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  • 先前由于项目需要,自己实现了二阶矩阵特征值与特征向量取代码,其实很简单,主要部分就是求解一个二次方程的根,现在分享给大家作为参考(因为组长说平方根可能比较费资源,为方便硬件实现,甚至连平方根取...

    先前由于项目需要,自己实现了二阶矩阵特征值与特征向量的求取代码,其实很简单,主要部分就是求解一个二次方程的根,现在分享给大家作为参考(因为组长说求平方根可能比较费资源,为方便硬件实现,甚至连平方根求取的代码都是自己写的\笑哭):

    function [V,lamda]=myEig(A,err);
    % 求特征值与特征向量的程序
    % err为指定的计算误差
    a11=A(1,1);
    a12=A(1,2);
    a21=A(2,1);
    a22=A(2,2);
    delta=(a11-a22)^2+4*a12*a21;
    if delta<0
        disp('the input matrix has no eigen values and featrue vector!');
    end
    sqrtDelta=sqrtByBisection(delta,err);
    eig1=((a11+a22)-sqrtDelta)/2;
    eig2=((a11+a22)+sqrtDelta)/2;
    lamda=[eig1,eig2];
    v1=[a12,eig1-a11];
    v2=[a12,eig2-a11];
    v1=v1/norm(v1);
    v2=v2/norm(v2);
    V=[v1;v2];
    
    function mid=sqrtByBisection(x,err)
    % 二分法开平方根程序
    % x为输入值
    % err为计算精度
    if err^2>x
        mid=0;
        return;
    end
    up=max(1,x);
    low=0;
    mid=(up+low)/2;
    while ~( (mid+err)^2>x && (max(0,mid-err))^2<x)
        if mid^2<x
            low=mid;
        else
            up=mid;
        end
        mid=(up+low)/2;
    end

     

     

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  • §6.5 对称矩阵,实特征值,正交特征向量Symmetric Matrices, Real Eigenvalues, Orthogonal EigenvectorsMIT公开课《微分方程和线性代数》6.5 对称矩阵、实特征值和正交特征向量​v.youku.com在线性微分方程组中会...

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    §6.5 对称矩阵,实特征值,正交特征向量

    Symmetric Matrices, Real Eigenvalues, Orthogonal Eigenvectors

    MIT公开课《微分方程和线性代数》6.5 对称矩阵、实特征值和正交特征向量v.youku.com
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    在线性微分方程组中会遇到对称矩阵

    ,对称矩阵的特征值和特征向量具有特别的性质,即特征值为实数,并且特征向量相互正交。

    与之相对,反对称矩阵

    的特征值为纯虚数,特征向量也互相正交,但它们包含复数元素,即使反对称矩阵的元素都是实数,其特征向量也是复数的。

    对于满足

    的正交矩阵
    Q,其所有特征值的模长
    ,特征向量也是复数的,并且相互正交。

    对称矩阵S的特征值为

    。特征向量为
    ,

    反对称矩阵A的特征值为

    。特征向量为
    ,

    矩阵B=A+3I的特征值为

    。特征向量为
    ,

    正交矩阵Q的也是矩阵A的变体,除去归一化的因子

    ,其矩阵等于
    A+I,因此其特征值为为
    ,它的特征值都处在单位圆之上,并且为共轭复数,其特征向量为
    ,
    • 复数、复向量和复矩阵

    若有复数

    ,,则它的模为
    ,其中
    为λ的共轭复数。

    对于复向量x,它的长度

    。例如
    ,其长度
    。而复向量的正交性则通过
    来判定。

    对于实矩阵,我们寻找对称矩阵

    。而对于复数矩阵,则寻找埃尔米特矩阵(Hermitian Matrix)
    ,对矩阵中的元素不仅取转置还要取共轭,例如矩阵
    为埃尔米特矩阵,矩阵的转置并求共轭也记做

    §6.5b 二阶常微分方程组

    Second Order Systems

    优酷视频v.youku.com

    本讲介绍二阶常微分方程组

    。其中
    S为对称矩阵满足
    。方程中没有阻尼项,且等号右侧没有外力项,因此所求解函数为匹配初值的零解。

    例如振荡方程

    ,其中
    M为质量矩阵,而K为刚性矩阵。在实际应用中,第一步就是建立方程,即确定这些参数矩阵。

    所寻找的解函数形如

    ,带入原方程可得
    ,整理可得
    ,这就变成了特征值和特征向量的问题。这是一个包含两个矩阵的问题,在MATLAB中可以用eig(K,M)命令搞定,其实大多数实际的情况中,质量矩阵
    M是常数乘以单位阵cI

