(dy/dx)/dx 整体可以看作先对t求导,再令t对x求导;而括号中的dy/dx则是g’(t)/f’(t);得出第一个等号后的式子。 ...

    关于高等数学参数方程二阶可导的公式推导

    设x = f(t) 且 y = g(t)
    在这里插入图片描述
    理解为在一阶导数的基础上,对x再次求导。
    个人理解:d(dy/dx)/dx
    整体可以看作先对t求导,再令t对x求导;而括号中的dy/dx则是g’(t)/f’(t);得出第一个等号后的式子。
    之后在算乘号左侧的部分时,视为对t的求导,且是除法形式的求导:

      子导母不导-子不导母导 
    ------------------------------
        分母的平方
    

    (以上三行假装是分数形式……)
    之后的部分就很好理解,按部就班即可

    最终结论公式
    在这里插入图片描述

    今天做题发现了另外一种,好像比较简单的?

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    jio着,先求dy/dx,记作I,然后再用I‘/x’(t),应该比上边的更好理解吧。

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  • 二阶优化算法:牛顿

    千次阅读 2018-06-02 12:14:50
    牛顿的基本思想:利用迭代... 牛顿的更新公式,基于二阶泰勒展开: 然后对上式求导,并令,得到更新公式: 对于神经网络病态条件问题,出现在梯度变化过快的情况时即二阶导数较大,此时通过二阶优化算法如牛...

        牛顿法的基本思想:利用迭代点处的一阶导数(梯度)和二阶导数(Hessian矩阵)对目标函数进行二次函数近似,然后把二次模型的极小点作为新的迭代点,并不断重复这一过程,直至求得满足精度的近似最小值。

        牛顿法的更新公式,基于二阶泰勒展开


        然后对上式求导,并令,得到更新公式:


        

        对于神经网络病态条件问题,出现在梯度变化过快的情况时即二阶导数较大,此时通过二阶优化算法如牛顿法,将二阶导数作为分母加入更新参数,使得在梯度变化过快方向相对梯度变化慢的方向更新尺度发生改变,从而解决病态问题。

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  • matlab在计算数值求导方面有很多函数。下面我来不用这些函数,介绍简单的函数求一阶导数二阶导数的差分方法以及其MATLAB实现。 工具/原料 matlab软件 一组数据,程序中已经准备好了 方法/步骤 求解...

    matlab在计算数值求导方面有很多函数。下面我来不用这些函数,介绍简单的函数求一阶导数二阶导数的差分方法以及其MATLAB实现。

    工具/原料

    • matlab软件
    • 一组数据,程序中已经准备好了

    方法/步骤

    1. 求解一阶导数的公式:y'=[y(x0+h)-y(x0-h)]/(2h);

      求解二阶导数的公式:y''=[y(x0+h)-2*y(x0)+y(x0-h)]/h²;

      这里的自变量是x,因变量是y,步长是h

    2. 再进行编程。以下是我的求解程序:

      clc;clear all

      h=0.01;

      %x属于【a,b】

      a=-5;b=5;

      x=a:h:b;

      n=length(x);

      %定义y

      y=sin(0.3*x).*cos(3*x);

      hold on

      grid on

      yx=zeros(1,n);

      yxx=zeros(1,n);

      for i=2:n-1

        yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);

        yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/h^2;

      end

      plot(x,y,'r','linewidth',2)

      plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),'g','linewidth',2);

      plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),'b','linewidth',2);

      legend('原函数','差分一阶导数','差分二阶导数')

      xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);

      ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);

    3. 复制以上程序到*.m文件中去,保存并运行,可以得到函数图像确实十分接近理论上的解答。以下是运行以后作出的图。

      MATLAB中用差分法求解函数的一阶导数和二阶导数
    4. 4

      最后就大功告成啦!对于任意一组数据(间距相等)这个程序都可以很好滴求解一阶导数、二阶导数哟;还有你可以加以改进,不管是间距相等还是不相等都好做。

      END

    注意事项

    • 间距h自己输入;ab范围自己定义
    • 仅仅适用于等间隔差分
    展开全文
  • 牛顿使用总结

    2018-10-24 14:35:34
    牛顿介绍 牛顿是常用的优化方法,我们再机器学习、深度学习中会...二阶倒数求导公式采用的是分子布局Denominator layout; 参考: https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus https://www.jianshu.com/p/...

