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  • 优化算法的问题在于如何从XkX_kXk​更新到Xk+1X_{k+1}Xk+1​、确定步长公式(详见 基于二阶矩阵的优化问题(二))和判定迭代终止的条件(详见 于二阶矩阵的优化问题(三))是我们需要在不精确搜索中解决的问题。...

    非精确线搜索更新Xk+1X_{k+1}

    优化算法的问题在于如何从XkX_k更新到Xk+1X_{k+1}、确定步长公式详见 基于二阶矩阵的优化问题(二)和判定迭代终止的条件(详见 于二阶矩阵的优化问题(三))是我们需要在不精确搜索中解决的问题。
    我们有两种方法来解决这个问题:
    1.线搜索策略
    2.信任域策略

    线搜索策略

    我们选择一个下降方向来使得lost function慢慢迭代至最小值。

    Xk+1=Xk+αkpkX_{k+1}=X_k+α_kp_k

    这是Xk+1X_{k+1}的更新公式,可以看到,我们需要知道其αkα_kpkp_k的值才能进行迭代(αkα_k代表了步长、pkp_k代表下降方向),第一种方法就是pkp_k走一个最速下降方向(负梯度),而αkα_k走一个极其猥琐的距离,但这种方法在函数比较诡异时效果较差(如rosenbrock函数),但在某些复杂问题时,我们还是使用最速下降来解决问题,详见 大规模的优化问题(一)

    最速下降+牛顿法

    让我们来列一下牛顿方向的式子:

    f(xk+p)fk+pTfk+12pT2fkpf(x_k+p)\approx f_k+p^T\nabla f_k+\frac{1}{2}p^T\nabla^2f_kp

    在这里,我们要假设这里的二次型(2fk\nabla^2 f_k)是正定的,这是函数的局部二次型构型就是碗状的,我们可以求出这里的pk(下降方向):

    pKN=(2fk)1fkp^N_K=-(\nabla^2f_k)^{-1}\nabla f_k;

    这边的pKNp^N_K就是这里的局部二次型的顶点,在牛顿法中,我们可以一步就走到这个点。
    ok,这个问题的理论情况是这样的,但在实际问题中,我们不可能去求一个hessian矩阵的逆矩阵,所以,我们把1/(2fk)1/(\nabla^2f_k)移到等式的左边,变成:

    pKN(2fk)=fkp^N_K*(\nabla^2f_k)=-\nabla f_k

    这个等式实际上就等于Ax=b的形式,这边我们只需要求解一个线性方程组即可。
    以上为牛顿法的基础理论,下面看一下牛顿法的实现步骤:

    Created with Raphaël 2.2.0开始最速下降▽fk<阈值转到Newtonyesno

    可以看到,牛顿法的意义在于足够靠近真解时的快速收敛,我们先走几部最速下降法,使得足够靠近阈值,后再启动牛顿法,会有较好的效果,即保证了算法的效率,有保证了算法的鲁棒性。

    下面是最速下降法+牛顿法matlab实现的代码:

    function [x1] = min_hybrid(func, dfunc, d2func ,x, MAX_IT ,eps, threshold)
        err = 10.0;
        steps = 0;
        alpha = 1.0;
        //最速下降法
        while (err > threshold)//此处阈值需要调参
            f = func(x);
            g = dfunc(x);
            p = -g;
            step=step+1;
            alpha = backtracking(@func, x, f, g, p, 1e-4, 0.8, alpha * 2.0);
            x = x + alpha * p;
            if (steps > MAX_IT)
                break;
            end
            error = norm(g);
        end
        //牛顿法
        while (error > eps)
            f = func(x);
            g = dfunc(x);
            G = d2func(x);
            p = -G\g;
            x = x + p;
            step=step+1;
            if (steps > MAX_IT)
                break;
            end
            error = norm(g);
        end
    	x1=x;
    end
    
    function alpha = backtracking(func, x, f, df, p, c, rho, alpha0)
        alpha = alpha0;
        while (func(x(1) + alpha * p(1), x(2) + alpha * p(2)) > f + c * alpha * df' * p)
            alpha = alpha * rho;
        end
    end
    

    其中func、gfunc和hess需要自行解析计算,func的接口只有x,gfunc和hess没有输入参数。(这边要注意,使用wolfe条件时,alpha可以恒取1)

    启发

    牛顿法实际上是在改进真解,用少量次数的迭代即可实现一阶方法上千次的迭代效果,首先系数矩阵必须要正定,否则牛顿法不能保证收敛。

    修正牛顿法

    牛顿法最大的问题在于,系数矩阵必须要正定,那么如果系数矩阵不正定,则BkB_k改成正定(modification),下面是修改系数矩阵的算法框架:

