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  • 二阶矩阵的可逆矩阵
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  • 【线性代数】1.3伴随矩阵和逆矩阵

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    二阶矩阵的逆矩阵3.公式2.逆矩阵1.定义2.定理3.公式3. 1.伴随矩阵 1.定义 设A=[aij]A=\lbrack a_{ij}\rbrackA=[aij​]是nnn阶矩阵,行列式∣A∣\left|A\right|∣A∣的每个元素aija_{ij}aij​的代数余子式AijA_{ij}...

    1.伴随矩阵

    1.定义

    A = [ a i j ] A=\lbrack a_{ij}\rbrack A=[aij] n n n阶矩阵,行列式 ∣ A ∣ \left|A\right| A的每个元素 a i j a_{ij} aij的代数余子式 A i j A_{ij} Aij所构成的如下的矩阵
    A ∗ = [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] A^\ast=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{bmatrix} A=A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann
    称为矩阵 A A A伴随矩阵.

    2.二阶矩阵的逆矩阵

    对于2阶矩阵,用主对角线元素对换,副对角线元素变号即可求出伴随矩阵。
    A ∗ = [ A 11 A 21 A 12 A 22 ] = [ d − b − c a ] A^\ast=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix} A=[A11A12A21A22]=[dcba]

    3.公式

    A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E ; A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 ; ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 ; ( A ∗ ) − 1 = ( A − 1 ) ∗ = 1 ∣ A ∣ A ; ( A ∗ ) T = ( A T ) ∗ ; ( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ ; ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A ; r ( A ∗ ) = { n ,      如 果 r ( A ) = n , 1 ,      如 果 r ( A ) = n − 1 , 0 ,        如 果 r ( A ) < n − 1. AA^{{}_{{}_\ast}}=A^{{}_{{}_\ast}}A=\left|A\right|E;\\A^{{}_{{}_\ast}}=\left|A\right|A^{-1};\left|A^{{}_{{}_\ast}}\right|=\left|A\right|^{n-1};\\\left(A^\ast\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^\ast=\frac1{\left|A\right|}A;\\\left(A^\ast\right)^T=\left(A^T\right)^\ast;\left(kA\right)^\ast=k^{n-1}A^{{}_{{}_\ast}};\left(A^\ast\right)^\ast=\left|A\right|^{n-2}A;\\r(A^\ast)=\left\{\begin{array}{l}n,\;\;\mathrm{如果}r(A)=n,\\1,\;\;\mathrm{如果}r(A)=n-1,\\0,\;\;\;\mathrm{如果}r(A)<n-1.\end{array}\right. AA=AA=AE;A=AA1;A=An1;(A)1=(A1)=A1A;(A)T=(AT);(kA)=kn1A;(A)=An2A;r(A)=n,r(A)=n,1,r(A)=n1,0,r(A)<n1.

    2.逆矩阵

    1.定义

    A A A n n n阶矩阵,如果存在是 n n n阶矩阵 B B B使得 A B = B A = E AB=BA=E AB=BA=E(单位矩阵)成立,则称 A A A可逆矩阵非奇异矩阵 B B B A A A的逆矩阵。

    2.定理

    1. A A A是可逆矩阵,则矩阵 A A A的逆矩阵唯一,记为 A − 1 A^{-1} A1.

    2. n 阶 矩 阵 A 可 逆 ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ⇔ r ( A ) = n ⇔ A 的 列 ( 行 ) 向 量 组 线 性 无 关 ⇔ A = P 1 P 2 ⋯ P s P i ( i = 1 , 2 , ⋯   , s ) 是 初 等 矩 阵 ⇔ A 与 单 位 矩 阵 等 价 ⇔ 0 不 是 矩 阵 A 的 特 征 值 n\mathrm{阶矩阵}A\mathrm{可逆}\\ \Leftrightarrow\left|A\right|\neq0\\\Leftrightarrow r(A)=n\\\Leftrightarrow A\mathrm{的列}(行)\mathrm{向量组线性无关}\\\Leftrightarrow A=P_1P_2\cdots P_sP_i(i=1,2,\cdots,s)\mathrm{是初等矩阵}\\\Leftrightarrow A\mathrm{与单位矩阵等价}\\\Leftrightarrow0\mathrm{不是矩阵}A\mathrm{的特征值} nAA=0r(A)=nA()线A=P1P2PsPi(i=1,2,,s)A0A

