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  • 二阶三点公式余项的推导 数值分析 P119
    2021-11-07 15:22:40

    教材信息: 数值分析(第二版) 李红 华中科技大学出版社

    该教材相关博客:
    高斯-拉格朗日Gauss-Legendre Ⅱ型求积公式 数值分析 勘误 P111.


    一阶三点公式

    注意:一阶三点公式 P 2 ′ ( x 0 + t h ) P_{2}' (x_{0}+th) P2(x0+th)(p119 4.61)是由 P 2 ( x 0 + t h ) P_{2} (x_{0}+th) P2(x0+th) x x x求导得到的.(原书写的是对x求导)

    d d x P 2 ( x 0 + t h ) = d d t P 2 ( x 0 + t h ) × d d t d t d x ( x 0 + t h ) \frac{d}{dx} P_{2} (x_{0}+th)= \frac{d}{dt}P_{2} (x_{0}+th)\times\frac{d}{dt}\frac{dt}{dx}(x_{0}+th) dxdP2(x0+th)=dtdP2(x0+th)×dtddxdt(x0+th)
    d d t d t d x ( x 0 + t h ) = 1 h \frac{d}{dt}\frac{dt}{dx}(x_{0}+th)=\frac{1}{h} dtddxdt(x0+th)=h1
    关于 t t t求导的部分比较简单,不再展开

    二阶三点公式

    二阶三点公式是通过对一阶三点公式 P 2 ′ ( x 0 + t h ) P_{2}' (x_{0}+th) P2(x0+th)(p119 4.61)关于 t 求导得到的。同理有:
    P 2 ′ ′ ( x 0 + t h ) = d d x P 2 ′ ( x 0 + t h ) = d d t P 2 ′ ( x 0 + t h ) × d d t d t d x ( x 0 + t h ) P_{2}'' (x_{0}+th)=\frac{d}{dx} P_{2}' (x_{0}+th)= \frac{d}{dt}P_{2}' (x_{0}+th)\times\frac{d}{dt}\frac{dt}{dx}(x_{0}+th) P2(x0+th)=dxdP2(x0+th)=dtdP2(x0+th)×dtddxdt(x0+th)
    d d t d t d x ( x 0 + t h ) = 1 h \frac{d}{dt}\frac{dt}{dx}(x_{0}+th)=\frac{1}{h} dtddxdt(x0+th)=h1
    因此二阶插值多项式有系数 1 h 2 \frac{1}{h^2} h21,关于 t t t求导的部分比较简单,不再展开

    二阶三点公式余项

    二阶三点公式的余项来自对二阶三点公式的泰勒展开。

    二阶三点公式:
    P 2 ′ ′ ( x 0 + t h ) = 1 h 2 [ f ( x 0 ) − 2 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ] P_{2}'' (x_{0}+th)=\frac{1}{h^2}[f(x_0)-2f(x_1)-f(x_2)] P2(x0+th)=h21[f(x0)2f(x1)f(x2)]

    f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) x = − h x=-h x=h处做泰勒展开:
    f ( x 0 ) = f ( x 1 − h ) = f ( x 1 ) − h f ′ ( x 1 ) + h 2 2 ! f ′ ′ ( x 1 ) − h 3 3 ! f ′ ′ ′ ( x 1 ) + h 4 4 ! f ′ ′ ′ ′ ( x 1 ) . . . . f(x_0)=f(x_1-h)=f(x_1)-hf'(x_1)+\frac{h^2}{2!}f''(x_1)-\frac{h^3}{3!}f'''(x_1)+\frac{h^4}{4!}f''''(x_1).... f(x0)=f(x1h)=f(x1)hf(x1)+2!h2f(x1)3!h3f(x1)+4!h4f(x1)....

    f ( x 2 ) f(x_2) f(x2) x = h x=h x=h处做泰勒展开:
    f ( x 2 ) = f ( x 1 + h ) = f ( x 1 ) + h f ′ ( x 1 ) + h 2 2 ! f ′ ′ ( x 1 ) + h 3 3 ! f ′ ′ ′ ( x 1 ) + h 4 4 ! f ′ ′ ′ ′ ( x 1 ) . . . . f(x_2)=f(x_1+h)=f(x_1)+hf'(x_1)+\frac{h^2}{2!}f''(x_1)+\frac{h^3}{3!}f'''(x_1)+\frac{h^4}{4!}f''''(x_1).... f(x2)=f(x1+h)=f(x1)+hf(x1)+2!h2f(x1)+3!h3f(x1)+4!h4f(x1)....

