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  • 求逆矩阵最有效的方法是初等变换法(虽然还有别的方法)。如果要求方阵 \(A\) 的逆矩阵,标准的做法是:将矩阵 A 与单位矩阵 I 排成一...例1:求二阶矩阵的逆矩阵。解:因为矩阵是二阶矩阵,我们可以直接利用二阶逆矩...

    求逆矩阵最有效的方法是初等变换法(虽然还有别的方法)。如果要求方阵 \(A\) 的逆矩阵,标准的做法是:

    • 将矩阵 A 与单位矩阵 I 排成一个新的矩阵 (A   I);

    • 将此新矩阵  (A  I) 做初等行变换,将它化成 (I  B) 的形式

    • 3db0d5b718b680f5570c7d1482999ceb.png

    若 A 是一个二阶方阵,

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    则它的逆矩阵可以直接使用公式

    043d84fbcae665d59a6fcd93256a0cea.png

    来计算。我们来看几个例子。

    例1:求二阶矩阵

    ba64f26ae9d947eb5d71e389310ef478.png

    的逆矩阵。

    解:因为矩阵是二阶矩阵,我们可以直接利用二阶逆矩阵的公式来求解。

    77031e3df7be6a143ad581852c543765.png

    例2:求矩阵

    bef983a407723f675a3e0be4da37b41e.png

    的逆矩阵。

    解:这是一个三阶的矩阵,最简便有效的方法是初等变换法。(你可以试试用伴随矩阵的方法来求,计算量比初等变换法相差多大)我们将矩阵与单位矩阵排在一起,然后做初等变换

    4790b7452ec52a8525d0782ad5b81bdf.png

    所以我们得到

    3adf0a3e78b948a0e9163f15bd3c9bbe.png

    我们看到的这个矩阵是三阶的,利用初等变换计算逆矩阵已经比伴随矩阵法少了很多的计算量了。实际上,矩阵的阶数越高,节约下来的计算量越多。利用伴随矩阵计算逆矩阵,三阶矩阵的话,需要计算一个三阶行列式,九个二阶行列式。四阶的话,需要计算一个四阶行列式,十六个三阶行列式,手算的话,已经让人难以接受了。

    我们来看一个四阶矩阵的逆矩阵。

    例3:求矩阵

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    的逆矩阵。

    解:我们将下述矩阵做初等变换

    e55362dd38f51e00ee78d1487f249055.png

    所以,我们得到

    b91e73685f79b5ed2ece3a4841d946a7.png

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  • 二阶矩阵的逆矩阵3.公式2.逆矩阵1.定义2.定理3.公式3. 1.伴随矩阵 1.定义 设A=[aij]A=\lbrack a_{ij}\rbrackA=[aij​]是nnn阶矩阵,行列式∣A∣\left|A\right|∣A∣的每个元素aija_{ij}aij​的代数余子式AijA_{ij}...

    1.伴随矩阵

    1.定义

    A=[aij]A=\lbrack a_{ij}\rbracknn阶矩阵,行列式A\left|A\right|的每个元素aija_{ij}的代数余子式AijA_{ij}所构成的如下的矩阵
    A=[A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn] A^\ast=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{bmatrix}
    称为矩阵AA伴随矩阵.

    2.二阶矩阵的逆矩阵

    对于2阶矩阵,用主对角线元素对换,副对角线元素变号即可求出伴随矩阵。
    A=[A11A21A12A22]=[dbca] A^\ast=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}

    3.公式

    AA=AA=AE;A=AA1;A=An1;(A)1=(A1)=1AA;(A)T=(AT);(kA)=kn1A;(A)=An2A;r(A)={n,    r(A)=n,1,    r(A)=n1,0,      r(A)<n1.AA^{{}_{{}_\ast}}=A^{{}_{{}_\ast}}A=\left|A\right|E;\\A^{{}_{{}_\ast}}=\left|A\right|A^{-1};\left|A^{{}_{{}_\ast}}\right|=\left|A\right|^{n-1};\\\left(A^\ast\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^\ast=\frac1{\left|A\right|}A;\\\left(A^\ast\right)^T=\left(A^T\right)^\ast;\left(kA\right)^\ast=k^{n-1}A^{{}_{{}_\ast}};\left(A^\ast\right)^\ast=\left|A\right|^{n-2}A;\\r(A^\ast)=\left\{\begin{array}{l}n,\;\;\mathrm{如果}r(A)=n,\\1,\;\;\mathrm{如果}r(A)=n-1,\\0,\;\;\;\mathrm{如果}r(A)<n-1.\end{array}\right.

    2.逆矩阵

    1.定义

    AAnn阶矩阵,如果存在是nn阶矩阵BB使得AB=BA=EAB=BA=E(单位矩阵)成立,则称AA可逆矩阵非奇异矩阵BBAA的逆矩阵。

    2.定理

    1. AA是可逆矩阵,则矩阵AA的逆矩阵唯一,记为A1A^{-1}.

    2. nAA0r(A)=nA()线A=P1P2PsPi(i=1,2,,s)A0An\mathrm{阶矩阵}A\mathrm{可逆}\\ \Leftrightarrow\left|A\right|\neq0\\\Leftrightarrow r(A)=n\\\Leftrightarrow A\mathrm{的列}(行)\mathrm{向量组线性无关}\\\Leftrightarrow A=P_1P_2\cdots P_sP_i(i=1,2,\cdots,s)\mathrm{是初等矩阵}\\\Leftrightarrow A\mathrm{与单位矩阵等价}\\\Leftrightarrow0\mathrm{不是矩阵}A\mathrm{的特征值}