    3. A A A n n n阶矩阵,则满足 A B = E AB=E AB=E,则必有 B A = E BA=E BA=E

    3.公式

    ( A − 1 ) − 1 = A ; ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 ( k ≠ 0 ) ; ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ; ( A n ) − 1 = ( A − 1 ) n ; ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 ; ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ ; A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ \left(A^{-1}\right)^{-1}=A;\left(kA\right)^{-1}=\frac1kA^{-1}\left(k\neq0\right);\\\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1};\left(A^n\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^n;\\\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^T\right)^{-1};\left|A^{-1}\right|=\frac1{\left|A\right|};\\A^{-1}=\frac1{\left|A\right|}A^\ast (A1)1=A;(kA)1=k1A1(k=0);(AB)1=B1A1;(An)1=(A1)n;(A1)T=(AT)1;A1=A1;A1=A1A

    3.作业

    5、矩阵求逆函数

    In [1]: import numpy as np
    
    In [2]: a = np.array([[-2, 3, 3], [1, -1, 0], [-1, 2, 1]])
    
    In [3]: np.linalg.inv(a)
    Out[3]:
    array([[-0.5,  1.5,  1.5],
           [-0.5,  0.5,  1.5],
           [ 0.5,  0.5, -0.5]])
    
    In [4]: A = np.matrix(a)
    
    In [5]: A.I
    Out[5]:
    matrix([[-0.5,  1.5,  1.5],
            [-0.5,  0.5,  1.5],
            [ 0.5,  0.5, -0.5]])
    
    In [6]: b = np.array([[0, 3, 3], [1, 1, 0], [-1, 2, 3]])
    
    In [7]: a.dot(b)
    Out[7]:
    array([[ 0,  3,  3],
           [-1,  2,  3],
           [ 1,  1,  0]])
    
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  • 本文主要内容如下: 1. 二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算 4.1. 二阶张量的相等、加(减)、数乘 1.2. 二阶张量的缩并 1.3. 二阶张量与矢量的点积 —— 线性变换 ...2. 正则二阶张量与可逆矩阵......

    1. 二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算

    4.1. 二阶张量的相等、加(减)、数乘

    二阶张量的相等、加(减)、数乘运算与矩阵相等、加(减)、数乘运算一 一对应;

    1.2. 二阶张量的缩并

    与二阶张量的缩并相关的运算为求二阶张量的迹 t r ( T ) tr(\bold{T}) tr(T)
    t r ( T ) = T i j g i j = T i ∙ i = T 1 ∙ 1 + T 2 ∙ 2 + T 3 ∙ 3 = T ∙ i i = T ∙ 1 1 + T ∙ 2 2 + T ∙ 3 3 = T i j g i j tr(\bold{T}) =T^{ij}g_{ij} =T_i^{\bullet i} =T_1^{\bullet 1}+T_2^{\bullet 2}+T_3^{\bullet 3} =T^i_{\bullet i} =T^1_{\bullet 1}+T^2_{\bullet 2}+T^3_{\bullet 3} =T_{ij}g^{ij} tr(T)=Tijgij=Tii=T11+T22+T33=Tii=T11+T22+T33=Tijgij显然,与之相关的矩阵运算为求方阵 τ 2 、 τ 3 \tau_2、\tau_3 τ2τ3 的迹

