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  • 二阶混合偏导数顺序
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    2019-09-17 11:07:19

    正确的结论应为:

    二阶混合偏导数在“(二阶混合偏导数)连续”的条件下与求导的次序无关

    参考文章:二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关 A. 错误 B. 正确

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  • # 二阶混合偏导(Second-order mixed derivatives)

    万次阅读 多人点赞 2019-07-12 18:54:29
    二阶混合偏导 文章目录二阶混合偏导wiki武汉大学同济大学总结 偏导数是多元函数求导过程中的一个概念。 这里主要阐明一个事实:中国教材和外国教材在二阶混合偏导的记法上是有差别的。 外国: 先求导的变量写...

    二阶混合偏导


    偏导数是多元函数求导过程中的一个概念。

    这里主要阐明一个事实:中国教材和外国教材在二阶混合偏导的记法上是有差别的。

    外国:
    在这里插入图片描述
    先求导的变量写在后面。

    这种记法是国际上公认的记法,包括wiki.

    wiki

    wiki上关于二阶混合偏导的记法如下:
    在这里插入图片描述

    然而,我在同济大学《高等数学》第七版下册和武汉大学《高等数学》下册上看到的记法是相反的。

    武汉大学

    在这里插入图片描述

    可见,先求导的变量写在前面。

    同济大学

    在这里插入图片描述

    可见,先求导的变量写在前面。

    总结

    国际(wiki)上的二阶混合偏导,先求导的变量写在后面。
    国内(至少是武大和同济),先求导的变量写在前面。
    所以,对于这一点,我们一定要做到心里有数。
    好在还有一个定理,让我们不必总是很忧虑。
    在这里插入图片描述
    即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。

    展开全文
  • 海森矩阵的混合偏导数是海森矩阵非主对角线上的元素。假如他们是连续的,那么求导顺序没有区别 ,即 上式也可写为 在正式写法中, 如果  f  函数在区域  D  内连续并处处存在二阶导数,那么 ...

    In mathematics, the Hessian matrix is the square matrix of second-order partial derivatives of afunction; that is, it describes the local curvature of a function of many variables. The Hessian matrix was developed in the 19th century by the German mathematician Ludwig Otto Hesse and later named after him. Hesse himself had used the term "functional determinants".

    海森矩阵就是二阶偏导函数的方阵.他描述了局部的曲率函数.

    Given the real-valued function

    f(x_1, x_2, \dots, x_n),\,\!

    if all second partial derivatives of f exist, then the Hessian matrix of f is the matrix

    H(f)_{ij}(x) = D_i D_j f(x)\,\!

    where x = (x1x2, ..., xn) and Di is the differentiation operator with respect to the ith argument and the Hessian becomes


    H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}

    Some mathematicians define the Hessian as the determinant of the above matrix.

    Hessian matrices are used in large-scale optimization problems within Newton-type methods because they are the coefficient of the quadratic term of a local Taylor expansion of a function. That is,

    y=f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x})\approx f(\mathbf{x}) + J(\mathbf{x})\Delta \mathbf{x} +\frac{1}{2} \Delta\mathbf{x}^\mathrm{T} H(\mathbf{x}) \Delta\mathbf{x}

    where J is the Jacobian matrix, which is a vector (the gradient) for scalar-valued functions. The full Hessian matrix can be difficult to compute in practice; in such situations, quasi-Newtonalgorithms have been developed that use approximations to the Hessian. The most well-known quasi-Newton algorithm is the BFGS algorithm.

     在数学中,海森矩阵(Hessian matrix 或 Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,此函数如下:

    f(x_1, x_2, \dots, x_n),

    如果 所有的二阶导数都存在,那么 的海森矩阵即:


    H(f)ij(xDiDjf(x)

    其中 x = (x_1, x_2, \dots, x_n),即

    H(f) = \begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}\end{bmatrix}

    可见,多元函数的二阶导数就是一个海森矩阵
    海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。

    混合偏导数和海森矩阵的对称性

    海森矩阵的混合偏导数是海森矩阵非主对角线上的元素。假如他们是连续的,那么求导顺序没有区别,即

    \frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) = \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right)