    f ( x ) f(x) f(x)在a点处(或以a为中心)进行泰勒展开的公式:
    f ( x + a ) = a n n ! f n ( x ) , n = 0 , 1 , 2 , 3... f(x+a)=\frac{a^n}{n!}f^n(x),n=0,1,2,3... f(x+a)=n!anfn(x),n=0,1,2,3...
    f ( x − a ) = ( − 1 ) n a n n ! f n ( x ) , n = 0 , 1 , 2 , 3... f(x-a)=(-1)^n\frac{a^n}{n!}f^n(x),n=0,1,2,3... f(xa)=(1)nn!anfn(x),n=0,1,2,3...

    1 h 2 [ f ( x 0 ) − 2 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ] = 1 h 2 [ − 2 f ( x 1 ) + f ( x 1 ) − h f ′ ( x 1 ) + h 2 2 ! f ′ ′ ( x 1 ) − h 3 3 ! f ′ ′ ′ ( x 1 ) + h 4 4 ! f ′ ′ ′ ′ ( x 1 ) − [ f ( x 1 ) + h f ′ ( x 1 ) + h 2 2 ! f ′ ′ ( x 1 ) + h 3 3 ! f ′ ′ ′ ( x 1 ) + h 4 4 ! f ′ ′ ′ ′ ( x 1 ) . . . ] ] = f ′ ′ ( x 1 ) + h 4 12 f ′ ′ ′ ′ ( x 1 ) . . . \frac{1}{h^2}[f(x_0)-2f(x_1)-f(x_2)]\\ =\frac{1}{h^2}[ -2f(x_1)+f(x_1)-hf'(x_1)+\frac{h^2}{2!}f''(x_1)-\frac{h^3}{3!}f'''(x_1)+\frac{h^4}{4!}f''''(x_1)-\\ [f(x_1)+hf'(x_1)+\frac{h^2}{2!}f''(x_1)+\frac{h^3}{3!}f'''(x_1)+\frac{h^4}{4!}f''''(x_1)...] ]\\ =f''(x_1)+\frac{h^4}{12}f''''(x_1)... h21[f(x0)2f(x1)f(x2)]=h21[2f(x1)+f(x1)hf(x1)+2!h2f(x1)3!h3f(x1)+4!h4f(x1)[f(x1)+hf(x1)+2!h2f(x1)+3!h3f(x1)+4!h4f(x1)...]]=f(x1)+12h4f(x1)...
    h 4 4 ! f ′ ′ ′ ′ ( x 1 ) \frac{h^4}{4!}f''''(x_1) 4!h4f(x1)处截断,
    f ′ ′ ( x 1 ) = 1 h 2 [ f ( x 0 ) − 2 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ] + h 4 12 f ′ ′ ′ ′ ( ε ) , ε ∈ ( x , x 1 ) f''(x_1)=\frac{1}{h^2}[f(x_0)-2f(x_1)-f(x_2)]+\frac{h^4}{12}f''''( \varepsilon ) ,\varepsilon \in (x,x_1) f(x1)=h21[f(x0)2f(x1)f(x2)]+12h4f(ε),ε(x,x1)

    更多相关内容
  • 上面这幅图真正的峰值只有一个,其他平台上的点,你如果按上面修改的公式,就会被错误的当成波峰点。 下面让我们看一下,到底如何能求得准确的曲线波峰与波谷。 2. 波峰波谷算法 投影曲线实际上是一个一维...

    1. 前言

    在图像分析里,投影曲线是我们经常要用到的一个图像特征,通过投影曲线我们可以看到在某一个方向上,图像灰度变化的规律,这在图像分割,文字提取方面应用比较广。一个投影曲线,它的关键信息就在于波峰与波谷,所以我们面临的第一个问题就是找到波峰与波谷。

    第一次涉及到求波峰与波谷时,很多人都不以为意,觉得波谷波峰还不容易,无非是一些曲线变化为零的点,从离散的角度来说,也就是:

    波峰:F(x)>F(x−1)且F(x)>F(x+1)F(x)>F(x−1)且F(x)>F(x+1)

    波谷:F(x)<F(x−1)且F(x)<F(x+1)F(x)<F(x−1)且F(x)<F(x+1)