    1.3. 二阶张量与矢量的点积 —— 线性变换

    w ⃗ = T ∙ u ⃗ ⟺ w i = T ∙ j i u j ⟺ [ w 1 w 2 w 3 ] = [ T ∙ 1 1 T ∙ 2 1 T ∙ 3 1 T ∙ 1 2 T ∙ 2 2 T ∙ 3 2 T ∙ 1 3 T ∙ 2 3 T ∙ 3 3 ] [ u 1 u 2 u 3 ] ⟺ w ⃗ = τ 3 u ⃗   t ⃗ = u ⃗ ∙ T ⟺ t i = u j T j ∙ i ⟺ [ t 1 t 2 t 3 ] = [ T 1 ∙ 1 T 2 ∙ 1 T 3 ∙ 1 T 1 ∙ 2 T 2 ∙ 2 T 3 ∙ 2 T 1 ∙ 3 T 2 ∙ 3 T 3 ∙ 3 ] [ u 1 u 2 u 3 ] ⟺ t ⃗ = τ 2 u ⃗ \vec{w}=\bold{T}\bullet\vec{u} \Longleftrightarrow w^i=T^{i}_{\bullet j}u^j \Longleftrightarrow \begin{bmatrix}w^1\\\\w^2\\\\w^3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} T^{1}_{\bullet 1} & T^{1}_{\bullet 2} & T^{1}_{\bullet 3} \\ \\ T^{2}_{\bullet 1} & T^{2}_{\bullet 2} & T^{2}_{\bullet 3} \\ \\ T^{3}_{\bullet 1} & T^{3}_{\bullet 2} & T^{3}_{\bullet 3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u^1\\\\u^2\\\\u^3\end{bmatrix} \Longleftrightarrow \vec{w}=\tau_{3}\vec{u} \\\ \\ \vec{t}=\vec{u}\bullet\bold{T} \Longleftrightarrow t^i=u^jT^{\bullet i}_{j} \Longleftrightarrow \begin{bmatrix}t^1\\\\t^2\\\\t^3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} T_{1}^{\bullet 1} & T_{2}^{\bullet 1} & T_{3}^{\bullet 1} \\ \\ T_{1}^{\bullet 2} & T_{2}^{\bullet 2} & T_{3}^{\bullet 2} \\ \\ T_{1}^{\bullet 3} & T_{2}^{\bullet 3} & T_{3}^{\bullet 3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u^1\\\\u^2\\\\u^3\end{bmatrix} \Longleftrightarrow \vec{t}=\tau_{2}\vec{u} w =Tu wi=Tjiuj w1w2w3 = T11T12T13T21T22T23T31T32T33 u1u2u3 w =τ3u  t =u Tti=ujTji t1t2t3 = T11T12T13T21T22T23T31T32T33 u1u2u3 t =τ2u 显然,二阶张量与矢量的左、右点积一般不等: T ∙ u ⃗ ≠ u ⃗ ∙ T \bold{T}\bullet\vec{u}\ne\vec{u}\bullet\bold{T} Tu =u T且有:
    ( τ T ) 3 u ⃗ = τ 2 u ⃗ ⟺ T T ∙ u ⃗ = u ⃗ ∙ T (\tau^T)_3\vec{u}=\tau_{2}\vec{u} \Longleftrightarrow \bold{T}^T\bullet\vec{u}=\vec{u}\bullet\bold{T} (τT)3u =τ2u TTu =u T那么有:
    N ∙ u ⃗ = u ⃗ ∙ N ( N 为对称二阶张量 )   Ω ∙ u ⃗ = − u ⃗ ∙ Ω ( Ω 为反对称二阶张量 ) \bold{N}\bullet\vec{u}=\vec{u}\bullet\bold{N} \qquad(\bold{N}为对称二阶张量)\\\ \\ \bold{\Omega}\bullet\vec{u}=-\vec{u}\bullet\bold{\Omega} \qquad(\bold{\Omega}为反对称二阶张量) Nu =u N(N为对称二阶张量) Ωu =u Ω(Ω为反对称二阶张量)与矩阵与列向量的乘法相同,二阶张量可将任意向量映射为其它的向量,故也将二阶张量与矢量的点积称作线性变换。另外,任意对称二阶张量也对应着一个二次型,即:
    x ⃗ ∙ N ∙ x ⃗ = N : x ⃗ x ⃗ = N i j x i x j = [ x 1 x 2 x 3 ] [ N 11 N 12 N 13 N 21 N 22 N 23 N 31 N 32 N 33 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = x ⃗ T N 1 x ⃗ \vec{x}\bullet\bold{N}\bullet\vec{x} =\bold{N}:\vec{x}\vec{x} =N_{ij}x^ix^j =\begin{bmatrix}x^1 & x^2 & x^3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} N_{11} & N_{12} & N_{13} \\ \\ N_{21} & N_{22} & N_{23} \\ \\ N_{31} & N_{32} & N_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x^1 \\\\ x^2 \\\\ x^3\end{bmatrix} =\vec{x}^TN_{1}\vec{x} x Nx =N:x x =Nijxixj=[x1x2x3] N11N21N31N12N22N32N13N23N33 x1x2x3 =x TN1x