    上式也可写为

    f_{xy} = f_{yx} \,

    在正式写法中,如果 函数在区域 内连续并处处存在二阶导数,那么 f的海森矩阵在 区域内为对称矩阵。

    给定二阶导数连续的函数Hessian矩阵描述了局部的曲率函数,海森矩阵的行列式,可用于分辨 的临界点是属于鞍点还是极值点。


    对于 的临界点 (x0,y0) 一点,有  \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x} = \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y} = 0,然而凭一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大点还是局部极小点。海森矩阵可能解答这个问题。

    H = \begin{vmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x})^2

        :若\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0,则(x0,y0)是局部极小点;若\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0,则(x0,y0)是局部极大点。
        :(x0,y0)是鞍点。
        :二阶导数无法判断该临界点的性质,得从更高阶的导数以泰勒公式考虑。

     

    MATLAB中获得Hessian矩阵:

    The Hessian of scalar valued function f:Rn

    首先类比一下一维。Jacobian相当于一阶导数,Hessian相当于二阶导数。 一维函数的导数的motivation是很明显的。二阶导数的零点就是一阶导数的极值点。 对于很多应用,我们不仅关心一阶导数的零点,也关心一阶导数的极值点,比如信号处理中,信号的一阶导数的极值点反映信号变化的最剧烈程度。极值点寻求在编程时不方便,不如找二阶导数的零点。 
    Jacobian对于标量函数f: Rn-> R1,实际是个向量,这个向量实际上就是函数的梯度gradient。gradient根据Cauchy-Swartz公式,指向的是在某处方向导数取极大值的方向。在二维图像处理中,可用gradient来检测灰度值的边缘。 
    对于向量场F: Rn-> Rm, Jacobian的每一行实际都是一个梯度。且有 F(X)=F(P)+J(P)(X-P)+O(||X-P||) 这个式子的每一行都是一个分量的局部线性化。 
    考虑一个二维的数字图像线性变换(Homography, image warping), 以有限差分代替微分,可作类似分析。 
    H: 像素(x,y)-->像素(u,v) 
    u=u(x,y) v=v(x,y) 
    则其Jacobian为 
    u'(x) u'(y)] 
    v'(x) v'(y)] 
    反映了局部图像的变形程度。 
    最理想的情况 u'(x)=1,v'(y)=1,u'(y)=0,v'(x)=0.说明图像维持原状。 
    由于 dudv=|det(Jacobian(x,y))|dxdy (此式的有效性可参考换元法) 
    [注:]有的书上称det(Jacobian(x,y))为Jacobian. 

    说明面积微元改变的程度由|det(Jacobian(x,y))|决定 
    当|det(Jacobian(x,y))|=1时,说明面积不变, 
    当|det(Jacobian(x,y))|<1时,说明面积压缩,出现了像素丢失现象。 
    当|det(Jacobian(x,y))|>1时,说明面积扩张,需要进行像素插值。 
    另外,由Jacobian矩阵的特征值或奇异值,可作类似说明。可参考Wielandt-Hoffman定理

    Hessian矩阵定义在标量函数上,对于矢量函数,则成为一个rank 3的张量。 

    展开全文
  • 大学数学 第八章第二节 偏导数 高阶偏导数 概念 用法与实例
  • 高数 07.02 偏导数

    2017-12-06 18:42:30
    偏导数

    §

    一、偏导数概念及其计算
    二、高阶偏导数

    1.z=f(x,y)(x0,y0)limΔx0f(x0+Δx,y0)f(x0,y0)Δx,z=f(x,y)(x0,y0)x,zx(x0,y0);fx(x0,y0);zx|(x0,y0);fx(x0,y0);f1(x0,y0).

    yfy(x0,y0)=limΔy0f(x0,y0+Δy)f(x0,y0)Δy=ddyf(x0,y)y=y0
    z=f(x,y)D(x,y)xy,,,zxfx,zx,fx(x,y),f1(x,y)zyfy,zy,fy(x,y),f2(x,y)