    初值x0x_0
    for k=0,1,2,…
            令 Bk=2fk+EkB_k=\nabla^2 f_k+E_k,其中EkE_k为修正项,使得BkB_k充分正定。
            求解 Bkpk=fkB_kp_k=-\nabla f_k
            xk+1=xk+αkpkx_{k+1}=x_k+α_kp_k(其中αkα_k在wolfe条件时可以取1)
    end

    好了,现在我们需要解决四件事,就可以实现修正牛顿法的运用:
    1.判定2fk\nabla^2 f_k是否正定;
    2.解方程组Bkpk=fkB_kp_k=-\nabla f_k
    3.如何构建EkE_k
    4.如何使得Ek\vert\vert E_k\vert\vert最小;

    特征值修正(eigenvalue modification)

    谱分解

    首先我们先对对称矩阵BkB_k正交分解(householder等),得到正交阵Q,和对角阵V,然后就可以得到BkB_k的所有特征值,我们知道,正定矩阵所有的特征值都是充分大的正数,即λmin>δ>>eps>0λ_{min}>δ>>eps>0,当出现负的特征值时,我们添加一个修正项EkE_k使得特征值大于等于δ。此时的Ek\vert\vert E_k\vert\vert的Frobenius范数最小。
    即用Matlab中的eig()函数求出特征值后,直接对特征值修改即可。

    单位增量法

    谱分解的问题在于,其真正改变的是特征值,所以对BkB_k的改动是比较的,当我们不希望BkB_k发生很大的变动时,我们就使用单位增量法。单位增量法直接对BkB_k添加一个修正项EkIE_kI,使得其正定。
    首先,我们对BkB_k进行cholesky分解:

    Bk=LDLTB_k=LDL^T

    L是对角线均为1的下三角阵,D为对角阵,若BkB_k不定,D的对角元diid_{ii}会过大。
    下面是单位增量法的Matlab代码:

    function[L,D]=modification(A,delta,beta)
    	if(norm(A-A')>eps
    		return;
    	end
    	n=size(A,1);
    	d=zero(n,1);
    	L=zero(n);
    	C=zero(n);
    	theta=zeros(n,1);
    	for j = 1:n
    		C(j,j) = A(j,j)-sum(d(1:j-1)'.*L(j,1:j-1).^2);
    		for i = j+1:n
    			C(i,j) = A(i,j)-sum(d(1:j-1)'.*L(i,1:j-1).*L(j,1:j-1));
    			absjj=abs(C(i,j));
    			if theta < abs(C(i,j))
    				theta = abs(C(i,j));
    			end
    		end
    		d(j) = max([abs(C(j,j)), (theta/beta)^2, \delta]);
    		for i = j+1:n
    			L(i,j) = C(i,j)/d(j);
    		end
    		L(j,j) = 1.0;
    	end
    	D=diag(d);
    end
    

    单位增量法得到的BkB_kBk+EkB_k+E_k在形式上很接近,但其特征值完全不同,所以两种方法各有优势,可根据情况自行选择。

    拟牛顿法

    如果你的数据维数过大或者无法承受计算二阶矩阵的消耗,这边也可以使用拟牛顿法来计算下降方向,当然拟牛顿法也有其缺陷,下面我们来分析一下。
    首先我们介绍一下割线法,用弦的斜率近似代替目标函数的切线斜率,下面给出割线法的公式

    xk+1=xkf(xk)xk1xkf(xk1)f(xk)x_{k+1}=x_k-f(x_k)*\frac{x_{k-1}-x_k}{f(x_{k-1})-f(x_k)}

    这在本质上是计算函数的数值微分,但这种方法在接近收敛时会出现数值不稳定的情况,当接近收敛时,舍入误差占比变大,数值会发生很大的起伏变化。
    由此我们可以推导出拟牛顿法的公式

    xk+1=xkf(xk)xk1xkf(xk1)f(xk)x_{k+1}=x_k-\nabla f(x_k)*\frac{x_{k-1}-x_k}{\nabla f(x_{k-1})-\nabla f(x_k)}

    这里不在需要计算其hessian矩阵,由于hessian矩阵是n2n^2级别的,拟牛顿法对于大规模问题来说是非常节约资源的方法

    于是我们知道了

    2f(xk)(xk+1xk)fx+1fk\nabla ^2f(x_k)*(x_{k+1}-x_k)\approx\nabla f_{x+1}-\nabla f_k

    现在的情况与牛顿发不同,f(xk)\nabla f(x_k)并不知道,这是一个不定方程组:

    Bk+1sk=ykB_{k+1}*s_k=y_k

    这里的Bk+1B_{k+1}n2n^2阶的矩阵,而我们只有n个方程,下面有SR1、BFGS等方法来求解Bk+1B_{k+1}
    详见 拟牛顿法的下降方向计算(一)
    此时,局部二次型的pKNp_K^N方程变为

    pKN=(Bk)1fkp^N_K=-(B_k)^{-1}\nabla f_k;

