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  • 先前由于项目需要,自己实现了二阶矩阵特征值与特征向量的求取代码,其实很简单,主要部分就是求解一个二次方程的根,现在分享给大家作为参考(因为组长说求平方根可能比较费资源,为方便硬件实现,甚至连平方根求取...

    先前由于项目需要,自己实现了二阶矩阵特征值与特征向量的求取代码,其实很简单,主要部分就是求解一个二次方程的根,现在分享给大家作为参考(因为组长说求平方根可能比较费资源,为方便硬件实现,甚至连平方根求取的代码都是自己写的\笑哭):

    function [V,lamda]=myEig(A,err);
    % 求特征值与特征向量的程序
    % err为指定的计算误差
    a11=A(1,1);
    a12=A(1,2);
    a21=A(2,1);
    a22=A(2,2);
    delta=(a11-a22)^2+4*a12*a21;
    if delta<0
        disp('the input matrix has no eigen values and featrue vector!');
    end
    sqrtDelta=sqrtByBisection(delta,err);
    eig1=((a11+a22)-sqrtDelta)/2;
    eig2=((a11+a22)+sqrtDelta)/2;
    lamda=[eig1,eig2];
    v1=[a12,eig1-a11];
    v2=[a12,eig2-a11];
    v1=v1/norm(v1);
    v2=v2/norm(v2);
    V=[v1;v2];
    
    function mid=sqrtByBisection(x,err)
    % 二分法开平方根程序
    % x为输入值
    % err为计算精度
    if err^2>x
        mid=0;
        return;
    end
    up=max(1,x);
    low=0;
    mid=(up+low)/2;
    while ~( (mid+err)^2>x && (max(0,mid-err))^2<x)
        if mid^2<x
            low=mid;
        else
            up=mid;
        end
        mid=(up+low)/2;
    end

     

     

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  • 9.4Jacobi方法适用:求实正定对称矩阵得...以二阶矩阵为例 考虑二次型 希望通过坐标旋转将 变为标准型 .取 那么 .一般地,对于 阶矩阵, 把它看做许多2阶矩阵,找到某个非对角元素中的 ,然后用正交变换把 变为0,变...

    9.4Jacobi方法

    适用:求实正定对称矩阵得全部特征值和特征向量.

    思想:对于实对称矩阵

    ,存在正交矩阵
    使得

    是对角矩阵,对角线元素就是
    的特征值,
    的第
    列就是对应
    的特征向量.

    如何找正交矩阵?

    以二阶矩阵为例

    考虑二次型

    希望通过坐标旋转将

    变为标准型
    .

    那么

    .

    一般地,对于

    阶矩阵, 把它看做许多2阶矩阵,找到某个非对角元素中的
    ,然后用正交变换把
    变为0,变换矩阵如下

    6e4da5371d7cd4e1d2996a1eec6eeadf.png

    我们是否能够每次都将其中两个

    变成0最终得到对角矩阵?(
    需要分析

    困难点:当我们一次将其中两个非对角元素变为0后,下一次将其它两个非对角元素变为0时,前一次的非对角元素可能会变为非0.

    但是,我们发现非对角元素平方和

    有如下递推关系

    也就是说非对角元素平方和不断减少,最终趋于0!

    古典Jacobi方法:每次选取非对角元素最大的,利用正交变换将其变为0.

    此时

    是非对角元素中最大的,有

    那么

    所以

    Jacobi方法小结

    • 求实对称正定矩阵全部特征值和特征向量.
    • 不断正交变换取极限得过程.
    • 古典Jacobi方法每次选取模最大非对角元素,费时间;也可以按某种次序,比如从上到下从左到右.
    • 精度高,特征向量正交性好.
    • 不适合大规模稀疏矩阵,因为正交变换后会变得不稀疏.

    第十章、非线性方程求根

    10.1二分法

    定理基础:连续函数函数值异号的两点之间至少有一零点.

    步骤:选取区间中点,如果就是根则结束,否则看中点与左右哪个函数值异号,就与哪个一起作为新的区间,重复过程直到区间达到精度或找到根.

    注意:考虑舍入误差,判断中点是否为根时不用

    ,而用

    下图例子说明,用

    作为停止条件有时误差会很大

    eb87e4a7a6868c8cef1628e9b40ba9bd.png

    误差估计

    给定精度

    ,则二分次数有如下关系式

    二分法小结:

    • 最简单,易于实现
    • 对函数性质要求不高,仅要求连续和函数值异号
    • 不能求偶数重根和复根,收敛速度与
      的等比数列相同,不算快

    因此,二分法在应用时不单独使用,而用来为其他方法提供近似初始根.

    10.2迭代法

    思路:将

    改写为等价形式(不唯一)
    ,利用初始值及迭代公式

    得到一串收敛于方程根的序列.

    自然想到迭代法的结束条件:

    ,有无道理呢?

    定理 设函数

    满足下面条件

    时,
    .(保证迭代能进行下去)

    利普西斯条件,且利普西斯常数满足
    .

    在区间
    有唯一解,并且迭代
    收敛,有如下误差估计式

    证明

    解的存在性:

    构造辅助函数

    ,它是连续的,根据第一个条件有

    根据连续函数零点存在定理可知有解.

    解的唯一性:

    假设

    ,利用利普西斯条件得

    ,所以解唯一.

    收敛性:

    利用利普西斯条件

    归纳得

    因为利普西斯常数小于1,所以

    .

    误差估计

    与线性方程组迭代解法证明类似,当时是矩阵的某个范数小于1,这里是利普西斯常数小于1.

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  • §7.2 正定矩阵Positive Definite MatricesMIT公开课《微分方程和线性代数》 7.2 正定矩阵​v.youku.com本讲介绍正定矩阵,主要介绍它在二阶微分方程组 中的应用。从上一讲可知解函数形如 ,满足方程 ,x是矩阵S的...

