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  • 二阶电路零状态响应公式推导 下图所示电路在时电容和电感上储能都为零,即,, t=0 时开关闭合,电压源 Us 开始对电路供电。现讨论时响应的变化规律。...通解就是上一节中的零输入响应,即 式中,,,...

     

    二阶电路零状态响应公式推导

    下图所示电路在 时电容和电感上储能都为零,即 , , t=0 时开关闭合,电压源 Us 开始对电路供电。现讨论 时响应的变化规律。


    电路的 KVL 方程为换路后电路的初始状态为 0 ,即, 

    这是二阶线性非齐次微分方程,它的解由对应的齐次微分方程的通解 和非齐次微分方程的特解 组成,即

    通解 就是上一节中的零输入响应,即

    式中, , , 

    特解 就是电路进入稳态时响应的稳态值,即

    所以,

    用电路的初始状态确定系数 和 

    解得, 

    因此,电容电压的零状态响应为

    RLC 串联电路的零状态响应

    1 、当 ,即 时, 为两个不相等的负实数,过阻尼,非振荡充电。

    2 、当 ,即 时, 为一对共轭复数,欠阻尼,振荡充电。

    3 、当 ,即 时, 为两个相等的负实数,临界阻尼,非振荡充电 。

    4 、当 ,即 时, , ,无阻尼,等幅振荡。

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  • 漫谈二阶电路的零状态响应(初稿)对于零输入响应(ZIR),它的微分方程是不含常数项的,也叫齐次方程。 公式应该长成这样:而对于零状态响应(ZSR),它的微分方程是含常数项的,也叫非齐次方程。 公式长成这样: 鉴于上一...

    漫谈二阶电路的零状态响应(初稿)

    对于零输入响应(ZIR),它的微分方程是不含常数项的,也叫齐次方程。 公式应该长成这样:

    而对于零状态响应(ZSR),它的微分方程是含常数项的,也叫非齐次方程。 公式长成这样:

    鉴于上一篇文章描述不详细,公式存在缺漏,所以特地补充这篇文章 对于二阶非齐次微分方程,以下两种表达是一样的:

    我们首先研究二阶电路的零状态响应。

    我们先来看电路图:

    149d6dd947828c8d3b7749f808d7d2f4.png

    1. 由能量守恒得

    因为,电感电压公式为

    所以原式等于

    又因为电容的电流为

    因为串联电路,电流处处相等 所以原来的式子等于

    化简得

    我们得到这个最终方程,这个最终方程只有一个变量

    ,其他都为常量,这个方程和二阶非齐次微分方程是一样的。 也就是说,如果我们要解决RLC电路,那么我们要首先找出二阶非齐次微分方程的特解或者通解。

    由于非齐次方程比较难求解,所以我们首先看二阶线性齐次方程:

    观察这个式子,

    我们首先构造几个式子

    ,
    ,为什么要这么构造呢?想必大家并不陌生,
    求导的结果是它本身,引入
    非常方便我们的计算,但是为什么要引入
    呢?这种构造方法叫做微分算子。
    在数学中,微分算子是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上,将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的,它接收一个函数得到另一个函数。

    二阶线性齐次微分方程:

    那么将上式代入,可得

    最终得到

    此二次方程有两个解,

    。 -

    通解为

    通解为


    - 无实根(复数解)

    ,

    通解为

    我们再回到RLC电路方程

    把它变成二阶线性微分方程的标准形式

    特征方程为

    展开全文
  • 在电路理论学习中,二阶电路是比较重要一节,尤其是阶跃响应对系统分析很用!RLC电路零输入响应---欠阻尼、过阻尼、临界阻尼、无阻尼情况
  • 二阶电路的时域分析

    2020-11-24 12:33:43
    二阶电路的零输入响应 二阶电路的零状态响应和全响应

    1. 零输入响应

    以RLC电路为例
    在这里插入图片描述

    (1)过阻尼

    uC=U0p2p1(p2e p1tp1e p2t) u_C = \frac{U_0}{p_2-p_1}(p_2e^{~p_1t} - p_1e^{~p_2t})

    i=U0L(p2p1)(e p1te p2t) i = -\frac{U_0}{L(p_2-p_1)}(e^{~p_1t} - e^{~p_2t})

    uL=U0p2p1(p1e p1tp2e p2t) u_L = - \frac{U_0}{p_2-p_1}(p_1e^{~p_1t} - p_2e^{~p_2t})

    tm=lnp2p1p1p2 t_m = \frac{ln\frac{p_2}{p_1}}{p_1-p_2}

    在这里插入图片描述

    (2)欠阻尼

    δ=R2Lδ=\frac{R}{2L}

    ω=1LC(R2L)2\omega=\sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2}

    ω0:=ω2+δ2\omega_0: = \sqrt{\omega^2 +δ^2 }

    β=arctan(ωδ)\beta = arctan(\frac{\omega}{δ})

