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  • 在自动控制理论中,典型二阶系统一般是由一个惯性环节和积分环节串联构成:其闭环传递函数为:将上式改为标准形式为:因为实际应用中欠阻尼二阶系统应用最为广泛,这里只分析欠阻尼的情况(0<ξ<1)。欠阻尼系统...

    在自动控制理论中,典型二阶系统一般是由一个惯性环节和积分环节串联构成:

    bf16b8f2b0ddeb3156048a740257de20.png

    其闭环传递函数为:

    fb7bb92ada81478d7cf628b0c824642b.png

    将上式改为标准形式为:

    603ccb17f79b9deb23eaa37fffe9268d.png

    因为实际应用中欠阻尼二阶系统应用最为广泛,这里只分析欠阻尼的情况(0<ξ<1)

    欠阻尼系统具有一对共轭复根为:

    81022e7df539608b065b4a83c254826e.png

    其单位阶跃响应的象函数为:

    517f0e0d4a3631e5011432bba1b3e63d.png

    经过拉普拉斯反变换可以得到系统单位阶跃响应:

    85f021c437eda142a2b36f904a64fbfb.png

    下图给出了不同阻尼比时,二阶系统的单位阶跃响应曲线:

    975cf542df06256d91dd62aabec4239c.png

    根据时域表达式可以得到典型二阶系统单位阶跃响应暂态性能的一些指标:如

    cd4d5d2c85772eb0c51a986d9e99e6d7.png

    调整时间与阻尼比的关系如下图,由图可见,当阻尼比为0.68时,调整时间ts最小,设计二阶系统时,一般取阻尼比为0.707,为最佳阻尼比。

    a7d563f040bef0e88b5757f4169d9d7a.png

    以上时典型二阶系统的时域特性,在自动控制理论中都有详细分析,但有时会遇到非典型的二阶系统,它与典型二阶系统关系如何呢?以一种锁相环系统为例:

    cbfb25e8a63bd8201f44f5636294f428.png

    上述框图可以简化为:

    afa6a91c563903748df5de18113b1cbc.png

    同样,上图传递函数写成标准形式为:

    可见,与标准形式相比,该二阶系统多了一个零点,而极点相同,按照上述分析方法,可以得到其单位阶跃响应的象函数为:

    72c90a0ca962efb262934c125dc6e587.png

    可见,与典型二阶系统相比仅第三项的符号有差别,对其进行拉普拉斯反变换得到时域响应表达式:

    73d4bc554a840d349ff9694152bdfdb7.png

    与典型二阶系统相比仅第二项符号和相位发生变化,根据时域表达式可以得到典型二阶系统单位阶跃响应暂态性能的一些指标,如下式所示,可以看出一些参数与典型二阶系统有些区别,但相差不大。

    95f0d77bd9ddec2349ac2d4ebbe5506e.png

    为了更明显看出两者之间的差别,令ω=158,在matlab中画出ξ从0.1变为1的阶跃响应曲线,红色为典型二阶系统的响应曲线,蓝色为上文提到的非典型二阶系统的响应曲线,可以看出两者暂态响应相差很小,因此这种情况下典型二阶系统的特性如也可直接应用在文中提到的非典型二阶系统,可以简化设计过程。

    a1a77395d1aae9a079c79c207c0db779.png

    其实也可以用根轨迹进行分析,一般远离虚轴且附近无极点的零点,对系统的影响几乎可以忽略。

    93f0a4159042c21199e6d2855e1cff3d.png

    显然零点与极点位置相差很远,所以该零点对系统的暂态响应影响不大。

    参考文献:

    自动控制理论.夏德钤.第四版

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  • 二阶系统在不同参数下对单位阶跃信号的响应 一二阶系统 所谓二阶系统就是其输入信号输出信号的关系可用二阶微分方程来表征的系统比如 常见的 RLC 电路图a 单自由度振动系统等 图a 图b 二阶系统传递函数的标准形式为 ...
  • 对深入学习二阶系统特性很有帮助,是一个好的资料。
  • 二阶系统分析

    千次阅读 2020-03-10 17:55:43
    我在学习自控原理过程中,起初面对二阶系统感到费解,主要原因在于没有实际对照的物理模型和参数物理意义。为此,我专门对二阶系统进行了深入的分析了理解,对其物理含义有了直观的认识,并整理成文与大家分享。 ...

    我在学习自控原理过程中,起初面对二阶系统感到费解,主要原因在于没有实际对照的物理模型和参数物理意义。为此,我专门对二阶系统进行了深入的分析了理解,对其物理含义有了直观的认识,并整理成文与大家分享。
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  • 二阶系统 所谓二阶系统就是其输入信号输出信号的关系可用二阶微分方程来表征的系统比 如常见的RLC电路图a单自由度振动系统等 LIDIJ LI DI J 1 EQ r 阶系统传递函数的标准形式为 H(s)二 H(s)二 2 ns 二阶系统的Bode图...
  • 二阶系统模型

    2021-02-16 23:24:30
    微分方程形式: 根据克希荷夫定律,电路平衡方程 ur(t)=Ldi(t)dt+Ri(t)+1C∫idtuc=1C∫idt u_r(t)=L\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+Ri(t)+\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t\\ u_c=\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t ur...