    这么简单吗?显示不是,你首先就会遇到这样的曲线图,然后图上的波峰点并不满足上面的条件。

    image

    看到这种情况,你也许会考虑在上面的等式中把>>和<<改为≥≥和≤≤。

    波峰:F(x)≥F(x−1)&&F(x)>F(x+1)F(x)≥F(x−1)&&F(x)>F(x+1)  或者 F(x)>F(x−1)&&F(x)≥F(x+1)F(x)>F(x−1)&&F(x)≥F(x+1)

    波谷:F(x)≤F(x−1)&&F(x)<F(x+1)F(x)≤F(x−1)&&F(x)<F(x+1)  或者 F(x)<F(x−1)&&F(x)≤F(x+1)F(x)<F(x−1)&&F(x)≤F(x+1)

    这次是否就这样简单,答案显示不是,下面的这个图就会让你对一些非峰值点作出错误的判断。

    image

    上面这幅图真正的峰值只有一个,其他平台上的点,你如果按上面修改的公式,就会被错误的当成波峰点。

    下面让我们看一下,到底如何能求得准确的曲线波峰与波谷。

    2. 波峰波谷算法

    投影曲线实际上是一个一维的向量:

     

    V=[v1,v2,…,vn]V=[v1,v2,…,vn]

    其中vi,i∈[1,2,…,N]vi,i∈[1,2,…,N],代表图像在第ii行或列上的灰度累积。当然不仅仅是投影曲线,TT也可以是某一事件中变量的观测值,我们需要研究这个变量的变化规律。

    下面给出波峰与波谷的算法:

    1,假投影曲线可以表示为V=[v1,v2,…,vn]V=[v1,v2,…,vn]。

    2,计算V的一阶差分向量DiffVDiffV:

     

    Diffv(i)=V(i+1)−V(i),其中i∈1,2,…,N−1Diffv(i)=V(i+1)−V(i),其中i∈1,2,…,N−1

    3,对差分向量进行取符号函数运算,Trend=sign(Diffv)Trend=sign(Diffv),即遍历DiffvDiffv,若Diffv(i)Diffv(i)大于0,则取1;如果小于0,则取-1,否则则值为0。

     

    sign(x)=⎧⎩⎨10−1  if  x>0  if  x=0  if  x<0sign(x)={1  if  x>00  if  x=0−1  if  x<0

    4,从尾部遍历TrendTrend向量,进行如下操作:

     

    if Trend(i)=0且Trend(i+1)≥0,则Trend(i)=1if Trend(i)=0且Trend(i+1)<0,则Trend(i)=−1if Trend(i)=0且Trend(i+1)≥0,则Trend(i)=1if Trend(i)=0且Trend(i+1)<0,则Trend(i)=−1

    5,对TrendTrend向量进行一阶差分运算,如同步骤2,得到R=diff(Trend)R=diff(Trend)。

    6,遍历得到的差分向量RR,如果R(i)=−2R(i)=−2,则i+1i+1为投影向量VV的一个峰值位,对应的峰值为V(i+1)V(i+1);如果R(i)=2R(i)=2,则i+1i+1为投影向量VV的一个波谷位,对应的波谷为V(i+1)V(i+1)。

    下面我们来结合一个实际的向量值,给中中间结合的计算。

    1,V=[−5,10,10,14,14,8,8,6,6,−3,2,2,2,2,−3]V=[−5,10,10,14,14,8,8,6,6,−3,2,2,2,2,−3]。

    它的曲线图像如下把示,图中红色圈标出了曲线的峰值,而绿字圈标出了图像的波谷位置。

    image

    2,计算VV的一阶差分,我们得到Diff(V)=[15,0,4,0,,−6,0,−2,0,−9,5,0,0,0,−5]Diff(V)=[15,0,4,0,,−6,0,−2,0,−9,5,0,0,0,−5]。

    3,对DiffvDiffv进行取符号运算,得到向量Trend=[1,0,1,0,−1,0,−1,0,−1,1,0,0,0,−1]Trend=[1,0,1,0,−1,0,−1,0,−1,1,0,0,0,−1]。

    4,对TrendTrend作一次遍历,如步骤4。Trend=[1,1,1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,1,−1,−1,−1,−1]Trend=[1,1,1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,1,−1,−1,−1,−1]。

    5,对TrendTrend做一阶差分,得到向量R=Diff(Trend)=[0,0,−2,,0,0,0,0,0,2,−2,0,0,0]R=Diff(Trend)=[0,0,−2,,0,0,0,0,0,2,−2,0,0,0]。