    uC=U0ω0ωeδtsin(ωt+β) u_C = \frac{U_0\omega_0}{\omega}e^{-δt}sin(\omega t + \beta)

    i=U0ωLeδtsin(ωt) i = \frac{U_0}{\omega L}e^{-δt}sin(\omega t)

    uL=U0ω0ωeδtsin(ωtβ) u_L = -\frac{U_0\omega_0}{\omega}e^{-δt}sin(\omega t - \beta)
    在这里插入图片描述

    (3)临界状态

    uC=U0(1+δt)eδt u_C = U_0(1+δt)e^{-δt}

    i=U0Lteδt i = \frac{U_0}{L}te^{-δt}

    uL=U0eδt(1δt) u_L = U_0 e^{-δt}(1-δt)
    在这里插入图片描述

    2. *零状态响应

    列方程,求解

    3. *全响应

    列方程
    求特解
    求通解
    定常数

    展开全文
  • 1、在RLC串联电路中,求零输入响应,绘出以下波形: ,并观察其波形变化; 2、画出程序设计框图,编写程序代码,上机运行调试程序,记录实验结果(含计算结果和图表等),并对实验结果进行分析和总结;
  • 目录动态电路的方程及其初始条件一阶电路零输入响应一阶电路零状态响应一阶电路全响应三要素法二阶电路零输入响应二阶电路零状态响应二阶电路全响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应 动态电路的方程及其初始条件 动态...

    动态电路的方程及其初始条件

    动态电路即指含有电容电感等动态原件的电路,在条件发生变化时(如加入激励源、阶跃响应等),电路响应发生变化。电路响应发生变化的时间很短,在0-—0+之间,这个过渡过程就叫做换路。
    所谓动态电路,也即能够用常微分方程来描述的电路,本文讨论分别用一阶常微分方程和二阶常微分方程来描述的一阶动态电路和二阶动态电路。
    我们在分析的过程中将 iL(0+) 和 uc(0+) 作为独立的初始条件(在后续的求解中先求出独立的初始条件),其余均为非独立的初始条件。
    对于电容:
    uc(t)=uc(t0)+1/C0ticdtu_c(t) = u_c(t_0)+1/C\int_0^t i_cdt
    uc(0+)=uc(0)+1/C00+icdtu_c(0_+)=u_c(0_-)+1/C\int_{0_-}^{0_+} i_cdt
    对电感:
    iL(t)=iL(t0)+1/L0tuLdti_L(t) = i_L(t_0)+1/L\int_0^tu_Ldt
    iL(0+)=iL(0)+1/L00+uLdti_L(0_+)=i_L(0_-)+1/L\int_{0_-}^{0_+}u_Ldt

    (上述几个公式很重要,在如冲激激励时可直接套用计算)
    由于 ic 有限,uc不能跳变,同理可用于 uL,iL

    于是就有换路定理:
    uc(0+)=uc(0) u_c(0_+)=u_c(0_-)
    iL(0+)=iL(0) i_L(0_+)=i_L(0_-)

    于是,在换路瞬间,电容可以看作电压源或视为短路;电感可以看作电流源或视为开路

    !!!但在电路达到稳态时,电容视为开路;电感视为短路

    一阶电路零输入响应

    所谓零输入响应,就是指在换路后没有激励源激励作用,电路的响应全由动态原件初始储能提供。
    具体由RC串联电路和RL并联电路推导解常微分方程可得:
    uc=uc(0+)etRC=U0etRCu_c=u_c(0_+)e^{-\frac{t}{RC}}=U_0e^{-\frac{t}{RC}}
    iL=iL(0+)etRL=I0etRLi_L=i_L(0_+)e^{-t\frac{R}{L}}=I_0e^{-t\frac{R}{L}}
    此外,电容放电过程中电容电场能全部被电阻吸收转化为热能
    WR=12CU02W_R=\frac{1}{2}CU_0^2
    (工程上一般认为 3—5τ 电容放电结束)

    一阶电路零状态响应

    零状态响应就是动态原件初始储能为0,外加激励源供电路响应。
    具体由RC串联电路和RL并联电路推导解常微分方程可得:
    uc=UsUsetτ=Us(1etτ)u_c=U_s-U_se^{-\frac{t}{τ}}=U_s(1-e^{-\frac{t}{τ}})
    iL=IsIsetτ=Is(1etτ)i_L=I_s-I_se^{-\frac{t}{τ}}=I_s(1-e^{-\frac{t}{τ}})