    对于二阶常微分方程组

    ,通常给定的初值包含
    y(0)和y'(0),这两个向量包含2n个初值,因此需要2n个解函数与之相匹配。

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    二阶微分方程组

    描述了三个重物的运动,因此方程数为n=3。弹簧重物组中三个重物彼此之间以及和上下固定表面之间均以弹簧相连。设定三个重物质量相等,则有
    M=mI。方程组的解就是重物的运动轨迹,即位移随时间的变化。方程等式右侧为零,代表没有外力项在运动过程中给弹簧重物组注入新能量,物体的运动模式为纯简谐振动,但是这些振荡是相互耦合的。

    刚度矩阵

    ,令
    变为
    刚度矩阵中的参数来自于重物上下的弹簧的伸长量,例如重物1受到来自于上下两个弹簧的作用,上方弹簧的作用力为
    ,下方弹簧作用力为
    ,则合力
    。其它两组以此类推。

    解函数为

    ,是六个解的线性组合。

    代入t=0可知解函数中的余弦函数的三个参数A和初值y(0)相匹配,而正弦函数的三个参数B则和y'(0)相匹配。

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    方程描述了具有两个重量为m的重物构成的弹簧重物组。矩阵

    的特征值为

    如果给定的初值状态是在t=0时刻,将m1和m2两个重物设置在某一特定位置,则初值中给出了初始位移,但是初始的速度为0,即y'(0)=0,因而可知解函数中的两个参数B均为0。则解函数为

    ,其中参数受初始位移
    y(0)控制。从解函数中两个特征向量可以看出,有两种基本的运动模式,其一就是两物体同相振动(m1和m2以相同的相位振动),对应解函数中的第一项,其二就是相向运动,对应解函数中的第二项,而第二项的运动频率较高,重物的运动模式就是低频的同向运动和高频的相向运动的组合。如果是三个重物组成的弹簧重物组,则是三种模式的运动的叠加。
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  • 对阵矩阵特征向量两两正交的证明

    千次阅读 2018-09-30 16:10:52
    假设矩阵AAA是一个对称矩阵, xix_ixi​和xjx_jxj​是矩阵AAA的任意两个特征向量, λi\lambda_iλi​和λj\lambda_jλj​是与xix_ixi​和xjx_jxj​相对应的特征值,则有: (1)Axi=λixiAx_i=\lambda_i x_i \tag{1}...

    假设矩阵AA是一个对称矩阵, xix_ixjx_j是矩阵AA的任意两个特征向量, λi\lambda_iλj\lambda_j是与xix_ixjx_j相对应的特征值,则有:
    (1)Axi=λixiAx_i=\lambda_i x_i \tag{1}
    (2)Axj=λjxjAx_j=\lambda_j x_j \tag{2}
    将式(1)的两边左乘以xjTx_j^T ,可得:
    (3)xjTAxi=λixjTxix_j^TAx_i=\lambda_i x_j^T x_i \tag{3}
    因为矩阵AA是一个对称矩阵,可以对式(3)的左边做如下变换:
    (4)xjTAxi=xjTATxi=(Axj)Txix_j^TAx_i=x_j^T A^T x_i = (Ax_j)^T x_i \tag{4}
    将式(2)代入式(4),可得:
    (5)xjTAxi=(Axj)Txi=(λjxj)Txi=λjxjTxix_j^TAx_i=(Ax_j)^T x_i = (\lambda_j x_j)^T x_i = \lambda_j x_j^T x_i \tag{5}
    结合式(3),可得:
    (6)λixjTxi=λjxjTxi\lambda_i x_j^T x_i = \lambda_j x_j^T x_i \tag{6}
    即:(7)(λiλj)xjTxi=0 (\lambda_i - \lambda_j)x_j^T x_i = 0 \tag{7}
    因为λiλj\lambda_i \neq \lambda_jxjTxix_j^T x_i必然等于0。
    由于xix_ixjx_j是矩阵AA的任意两个特征向量,所以命题得证。

