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  • 二阶矩阵的公式
    2021-08-21 22:23:35

    题目:从键盘上输入矩阵的阶数n(n<5),再输入矩阵的各个数据元素,计算矩阵的对角线元素之和sum。

        按照下面格式输出该矩阵和sum的值。

        例如n=3时,矩阵为:

        1 3 6

        3 6 9

        6 9 12

        sum =19

    #define X 5
    
    int main(void) {
    	int a[X][X] = { 0 };
    	int n = 0;
    	int sum = 0;
    	printf("请输入矩阵阶数:");
    	scanf("%d", &n);
    	if (n < 1 || n > X) {
    		printf("error input!\n");
    		return 0;
    	}
    	for (int i = 0; i < n; i++) {
    		printf("=====第%d行=====\n",i+1);
    		for (int j = 0; j < n; j++) {
    			scanf("%d", &(a[i][j]));
    			if(i==j) sum += a[i][j];
    		}
    	}
    	for (int i = 0; i < n; i++) {
    		for (int j = 0; j < n; j++) {
    			printf("%d ", a[i][j]);
    			if (j == n - 1) {
    				printf("\n");
    			}
    		}
    	}
    	printf("sum = %d\n",sum);
    	return 0;
    }
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    f(x)=2Ax+2b ∵ ∇ f ( x ) = 2 A x + 2 b
    f(x+αd)=2A(x+αd)+2b ∇ f ( x + α d ) = 2 A ( x + α d ) + 2 b
    h(α)(α)=f(x+αd)(x+αd)α=f(x+αd)d=0 ∵ ∂ h ( α ) ∂ ( α ) = ∇ f ( x + α d ) ∂ ( x + α d ) ∂ α = ∇ f ( x + α d ) d = 0
    α=d(2b+2Ax)2dAd ∴ α = − d ⊺ ( 2 b + 2 A x ) 2 d ⊺ A d
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    1 二阶范数

    ||A||2=tr(AAT)

    2 矩阵求导基本公式(等式两边同时去除tr,公式不变):
    tr(A)=tr(AT)

    tr(AX)X=AT

    tr(AX)XT=A

    tr(AXB)X=(BA)T=ATBT

    3 则简单公式均可以推导出来:
    tr(XTAX)X=AX+(XTA)T=(AT+A)X

    tr(XTAX)XT=(AX)T+XTA=XT(AT+A)

    tr(ABATC)A=(BATC)T+CAB=CTABT+CAB

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    1.伴随矩阵

    1.定义

    A = [ a i j ] A=\lbrack a_{ij}\rbrack A=[aij] n n n阶矩阵,行列式 ∣ A ∣ \left|A\right| A的每个元素 a i j a_{ij} aij的代数余子式 A i j A_{ij} Aij所构成的如下的矩阵
    A ∗ = [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] A^\ast=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{bmatrix} A=A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann
    称为矩阵 A A A伴随矩阵.

    2.二阶矩阵的逆矩阵

    对于2阶矩阵,用主对角线元素对换,副对角线元素变号即可求出伴随矩阵。
    A ∗ = [ A 11 A 21 A 12 A 22 ] = [ d − b − c a ] A^\ast=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix} A=[A11A12A21A22]=[dcba]

    3.公式

    A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E ; A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 ; ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 ; ( A ∗ ) − 1 = ( A − 1 ) ∗ = 1 ∣ A ∣ A ; ( A ∗ ) T = ( A T ) ∗ ; ( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ ; ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A ; r ( A ∗ ) = { n ,      如 果 r ( A ) = n , 1 ,      如 果 r ( A ) = n − 1 , 0 ,        如 果 r ( A ) < n − 1. AA^{{}_{{}_\ast}}=A^{{}_{{}_\ast}}A=\left|A\right|E;\\A^{{}_{{}_\ast}}=\left|A\right|A^{-1};\left|A^{{}_{{}_\ast}}\right|=\left|A\right|^{n-1};\\\left(A^\ast\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^\ast=\frac1{\left|A\right|}A;\\\left(A^\ast\right)^T=\left(A^T\right)^\ast;\left(kA\right)^\ast=k^{n-1}A^{{}_{{}_\ast}};\left(A^\ast\right)^\ast=\left|A\right|^{n-2}A;\\r(A^\ast)=\left\{\begin{array}{l}n,\;\;\mathrm{如果}r(A)=n,\\1,\;\;\mathrm{如果}r(A)=n-1,\\0,\;\;\;\mathrm{如果}r(A)<n-1.\end{array}\right. AA=AA=AE;A=AA1;A=An1;(A)1=(A1)=A1A;(A)T=(AT);(kA)=kn1A;(A)=An2A;r(A)=n,r(A)=n,1,r(A)=n1,0,r(A)<n1.