    1.4. 二阶张量与二阶张量的点积

    二阶张量的点积采用分量形式有:
    C i j = A i ∙ k B k j = A i k B ∙ j k ⟺ C 1 = [ C i j ] = [ A 1 ∙ 1 A 2 ∙ 1 A 3 ∙ 1 A 1 ∙ 2 A 2 ∙ 2 A 3 ∙ 2 A 1 ∙ 3 A 2 ∙ 3 A 3 ∙ 3 ] T [ B 11 B 12 B 13 B 21 B 22 B 23 B 31 B 32 B 33 ] = A 2 T B 1 = [ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 ] [ B ∙ 1 1 B ∙ 2 1 B ∙ 3 1 B ∙ 1 2 B ∙ 2 2 B ∙ 3 2 B ∙ 1 3 B ∙ 2 3 B ∙ 3 3 ] = A 1 B 3   C i ∙ j = A i ∙ k B k ∙ j = A i k B k j ⟺ C 2 = [ C i ∙ j ] = [ A 1 ∙ 1 A 2 ∙ 1 A 3 ∙ 1 A 1 ∙ 2 A 2 ∙ 2 A 3 ∙ 2 A 1 ∙ 3 A 2 ∙ 3 A 3 ∙ 3 ] [ B 1 ∙ 1 B 2 ∙ 1 B 3 ∙ 1 B 1 ∙ 2 B 2 ∙ 2 B 3 ∙ 2 B 1 ∙ 3 B 2 ∙ 3 B 3 ∙ 3 ] = A 2 B 2 = [ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 ] [ B 11 B 12 B 13 B 21 B 22 B 23 B 31 B 32 B 33 ] = A 1 B 4   C ∙ j i = A ∙ k i B ∙ j k = A i k B k j ⟺ C 3 = [ C ∙ j i ] = [ A ∙ 1 1 A ∙ 2 1 A ∙ 3 1 A ∙ 1 2 A ∙ 2 2 A ∙ 3 2 A ∙ 1 3 A ∙ 2 3 A ∙ 3 3 ] [ B ∙ 1 1 B ∙ 2 1 B ∙ 3 1 B ∙ 1 2 B ∙ 2 2 B ∙ 3 2 B ∙ 1 3 B ∙ 2 3 B ∙ 3 3 ] = A 3 B 3 = [ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 ] [ B 11 B 12 B 13 B 21 B 22 B 23 B 31 B 32 B 33 ] = A 4 B 1   C i j = A ∙ k i B k j = A i k B k ∙ j ⟺ C 2 = [ C i j ] = [ A ∙ 1 1 A ∙ 2 1 A ∙ 3 1 A ∙ 1 2 A ∙ 2 2 A ∙ 3 2 A ∙ 1 3 A ∙ 2 3 A ∙ 3 3 ] [ B 11 B 12 B 13 B 21 B 22 B 23 B 31 B 32 B 33 ] = A 3 B 4 = [ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 ] [ B 1 ∙ 1 B 2 ∙ 1 B 3 ∙ 1 B 1 ∙ 2 B 2 ∙ 2 B 3 ∙ 2 B 1 ∙ 3 B 2 ∙ 3 B 3 ∙ 3 ] T = A 4 B 2 T C_{ij}=A_{i}^{\bullet k}B_{k j}=A_{ik}B^k_{\bullet j} \Longleftrightarrow C_{1}=[C_{ij}] =\begin{bmatrix} A_{1}^{\bullet 1} & A_{2}^{\bullet 1} & A_{3}^{\bullet 1} \\\\ A_{1}^{\bullet 2} & A_{2}^{\bullet 2} & A_{3}^{\bullet 2} \\\\ A_{1}^{\bullet 3} & A_{2}^{\bullet 3} & A_{3}^{\bullet 3} \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\\\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\\\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{bmatrix} =A_{2}^TB_{1} =\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B^1_{\bullet 