    6,遍历向量RR,我们就得到了两个峰值点和一个波谷点。

    3. 算法原理

    其实上述算法的核心思路非常简单,曲线的峰值点,满足一阶导数为0,并且满足二阶导数为负;而波谷点,则满足一阶导数为0,二阶导数为正。

    在上面的算法里面,我们首先计算了一阶的导数DiffvDiffv,然后我们将其符号化,是因为我们并不关心一阶导数的大小。

    然后我们去看那些一阶层数为0的地方,我们发现,那些平台上的点,有些并不是波峰与波谷,然后很多处在上坡与下坡的路上,所以我们将它们的一阶导数设为与它们所在的坡面梯度方向相同。

    最后我们再来计算二阶导数时,就会发现只要为2或者-2,所以曲线斜在这个点发生了变化,由正变负或由负变正。找到这些点,也就找到了原曲线中的波峰或波谷点。

    4. 实现

    下面给出这个算法的C++实现,findPeaks是查找波峰函数,而查找波谷函数则类似,这里没有写在一个函数内。函数接受一个Vecotr<int>的向量,输出为一个vector<int>的位置向量。

    void findPeak(const vector<int>& v, vector<int>& peakPositions)
    {
        vector<int> diff_v(v.size() - 1, 0);
        // 计算V的一阶差分和符号函数trend
        for (vector<int>::size_type i = 0; i != diff_v.size(); i++)
        {
            if (v[i + 1] - v[i]>0)
                diff_v[i] = 1;
            else if (v[i + 1] - v[i] < 0)
                diff_v[i] = -1;
            else
                diff_v[i] = 0;
        }
        // 对Trend作了一个遍历
        for (int i = diff_v.size() - 1; i >= 0; i--)
        {
            if (diff_v[i] == 0 && i == diff_v.size() - 1)
            {
                diff_v[i] = 1;
            }
            else if (diff_v[i] == 0)
            {
                if (diff_v[i + 1] >= 0)
                    diff_v[i] = 1;
                else
                    diff_v[i] = -1;
            }
        }
    
        for (vector<int>::size_type i = 0; i != diff_v.size() - 1; i++)
        {
            if (diff_v[i + 1] - diff_v[i] == -2)
                peakPositions.push_back(i + 1);
        }
    }

     

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  • 复合函数求导公式复合函数求导法则证一:先证明个引理f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)证明:设f(x)在x0可导,令 H(x)=[f...

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    复合函数求导公式

    复合函数求导法则

    证法一:先证明个引理

    f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内,存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)

    证明:设f(x)在x0可导,令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域);H(x)=f'(x0),x=x0

    因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

    所以H(x)在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

    反之,设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

    因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)

    所以f(x)在点x0可导,且f'(x0)=H(x0)

    引理证毕。

    设u=φ(x)在点u0可导,y=f(u)在点u0=φ(x0)可导,则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

    证明:由f(u)在u0可导,由引理必要性,存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

    又由u=φ(x)在x0可导,同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

    于是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

    因为φ,G在x0连续,H在u0=φ(x0)连续,因此H(φ(x))G(x)在x0连续,再由引理的充分性可知F(x)在x0可导,且

    F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

    证法二:y=f(u)在点u可导,u=g(x)在点x可导,则复合函数y=f(g(x))在点x0可导,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

    证明:因为y=f(u)在u可导,则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)

    当Δu≠0,用Δu乘等式两边得,Δy=f'(u)Δu+αΔu

    但当Δu=0时,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。

    又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边,且求Δx->0的极限,得

    dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

    又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

    则lim(Δx->0)α=0

    最终有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

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  • 关于高等数学参数方程二阶可导的公式推导 理解为在一阶导数的基础上,对x再次求导。 个人理解:d(dy/dx)/dx 整体可以看作先对t求导,再令t对x求导;而括号中的dy/dx则是g’(t)/f’(t);得出第一个等号后的式子。 ...

    关于高等数学参数方程二阶可导的公式推导

    设x = f(t) 且 y = g(t)
    在这里插入图片描述
    理解为在一阶导数的基础上,对x再次求导。
    个人理解:d(dy/dx)/dx
    整体可以看作先对t求导,再令t对x求导;而括号中的dy/dx则是g’(t)/f’(t);得出第一个等号后的式子。
    之后在算乘号左侧的部分时,视为对t的求导,且是除法形式的求导:

      子导母不导-子不导母导 
    ------------------------------
        分母的平方
    

    (以上三行假装是分数形式……)
    之后的部分就很好理解,按部就班即可

    最终结论公式
    在这里插入图片描述

    今天做题发现了另外一种,好像比较简单的?

