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  • 一、二阶系统 自动控制网www.eadianqi.com版权所有二阶系统的传递函数有如下两种形式:自动控制网www.eadianqi.com版权所有(1)或(2)其中,是二阶系统的特征参数,它们表明二阶系统本身的与外界无关的固有特性。一般...

    一、二阶系统 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

    二阶系统的传递函数有如下两种形式:

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    (1)或

     (2)

    其中,

    是二阶系统的特征参数,它们表明二阶系统本身的与外界无关的固有特性。一般将式(1)所示的系统称为无零点的二阶系统或典型的二阶系统,而将式(2)所示的系统称为有零点的二阶系统。在不特别声明的情况下,本章讨论的是典型二阶系统的时间响应。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

    二阶系统的特征方程是 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

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    此方程的两个特征根是 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

     (3) 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

    由式(3)可见,随着阻尼比取值的不同,二阶系统的特征根分布不同,亦即二阶系统传递函数的极点分布不同,其分布情况如图(1)所示。不同的极点分布情况,决定了二阶系统在不同的阻尼情况下,其自由响应项不同。由图(1)可知,当

    时,即二阶系统出现负阻尼时,其传递函数的两个极点分布在[s]平面的右半平面内,系统不稳定。因此,这里只讨论

    时,二阶系统的响应情况。

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    图(1)

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    二、二阶系统的单位脉冲响应W(t)和单位阶跃响应 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

    在不同阻尼系数下,二阶系统的单位脉冲响应

    和单位阶跃响应如表1所示。

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    表1 二阶系统的单位脉冲响应

    和单位阶跃响应

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    阻尼系数 本文来自www.eadianqi.com

    单位脉冲响应

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    单位阶跃响应 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

    无阻尼

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    欠阻尼

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    临界阻尼

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    过阻尼 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

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    其中,

    ,称

    为二阶系统的有阻尼固有频率;

    取值不同时,二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线如图2所示。由图可知,欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线,且

    愈小,衰减愈慢,振荡频率

    愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统,其幅值衰减的快慢取决于

    (

    称为时间衰减常数,记为

    )。 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

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    图2 自动控制网www.eadianqi.com版权所有

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    图.3

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    取值不同时,二阶系统的单位阶跃响应如图3所示。由图可知,二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程随阻尼

    的减小,其振荡特性表现得愈加强烈,当

    时达到等幅振荡。在

    时,二阶系统的过渡过程只具有单调上升的特性,而不会出现振荡。在无振荡单调上升的曲线中,以

    时的过渡过程时间

    最短。在欠阻尼系统中,当

    时,不仅其过渡过程时间比

    更短,而且振荡也不太严重。因此,一般希望二阶系统工作在

    的欠阻尼状态。通过选择合适的特征参数

    ,可以使系统具有合适的过渡过程。 本文来自www.eadianqi.com

    由于系统输入的不同,二阶系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应不同,但是它们随着阻尼比的不同而不同的振荡情况却是一致的。当系统为无阻尼系统时,均为等幅振荡;当系统为欠阻尼系统时,均为减幅振荡;而当系统为临界阻尼或过阻尼系统时,均不会出现振荡。

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    2.传递函数零点和极点

    传递函数分子多项式和分母多项式经因式分解后可写为如下形式:

    64865060b5dbbfbbad269d48a9a798bd.png

    Zi是分子多项式零点,称为传递函数零点,Pj是分母多项式零点,称为传递函数极点。系数K*=b0/a0称为传递函数系数或根轨迹增益。

    比较传递函数的一般表达式:

    b48145baf01d8e9d3c81b7acd32efbe1.png

    可知,根轨迹增益是分子和分母代数方程中最高阶项对应的系数比值;

    在复数平面上表示传递函数零点和极点的图形,称为传递函数的零极点分布图。在图中一般用O表示零点,用X表示极点;通过研究零极点分布图可以分析任意参数变化所对应的系统性能指标。

    传递函数的分子和分母多项式经因式分解后也可以写为如下因式连乘积形式:

    a93d6bc4c63b30d7ed5e6c15afbb032d.png

    上式中,一次因子对应于实数零极点,二次因子对应于共轭复数零极点,τ和T为时间常数,ζ为阻尼比。

    定义传递函数系数K为:

    dcd224566ecf723c6c1bbc66a44b17b1.png

    可知,分子分母分解为时间常数形式,增益是分子和分母代数方程中零阶项对应的比值;