    7db058d87fe73521e34c3856052bf935.png

    §7.2 正定矩阵

    Positive Definite Matrices

    MIT公开课《微分方程和线性代数》 7.2 正定矩阵v.youku.com
    fb58d4342d443ade12a7d5f77ee55f94.png

    本讲介绍正定矩阵,主要介绍它在二阶微分方程组

    中的应用。从上一讲可知解函数形如
    ,满足方程
    x是矩阵S的特征向量,而
    是矩阵的特征值,这里实际上需要
    的值是正的。

    正定矩阵不但是对称矩阵,它的特征值不仅是实数并且是正数,即所有的l>0。而半正定矩阵的所有特征值l≥0。

    对于任意矩阵A,矩阵

    为方阵和对称矩阵,并且它至少是半正定矩阵。对于矩阵
    而言,其特征值特征向量满足
    ,两侧同时左乘
    x的转置,则有
    ,因此有
    ,所以该特征值永远不可能为负。

    面临的问题是如何判断一个矩阵是否正定,对称性很容易判定,但是无法通过求特征值来验证正定性,因为求特征值本身可能就包含巨大的运算量。在这里只需要判断特征值的符号,不必求取全部的特征值。

    给出五个等价的判断途径来确定矩阵是否为正定:

    以二阶矩阵

    为例,例如

    1) 所有特征值大于零:

    1>0,
    2>0……

    2) 所有主元大于零:对于此例的二阶矩阵即为

    3) 所有左上行列式大于零:

    4)

    ,矩阵
    A列向量线性无关。

    5) 表达式

    ,(
    x=0除外)。通常这就是正定的定义,而前几条是用来验证正定性的条件。
    有时被用来计算能量,因此这个定义又被称之为能量定义。

    判定半正定的途径基本类似,就是对于在正定的定义中需要大于0的要求均变为大于等于0。

    的函数图像如下:

    37d5b1e231ab5ebe1ffe4cd2fbd2350f.png

    c80971dec0170249197558753ad5f571.png

    本例中

    =

    对计算所得的二次型表达式进行作图,则二阶正定矩阵所得的函数图为1个碗型曲面,曲面包含一个最低点,即函数的最小值。在一元微积分中,导数是判定极值的判据,二阶导数为正则函数具有最小值,二阶导数为负则函数具有最大值。而对于多元函数而言,其极小值的判据为二阶偏导数矩阵是否为正定矩阵。

    :在金融数学中常问到一个矩阵

    是否是正定。这是一个相关系数矩阵,描述了债券、股票和外汇之间的相互关联。对于一个低阶矩阵的正定性判断,推荐行列式判据,此处三个行列式分别是:1>0,
    。前两个肯定满足,所以第三个不等式就是判据。

    §7.2b 奇异值分解

    Singular Value Decomposition, SVD

    MIT公开课《微分方程和线性代数》7.2b 奇异值分解SVDv.youku.com
    701cfdfc44a1c07193bf2f95a038ff30.png

    本讲介绍奇异值分解(Singular Value Decomposition SVD)。奇异值分解是将任意的m´n矩阵A分解为

    ,分解结果为mxm正交矩阵
    U,mxn对角阵
    和nxn正交矩阵
    V

    奇异值分解的几何意义为:旋转-拉伸-旋转,如下图所示。

    42175accff6eda092c6251ef78182364.png

    奇异值分解与矩阵对角化的差别是,它可以对长方形矩阵进行操作,得到除对角矩阵之外有两个矩阵UV,并且这两个矩阵都是正交矩阵。

    例如对于一个二阶矩阵可得:

    其中

    是奇异值,替代了矩阵对角化中的特征值

    对于矩阵

    有:

    =

    =

    =

    上式其实是正定矩阵

    的正交分解,
    vi就是矩阵
    的特征向量,
    就是矩阵
    的特征值,奇异值
    要取正平方根。用同样的办法也可以求得
    U,它的列向量就是矩阵
    的特征向量。

    =

    =

    注意矩阵

    和矩阵
    的特征值相同,但是特征向量不同。

    应用举例:

    对三个人的四种基因进行测试,得到基因表达的矩阵,每一个元素代表该列所代表的人在该行所代表的基因组中的表达情况,这是一个4x3的矩阵。而最重要的信息来自于第一个u向量、最大的奇异值

    和第一个
    v向量构成矩阵
    ,它具有最大的信息量。这就是所谓的“主成分分析”(Principle Component Analysis)。其中
    u1代表了人的线性组合关系,而v1代表基因的组合关系。
    展开全文
  • 转载一篇博文,学习了!主要运用在矩阵快速幂中,当给了一个通项公式,...该方程称为该数列的特征方程,该方程的两个根称为数列的特征根。 若特征方程有两个不相等的根 则该数列的通项公式为 其中为常数,由唯

    转载一篇博文,学习了!主要运用在矩阵快速幂中,当给了一个通项公式,而n太大时,需要求出其递推关系,这篇文章讲的很好。基本上,只要看见

    或者


    都是这个套路。

    下面是转载


    考虑二阶常系数线性齐次递推数列 

    有方程

    该方程称为该数列的特征方程,该方程的两个根称为数列的特征根。

    若特征方程有两个不相等的根

    则该数列的通项公式为

    其中为常数,由唯一确定。

    若特征方程有两个相等实根

    则该数列的通项公式为

    其中为常数,由唯一确定。

    若特征方程有一对共轭复根情况不作要求

     

    用特征根求解著名的斐波那契数列,其递推公式为:


    其特征方程为

    解得

    代入,解得


    展开全文
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二阶矩阵特征方程