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  • 先前由于项目需要,自己实现了二阶矩阵特征值与特征向量的求取代码,其实很简单,主要部分就是求解一个二次方程的根,现在分享给大家作为参考(因为组长说求平方根可能比较费资源,为方便硬件实现,甚至连平方根求取...

    先前由于项目需要,自己实现了二阶矩阵特征值与特征向量的求取代码,其实很简单,主要部分就是求解一个二次方程的根,现在分享给大家作为参考(因为组长说求平方根可能比较费资源,为方便硬件实现,甚至连平方根求取的代码都是自己写的\笑哭):

    function [V,lamda]=myEig(A,err);
    % 求特征值与特征向量的程序
    % err为指定的计算误差
    a11=A(1,1);
    a12=A(1,2);
    a21=A(2,1);
    a22=A(2,2);
    delta=(a11-a22)^2+4*a12*a21;
    if delta<0
        disp('the input matrix has no eigen values and featrue vector!');
    end
    sqrtDelta=sqrtByBisection(delta,err);
    eig1=((a11+a22)-sqrtDelta)/2;
    eig2=((a11+a22)+sqrtDelta)/2;
    lamda=[eig1,eig2];
    v1=[a12,eig1-a11];
    v2=[a12,eig2-a11];
    v1=v1/norm(v1);
    v2=v2/norm(v2);
    V=[v1;v2];
    
    function mid=sqrtByBisection(x,err)
    % 二分法开平方根程序
    % x为输入值
    % err为计算精度
    if err^2>x
        mid=0;
        return;
    end
    up=max(1,x);
    low=0;
    mid=(up+low)/2;
    while ~( (mid+err)^2>x && (max(0,mid-err))^2<x)
        if mid^2<x
            low=mid;
        else
            up=mid;
        end
        mid=(up+low)/2;
    end

     

     

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  • 2阶实对称矩阵特征值和特征向量的简单求解方法。因为2阶实对称矩阵的特殊性,可以直接使用初中的2阶方程 x = -b±sqrt(b*b -4*a*c) / 2*a进行求解。这个方法在求解平面点的hessian矩阵很有用处。
  • 二阶偏微分方程

    千次阅读 2020-06-17 09:42:03
    二阶偏微分方程对应的特征方程: 对二阶PDE进行分类: B**2-AC>0 如果是在x0,y0处满足,则该点处 方程为双曲型。若任意点都满足,则该方程为双曲型。 B**2-AC=0 同理,抛物型 B**2-AC<0 同理,椭圆型 =====...

    一般形式
    注:A B C D E F G均为x y的函数

    二阶偏微分方程对应的特征方程

    对二阶PDE进行分类

    B**2-AC>0  如果是在x0,y0处满足,则该点处 方程为双曲型。若任意点都满足,则该方程为双曲型。
    B**2-AC=0  同理,抛物型
    B**2-AC<0  同理,椭圆型

    ===========================================
    双曲型:波动方程
    抛物型:热传导方程
    椭圆型:位势方程

    一维波动:utt=a**2*uxx+f(x,t)
    二维波动:utt=a**2*(uxx+uyy)+f(x,y,t)
    三维波动:utt=a**2*(uxx+uyy+uzz)+f(x,y,z,t)
    f为外力,u为位移,a为波的传播速度

    一维热传导:ut=a**2*uxx+f(x,t)
    二维热传导:ut=a**2*(uxx+uyy)+f(x,y,t)
    三维热传导:ut=a**2*(uxx+uyy+uzz)+f(x,y,z,t)
    f为物体内的热源,u为温度,a**2=k/(c*ρ)   k热传导系数   c比热容

    一维扩散方程:ρt=D*ρxx+f(x,t)
    二维扩散方程:ρt=D*(ρxx+ρyy)+f(x,y,t)
    三维扩散方程:ρt=D*(ρxx+ρyy+ρzz)+f(x,y,z,t)
    f为质量源,ρ为密度,D为扩散系数

    一维位势方程:ρ=(1/-4/Pi)*φxx
    二维位势方程:ρ=(1/-4/Pi)*(φxx+φyy)
    三维位势方程:ρ=(1/-4/Pi)*(φxx+φyy+φzz)
    ρ为电荷密度,φ为电位势    静电场的电位势方程

    一维位势方程:f=Uxx
    二维位势方程:f=Uxx+Uyy
    三维位势方程:f=Uxx+Uyy+Uzz
    f为流体源强度,流体无旋流动的速度势方程

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  • 定理:2阶实对称矩阵H的特征值是实数 H=[a,b;b,c] a,b,c是实数,λ 是特征值 A=[a-λ,b;b,c-λ] 特征值求解方法为:(a- λ )(c- λ) - b2 = 0 求解方程得到两个根为:λ=(a+c)±(a+c)2-4(ac-b2)2 ...
    1. 2阶实对称矩阵特性