    一、 牛顿法介绍

           首先介绍一下什么是无约束极小化问题minf(X)minf(X),其中XX是多维量,求取使得f(X)f(X)最小的XX的值。
           为简单起见,首先考虑XX一维的情况,这时目标函数f(X)f(X)变成f(x)f(x)牛顿法的基本思想是:在现有极小值得附近对f(x)f(x)做二阶泰勒展开,进而找到极小点的下一个估计值。设xkx_{k}为当前对的极小估计值,则
    φ(x)=f(xk)+f(xk)(xxk)+12f(xxk)21\varphi (x)=f(x_{k})+f^{'}(x_{k})(x-x_{k})+\frac{1}{2}f^{''}(x-x_{k})^{2} (1)
    上式省略(xxk)(x-x_{k})的高阶小项。因为是求取最小值,也就是求取极值,满足驻点定理:
    φ(x)=02\varphi (x)_{'}=0 (2)
    即得到:
    f(xk)+f(xk)(xxk)=03f^{'}(x_{k})+f^{''}(x_{k})(x-x_{k})=0 (3)
    这里是对xx求导,不是对xkx_{k}求导。另外的求导过程可以参考:https://blog.csdn.net/asdfsadfasdfsa/article/details/81156925
    从而得到公式4:
    x=xkf(xk)f(xk)(4)x=x_{k}-\frac{f^{'}(x_{k})}{f^{''}(x_{k})}(4)
    于是给定初始值x0x_{0},则可以构造如下的迭代格式:
    xk+1=xkf(xk)f(xk),k=0,1,2....(5)x_{k+1}=x_{k}-\frac{f^{'}(x_{k})}{f^{''}(x_{k})} ,k=0,1,2....(5)
    以上是对一维情况的推到。
           对于多维情况: 二阶泰勒展开式(1)可以做推广,此时
    φ(X)=f(Xk)+f(Xk)(XXk)+12(XXk)T2f(Xk)(XXk)(6)\varphi (X)=f(X_{k})+\bigtriangledown f(X_{k})(X-X_{k})+\frac{1}{2} (X-X_{k})^{T}\bigtriangledown^{2} f(X_{k})(X-X_{k})(6)
    其中f\bigtriangledown fff梯度向量2f\bigtriangledown^{2} fff 的海森矩阵(Hexssian martix),其定义分别为:
    f=[fx1fx2...fxN]\bigtriangledown f=\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}\\ \frac{\partial f}{\partial x_{2}}\\ ...\\ \frac{\partial f}{\partial x_{N}}\end{bmatrix},
    2f=[2fx122fx1x2...2fx1xN2fx2x12fx22...2fx2xN............2fxNx12fxNx2...2fxN2]\bigtriangledown ^{2}f=\begin{bmatrix}\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}& ...& \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{N}}\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}& \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} & ... & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{N}}\\ ...& ... & ...& ...\\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{N}\partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{N}\partial x_{2}} & ... & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{N}^{2}}\end{bmatrix}
    一下将f\bigtriangledown f2f\bigtriangledown^{2} f其定义分别为ggHH,其中HH是对称矩阵,f(Xk)\bigtriangledown f(X_{k})2f(Xk)\bigtriangledown^{2} f(X_{k})表示将XX取值为XkX_{k}的矩阵。
    同理求取驻点的极小值,最后得到
    X=XkHk1gkX=X_{k}-H_{k}^{-1}*g_{k}同理得到迭代格式。
    在这里插入图片描述


    二、求导

           然而对于矩阵的求导过程是很复杂的过程,尤其是二阶倒数。网站上的答案没有统一。 下面给出一般矩阵的求导法则:以下部分参考下列网站:
         https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus
         https://www.jianshu.com/p/186ea261f2e4

         一阶倒数求导公式都采用分子布局(Numerator layout);二阶倒数求导公式采用的是分母布局(Denominator layout); 注意:对于MATLAB中的雅各比矩阵的求导应该是与上面相反(一阶倒数求导公式都采用分母布局;二阶倒数求导公式采用的是分子布局),只要保持上面一种方式,从开始到最后就不会有错误。


          求导类型
           矩阵可以写成列向量或者行向量的形式,这两种不同的形式把矩阵求导分成了两种不同的情况。在这里插入图片描述
          表格列举了六种不同的矩阵求导类型,粗体代表向量或者矩阵(其实标量和向量也可以看作矩阵)。表格中还有三个空格没写出,实际上也是存在,但暂时先不讨论,因为这三种情况的求导结果大部分都是高于二阶的张量(tensor)形式,与常见的二维矩阵形式不同。
          布局约定
          采用列向量或者行向量的形式求导,两种形式会造成求导结果形式的不同。因为本质上形式的不同不会影响求导结果,只不过将结果按照不同的方式组织起来,方便进一步运算。
          布局决定(Layout conventions)就是为了将不同形式的求导分类.分为两种布局:分子布局(numerator layout)和分母布局(denominator layout)。通俗解释,现规定向量或者矩阵分为原始形式和转置形式两种,比如在线性回归中我们把列向量作为属性值的原始形式,其转置形式就是行向量。

    对于分子布局,求导结果中分子保持原始形式,分母为转置形式
    对于分母布局,求导结果中分子为转置形式,分母保持原始形式
    下图展示各种类型求导与两种布局之间的关系
    在这里插入图片描述


    细则解释:对于YY是列向量,二XX是行向量。将上述表格中每一项单独拿出来看:

    分子布局
    在这里插入图片描述
    下面的两种定义只在分子布局中有意义:
    在这里插入图片描述


    分母布局
    在这里插入图片描述


    三、常见的求导结果

    一般可以使用查表方式获得。
    向量/向量
    在这里插入图片描述

    标量/向量

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    向量/标量
    在这里插入图片描述

    四、例子

          这里采用的是我自己的工作时候遇到的问题(一阶倒数求导公式都采用分子布局,二阶倒数求导公式采用的是分母布局),当然反过来也可以,再次就不在编辑:在这里插入图片描述

    这个结果是经过验证正确的。

         求取原则,变量是列向量,则求取雅各比矩阵使用分子布局(分子是列向量,分母转置为行向量或者标量),二阶导数海森矩阵使用分母布局(分母是列向量或者标量,分子转置为行向量)。
         以下是求取的列子,大家可以做参考:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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二阶求导公式法