    这里注意到,二次因子对应的共轭复数零极点的时间常数形式,与弹簧和RLC系统获得二阶微分方程很相似:

    b75cd2620b7cd94c93a82954705362ce.png

    把弹簧阻尼系统的二阶微分方程改写为如下形式:

    98ed0c25c31fde79b2fb790865d4b056.png

    可知:

    bf607b3b1d19dde7e6ac6325d5e12a77.png

    二阶系统的标准形式中,时间τ与质量M呈现正相关性,质量M越大时间常数越大。从惯性原理的角度考虑,质量越大,惯性越大,物体运动加速度越小,震荡频率越低,时间常数就越大;

    阻尼比ζ与阻尼系数f呈现正相关性,阻尼系数越大,阻尼比ζ越大。

    阻尼比ζ与质量M呈现负相关性,当f一定时,质量M越大,阻尼比ζ越小。这个关系可以从惯性的角度理解,质量M大,说明惯性大,对于同样大小的弹簧阻尼系数f,惯性越大的物体,在相等的时间内,使其由运动到停止所需要的弹簧阻尼系数f应该更大,即阻尼比ζ应该更大,而当弹簧阻尼系数f不变的情况下,惯性越大的物体由运动到停止所需要的时间更长,等效为阻尼比ζ相对于更大质量M来说产生的使物体从运动到停止的单位时间相对阻力更小。

    传递函数极点和零点对输出的影响:

    传递函数的极点就是微分方程的特征根,因此它们决定了所描述系统的自由运动模态。

    设某系统传递函数为:

    5bcf66fa52444783487c2a81112bff3c.png

    可知,极点p1=-1,p2=-2,零点z1=-3.

    自由运动模态为e-t和e-2t。当输入r(t)=r1+r2e-5t时,可求出系统的零状态响应为:

    9923ebeb1eda76adec4ffca422f977fb.png

    第一项输出值为:

    7de1877d1fff78526856af8f84363c0e.png

    第二项输出值为:

    1d501289b2be8640f51966fcecd435dd.png

    把两个输出值进行叠加获得两个输入量的输出响应:

    2a4daa444e2357ba837ba8a228f2edb0.png

    上式中前一项包含了输入量的模态,后一项包含了极点-1和-2产生的自由运动模态;

    两个不同的输入函数都形成了自由运动模态,说明自由运动模态是系统固有的成分,与输入函数形式无关;但是,如果没有输入量,也就不会产生自由模态,因此,可以认为自由模态是由输入函数激发而形成的。

    传递函数的零点不形成自由模态,但影响着各个自由模态在输出响应中的模态系数。

    设两个极点相同零点不同的传递函数:

    eee348b8b84acd8e09491975e16cc3d9.png

    极点都是-1,-2,零点分别为-0.5和-1.33.

    求传递函数的单位阶跃响应:

    17a92d8ccbaf41a3f121a9b106777f0a.png

    上式说明,两个不同零点的系统,相同的自由模态对应的模态系数不相同。

    在极点相同情况下,零点接近原点且距离两个极点的距离都比较远,对应的两个模态的系数大,反之,零点远离原点且距离两个极点距离较近,对应的两个模态的系数小;

    85cc0a2b5df651abbf826151ef1e5f1c.png
    375445901a82d4cd10a6cbe32d9596cb.png

    上图为两个输出响应曲线

    极点靠近原点,自由模态衰减慢,极点远离原点,自由模态衰减快;当零点位于两个极点之间时,运动模态系数符号都为负,系统不会产生过冲。

    当零点位于两个极点右侧时,靠近零点的自由运动模态系数为正,由于极点靠近原点,衰减速度慢,所以在曲线上表现为过冲衰减。

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  • 所谓“二阶构造”,其实就是说当某个类构造函数中,既涉及到类中成员变量初始化操作,又涉及到系统资源(如申请堆空间、打开外部文件等等)申请,且该种申请可能会失败情况时,我们可以将传统一个构造函数...

