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  • 二阶矩阵的特征多项式
    2020-08-11 18:28:10

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  • 1.计算二阶矩阵特征值的技巧 笔记来源:计算二阶矩阵特征值的妙计 1.1 平均特征值 1.2 特征值的积 1.3 求解特征值 根据以上两点,求出特征值 mmm 为平均特征值 λ1+λ22\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2}2λ1​+λ2​...

    1.计算二阶矩阵特征值的技巧

    笔记来源:计算二阶矩阵特征值的妙计

    1.1 平均特征值

    1.2 特征值的积

    1.3 求解特征值

    根据以上两点,求出特征值

    m m m 为平均特征值 λ 1 + λ 2 2 \frac{\lambda_1+\lambda_2}{2} 2λ1+λ2(两个特征值 λ 1 、 λ 2 \lambda_1、\lambda_2 λ1λ2 关于平均特征值中心对称)

    p p p 为两个特征值 λ 1 、 λ 2 \lambda_1、\lambda_2 λ1λ2 的积( m − d m-d md λ 1 \lambda_1 λ1 m + d m+d m+d λ 2 \lambda_2 λ2

    − m 2 − p -\sqrt{m^2-p} m2p 为平均特征值和第一个特征值 λ 1 \lambda_1 λ1 间的距离

    + m 2 − p +\sqrt{m^2-p} +m2p 为平均特征值和第二个特征值 λ 2 \lambda_2 λ2 间的距离


    例子:

    1.4 泡利矩阵

    三个 x , y , z x,y,z x,y,z 分方向的旋转

    三个 x , y , z x,y,z x,y,z 分方向的旋转综合得到一个旋转效果



    原先我们需要经过两个步骤才能求解得到特征值

    经过本篇的技巧,我们直接跳过求特征多项式这一步,直接由二阶矩阵求得特征值

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  • 讨论了矩阵多项式环的单位、理想等方面的性质,并通过引入矩阵多项式的次数的概念,得到了相应的带余除法定理。
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  • 对于别的更高次的矩阵多项式 可以先用f(A)除F(A)得余式,其和F(A)等价 于是就很大程度降次了 最小零化多项式 上述的f(A)就是一种零化多项式,即带入A的值计算后答案为0矩阵的多项式 而这样的多项式有很多,他们都叫...

    定理概念

    哈密顿-凯莱定理讲的就是将一个矩阵 A 的特征多项式 f(λ)
    中的 λ 替换为矩阵本身后的多项式 f(A),其值为0

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    使用

    因此我们随便拿出一个矩阵 A 就可以直接写出一个恒等方程 f(A) = 0
    这个方程可以用在很多地方
    典型用法比如:
    对于别的更高次的矩阵多项式
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    可以先用f(A)F(A)得余式,其和F(A)等价
    于是就很大程度降次了

    最小零化多项式

    上述的f(A)就是一种零化多项式,即带入A的值计算后答案为0矩阵的多项式
    而这样的多项式有很多,他们都叫零化多项式
    我们希望能找到次数最小、首项系数为1的那个,所谓最小零化多项式(这样它除别人得到的余式也最小,非常方便
    有定理:

    1. 最小零化多项式存在且唯一。
    2. 最小零化特征多项式的根与特征多项式的根一样。

    因此有求法是这样的:
    首先得到A的特征多项式,f(λ),我们把它因式分解,变成形如:
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    那么由定理2,最小零化特征多项式m(λ)就是上式子中,将k^i变成一个[1, k^i]区间的整数
    于是我们把这样的所有k^i取值取遍,并带入A,如果成功找到了m(A)=0且每一个k^i都无法变得更小了,那么他就是最小多项式了。(暴力法,考试的次数肯定不高所以完全可行)
    例:
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  • 由于特征值是一个2阶的,还需要计算导数。 定理 结论 例题 没必要展开成幂级数来算。一个函数如果展开成幂级数,他的取值范围就小了。因为谱半径要小于函数的收敛半径,不然没办法定义。 所以能不能不...

    定义

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    如果 g ( J i ) g(J_i) g(Ji) f ( J i ) f(J_i) f(Ji)简单,那么就达到了化简的目的。

    练习

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    由于特征值是一个2阶的,还需要计算导数。
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    定理

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    结论

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    例题

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    没必要展开成幂级数来算。一个函数如果展开成幂级数,他的取值范围就小了。因为谱半径要小于函数的收敛半径,不然没办法定义。

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    所以能不能不通过幂级数来定义方阵函数?

    方阵函数定义推广

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    例题

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    然后再求最小多项式
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    不用非要进行泰克展开,找到一个与目标函数在谱上一致的多项式,就可以定义方阵函数。

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