1} & B^1_{\bullet 2} & B^1_{\bullet 3} \\\\ B^2_{\bullet 1} & B^2_{\bullet 2} & B^2_{\bullet 3} \\\\ B^3_{\bullet 1} & B^3_{\bullet 2} & B^3_{\bullet 3} \end{bmatrix} =A_{1}B_{3}\\\ \\ %%%%%%%%%%%%%%%% C_{i}^{\bullet j}=A_{i}^{\bullet k}B_k^{\bullet j}=A_{ik}B^{kj} \Longleftrightarrow C_{2}=[C_{i}^{\bullet j}] =\begin{bmatrix} A_{1}^{\bullet 1} & A_{2}^{\bullet 1} & A_{3}^{\bullet 1} \\\\ A_{1}^{\bullet 2} & A_{2}^{\bullet 2} & A_{3}^{\bullet 2} \\\\ A_{1}^{\bullet 3} & A_{2}^{\bullet 3} & A_{3}^{\bullet 3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{1}^{\bullet 1} & B_{2}^{\bullet 1} & B_{3}^{\bullet 1} \\\\ B_{1}^{\bullet 2} & B_{2}^{\bullet 2} & B_{3}^{\bullet 2} \\\\ B_{1}^{\bullet 3} & B_{2}^{\bullet 3} & B_{3}^{\bullet 3} \end{bmatrix} =A_{2}B_{2} =\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B^{11} & B^{12} & B^{13} \\\\ B^{21} & B^{22} & B^{23} \\\\ B^{31} & B^{32} & B^{33} \end{bmatrix} =A_{1}B_{4}\\\ \\ %%%%%%%%%%%%%%%% C_{\bullet j}^{i}=A^{i}_{\bullet k}B^k_{\bullet j}=A^{ik}B_{kj} \Longleftrightarrow C_{3}=[C_{\bullet j}^{i}] =\begin{bmatrix} A^{1}_{\bullet 1} & A^{1}_{\bullet 2}& A^{1}_{\bullet 3} \\\\ A^{2}_{\bullet 1} & A^{2}_{\bullet 2}& A^{2}_{\bullet 3} \\\\ A^{3}_{\bullet 1} & A^{3}_{\bullet 2}& A^{3}_{\bullet 3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B^{1}_{\bullet 1} & B^{1}_{\bullet 2}& B^{1}_{\bullet 3} \\\\ B^{2}_{\bullet 1} & B^{2}_{\bullet 2}& B^{2}_{\bullet 3} \\\\ B^{3}_{\bullet 1} & B^{3}_{\bullet 2}& B^{3}_{\bullet 3} \end{bmatrix} =A_{3}B_{3} =\begin{bmatrix} A^{11} & A^{12} & A^{13} \\\\ A^{21} & A^{22} & A^{23} \\\\ A^{31} & A^{32} & A^{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\\\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\\\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{bmatrix} =A_{4}B_{1}\\\ \\ %%%%%%%%%%%%%%%% C^{ij}=A^{i}_{\bullet k}B^{kj}=A^{ik}B_k^{\bullet j} \Longleftrightarrow C_{2}=[C^{ij}] =\begin{bmatrix} A^{1}_{\bullet 1} & A^{1}_{\bullet 