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    jio着,先求dy/dx,记作I,然后再用I‘/x’(t),应该比上边的更好理解吧。

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    万次阅读 多人点赞 2017-09-08 11:05:08
    和、差、积、商求导法则  设u=u(x),v=v(x)都可导,则: (Cu)’ = Cu’, C是常数 (u ± v)’ = u’ ± v’ (uv)’ = u’v + uv’ (u/v)’ = (u’v – uv’) / v2  1、2不解释,下面给出3、4的推导过程 乘法...
  • §8.4 多元函数求导法则 【定理】若函数及都在点可导; 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导,且其导数为  (1) 证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数的对应增量为。 据假定,函数在点具有连续偏导数,...
  • 二阶偏导数公式详解

    万次阅读 2021-01-17 16:25:30
    二阶偏导数公式详解2019-11-27 09:04:36文/董月当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时,我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导,那么称函数f(x,y)在域D可导...
  • 求导公式 导数运输法则 复合函数求导法则 幂指函数求导 取对数后按照符合函数求导法则
  • 一阶导数和二阶导数的二阶/四阶中心差分格式
  • §8.4 多元函数求导法则 【定理】若函数及都在点可导; 函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数在点可导,且其导数为  (1) 证明:设获得增量,这时的对应增量为,函数的对应增量为。 据假定,函数在点具有连续偏...
  • 原文地址:二阶优化方法——牛顿、拟牛顿(BFGS、L-BFGS) 欢迎关注我的公众号,微信搜algorithm_Tian或者扫下面的二维码~ 现在保持每周更新的频率,内容都是机器学习相关内容和读一些论文的笔记,欢迎一起讨论...
  • 本文推导的牛顿是用于求解无约束最优化问题,不是用于求解方程的根的牛顿。 部分推导是指,由f(x)f(\boldsymbol{x})f(x)在xk\boldsymbol{x_k}xk​附近进行二阶泰勒展开: f(x)=f(xk)+gkT(x−xk)+12(x−xk)THk(x...
  • 张辉 陈春梅 景慧丽摘 要:多元隐函授的求导...关键词:隐函数 偏导数 链式法则 微分中图分类号:O13 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2020)01(b)-0222-02多元隐函数的求导问题是高等数学多元函数微分学的重要...
  • 二阶优化算法:牛顿

    千次阅读 2018-08-14 16:08:37
    牛顿的基本思想:利用迭代点处... 牛顿的更新公式,基于二阶泰勒展开:  然后对上式求导,并令,得到更新公式:    对于神经网络病态条件问题,出现在梯度变化过快的情况时即二阶导数较大,此时通过...
  • 隐函数求二阶偏导

    千次阅读 2021-02-05 03:52:19
    §1 -7 高阶偏导数及泰勒公式 一、高阶偏导数设z = f ( x, y )的偏导数为 f x′( x, y ), f y′ ( x, y ). 由于它们还是 x, y 的函......2524人阅读|33次下载 隐函数的求导方法_工学_高等教育_教育专区。高等数学重...
  • 中心差分

    2019-02-18 16:10:41
    运动方程中的速度向量和加速度向量用位移的某种组合来表示,将微分方程组的求解问题转化为代数方程组的求解问题,并在... 中心差分是一种显示的积分,它基于用有限差分代替位移对时间的求导(即速度和加速度)。
  • 图像处理之高斯一阶及二阶导数计算

    万次阅读 多人点赞 2013-11-17 13:09:50
    演示图像中高斯一阶与二阶导数的计算方法,这个在图像的特征提取与处理中十分有用! 一阶导数可以反应出图像灰度梯度的变化情况 二阶导数可以提取出图像的细节同时双响应图像梯度变化情况
  • 本文整理常微分方程数值求解的欧拉与龙格-库塔法。一般地,动力学系统的时间演化可以用常微分方程的初值问题来描述,例如设一维简谐运动的回复力: ,有则运动方程: 。令 ,可以将二阶微分方程转化为一阶微分方程...
  • markdown 数学公式符号大全

    千次阅读 2020-06-20 15:05:06
    文章目录行内公式行间公式复杂效果行内与独行上标、下标与组合汉字、字体与格式占位符定界符与组合四则运算高级运算逻辑运算集合运算数学符号希腊字母 行内公式 {x=1y=2+x\left\{\begin{aligned}x&=1\\y&=2+...

空空如也

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二阶求导公式法