    3. AAnn阶矩阵,则满足AB=EAB=E,则必有BA=EBA=E

    3.公式

    (A1)1=A;(kA)1=1kA1(k0);(AB)1=B1A1;(An)1=(A1)n;(A1)T=(AT)1;A1=1A;A1=1AA\left(A^{-1}\right)^{-1}=A;\left(kA\right)^{-1}=\frac1kA^{-1}\left(k\neq0\right);\\\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1};\left(A^n\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^n;\\\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^T\right)^{-1};\left|A^{-1}\right|=\frac1{\left|A\right|};\\A^{-1}=\frac1{\left|A\right|}A^\ast

    3.作业

    5、矩阵求逆函数

    In [1]: import numpy as np
    
    In [2]: a = np.array([[-2, 3, 3], [1, -1, 0], [-1, 2, 1]])
    
    In [3]: np.linalg.inv(a)
    Out[3]:
    array([[-0.5,  1.5,  1.5],
           [-0.5,  0.5,  1.5],
           [ 0.5,  0.5, -0.5]])
    
    In [4]: A = np.matrix(a)
    
    In [5]: A.I
    Out[5]:
    matrix([[-0.5,  1.5,  1.5],
            [-0.5,  0.5,  1.5],
            [ 0.5,  0.5, -0.5]])
    
    In [6]: b = np.array([[0, 3, 3], [1, 1, 0], [-1, 2, 3]])
    
    In [7]: a.dot(b)
    Out[7]:
    array([[ 0,  3,  3],
           [-1,  2,  3],
           [ 1,  1,  0]])
    
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  • (2)第1题: 二阶矩阵的逆适合用公式法, AA*=A*A=|A|E, 由此公式可以推导出A逆的计算公式。这里请注意一些细节问题(提示:不要漏掉某一项, A*=(Aij)^T), 并可以尝试编出辅助记忆的口诀: 行列式分之“主换副反”。(3)第2...

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    可逆矩阵与伴随矩阵(1)

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    前 言

    (1)今天我们进入矩阵第二部分内容的学习:可逆矩阵与伴随矩阵。

    (2)第1题: 二阶矩阵的逆适合用公式法, AA*=A*A=|A|E, 由此公式可以推导出A逆的计算公式。这里请注意一些细节问题(提示:不要漏掉某一项, A*=(Aij)^T), 并可以尝试编出辅助记忆的口诀: 行列式分之“主换副反”。

    (3)第2题: 三阶及三阶以上的一般矩阵则不适合使用公式法了, 因为需要计算较多的代数余子式Aij, 此时一般使用“初等行变换”计算矩阵的逆。初等行变换是基本功, 请大家熟练掌握。

    (4)初等行变换是基本功, 也是解答题中100%会考察的计算, 请同学们勤加练习, 同时要养成良好的习惯。如: 抄好矩阵后, 请花一点时间检查矩阵是否有抄错元素; 做初等变换时, 没有变的行优先抄写; 做变换的行请逐个元素计算, 不要图快图省事……

    (5)另外, 随着大家学习的深入, 会接触到很多特殊的矩阵和性质, 求逆也会有一些技巧。同学们在做题时渐渐就不太愿意动笔算一个普通矩阵的逆, 会去想是否有技巧可以快速求逆, 而往往忘记了最基本的“初等行变换”, 这是学习的大忌。

    题 目

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    讲 解

    文 稿

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  • 线代--求逆矩阵

    千次阅读 2018-10-10 23:31:59
    首先公式是酱紫 若|A|≠0(保证矩阵A可逆),则有 = 其中|A|为方阵行列式,即由n阶方阵A元素所构成行列式...eg:已知二阶矩阵A=,则其逆矩阵为___(ad-bc)_____//智障如我,不会给公式加下划线,please ...

    首先公式是酱紫的

    若|A|≠0(保证矩阵A可逆),则有

    A^{-1=\frac{1}{|A|}A^{*}

    其中|A|为方阵的行列式,即由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变哟)

    A^{*}为矩阵的伴随矩阵即由行列式|A|的各元素的代数余子式A_{ij}所构成的矩阵

    1. 二阶三步走:①主对角线交换位置②副对角线添负号③除以行列式的值

    eg:已知二阶矩阵A=\begin{pmatrix} a & b\\c & d \end{pmatrix},则其逆矩阵A^{-1}为___(ad-bc)\begin{pmatrix} d &-b \\ -c&a \end{pmatrix}_____//智障如我,不会给公式加下划线,please understand

    解析:①\begin{pmatrix} d&b \\c & a \end{pmatrix}

    \begin{pmatrix} d &-b \\-c & a \end{pmatrix}

    ③(ad-bc)\begin{pmatrix} d &-b \\-c & a \end{pmatrix}

    2.①求余子式②转置③除以行列式的值

    eg:知方阵B=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &2 &3 \\ 2&2 &1 \\ 3&4 &3 \end{smallmatrix}\bigr),则其逆矩阵B^{-1}为_______\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &3 &-2 \\ \frac{3}{-2}& -3&\frac{5}{2} \\ 1 &1 &-1 \end{smallmatrix}\bigr)_______

    解析:|B|=2≠0,则B^{-1}存在

    计算|B|的代数余子式,得

    \begin{pmatrix} 2 &3 &2\\ -6&-6 &2 \\ -4&5&-2 \end{pmatrix}

    则其伴随矩阵为

    \begin{pmatrix} 2 &6 &-4 \\ -3&-6 &5 \\ 2&2 &-2 \end{pmatrix}

    B^{-1}=\frac{1}{|B|}B^{*}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 &6 &-4 \\ -3&-6 &5 \\ 2&2 &-2 \end{pmatrix}=\bigl(\begin{smallmatrix} 1 &3 &-2 \\ \frac{3}{-2}& -3&\frac{5}{2} \\ 1 &1 &-1 \end{smallmatrix}\bigr)

     

     

     

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