2}& A^{1}_{\bullet 3} \\\\ A^{2}_{\bullet 1} & A^{2}_{\bullet 2}& A^{2}_{\bullet 3} \\\\ A^{3}_{\bullet 1} & A^{3}_{\bullet 2}& A^{3}_{\bullet 3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B^{11} & B^{12} & B^{13} \\\\ B^{21} & B^{22} & B^{23} \\\\ B^{31} & B^{32} & B^{33} \end{bmatrix} =A_{3}B_{4} =\begin{bmatrix} A^{11} & A^{12} & A^{13} \\\\ A^{21} & A^{22} & A^{23} \\\\ A^{31} & A^{32} & A^{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{1}^{\bullet 1} & B_{2}^{\bullet 1} & B_{3}^{\bullet 1} \\\\ B_{1}^{\bullet 2} & B_{2}^{\bullet 2} & B_{3}^{\bullet 2} \\\\ B_{1}^{\bullet 3} & B_{2}^{\bullet 3} & B_{3}^{\bullet 3} \end{bmatrix}^T =A_{4}B_{2}^T %%%%%%%%%%%%%%%% Cij=AikBkj=AikBjkC1=[Cij]= A11A12A13A21A22A23A31A32A33 T B11B21B31B12B22B32B13B23B33 =A2TB1= A11A21A31A12A22A32A13A23A33 B11B12B13B21B22B23B31B32B33 =A1B3 Cij=AikBkj=AikBkjC2=[Cij]= A11A12A13A21A22A23A31A32A33 B11B12B13B21B22B23B31B32B33 =A2B2= A11A21A31A12A22A32A13A23A33 B11B21B31B12B22B32B13B23B33 =A1B4 Cji=AkiBjk=AikBkjC3=[Cji]= A11A12A13A21A22A23A31A32A33 B11B12B13B21B22B23B31B32B33 =A3B3= A11A21A31A12A22A32A13A23A33 B11B21B31B12B22B32B13B23B33 =A4B1 Cij=AkiBkj=AikBkjC2=[Cij]= A11A12A13A21A22A23A31A32A33 B11B21B31B12B22B32B13B23B33 =A3B4= A11A21A31A12A22A32A13A23A33 B11B12B13B21B22B23B31B32B33 T=A4B2T
    由两个二阶张量点乘与矩阵乘法的对应关系也可得到:张量点积不可随意更换次序,即
    A ∙ B ≠ B ∙ A \bold{A}\bullet\bold{B}\ne\bold{B}\bullet\bold{A} AB=BA另外,可借助张量点积与矩阵乘法的对应关系推导出如下类似于矩阵乘法与矩阵转置关系的张量点积与张量转置的关系式
    ( A 3 B 3 ) T = ( B 3 ) T ( A 3 ) T = ( B T ) 2 ( A T ) 2 ⟺ ( A ∙ B ) T = B T ∙ A T (A_3B_3)^T=(B_3)^T(A_3)^T=(B^T)_2(A^T)_2 \Longleftrightarrow (\bold{A}\bullet\bold{B})^T=\bold{B}^T\bullet\bold{A}^T (A3B3)T=(B3)T(A3)T=(BT)2(AT)2(AB)T=BTAT张量点积的行列式与张量行列式的关系式 d e t ( A 3 B 3 ) = d e t ( A 3 ) d e t ( B 3 ) ⟺ d e t ( A ∙ B ) = d e t ( A ) d e t ( B ) det(A_3B_3)=det(A_3)det(B_3) \Longleftrightarrow det(\bold{A}\bullet\bold{B})=det(\bold{A})det(\bold{B}) det(A3B3)=det(A3)det(B3)det(AB)=det(A)det(B)

