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2020-08-14 10:14:10
先前由于项目需要,自己实现了二阶矩阵特征值与特征向量的求取代码,其实很简单,主要部分就是求解一个二次方程的根,现在分享给大家作为参考(因为组长说求平方根可能比较费资源,为方便硬件实现,甚至连平方根求取的代码都是自己写的\笑哭):
function [V,lamda]=myEig(A,err); % 求特征值与特征向量的程序 % err为指定的计算误差 a11=A(1,1); a12=A(1,2); a21=A(2,1); a22=A(2,2); delta=(a11-a22)^2+4*a12*a21; if delta<0 disp('the input matrix has no eigen values and featrue vector!'); end sqrtDelta=sqrtByBisection(delta,err); eig1=((a11+a22)-sqrtDelta)/2; eig2=((a11+a22)+sqrtDelta)/2; lamda=[eig1,eig2]; v1=[a12,eig1-a11]; v2=[a12,eig2-a11]; v1=v1/norm(v1); v2=v2/norm(v2); V=[v1;v2]; function mid=sqrtByBisection(x,err) % 二分法开平方根程序 % x为输入值 % err为计算精度 if err^2>x mid=0; return; end up=max(1,x); low=0; mid=(up+low)/2; while ~( (mid+err)^2>x && (max(0,mid-err))^2<x) if mid^2<x low=mid; else up=mid; end mid=(up+low)/2; end
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笔记来源:计算二阶矩阵特征值的妙计
1.1 平均特征值
1.2 特征值的积
1.3 求解特征值
根据以上两点,求出特征值
m m m 为平均特征值 λ 1 + λ 2 2 \frac{\lambda_1+\lambda_2}{2} 2λ1+λ2(两个特征值 λ 1 、 λ 2 \lambda_1、\lambda_2 λ1、λ2 关于平均特征值中心对称)
p p p 为两个特征值 λ 1 、 λ 2 \lambda_1、\lambda_2 λ1、λ2 的积( m − d m-d m−d 为 λ 1 \lambda_1 λ1、 m + d m+d m+d 为 λ 2 \lambda_2 λ2)
− m 2 − p -\sqrt{m^2-p} −m2−p 为平均特征值和第一个特征值 λ 1 \lambda_1 λ1 间的距离
+ m 2 − p +\sqrt{m^2-p} +m2−p 为平均特征值和第二个特征值 λ 2 \lambda_2 λ2 间的距离
例子:
1.4 泡利矩阵
三个 x , y , z x,y,z x,y,z 分方向的旋转
三个 x , y , z x,y,z x,y,z 分方向的旋转综合得到一个旋转效果
原先我们需要经过两个步骤才能求解得到特征值
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定理:2阶实对称矩阵H的特征值是实数
H=[a,b;b,c]
a,b,c是实数,λ 是特征值
A=[a-λ,b;b,c-λ]特征值求解方法为:(a- λ
)(c- λ)
- b2
= 0
求解方程得到两个根为:
λ=(a+c)±(a+c)2-4(ac-b2)2(a+c)2-4ac-b2=a-c2+4b2≥0
所以,在a、b、c为实数时,特征值也是实数。
2、特征向量
根据特征值和特征向量的定义:HX=λX,(H-λE)X = 0;因此方程若有解,则
det(H-λE)=0;
设
A=[a-λ,b;b,c-λ]则有-b/(a-λ) = (c-λ)/b, 线性齐次方程组AX=0有非零解,其中之一解向量 [1,-b/(a-λ)],归一化后得到标准解。
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