    经典数学模型

    线性系统

    1. R-L-C震荡电路

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    • 微分方程形式:

    根据克希荷夫定律,电路平衡方程
    u r ( t ) = L d i ( t ) d t + R i ( t ) + 1 C ∫ i d t u c = 1 C ∫ i d t u_r(t)=L\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+Ri(t)+\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t\\ u_c=\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t ur(t)=Ldtdi(t)+Ri(t)+C1idtuc=C1idt
    消去中间变量 i ( t ) i(t) i(t),整理得:
    d 2 u c ( t ) d t 2 + R L d u c ( t ) d t + 1 L C u c ( t ) = 1 L C u r ( t ) \frac{\text{d}^2u_c(t)}{\text{d}t^2}+\frac{R}{L}\frac{\text{d}u_c(t)}{\text{d}t}+\frac{1}{LC}u_c(t)=\frac{1}{LC}u_r(t) dt2d2uc(t)+LRdtduc(t)+LC1uc(t)=LC1ur(t)

    • 传递函数形式:

    G ( s ) = U c U r = 1 L C s 2 + R L s + 1 L C = w n 2 s 2 + 2 ξ w n s + w n 2 G(s)=\frac{U_c}{U_r}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}=\frac{w_n^2}{s^2+2\xi w_ns+w_n^2} G(s)=UrUc=s2+LRs+LC1LC1=s2+2ξwns+wn2wn2

    • 动态方程形式:

    动态系统:能储存输入信息(或能量)得系统。

    状态变量
    x 1 = i , x 2 = 1 C ∫ i d t x_1=i,x_2=\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t x1=i,x2=C1idt
    状态方程为
    x 1 ˙ = − R L x 1 − 1 L x 2 + 1 L u r x 2 ˙ = 1 C x 1 \dot{x_1}=-\frac{R}{L}x_1-\frac{1}{L}x_2+\frac{1}{L}u_r\\ \dot{x_2}=\frac{1}{C}x_1 x1˙=LRx1L1x2+L1urx2˙=C1x1
    输出方程
    y = x 2 y=x_2 y=x2
    整理可得动态方程为:
    x ˙ = A x + B u r y = C x \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{Bu_r}\\ y=\boldsymbol{Cx} x˙=Ax+Bury=Cx
    其中
    A = [ − R L − 1 L 1 C 0 ] B = [ 1 L 0 ] C = [ 0 1 ] \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} -\frac{R}{L}&-\frac{1}{L}\\ \frac{1}{C}&0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} \frac{1}{L}\\0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix} 0&1 \end{bmatrix} A=[LRC1L10]B=[L10]C=[01]

    1. 弹簧-质量-阻尼器系统

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-t2EsJnFf-1613488245943)(%E5%9B%BE%E7%89%87/MKF.png)]

    • 微分方程形式:

    d 2 y ( t ) d t 2 + f m d y ( t ) d t + k m y ( t ) = u ( t ) m \frac{\text{d}^2y(t)}{\text{d}t^2}+\frac{f}{m}\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}+\frac{k}{m}y(t)=\frac{u(t)}{m} dt2d2y(t)+mfdtdy(t)+mky(t)=mu(t)

    • 传递函数形式:

    G ( s ) = U Y = 1 m s 2 + f m s + k m = w n 2 k s 2 + 2 ξ w n s + w n 2 G(s)=\frac{U}{Y}=\frac{\frac{1}{m}}{s^2+\frac{f}{m}s+\frac{k}{m}}=\frac{\frac{w_n^2}{k}}{s^2+2\xi w_ns+w_n^2} G(s)=YU=s2+mfs+mkm1=s2+2ξwns+wn2kwn2

    • 动态方程形式:

    状态变量
    x 1 ( t ) = y ( t ) , x 2 = y ˙ ( t ) x_1(t)=y(t),\quad x_2=\dot{y}(t) x1(t)=y(t),x2=y˙(t)
    状态方程
    x 1 ˙ = x 2 x 2 ˙ = − k m x 1 − f m x 2 + 1 m u \dot{x_1}=x_2\\ \dot{x_2}=-\frac{k}{m}x_1-\frac{f}{m}x_2+\frac{1}{m}u x1˙=x2x2˙=mkx1mfx2+m1u
    输出方程
    y = x 2 y=x_2 y=x2
    整理可得动态方程为:
    x ˙ = A x + B u r y = C x \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{Bu_r}\\ y=\boldsymbol{Cx} x˙=Ax+Bury=Cx
    其中
    A = [ 0 1 − k m − f m ] B = [ 0 1 m ] C = [ 1 0 ] \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{f}{m} \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} 0\\\frac{1}{m} \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix} A=[0mk1mf]B=[0m1]C=[10]

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  • 控制理论的第一课往往以...1887年,Oliver Heaviside遇到了这个问题,他拿到了类似的微分方程,里面有一阶导数、二阶导数等等,这位大佬看着一阶、二阶这些阶数,突然想到了一个对应关系,如果我们把求一次导看成乘...