    2. 正则二阶张量与可逆矩阵

    若二阶张量 T \bold T T 的矩阵可逆,则称二阶张量正则,反之称作退化的二阶张量
    显然,二阶张量正则的充要条件为二阶张量的行列式不为零
    则有: T \bold T T如果正则,那么 T T \bold T^T TT也正则
    另外,根据正则张量、张量点积与可逆矩阵、矩阵乘法的对应关系可知:对于正则的二阶张量 T \bold{T} T,必唯一存在正则的二阶张量 T − 1 \bold{T}^{-1} T1,使得:
    T ∙ T − 1 = T − 1 ∙ T = G ( 1 ) \bold{T}\bullet\bold{T}^{-1}=\bold{T}^{-1}\bullet\bold{T}=\bold{G}\qquad(1) TT1=T1T=G(1) T − 1 \bold{T}^{-1} T1称作正则张量 T \bold{T} T的逆张量,且逆张量的矩阵等于原张量矩阵的逆,即
    ( τ − 1 ) 3 = ( τ 3 ) − 1 (\tau^{-1})_3=(\tau_3)^{-1} (τ1)3=(τ3)1则,
    d e t [ ( τ − 1 ) 3 ] = d e t [ ( τ 3 ) − 1 ] = 1 d e t ( τ 3 ) ⟺ d e t ( T − 1 ) = 1 d e t ( T ) det[(\tau^{-1})_3]=det[(\tau_3)^{-1}]=\frac{1}{det(\tau_3)} \Longleftrightarrow det(\bold{T}^{-1})=\frac{1}{det(\bold{T})} det[(τ1)3]=det[(τ3)1]=det(τ3)1det(T1)=det(T)1此外,进一步根据(1)式可得:
    ( T − 1 ) − 1 = T   G T = ( T ∙ T − 1 ) T = ( T − 1 ) T ∙ T T = G = ( T T ) − 1 ∙ T T (\bold{T}^{-1})^{-1}=\bold{T}\\\ \\ \bold{G}^T =(\bold{T}\bullet\bold{T}^{-1})^T =(\bold{T}^{-1})^T\bullet\bold{T}^T =\bold{G} =(\bold{T}^T)^{-1}\bullet\bold{T}^T (T1)1=T GT=(TT1)T=(T1)TTT=G=(TT)1TT由逆张量的唯一性可知:
    ( T T ) − 1 = ( T − 1 ) T (\bold{T}^T)^{-1}=(\bold{T}^{-1})^T (TT)1=(T1)T若二阶张量线性变换可逆,则:
    w ⃗ = τ 3 u ⃗ ⟺ w ⃗ = T ∙ u ⃗   u ⃗ = ( τ 3 ) − 1 w ⃗ = ( τ − 1 ) 3 w ⃗ ⟺ u ⃗ = T − 1 ∙ w ⃗ \vec{w}=\tau_3\vec{u} \Longleftrightarrow \vec{w}=T\bullet\vec{u}\\\ \\ \vec{u}=(\tau_3)^{-1}\vec{w}=(\tau^{-1})_3\vec{w} \Longleftrightarrow \vec{u}=T^{-1}\bullet\vec{w} w =τ3u w =Tu  u =(τ3)1w =(τ1)3w u =T1w

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  • 二阶矩阵的伴随矩阵:直接写答案 主对角线元素交换位置,副对角线变相反数。 二、可逆矩阵 定理一: 证明该定理: * * * 单位矩阵恒等变形 * * * 定理二: 证明: 把 读成B,就是AB = BA = E,就成了...

    一、伴随矩阵

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    重要公式
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    现假设A的行列式!=0,则有:
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    A的逆矩阵,伴随矩阵,行列式知二求一
    求伴随矩阵绝对不能对原矩阵做任何初等变换。

    二阶矩阵的伴随矩阵:直接写答案
    主对角线元素交换位置,副对角线变相反数。在这里插入图片描述
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    二、可逆矩阵

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    定理一:
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    证明该定理:
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    * * * 单位矩阵恒等变形 * * *
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    定理二:
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    证明:
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    读成B,就是AB = BA = E,就成了矩阵可逆的定义。

    几个小公式:

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    > 转置与逆公式对比:

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    二、计算可逆矩阵

    • 1、通过伴随矩阵来求
    • 2、构造新矩阵,通过初等变换求
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      例题:
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      要点:(以三阶矩阵为例)
    • 第一行往下加,加出两个0;
    • 第二行往下加,加出一个0;
    • 此时变成了上三角;
    • 第三行往上加,加出两个0;
    • 第二行往上加,加出一个0;
    • 此时变成对角矩阵;
    • 某行乘k,变成单位矩阵;

    例题:
    在这里插入图片描述解:
    学会把数挑出来在这里插入图片描述

    转圈思想
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    解析:
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    A可以往后转,C也可以往前转

    分组因式分解
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    既然要求(A - E)的逆矩阵,那我们要研究的就是(A - E)和“谁”相乘=E,我们要求的就是这个“谁”,所以我们就去构造(A - E)*“谁” = E。
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    解:
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    解:
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    单位矩阵恒等变形
    添加单位矩阵:前面添一个,后面添一个。
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    解:
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    例题:
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    凑数:
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    例题:
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    • 两个括弧两种对策,第一个括弧没有公式,所以想到单位矩阵变形,E = AA逆 (或A逆A)
    • 根据已知条件
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空空如也

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