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  • 二阶系统模型
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    2021-02-16 23:24:30

    经典数学模型

    线性系统

    1. R-L-C震荡电路

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    • 微分方程形式:

    根据克希荷夫定律,电路平衡方程
    u r ( t ) = L d i ( t ) d t + R i ( t ) + 1 C ∫ i d t u c = 1 C ∫ i d t u_r(t)=L\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+Ri(t)+\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t\\ u_c=\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t ur(t)=Ldtdi(t)+Ri(t)+C1idtuc=C1idt
    消去中间变量 i ( t ) i(t) i(t),整理得:
    d 2 u c ( t ) d t 2 + R L d u c ( t ) d t + 1 L C u c ( t ) = 1 L C u r ( t ) \frac{\text{d}^2u_c(t)}{\text{d}t^2}+\frac{R}{L}\frac{\text{d}u_c(t)}{\text{d}t}+\frac{1}{LC}u_c(t)=\frac{1}{LC}u_r(t) dt2d2uc(t)+LRdtduc(t)+LC1uc(t)=LC1ur(t)

    • 传递函数形式:

    G ( s ) = U c U r = 1 L C s 2 + R L s + 1 L C = w n 2 s 2 + 2 ξ w n s + w n 2 G(s)=\frac{U_c}{U_r}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}=\frac{w_n^2}{s^2+2\xi w_ns+w_n^2} G(s)=UrUc=s2+LRs+LC1LC1=s2+2ξwns+wn2wn2

    • 动态方程形式:

    动态系统:能储存输入信息(或能量)得系统。

    状态变量
    x 1 = i , x 2 = 1 C ∫ i d t x_1=i,x_2=\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t x1=i,x2=C1idt
    状态方程为
    x 1 ˙ = − R L x 1 − 1 L x 2 + 1 L u r x 2 ˙ = 1 C x 1 \dot{x_1}=-\frac{R}{L}x_1-\frac{1}{L}x_2+\frac{1}{L}u_r\\ \dot{x_2}=\frac{1}{C}x_1 x1˙=LRx1L1x2+L1urx2˙=C1x1
    输出方程
    y = x 2 y=x_2 y=x2
    整理可得动态方程为:
    x ˙ = A x + B u r y = C x \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{Bu_r}\\ y=\boldsymbol{Cx} x˙=Ax+Bury=Cx
    其中
    A = [ − R L − 1 L 1 C 0 ] B = [ 1 L 0 ] C = [ 0 1 ] \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} -\frac{R}{L}&-\frac{1}{L}\\ \frac{1}{C}&0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} \frac{1}{L}\\0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix} 0&1 \end{bmatrix} A=[LRC1L10]B=[L10]C=[01]

    1. 弹簧-质量-阻尼器系统

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-t2EsJnFf-1613488245943)(%E5%9B%BE%E7%89%87/MKF.png)]

    • 微分方程形式:

    d 2 y ( t ) d t 2 + f m d y ( t ) d t + k m y ( t ) = u ( t ) m \frac{\text{d}^2y(t)}{\text{d}t^2}+\frac{f}{m}\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}+\frac{k}{m}y(t)=\frac{u(t)}{m} dt2d2y(t)+mfdtdy(t)+mky(t)=mu(t)

    • 传递函数形式:

    G ( s ) = U Y = 1 m s 2 + f m s + k m = w n 2 k s 2 + 2 ξ w n s + w n 2 G(s)=\frac{U}{Y}=\frac{\frac{1}{m}}{s^2+\frac{f}{m}s+\frac{k}{m}}=\frac{\frac{w_n^2}{k}}{s^2+2\xi w_ns+w_n^2} G(s)=YU=s2+mfs+mkm1=s2+2ξwns+wn2kwn2

    • 动态方程形式:

    状态变量
    x 1 ( t ) = y ( t ) , x 2 = y ˙ ( t ) x_1(t)=y(t),\quad x_2=\dot{y}(t) x1(t)=y(t),x2=y˙(t)
    状态方程
    x 1 ˙ = x 2 x 2 ˙ = − k m x 1 − f m x 2 + 1 m u \dot{x_1}=x_2\\ \dot{x_2}=-\frac{k}{m}x_1-\frac{f}{m}x_2+\frac{1}{m}u x1˙=x2x2˙=mkx1mfx2+m1u
    输出方程
    y = x 2 y=x_2 y=x2
    整理可得动态方程为:
    x ˙ = A x + B u r y = C x \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{Bu_r}\\ y=\boldsymbol{Cx} x˙=Ax+Bury=Cx
    其中
    A = [ 0 1 − k m − f m ] B = [ 0 1 m ] C = [ 1 0 ] \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{f}{m} \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} 0\\\frac{1}{m} \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix} A=[0mk1mf]B=[0m1]C=[10]

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    86614f4a739f4b2832d9f1b3021f5fd9.png

    控制理论的第一课往往以拉普拉斯变换开头,但往往让人困惑的也是这个拉普拉斯变换,为什么要做这样一个变换?先来看个电路的例子:

    fd23575c6cf54f6f470154893356ede2.png

    由电路知识,可以列写方程:

    拿到了这个方程,如果没学过微分方程的解法,该怎么办?