    以上内容编辑:崔宾阁

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  • 对于一类特殊的二阶矩阵微分方程,给定特解的具体形式,利用向量比较方法解出了待定的系数矩阵,获得了一类矩阵微分方程的特解公式,推广了已有的结果。并用算例验证了结果的正确性。
  • 首先利用基于图块的帧差进行前景检测,接着计算前景区域的灰度共生矩阵,进而提取前景区域的二阶统计特征,最后透过基于二阶统计量特征的支持向量机分类器进行行人检测。通过仿真实验对比表明文中的算法有较好的...
  • 设计思想:用带双步位移的QR分解法求矩阵A(10*10)的全部特征值。在计算出A的基础上,先利用Householder矩阵矩阵A作相似变换,把A化为拟上三角矩阵A(n-1),然后进行带双步位移的QR分解(其中Mk的QR分解可调用子...
  • 2阶实对称矩阵特征值和特征向量的简单求解方法。因为2阶实对称矩阵的特殊性,可以直接使用初中的2阶方程 x = -b±sqrt(b*b -4*a*c) / 2*a进行求解。这个方法在求解平面点的hessian矩阵很有用处。
  • Jacobi法求特征特征向量

    千次阅读 2019-07-02 21:30:28
    Jacobi法求特征特征向量引言Jacobi法求特征特征向量 引言 参考链接1 参考链接2 参考链接3 参考链接4 Jacobi法求特征特征向量 求解使用对象:实对称矩阵RRR,性质有RR−1=IRR^{-1}=IRR−1=I 即是 RT=R−1R^T=R...

    Jacobi法求特征值特征向量

    引言

    Jacobi法求特征值特征向量

    求解使用对象:实对称矩阵RR,性质有RR1=IRR^{-1}=I 即是 RT=R1R^T=R^{-1}
      求解思路:实对称矩阵性质与旋转矩阵RR性质相同,故看做是将旋转矩阵转化为三个自由度。变换过程也是利用旋转矩阵相乘来达到。化为对角线性的过程就是旋转的过程,对角线上的元素就是特征值,用来变换的旋转矩阵的列向量就是特征向量。
      用处蛮多的:对于协方差矩阵、海塞矩阵的近似JTJJ^TJ、旋转矩阵的分解均可以使用此方法,精度高,速度快,过程不涉及求逆。分解后的形式:A=VΛVTA = V \Lambda V^T,没有求逆,在后续计算也比较方便。
      名字为什么叫JacobiJacobi法没有深入。

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  • 特征向量矩阵S,由矩阵A的所有线性无关的特征向量按列排列组成的矩阵特征矩阵,有矩阵A的所有特征值放在对角线位置组成的对角矩阵。   矩阵对角化:AS = S(讲AS展开可以推导出这个公式) 上式两边的左边...
  • 理解矩阵特征值与特征向量

    千次阅读 2014-12-25 18:50:33
    N个特征向量就是N个标准正交基,而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大,说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大,功率越大,信息量越多。 (1)应用到最优化中,意思就是对于R的二次型,自变量在这...
  • 利用QR算法求解矩阵特征值和特征向量

    万次阅读 多人点赞 2015-03-05 22:02:55
    利用QR算法求解矩阵特征值和特征向量为了求解一般矩阵(不是那种幼稚到shi的2 x 2矩阵)的特征值. 根据定义的话,很可能需要求解高阶方程... 这明显是个坑...高阶方程你肿么破...折腾了好久 1.我要求...
  • 求特征值和特征向量矩阵A:\n " ); 27 printMatrix(a, M, M); 28 printf( " \n " ); 29 printf( " 初始向量u0:\n " ); 30 printVector(uk0, M); 31 printf( " \n " ); 32 printf( " 第几...
  • 口算三阶矩阵特征值和特征向量