    广.
    ,u=f(x,y,z)(x,y,z)xfx(x,y,z)=limΔx0f(x+Δx,y,z)f(x,y,z)Δxfy(x,y,z)=limΔy0f(x,y+Δy,z)f(x,y,z)Δyfz(x,y,z)=limΔz0f(x,y,z+Δz)f(x,y,z)Δz

    1.z=x2+3xy+y2(1,2).
    :1zx=2x+3yzy=3x+2yzx(1,2)=21+32=8zy(1,2)=31+22=72zx(1,2)=limΔx0f(1+Δx,2)f(1,2)Δx=limΔx0[(1+Δx)2+3(1+Δx)2+22][12+312+22]Δx=limΔx0(8+Δx)=8zy(1,2)=limΔy0f(1,2+Δy)f(1,2)Δy=limΔy0[12+31(2+Δy)+(2+Δy)2][12+312+22]Δy=limΔx0(7+Δy)=7

    2.z=xy(x>0,x1),xyzx+1lnxzy=2z
    :zx=yxy1;zy=xylnxxyzx+1lnxzy=xyyxy1+1lnxxylnx=xy+xy=2z

    3.z=xy+x3,zx+zy
    :zx=y+3x2zy=xzx+zy=3x2+x+y

    4.f(x,y)=sinx2y,fx(x,y),fy(x,y).
    :fx(x,y)=(sinx2y)x=cosx2y2xy=2xycosx2yfy(x,y)=(sinx2y)y=cosx2yx2=x2cosx2y

    z=f(x,y)Dzx=fx(x,y),zy=fy(x,y),z=f(x,y).,:
    x(zx)=2zx2=fxx(x,y);y(zx)=2zxy=fxy(x,y);x(zy)=2zyx=fyx(x,y);y(zy)=2zy2=fyy(x,y);


    ,z=f(x,y)xx(2zx2)=3zx3

    z=f(x,y)xn1,yy(n1zxn1)=nzxn1y

    1.z=ex+2y3zyx2
    zx=ex+2yzy=2ex+2y2zx2=(ex+2y)x=ex+2y2zxy=(ex+2y)y=2ex+2y2zyx=(2ex+2y)x=2ex+2y2zy2=(2ex+2y)y=4ex+2y3zyx2=x(2zyx)=2ex+2y

    2.z=x2ysinxy
    :zx=2xyycosxyzy=x2xcosxy2zx2=2y+y2sinxy2zxy=2xcosxy+xysinxy2zyx=2xcosxy+xysinxy2zy2=x2sinxy

    3.z=xexsiny
    :zx=(x+1)exsinyzy=xexcosy2zx2=(x+2)exsiny2zxy=(x+1)excosy2zyx=(x+1)excosy2zy2=xexsiny

    4.z=f[ln(x2+y2)],2zxy
    :zx=f[ln(x2+y2)]2xx2+y22zxy=f[ln(x2+y2)]2yx2+y22xx2+y2+f[ln(x2+y2)](2xx2+y2)y=4xy(x2+y2)2{f[ln(x2+y2)]f[ln(x2+y2)]}

    .fxy(x,y)fyx(x,y)(x0,y0),fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)

    n.
    ,u=f(x,y,z),(x,y,z),fxyz(x,y,z)=fyzx(x,y,z)=fzxy(x,y,z)=fxzy(x,y,z)=fyxz(x,y,z)=fzyx(x,y,z)

    内容小结
    1.偏导数的概念机有关结论
    定义;记号;
    函数在一点偏导数存在,函数在此点不一定连续

    2.偏导数的计算方法

    求高阶偏导数的方法 –逐次求导法

    展开全文
  • 因此这些偏导函数再对变量 xxx和 yyy进一步求偏导,就能够得到阶数更高的偏导数,也就是函数 fff的二阶偏导数,显然二元函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y)的二阶偏导数有四个: fxx=∂∂x(∂f∂x)=∂2f∂x2f_{xx}=\frac{\...
  • 接下来,继续求二阶导数,包含混合偏导共9个偏导函数,用矩阵表示得到 \[H=\begin{matrix}\frac{\partial ^2f}{\partial x \partial x} & \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y } & \frac{\partial ^2 f}{\...
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