    同样有:
    WR=12CUs2W_R=\frac{1}{2}CU_s^2

    一阶电路全响应

    全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
    ex:
    uc=U0etτ+Us(1etτ)u_c=U_0e^{-\frac{t}{τ}}+U_s(1-e^{-\frac{t}{τ}})

    或者
    全响应 = 强制分量 + 自由分量
    全响应 = 稳态分量 + 暂态分量
    ex:
    uc=Us+(U0Us)etτu_c=U_s+(U_0-U_s)e^{-\frac{t}{τ}}
    (考察什么时候电路立即进入稳态,即暂态响应为零)

    三要素法

    三要素法不同于以上所述经典法,其公式如下:
    f(t)=f()+[f(0+)f()]et/τ f(t)=f(∞)+[f(0_+)-f(∞)]*e^{-t/τ}
    因此只需要求出:

    • 初始值f(0+)f(0_+)
    • 稳态量f()f(∞)
    • 时间常数ττ(RC、L/R)

    即可。
    通常,初始值由换路定理确定,稳态量在稳态后(电容开路、电感短路)对电路进行分析求得,时间常数主要在于求R(Req

    注意:三要素法仅适用于一阶电路!

    PLUS:
    以下情况若左边为电流源则可以等效为两个一阶电路串联,互不影响,分别求解;若为电压源则不能作此等效,具体证明过程就不给出。
    在这里插入图片描述
    同理下图若左边为电压源则可以等效为两个一阶电路并联,互不影响,分别求解。
    在这里插入图片描述

    二阶电路过渡过程的判定

    在分析二阶电路时,先列出二阶常微分方程(可先从电路的状态方程入手)
    ex:
    LCd2ucdt2+RCducdt+uc=0LC\frac{d^2u_c}{dt^2}+RC\frac{du_c}{dt}+u_c=0
    解常微分方程:
    LCp2+RCp+1=0LCp^2+RCp+1=0
    求得特征值p1、p2
    1)若p1、p2为两个不相等的实根,则电路为非振荡放电过程(过阻尼),R>2L/CR>2\sqrt{L/C}
    2)若p1、p2为两个相等的实根,为临界阻尼状态,R=2L/CR=2\sqrt{L/C}
    3)若p1、p2为共轭复数根,电路为振荡放电过程(欠阻尼),R<2L/CR<2\sqrt{L/C}

    冲激响应和阶跃响应

    阶跃响应ε(t)ε(t)

    阶跃电源作用于电路时,通常先将激励的表达式写出来,然后根据叠加定理和齐次性求解即可。

    冲激响应δ(t)δ(t)

    冲激电源激励的电路一般有两种分析方法:
    1)分两个时间段考虑

    1. t 在 0- 到 0+之间
      以下图为例分析,且假设 uc(0-)=0
      在这里插入图片描述
      电容充电,列方程
      Cducdt+ucR=δ(t)C\frac{du_c}{dt}+\frac{u_c}{R}=δ(t)
      两边积分可得:
      00+Cducdtdt+00+ucRdt=1\int_{0_-}^{0_+}C\frac{du_c}{dt}dt+\int_{0_-}^{0_+}\frac{u_c}{R}dt=1
      而uc为有限值,于是00+ucRdt=0\int_{0_-}^{0_+}\frac{u_c}{R}dt=0
      于是有:
      uc(0+)uc(0)=1Cu_c(0_+)-u_c(0_-)=\frac{1}{C}
      uc(0)=0u_c(0_-)=0 于是:
      uc(0+)=1Cuc(0)u_c(0_+)=\frac{1}{C}≠u_c(0_-)
    2. t > 0+时为零输入响应
      此时,电路只看右边回路
      uc=1CetRCu_c=\frac{1}{C}e^{-\frac{t}{RC}}
      ic=ucR=1RCetRCi_c=-\frac{u_c}{R}=-\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}

    又因为在冲激电流作用下 ic 跃变,于是有
    uc=1CetRCε(t)u_c=\frac{1}{C}e^{-\frac{t}{RC}}ε(t)
    ic=δ(t)1RCetRCε(t)i_c=δ(t)-\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}ε(t)

    图像如下:
    在这里插入图片描述
    同理可求如下RL电路的冲激激励响应
    在这里插入图片描述

    2)先求阶跃响应

    • 先令激励为ε(t)
    • 三要素法分析电路(通常先求出uc和iL
    • 然后对第二步所求得量求导
    • 根据f(t)δ(t)=f(0)δ(t)f(t)δ(t)=f(0)δ(t)运算以及消去零项
    • 整理即可得结果

    参考:
    邱关源电路第五版

    欢迎指正,侵删

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