    2.逆矩阵

    1.定义

    A A A n n n阶矩阵,如果存在是 n n n阶矩阵 B B B使得 A B = B A = E AB=BA=E AB=BA=E(单位矩阵)成立,则称 A A A可逆矩阵非奇异矩阵 B B B A A A的逆矩阵。

    2.定理

    1. A A A是可逆矩阵,则矩阵 A A A的逆矩阵唯一,记为 A − 1 A^{-1} A1.

    2. n 阶 矩 阵 A 可 逆 ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ⇔ r ( A ) = n ⇔ A 的 列 ( 行 ) 向 量 组 线 性 无 关 ⇔ A = P 1 P 2 ⋯ P s P i ( i = 1 , 2 , ⋯   , s ) 是 初 等 矩 阵 ⇔ A 与 单 位 矩 阵 等 价 ⇔ 0 不 是 矩 阵 A 的 特 征 值 n\mathrm{阶矩阵}A\mathrm{可逆}\\ \Leftrightarrow\left|A\right|\neq0\\\Leftrightarrow r(A)=n\\\Leftrightarrow A\mathrm{的列}(行)\mathrm{向量组线性无关}\\\Leftrightarrow A=P_1P_2\cdots P_sP_i(i=1,2,\cdots,s)\mathrm{是初等矩阵}\\\Leftrightarrow A\mathrm{与单位矩阵等价}\\\Leftrightarrow0\mathrm{不是矩阵}A\mathrm{的特征值} nAA=0r(A)=nA()线A=P1P2PsPi(i=1,2,,s)A0A

    3. A A A n n n阶矩阵,则满足 A B = E AB=E AB=E,则必有 B A = E BA=E BA=E

    3.公式

    ( A − 1 ) − 1 = A ; ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 ( k ≠ 0 ) ; ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ; ( A n ) − 1 = ( A − 1 ) n ; ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 ; ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ ; A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ \left(A^{-1}\right)^{-1}=A;\left(kA\right)^{-1}=\frac1kA^{-1}\left(k\neq0\right);\\\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1};\left(A^n\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^n;\\\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^T\right)^{-1};\left|A^{-1}\right|=\frac1{\left|A\right|};\\A^{-1}=\frac1{\left|A\right|}A^\ast (A1)1=A;(kA)1=k1A1(k=0);(AB)1=B1A1;(An)1=(A1)n;(A1)T=(AT)1;A1=A1;A1=A1A

    3.作业

    5、矩阵求逆函数

    In [1]: import numpy as np
    
    In [2]: a = np.array([[-2, 3, 3], [1, -1, 0], [-1, 2, 1]])
    
    In [3]: np.linalg.inv(a)
    Out[3]:
    array([[-0.5,  1.5,  1.5],
           [-0.5,  0.5,  1.5],
           [ 0.5,  0.5, -0.5]])
    
    In [4]: A = np.matrix(a)
    
    In [5]: A.I
    Out[5]:
    matrix([[-0.5,  1.5,  1.5],
            [-0.5,  0.5,  1.5],
            [ 0.5,  0.5, -0.5]])
    
    In [6]: b = np.array([[0, 3, 3], [1, 1, 0], [-1, 2, 3]])
    
    In [7]: a.dot(b)
    Out[7]:
    array([[ 0,  3,  3],
           [-1,  2,  3],
           [ 1,  1,  0]])
    
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