    千次阅读 2020-05-18 13:37:34
    注意到第一行加第二行等于第三行 A-E=0,0,-2 令 A= (1,1,1)^T* (1,1,1) + 3满足题设,所以A=
  • 求矩阵的条件数的函数:cond(A) 求矩阵特征值和特征向量:eig函数 特征值的几何意义:
  • 向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式. 还有, 在代数几何中, 代数曲线的雅可比量表示雅可比簇:伴随该曲线的一个代数群, 曲线可以嵌入其中....
  • 定理:2阶实对称矩阵H的特征值是实数 H=[a,b;b,c] a,b,c是实数,λ 是特征值 A=[a-λ,b;b,c-λ] 特征值求解方法为:(a- λ )(c- λ) - b2 = 0 求解方程得到两个根为:λ=(a+c)±(a+c)2-4(ac-b2)2 ...
  • 二阶张量是矩阵向量的组合) 三阶张量是数据立体(矩阵的组合) 四阶张量(数据立体的组合) 等等。 1、纯量就是一个数值,可以看成是一个数值上的变化量。 2、向量是点到点的变化量,而点可以是一维空间上的...
  • 学习线性代数的过程中我们会注意到解方程组的中有对系数矩阵进行加减消元化成行最简这个过程,而在学到特征向量这部分后,我们发现求特征向量也会有这一步。那么这两者有何区别呢?两者大体相同,不过在运算的技巧上...
  • 特征向量

    千次阅读 2018-08-19 13:39:04
    矩阵(这里特指方阵)是什么,从特征向量的角度来讲,矩阵其实是一个函数,一个作用在向量x的函数。 这些向量中我们感兴趣是那些向量呢,是那些经过变换前后方向一致的向量。这些向量是比较特殊的,对于多数的向量...
  • 转置矩阵: 将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵,转置矩阵的行列式不变。 例如, , 。 如果阶方阵和它的转置相等 ,即,则称矩阵为对称矩阵。 如果,则称矩阵为反对称矩阵。 正交矩阵: 如果:AAT=E...
  • 利用特征值和特征向量矩阵进行对角化3. 微分方程的求解和矩阵的指数4. 对称矩阵5. 正定矩阵(Positive Definite Matrices)5.1 判断矩阵是否为正定矩阵:5.2 半正定矩阵5.3 正定和极小值的关系6. 总结参考 特征值和...
  • 矩阵向量微分计算

    万次阅读 多人点赞 2015-11-06 14:19:25
    定义1. 梯度(Gradient)[标量对列向量微分] 设f(x)f(x)是一个变量为xx的标量函数,其中x=(x1...xN)Tx=(x_1...x_N)^T。那么定义f(x)f(x)对xx的梯度为df(x)dx\...设f(x)f(x)是一个二阶可微分的标量函数,其中x=(x
  • 矩阵向量求导法则

    千次阅读 2016-04-26 14:17:42
    矩阵向量求导法则 复杂矩阵问题求导方法:可以从小到大,从scalar到vector再到matrix。  x is a column vector, A is a matrix d(A∗x)/dx=Ad(A∗x)/dx=A  d(xT∗A)/dxT=Ad(xT∗A)/dxT=A  d(xT∗A)/dx=...
  • Tensorflow 中的矩阵向量

    千次阅读 2018-08-31 11:13:50
    真的很粗心啊!!刚玩Tensorflow总是会犯这种低级错误! ... 只要明确如下两句话基本可以摆脱这种小毛病。...2.一个二阶张量就是我们平常所说的矩阵,一阶张量可以认为是一个向量。 如果不细心就总...
  • 关于这一方面的内容我曾经在欧姆社出版的一门书中有一点了解,这次课让我对于特征特征向量的物理含义有了更深入的理解,下面我们一起来领略一下他的魅力吧我们这里先以二阶矩阵为例,看看几何直观
  • 原文地址:二阶优化方法——牛顿、拟牛顿(BFGS、L-BFGS) 欢迎关注我的公众号,微信搜algorithm_Tian或者扫下面的二维码~ 现在保持每周更新的频率,内容都是机器学习相关内容和读一些论文的笔记,欢迎一起讨论...
  • 特征值与特征向量

    2019-09-22 03:51:49
    对大多数x进行线性变换,得到向量y与原向量x一般都不共线,只有少数向量x满足,其中 被称为矩阵A的特征值,x 被称为矩阵A的特征向量。 为了求解特征值 与特征向量 x, 对上式改写为 ,则特征向量在 零空间中,通过...

空空如也

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二阶矩阵特征向量求法