    86614f4a739f4b2832d9f1b3021f5fd9.png

    控制理论的第一课往往以拉普拉斯变换开头,但往往让人困惑的也是这个拉普拉斯变换,为什么要做这样一个变换?先来看个电路的例子:

    fd23575c6cf54f6f470154893356ede2.png

    由电路知识,可以列写方程:

    拿到了这个方程,如果没学过微分方程的解法,该怎么办?

    1887年,Oliver Heaviside遇到了这个问题,他拿到了类似的微分方程,里面有一阶导数、二阶导数等等,这位大佬看着一阶、二阶这些阶数,突然想到了一个对应关系,如果我们把求一次导看成乘一次数,这不就简单了吗?例如:

    Oliver随后引入了传递函数的概念,即:

    他根据工程经验进行了验证,发现这种变换分析电子电路时可以采用。

    但问题同样也出现了,这种变换有没有什么数学依据,虽然工程上可以这样变换。

    为这种变换找个数学上靠谱的依据不是容易事,1940年左右,有可能是一位数学家的跨行研究导致,人们才意识到,早在1782年,Pierre-Simon-Laplace导出的拉普拉斯变换,早就涵盖了这种方法。

    于是,带着探索之心,工程界的众人拿起了数学课本,开始审视拉普拉斯变换。

    一个函数

    的Laplace变换定义为

    知乎上另一篇文章具体解释了为何能得出Oliver的结果:

    李寒潭:【自动控制原理】1.传递函数​zhuanlan.zhihu.com
    首先, 定义复空间上两个函数
    的内积

    易证
    是复空间中的一组正交基。那么根据
    内积的意义——一个函数与另一个函数的内积,是这个函数在另一个函数方向上的 投影,可得实函数
    在复空间基底
    上的投影为

    为方便起见,令
    表示虚变量。(我们后面可以看到它更深层的意义。)则可将该投影式记为

    (这里的s与实数域中的t相对应,都表示空间上的变量)
    同理可证
    在实空间中的投影。

    有了实空间中
    与复空间中
    的一一对应投影关系,我们就可以通过在复空间中对
    进行分析和运算,从而获知实空间中
    的性质和运算结果。在做这件事情之前,首先需要对实空间和复空间中的运算关系进行定义。

    定义微分算子(这里的define等号表示的是对应关系,而不表示相等)

    这是因为
    (设初值为0)

    从复空间中微分算子的定义就可以看出选择
    作为基底的好处了。因为复指数函数有一个最大的优点,就是对它求导等于它自身乘一个数。因此,当我们在实空间中对
    求一次导数时,在复空间中只需要将它对应的投影式乘以微分算子
    。这样就极大地简化了求导运算。

    类似可定义积分算子为

    即对
    进行一次积分,只需对其投影式除以

    拿到了数学上的依据,传递函数获得了自己的根基,正式走入了课本。也拥有了正式的定义

    传递函数是指零初始条件下线性时不变系统响应(即输出)量的拉普拉斯变换(或z变换)与激励(即输入)量的拉普拉斯变换之比。

    拉普拉斯变换从形式上看比较麻烦,所幸控制工程师无需过于纠结,毕竟有整理好的表格

    拉普拉斯变换表 - 百度文库​wenku.baidu.com

    除了从微分方程导出传递函数,一些典型环节的传递函数经常用到,有时候还需要处理多个系统连接的情况,需要用到梅森增益公式、结构图化简等技巧。(不作展开)

    https://www.bilibili.com/video/av71857275?from=search&seid=5072051921356333345​www.bilibili.com https://www.bilibili.com/video/av40046656?p=4​www.bilibili.com

    (2.3-2.4)

    但是,当我们重新审视传递函数定义时,线性时不变系统,这个词让人有点棘手,因为工程里很少有这样的系统,虽然我们可以使用后续的非线性特性来处理,然而在这里,我们可以简单的线性化。线性化的基础是泰勒展开。详见下个链接

    [图文]微分方程的线性化 - 百度文库​wenku.baidu.com

    另一种方式可以设计补偿环节,使得系统非常接近线性时不变。

    参考文献:

    1、https://zhuanlan.zhihu.com/p/23617272

    2、线性系统理论与设计,Chi-Tsong Chen著

    3、控制系统设计指南,George Eills著

    System control:控制理论基础(二)时域分析与稳定性​zhuanlan.zhihu.com
    ecd3052b7f03b98df00cd2a3bb8408d0.png
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    千次阅读 2017-08-17 20:39:07
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空空如也

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二阶系统的一般形式