    定理:2阶实对称矩阵H的特征值是实数

    H=[a,b;b,c]    

        a,b,c是实数,λ 是特征值
    A=[a-λ,b;b,c-λ]    

        特征值求解方法为:(a- λ )(c- λ) - b2  = 0

        求解方程得到两个根为:
    λ=(a+c)±(a+c)2-4(ac-b2)2  

                       (a+c)2-4ac-b2=a-c2+4b2≥0

        所以,在a、b、c为实数时,特征值也是实数。

           

    2、特征向量

    根据特征值和特征向量的定义:HX=λX,(H-λE)X = 0;因此方程若有解,则

    det(H-λE)=0;


    A=[a-λ,b;b,c-λ]    

    则有-b/(a-λ) = (c-λ)/b,   线性齐次方程组AX=0有非零解,其中之一解向量 [1,-b/(a-λ)],归一化后得到标准解。

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  • 特征方程即为: 设两根为。 当delta<0时,可用复数将其表示出来。 那么。 若,那么 如果是高阶递推式,那么就有多个根,对于一个重根,根据WJH的说法这一项的系数为。 然而他并不知道为什么 ...

    正题

          给定一个二阶齐次递推式:t_n=a*t_{n-1}+b*t_{n-2}

          其特征方程即为:x^2-ax-b=0

          设两根为x_1,x_2

          当delta<0时,可用复数将其表示出来。

          那么t_n=c_1*x_1^n+c_2*x_2^n

          若x_1=x_2,那么t_n=(c_1n+c_2)x_1^n

          若有三个重根,那么就类推:t_n=(c_1n^2+c_2n+c_3)x^n

          这里所说的c都指的是“未知数”,对于怎么求,直接将给出的t的前几项带入求解即可。

          如果是高阶递推式,那么就有多个根,对于一个k重根,根据WJH的说法这一项的系数为(\sum_{i=0}^{k-1} c_{i+1}n^k)x^n

          然而他并不知道为什么

          还有两个系数未知,可以通过给定的t_0,t_1将其解出来。

          那么就可以快速求t_n,而且比矩阵快速幂快的不是一点点。

          循环节怎么求?

          大致说下递推式循环节的解决方案:求t_n\%p的循环节

    1. 对p进行质因数分解,p=\prod p_i^{a_1}
    2. 分别求 p_i^{a_i}的循环节,然后取最小公倍数
    3. 至于怎么求对 p_x^{a_x} 的循环节,这里用到了二次剩余
    4. t_n \mod p_x^{a_x} 的循环节 = G(p_x) * p_x^{a_x-1} , G(p_x) 就是 t_n\mod p_x的最小循环节
    5. 对于递推式,我们可以得到特征根方程 x^2=a*x+b ,delta=a*a+4*b
    6. 对于G(p_x),如果delta是模p_x的二次剩余,G(p_x)p_x-1的因子,否则G(px)是2(p_x+1)的因子
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  • 1、引言求解线性方程组在许多领域中都有重要应用,写成矩阵的形式...2、利用矩阵对角化求 这种方法关键在于求解矩阵特征值和特征向量,根据《线性代数》中给出求特征值和特征向量的方法,其复杂度大概是 ,其中 ...
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    千次阅读 2017-04-18 17:57:02
    递推数列特征方程推倒
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  • 二阶线性差分方程的齐次解/通解 以下面的二阶线性差分方程为例 $ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t = d$ 我们在求该差分方程的齐次解(通解)时,会令等式右边等于0,得到二阶齐次线性差分方程: $ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t ...
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  •  微分方程指含有未知函数及其导数的关系式,解微分方程就是找出未知函数。...微分方程是一门复杂的学科,对于常微分方程来说,可以使用特征值和特征向量的知识求解。    相关前置知识: ...
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    千次阅读 2020-03-26 09:28:04
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  • 关于矩阵特征向量和特征值的含义

    万次阅读 多人点赞 2017-12-25 14:31:20
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    2019-01-01 15:43:07
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    千次阅读 2014-05-19 20:16:00
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  • 如何理解矩阵特征值?

    万次阅读 2016-05-19 12:31:15
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  • 从机器学习、量子计算、物理到许多数学和工程的问题,都可以通过找到一个矩阵特征值和特征向量来解决。根据定义(标量λ、向量v是特征值、特征向量A):视觉上,Av与特征向量v位于同一直线上。这里有些例子。然而,Ax...
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  • 百度知道
  • 2020-10-13 一阶范数;二阶范数

    千次阅读 2020-10-13 21:26:36
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空空如也

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二阶矩阵特征方程