    这里还有一条路,就是去构建(Bk)1(B_k)^{-1},这时我们不需要再去求解线性方程组(这里设Hk=(Bk)1H_k=(B_k)^{-1}),这里BkB_k=I时,就是最速下降。

    pk=Hkfkp_k=-H_k*\nabla f_k

    这里有拟BFGS等方法来求解HkH_k,详见 拟牛顿法的下降方向计算(二)

    github代码地址

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  • 1 二阶范数 ||A||2=tr(AAT) ||A||^2 = tr(AA^T) \quad\quad\quad...2 矩阵求导基本公式(等式两边同时去除tr,公式不变):∂tr(AX)∂X=AT \frac{\partial tr(AX)}{\partial X} = A^T \quad\quad\quad\quad\quad\qua

    1 二阶范数

    ||A||2=tr(AAT)

    2 矩阵求导基本公式(等式两边同时去除tr,公式不变):
    tr(A)=tr(AT)

    tr(AX)X=AT

    tr(AX)XT=A

    tr(AXB)X=(BA)T=ATBT

    3 则简单公式均可以推导出来:
    tr(XTAX)X=AX+(XTA)T=(AT+A)X

    tr(XTAX)XT=(AX)T+XTA=XT(AT+A)

    tr(ABATC)A=(BATC)T+CAB=CTABT+CAB
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    学习阶段:高中数学。

    前置知识:等比数列。

    1. 斐波那契数列的定义

    斐波那契数列大部分人都耳熟能详,就是

    ,每一项都是前两项之和。我们用数列的递推公式严格定义一下:

    2. 从零推导斐波那契数列的通项公式

    相信也有不少的人见过斐波那契数列的通项公式,感觉还是比较复杂的,有什么

    啊,
    次方等等的复杂结构。成熟的推导通项公式的方法有
    特征方程法生成函数/母函数法矩阵对角化法等等,但这些方法“集成度”过高,需要很多其他知识的铺垫,理解起来不是很清晰。现在我们忘记这些方法,从零开始推导一下它的通项公式,便于大家记(zhuang)忆(bi)。

    等差数列

    和等比数列
    我们已经研究透彻了,我们一般的思路就是把待求数列化归为这两种数列。

    2.1 二阶递推化为一阶递推

    首先,

    这个鬼二阶递推公式,似乎没办法化归啊?没事,我们暴力假设它能变形为
    这种等比数列的形式(有人问我这个暴力假设怎么来的。呃,这要一点凑的数学直觉,就像凑不等式和凑微分。把递推式子凑出等比数列的形式,还要每项都能对应上,差不多只能设出这种形式),然后看看能不能把常数
    求出来。对应系数,有:

    成功解出

    ,说明
    是可以解出来的嘛!

    然后利用等比数列的性质,有

    成功地把二阶的递推式化成了一阶递推式!

    2.2 一阶递推化为通项公式

    现在故技重施,还是暴力假设把它化为等比数列的形式,巧妙地设计待定的系数:

    因为

    哇哦!这下子

    的通项已经被彻底地解出来了,剩下的只是繁琐的计算:

    现在要把

    的值全部带进去。
    的值有两个,随便选一个就行了(结果是一样的),我选
    ,则
    ,立刻得到:

    其实,这个过程正是特征方程法的由来。待定系数法是如此强大!

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  • 我有一个损失值/函数,我想计算所有关于张量f(大小为n)的二阶导数.我设法使用了两次tf.gradients,但是当第二次应用它时,它会对第一个输入中导数求和(请参阅我代码中second_derivatives).我还设法检索Hessian...

    我有一个损失值/函数,我想计算所有关于张量f(大小为n)的二阶导数.我设法使用了两次tf.gradients,但是当第二次应用它时,它会对第一个输入中的导数求和(请参阅我的代码中的second_derivatives).

    我还设法检索Hessian矩阵,但我想只计算它的对角线以避免额外的计算.

    import tensorflow as tf

    import numpy as np

    f = tf.Variable(np.array([[1., 2., 0]]).T)

    loss = tf.reduce_prod(f ** 2 - 3 * f + 1)

    first_derivatives = tf.gradients(loss, f)[0]

    second_derivatives = tf.gradients(first_derivatives, f)[0]

    hessian = [tf.gradients(first_derivatives[i,0], f)[0][:,0] for i in range(3)]

    model = tf.initialize_all_variables()

    with tf.Session() as sess:

    sess.run(model)

    print "\nloss\n", sess.run(loss)

    print "\nloss'\n", sess.run(first_derivatives)

    print "\nloss''\n", sess.run(second_derivatives)

    hessian_value = np.array(map(list, sess.run(hessian)))

    print "\nHessian\n", hessian_value

    我的想法是tf.gradients(first_derivatives,f [0,0])[0]可以检索例如关于f_0的二阶导数,但似乎张量流不允许从张量的张量中导出.

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空空如也

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二阶矩阵的公式