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  • 二阶矩阵特征值
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    2020-08-14 10:14:10

    先前由于项目需要,自己实现了二阶矩阵特征值与特征向量的求取代码,其实很简单,主要部分就是求解一个二次方程的根,现在分享给大家作为参考(因为组长说求平方根可能比较费资源,为方便硬件实现,甚至连平方根求取的代码都是自己写的\笑哭):

    function [V,lamda]=myEig(A,err);
    % 求特征值与特征向量的程序
    % err为指定的计算误差
    a11=A(1,1);
    a12=A(1,2);
    a21=A(2,1);
    a22=A(2,2);
    delta=(a11-a22)^2+4*a12*a21;
    if delta<0
        disp('the input matrix has no eigen values and featrue vector!');
    end
    sqrtDelta=sqrtByBisection(delta,err);
    eig1=((a11+a22)-sqrtDelta)/2;
    eig2=((a11+a22)+sqrtDelta)/2;
    lamda=[eig1,eig2];
    v1=[a12,eig1-a11];
    v2=[a12,eig2-a11];
    v1=v1/norm(v1);
    v2=v2/norm(v2);
    V=[v1;v2];
    
    function mid=sqrtByBisection(x,err)
    % 二分法开平方根程序
    % x为输入值
    % err为计算精度
    if err^2>x
        mid=0;
        return;
    end
    up=max(1,x);
    low=0;
    mid=(up+low)/2;
    while ~( (mid+err)^2>x && (max(0,mid-err))^2<x)
        if mid^2<x
            low=mid;
        else
            up=mid;
        end
        mid=(up+low)/2;
    end

     

     

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    1.计算二阶矩阵特征值的技巧

    笔记来源:计算二阶矩阵特征值的妙计

    1.1 平均特征值

    1.2 特征值的积

    1.3 求解特征值

    根据以上两点,求出特征值

    m m m 为平均特征值 λ 1 + λ 2 2 \frac{\lambda_1+\lambda_2}{2} 2λ1+λ2(两个特征值 λ 1 、 λ 2 \lambda_1、\lambda_2 λ1λ2 关于平均特征值中心对称)

    p p p 为两个特征值 λ 1 、 λ 2 \lambda_1、\lambda_2 λ1λ2 的积( m − d m-d md λ 1 \lambda_1 λ1 m + d m+d m+d λ 2 \lambda_2 λ2

    − m 2 − p -\sqrt{m^2-p} m2p 为平均特征值和第一个特征值 λ 1 \lambda_1 λ1 间的距离

    + m 2 − p +\sqrt{m^2-p} +m2p 为平均特征值和第二个特征值 λ 2 \lambda_2 λ2 间的距离


    例子:

    1.4 泡利矩阵

    三个 x , y , z x,y,z x,y,z 分方向的旋转

    三个 x , y , z x,y,z x,y,z 分方向的旋转综合得到一个旋转效果



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        a,b,c是实数,λ 是特征值
    A=[a-λ,b;b,c-λ]    

        特征值求解方法为:(a- λ )(c- λ) - b2  = 0

        求解方程得到两个根为:
    λ=(a+c)±(a+c)2-4(ac-b2)2  

                       (a+c)2-4ac-b2=a-c2+4b2≥0

        所以,在a、b、c为实数时,特征值也是实数。

           

    2、特征向量

    根据特征值和特征向量的定义:HX=λX,(H-λE)X = 0;因此方程若有解,则

    det(H-λE)=0;


    A=[a-λ,b;b,c-λ]    

    则有-b/(a-λ) = (c-λ)/b,   线性齐次方程组AX=0有非零解,其中之一解向量 [1,-b/(a-λ)],归一化后得到标准解。

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