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  • 设A、B为n阶方阵,μ为A的特征值。相关结论1.矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。...7.(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式,则φ(A...

    设A、B为n阶方阵,μ为A的特征值。

    相关结论

    1.矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。

    2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。

    3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。

    4.若A可逆,则A−1的特征值为1/μ。

    5.若A与B相似,则A与B有相同特征多项式,即A与B特征值相同。

    6.属于A的不同特征值的特征向量线性无关。

    7.(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式,则φ(A)=0。

    8.A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

    9.若A的n个特征值互不相同,则A可对角化。

    10.若A的k重特征值μ有k个线性无关的特征向量,则A可对角化。

    11.若A有k重特征值μ,齐次方程(A−μE)X=0解空间维数为k,则A可对角化。

    12.若A有k重特征值,矩阵A−μE的秩为n−k,则A可对角化。

    13.若A是对称矩阵,则属于A的不同特征值的特征向量正交。

    14.若A是对称矩阵,则A必可对角化。

    矩阵A对角化的步骤

    1.求可逆矩阵P,使得

    P^−1AP=diag(μ12,⋯,μn)

    ①求A的特征值μ12,⋯,μn

    ②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn

    ③写出矩阵P=(p1,p2,⋯,pn)。

    2.若A对称,求正交矩阵Q,使得

    Q^−1AQ=Q^TAQ=diag(μ12,⋯,μn)

    ①求A的特征值μ12,⋯,μn

    ②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn

    ③将k重特征值μi的k个特征向量施密特正交化;

    ④将所有n个特征向量单位化;

    ⑤不妨设经过正交化单位化的特征向量依次为q1,q2,⋯,qn,写出正交矩阵Q=(q1,q2,⋯,qn)。

    典型例子

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  • 黑塞矩阵(Hessian Matrix),是一个多元函数的二阶偏导数构成方阵,描述了函数局部曲率。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题,利用黑塞矩阵可判定多元函数极值问题。在工程实际问题优化设计中,所列目标...

    黑塞矩阵(Hessian Matrix),是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题,利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中,所列的目标函数往往很复杂,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数,此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。

    Hessian Matrix,它有着广泛的应用,如在牛顿方法、求极值以及边缘检测、消除边缘响应等方面的应用,图像处理里,可以抽取图像特征,在金融里可以用来作量化分析。


    既然检测到的对应点确认为边缘点,那么我们就有理由消除这个边缘点,所以边缘检测与边缘响应消除的应用是一回事。边缘到底有什么特征呢?如下图所示,一个二维平面上的一条直线,图像的特征具体可以描述为:沿着直线方向,亮度变化极小,垂直于直线方向,亮度由暗变亮,再由亮变暗,沿着这个方向,亮度变化很大。我们可以将边缘图像分布特征与二次型函数图形进行类比,是不是发现很相似,我们可以找到两个方向,一个方向图像梯度变化最慢,另一个方向图像梯度变化最快。那么图像中的边缘特征就与二次型函数的图像对应起来了,其实二次型函数中的hessian矩阵,也是通过对二次型函数进行二阶偏导得到的(可以自己求偏导测试下),这就是我们为什么可以使用hessian矩阵来对边缘进行检测以及进行边缘响应消除,我想大家应该明白其中的缘由了。还是那句话,数学模型其实就是一种反映图像特征的模型。
    在这里插入图片描述

     

    所以Hessian matrix实际上就是多变量情形下的二阶导数,他描述了各方向上灰度梯度变化,这句话应该很好理解了吧。我们在使用对应点的hessian矩阵求取的特征向量以及对应的特征值,较大特征值所对应的特征向量是垂直于直线的,较小特征值对应的特征向量是沿着直线方向的。对于SIFT算法中的边缘响应的消除可以根据hessian矩阵进行判定。

     

    转自:https://blog.csdn.net/qq_34886403/article/details/83589108

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  • 式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0,并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候,称为A的特征方程,特征方程是一个齐次线性方程组,求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。 令|A-λE|=0,求出λ值。

    特征根:

    特征根法也可用于通过数列的递推公式(即差分方程,必须为线性)求通项公式,其本质与微分方程相同。

    称为二阶齐次线性差分方程: 加权的特征方程。

    特征向量:
    A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx,那么数λ称为A的特征值,x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

    式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0,并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候,称为A的特征方程,特征方程是一个齐次线性方程组,求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。

    令|A-λE|=0,求出λ值。

    A是n阶矩阵,Ax=λx,则x为特征向量,λ为特征值。

    一旦找到两两互不相同的特征值λ,相应的特征向量可以通过求解方程(A – λI) v = 0 得到,其中v为待求特征向量,I为单位阵。

    当特征值出现重根时,如λ1=λ2,此时,特征向量v1的求解方法为(A-λ1I)v1=0,v2为(A-λ2I)v2=v1,依次递推。

    没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。

    import numpy as np
    A = np.array([[3,-1],[-1,3]])
    print('打印A:\n{}'.format(A))
    a, b = np.linalg.eig(A)
    print('打印特征值a:\n{}'.format(a))
    print('打印特征向量b:\n{}'.format(b))
    
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