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计算二阶矩阵特征值的技巧
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笔记来源:计算二阶矩阵特征值的妙计
1.1 平均特征值
1.2 特征值的积
1.3 求解特征值
根据以上两点,求出特征值
m m m 为平均特征值 λ 1 + λ 2 2 \frac{\lambda_1+\lambda_2}{2} 2λ1+λ2(两个特征值 λ 1 、 λ 2 \lambda_1、\lambda_2 λ1、λ2 关于平均特征值中心对称)
p p p 为两个特征值 λ 1 、 λ 2 \lambda_1、\lambda_2 λ1、λ2 的积( m − d m-d m−d 为 λ 1 \lambda_1 λ1、 m + d m+d m+d 为 λ 2 \lambda_2 λ2)
− m 2 − p -\sqrt{m^2-p} −m2−p 为平均特征值和第一个特征值 λ 1 \lambda_1 λ1 间的距离
+ m 2 − p +\sqrt{m^2-p} +m2−p 为平均特征值和第二个特征值 λ 2 \lambda_2 λ2 间的距离
例子:
1.4 泡利矩阵
三个 x , y , z x,y,z x,y,z 分方向的旋转
三个 x , y , z x,y,z x,y,z 分方向的旋转综合得到一个旋转效果
原先我们需要经过两个步骤才能求解得到特征值
经过本篇的技巧,我们直接跳过求特征多项式这一步,直接由二阶矩阵求得特征值
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哈密顿-凯莱定理讲的就是将一个矩阵
A
的特征多项式f(λ)
中的λ
替换为矩阵本身后的多项式f(A)
,其值为0使用
因此我们随便拿出一个矩阵
A
就可以直接写出一个恒等方程f(A) = 0
这个方程可以用在很多地方
典型用法比如:
对于别的更高次的矩阵多项式
可以先用f(A)
除F(A)
得余式,其和F(A)
等价
于是就很大程度降次了最小零化多项式
上述的
f(A)
就是一种零化多项式,即带入A的值计算后答案为0矩阵的多项式
而这样的多项式有很多,他们都叫零化多项式
我们希望能找到次数最小、首项系数为1
的那个,所谓最小零化多项式
(这样它除别人得到的余式也最小,非常方便
有定理:- 最小零化多项式存在且唯一。
- 最小零化特征多项式的根与特征多项式的根一样。
因此有求法是这样的:
首先得到A
的特征多项式,f(λ)
,我们把它因式分解,变成形如:
那么由定理2,最小零化特征多项式m(λ)
就是上式子中,将k^i
变成一个[1, k^i]
区间的整数
于是我们把这样的所有k^i
取值取遍,并带入A
,如果成功找到了m(A)=0
且每一个k^i
都无法变得更小了,那么他就是最小多项式了。(暴力法,考试的次数肯定不高所以完全可行)
例:
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