设A、B为n阶方阵，μ为A的特征值。
相关结论
1.矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。
2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。
3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。
4.若A可逆，则A−1的特征值为1/μ。
5.若A与B相似，则A与B有相同特征多项式，即A与B特征值相同。
6.属于A的不同特征值的特征向量线性无关。
7.(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式，则φ(A)=0。
8.A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
9.若A的n个特征值互不相同，则A可对角化。
10.若A的k重特征值μ有k个线性无关的特征向量，则A可对角化。
11.若A有k重特征值μ，齐次方程(A−μE)X=0解空间维数为k，则A可对角化。
12.若A有k重特征值，矩阵A−μE的秩为n−k，则A可对角化。
13.若A是对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量正交。
14.若A是对称矩阵，则A必可对角化。
矩阵A对角化的步骤
1.求可逆矩阵P，使得
P^−1AP=diag(μ1,μ2,⋯,μn)
①求A的特征值μ1,μ2,⋯,μn；
②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn；
③写出矩阵P=(p1,p2,⋯,pn)。
2.若A对称，求正交矩阵Q，使得
Q^−1AQ=Q^TAQ=diag(μ1,μ2,⋯,μn)
①求A的特征值μ1,μ2,⋯,μn；
②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn；
③将k重特征值μi的k个特征向量施密特正交化；
④将所有n个特征向量单位化；
⑤不妨设经过正交化单位化的特征向量依次为q1,q2,⋯,qn，写出正交矩阵Q=(q1,q2,⋯,qn)。
典型例子

黑塞矩阵（Hessian Matrix），是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。

Hessian Matrix，它有着广泛的应用，如在牛顿方法、求极值以及边缘检测、消除边缘响应等方面的应用，图像处理里，可以抽取图像特征，在金融里可以用来作量化分析。



既然检测到的对应点确认为边缘点，那么我们就有理由消除这个边缘点，所以边缘检测与边缘响应消除的应用是一回事。边缘到底有什么特征呢？如下图所示，一个二维平面上的一条直线，图像的特征具体可以描述为：沿着直线方向，亮度变化极小，垂直于直线方向，亮度由暗变亮，再由亮变暗，沿着这个方向，亮度变化很大。我们可以将边缘图像分布特征与二次型函数图形进行类比，是不是发现很相似，我们可以找到两个方向，一个方向图像梯度变化最慢，另一个方向图像梯度变化最快。那么图像中的边缘特征就与二次型函数的图像对应起来了，其实二次型函数中的hessian矩阵，也是通过对二次型函数进行二阶偏导得到的(可以自己求偏导测试下)，这就是我们为什么可以使用hessian矩阵来对边缘进行检测以及进行边缘响应消除，我想大家应该明白其中的缘由了。还是那句话，数学模型其实就是一种反映图像特征的模型。


 

所以Hessian matrix实际上就是多变量情形下的二阶导数，他描述了各方向上灰度梯度变化，这句话应该很好理解了吧。我们在使用对应点的hessian矩阵求取的特征向量以及对应的特征值，较大特征值所对应的特征向量是垂直于直线的，较小特征值对应的特征向量是沿着直线方向的。对于SIFT算法中的边缘响应的消除可以根据hessian矩阵进行判定。

 

转自：https://blog.csdn.net/qq_34886403/article/details/83589108

特征根：
特征根法也可用于通过数列的递推公式（即差分方程，必须为线性）求通项公式，其本质与微分方程相同。
称为二阶齐次线性差分方程：  加权的特征方程。
特征向量：

A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。
令|A-λE|=0，求出λ值。
A是n阶矩阵，Ax=λx，则x为特征向量，λ为特征值。
一旦找到两两互不相同的特征值λ，相应的特征向量可以通过求解方程(A – λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。
当特征值出现重根时，如λ1=λ2，此时，特征向量v1的求解方法为(A-λ1I)v1=0，v2为(A-λ2I)v2=v1，依次递推。
没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。
import numpy as np
A = np.array([[3,-1],[-1,3]])
print('打印A：\n{}'.format(A))
a, b = np.linalg.eig(A)
print('打印特征值a：\n{}'.format(a))
print('打印特征向量b：\n{}'.format(b))