1.计算二阶矩阵特征值的技巧

笔记来源：计算二阶矩阵特征值的妙计

1.1 平均特征值

1.2 特征值的积

1.3 求解特征值

根据以上两点，求出特征值

$m$ 为平均特征值 $\frac{{\lambda }_1+{\lambda }_2}{2}$（两个特征值 ${\lambda }_1、{\lambda }_2$ 关于平均特征值中心对称）

$p$ 为两个特征值 ${\lambda }_1、{\lambda }_2$ 的积（$m-d$ 为 ${\lambda }_1$、$m+d$ 为 ${\lambda }_2$）

$-\sqrt{m^2-p}$ 为平均特征值和第一个特征值 ${\lambda }_1$ 间的距离

$+\sqrt{m^2-p}$ 为平均特征值和第二个特征值 ${\lambda }_2$ 间的距离

例子：

1.4 泡利矩阵

三个 $x,y,z$ 分方向的旋转

三个 $x,y,z$ 分方向的旋转综合得到一个旋转效果

原先我们需要经过两个步骤才能求解得到特征值

经过本篇的技巧，我们直接跳过求特征多项式这一步，直接由二阶矩阵求得特征值

定理概念

哈密顿-凯莱定理讲的就是将一个矩阵 A 的特征多项式 f(λ)
中的 λ 替换为矩阵本身后的多项式 f(A)，其值为0

使用

因此我们随便拿出一个矩阵 A 就可以直接写出一个恒等方程 f(A) = 0
这个方程可以用在很多地方
典型用法比如：
对于别的更高次的矩阵多项式

可以先用f(A)除F(A)得余式，其和F(A)等价
于是就很大程度降次了

最小零化多项式

上述的f(A)就是一种零化多项式，即带入A的值计算后答案为0矩阵的多项式
而这样的多项式有很多，他们都叫零化多项式
我们希望能找到次数最小、首项系数为1的那个，所谓最小零化多项式（这样它除别人得到的余式也最小，非常方便
有定理：

1. 最小零化多项式存在且唯一。
2. 最小零化特征多项式的根与特征多项式的根一样。

因此有求法是这样的：
首先得到A的特征多项式，f(λ)，我们把它因式分解，变成形如：

那么由定理2，最小零化特征多项式m(λ)就是上式子中，将k^i变成一个[1, k^i]区间的整数
于是我们把这样的所有k^i取值取遍，并带入A，如果成功找到了m(A)=0且每一个k^i都无法变得更小了，那么他就是最小多项式了。（暴力法，考试的次数肯定不高所以完全可行）
例：

定义

如果$g(J_i)$比$f(J_i)$简单，那么就达到了化简的目的。

练习

由于特征值是一个2阶的，还需要计算导数。

定理

结论

例题

没必要展开成幂级数来算。一个函数如果展开成幂级数，他的取值范围就小了。因为谱半径要小于函数的收敛半径，不然没办法定义。

所以能不能不通过幂级数来定义方阵函数？

方阵函数定义推广

例题

然后再求最小多项式

不用非要进行泰克展开，找到一个与目标函数在谱上一致的多项式，就可以定义方阵函数。