        所谓“二阶构造”,其实就是说当某个类的构造函数中,既涉及到类中成员变量的初始化操作,又涉及到系统资源(如申请堆空间、打开外部文件等等)的申请,且该种申请可能会失败的情况时,我们可以将传统的一个构造函数的主体人为的拆分成为2步来进行:

        * 第一步:形式上就是传统的构造函数,不同的是这里需要将该构造函数的访问属性设置为private,在该构造函数中只进行类中普通成员变量的初始化操作,一般的,纯粹的赋值操作不会发生意外(不成功的情况)

        * 第二步:一般的,类中额外定义一个名为construct()的私有成员方法,该方法中,进行该类的实例化操作时涉及到的系统资源的申请工作,返回值表示申请的成功或失败

    注:

        在二阶构造中,我们需要把上述2步涉及到的成员方法(包括构造函数和construct()的访问属性均设置为private),然后再额外的定义一个public的名为newInstance()的static成员方法,用来进行实际的类对象的定义。

        在这个newInstance()成员方法中,会首先在堆空间上申请类对象所占用的内存空间,然后通过该类对象调用construct成员方法进行系统资源的申请操作,最终表现为:对象实例化成功,则返回该对象的指针,对象实例化失败,则返回一个NULL空指针

    具体小例如下:

      1 #include <stdio.h>
      2
      3 class Test
      4 {
      5 private:
      6     int _mPara1;
      7     int _mPara2;
      8     int* _mP;
      9
     10     Test()
     11     {
     12         _mPara1 = 1;
     13         _mPara2 = 2;
     14     }
     15     bool construct()
     16     {
     17         bool ret = true;
     18
     19         _mP = new int(5);
     20
     21         if(!_mP)
     22         {
     23             ret = false;
     24         }
     25
     26         return ret;
     27     }
     28 public:
     29     static Test* newInstance()
     30     {
     31         Test* ret = new Test();
     32
     33         if(!(ret && ret->construct()))
     34         {
     35             delete ret;
     36             ret = NULL;
     37         }
     38
     39         return ret;
     40     }
     41     void print()
     42     {
     43         printf("*_mP = %d\n", *_mP);
     44         printf("_mPara1 = %d\n", _mPara1);
     45         printf("_mPara2 = %d\n", _mPara2);
     46     }
     47 };
     48
     49 int main(int argc, char** argv)
     50 {
     51     Test* t  = Test::newInstance();
     52
     53     t->print();
     54
     55     return 0;
     56 }
    

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  • 本节我们研究线性系统的相平面分析,这不光方便我们直观地看出系统地动态特性,也方便了我们下一节研究非线性系统的相平面分析。这是因为一个非线性系统在平衡点附近的动态特性...一个二阶线性系统的一般形式为: ...

    本节我们研究线性系统的相平面分析,这不光方便我们直观地看出系统地动态特性,也方便了我们下一节研究非线性系统的相平面分析。这是因为一个非线性系统在平衡点附近的动态特性与线性系统相似。

    一个二阶线性系统的一般形式为:
    在这里插入图片描述
    2.9b式两边同乘b,然后代入2.9a式得到:
    在这里插入图片描述
    然后对2.9a两边求导,并带入上式最终得到
    在这里插入图片描述
    换个符号最终改写为:
    在这里插入图片描述
    不难发现该方程表征的系统只有一个奇点,我们知道该线性方程具有两个特征根,且特征根的位置决定了系统的动态特性。下面我们讨论特征根的四个不同位置下奇点附近系统的动态

    1. 两个特征根都是实数且相同
    2. 两个特征根都是实数但符号相反
    3. 两个特征根互为共轭且带有非零实部
    4. 两个特征根互为共轭带有零实部
    稳定与不稳定节点

    第一种情况对应了一个节点,该节点可能是稳定的,也可能是不稳定的。如果两个特征根都为负,那么节点稳定,如图(a),相轨迹上的点都收敛于原点。如果两个特征根为正,该节点叫不稳定节点,相轨迹发散,如图(b)。
    在这里插入图片描述

    马鞍点

    第二种情况如图©,该相轨迹类似于一个马鞍。由于不稳定特征根的存在,我们可以发现几乎所有的点都趋近于无穷。但也有两条直线上的点是稳定的。这是两个特征根里面一个不稳定,一个稳定带来的结果。
    在这里插入图片描述

    稳定焦点与不稳定焦点

    下面的图对应了第三种情况。区别于第一种情况下直接的收敛或者发散,该情况下面相轨迹会绕着原点转几圈。这是因为复数项引入了震荡。
    在这里插入图片描述

    中心点

    下图对应了最后一种情况,我们发现相轨迹形成了椭圆。之前我们研究的无阻尼质量弹簧系统就属于这种情况。
    在这里插入图片描述
    我们这里发现对于线性系统,稳定性可以通过奇点来判断。但是这个发现并不能应用于非线性系统。

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