    1887年,Oliver Heaviside遇到了这个问题,他拿到了类似的微分方程,里面有一阶导数、二阶导数等等,这位大佬看着一阶、二阶这些阶数,突然想到了一个对应关系,如果我们把求一次导看成乘一次数,这不就简单了吗?例如:

    Oliver随后引入了传递函数的概念,即:

    他根据工程经验进行了验证,发现这种变换分析电子电路时可以采用。

    但问题同样也出现了,这种变换有没有什么数学依据,虽然工程上可以这样变换。

    为这种变换找个数学上靠谱的依据不是容易事,1940年左右,有可能是一位数学家的跨行研究导致,人们才意识到,早在1782年,Pierre-Simon-Laplace导出的拉普拉斯变换,早就涵盖了这种方法。

    于是,带着探索之心,工程界的众人拿起了数学课本,开始审视拉普拉斯变换。

    一个函数

    的Laplace变换定义为

    知乎上另一篇文章具体解释了为何能得出Oliver的结果:

    李寒潭:【自动控制原理】1.传递函数​zhuanlan.zhihu.com
    首先, 定义复空间上两个函数
    的内积

    易证
    是复空间中的一组正交基。那么根据
    内积的意义——一个函数与另一个函数的内积,是这个函数在另一个函数方向上的 投影,可得实函数
    在复空间基底
    上的投影为

    为方便起见,令
    表示虚变量。(我们后面可以看到它更深层的意义。)则可将该投影式记为

    (这里的s与实数域中的t相对应,都表示空间上的变量)
    同理可证
    在实空间中的投影。

    有了实空间中
    与复空间中
    的一一对应投影关系,我们就可以通过在复空间中对
    进行分析和运算,从而获知实空间中
    的性质和运算结果。在做这件事情之前,首先需要对实空间和复空间中的运算关系进行定义。

    定义微分算子(这里的define等号表示的是对应关系,而不表示相等)

    这是因为
    (设初值为0)

    从复空间中微分算子的定义就可以看出选择
    作为基底的好处了。因为复指数函数有一个最大的优点,就是对它求导等于它自身乘一个数。因此,当我们在实空间中对
    求一次导数时,在复空间中只需要将它对应的投影式乘以微分算子
    。这样就极大地简化了求导运算。

    类似可定义积分算子为

    即对
    进行一次积分,只需对其投影式除以

    拿到了数学上的依据,传递函数获得了自己的根基,正式走入了课本。也拥有了正式的定义

    传递函数是指零初始条件下线性时不变系统响应(即输出)量的拉普拉斯变换(或z变换)与激励(即输入)量的拉普拉斯变换之比。

    拉普拉斯变换从形式上看比较麻烦,所幸控制工程师无需过于纠结,毕竟有整理好的表格

    拉普拉斯变换表 - 百度文库​wenku.baidu.com

    除了从微分方程导出传递函数,一些典型环节的传递函数经常用到,有时候还需要处理多个系统连接的情况,需要用到梅森增益公式、结构图化简等技巧。(不作展开)

    https://www.bilibili.com/video/av71857275?from=search&seid=5072051921356333345​www.bilibili.com https://www.bilibili.com/video/av40046656?p=4​www.bilibili.com

    (2.3-2.4)

    但是,当我们重新审视传递函数定义时,线性时不变系统,这个词让人有点棘手,因为工程里很少有这样的系统,虽然我们可以使用后续的非线性特性来处理,然而在这里,我们可以简单的线性化。线性化的基础是泰勒展开。详见下个链接

    [图文]微分方程的线性化 - 百度文库​wenku.baidu.com

    另一种方式可以设计补偿环节,使得系统非常接近线性时不变。

    参考文献:

    1、https://zhuanlan.zhihu.com/p/23617272

    2、线性系统理论与设计,Chi-Tsong Chen著

    3、控制系统设计指南,George Eills著

    System control:控制理论基础(二)时域分析与稳定性​zhuanlan.zhihu.com
    ecd3052b7f03b98df00cd2a3bb8408d0.png
    展开全文
  • 1、建模方法:实验法:人为给系统施加某种测试信号,记录相应的输出,然后用适当的数学模型去逼近,也称为系统辨识方法;解析法:利用已有的物理规律和化学规律来分析系统各部分的运动机理,获取其运动方程。2、常用...

    1、建模方法

    实验法:人为给系统施加某种测试信号,记录相应的输出,然后用适当的数学模型去逼近,也称为系统辨识方法;
    解析法:利用已有的物理规律和化学规律来分析系统各部分的运动机理,获取其运动方程。

    2、常用的数学模型

    ①时域中常使用的数学模型:微分方程、差分方程;
    ②复域中常用的数学模型:传递函数、结构图;
    ③频域中常用的数学模型:频率特性。

    2.1、微分方程:通常,解析法对系统或元部件建模如下:

    ①分析系统运动的因果关系,确定其输入、输出、中间变量及其之间关系;
    ②从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理(或化学)规律,列写出各个元部件的动态方程;
    ③消去中间变量,写出输入与输出变量的微分方程。
    注:系统的数学模型越精确,微分方程的阶次越高,直接对高阶微分方程求解困难。
    如果系统参数或者结构发生变化,需要重新建模并求解微分方程,不利于系统的分析与设计。

    2.2、传递函数:在零初始条件下,输出信号c(t)的拉氏变换C(s)与输入信号r(t)的拉氏变换R(s)之比,记为G(s):G(s)=

    =
    注:“零初始条件”有两个含义:
    ①指输入在t=0之后才作用于系统,因此t≤0时系统输入量及其各阶导数为0;
    ②输入作用于系统之前,系统是相对静止的,就是系统的输出量及其各阶导数在t≤0时也为0。
    • G(s)的常用形式:
    ①有理分式形式
    ,式中

    ②零极点形式
    ,式中
    为零点,
    为极点,
    为增益;

    ③时间常数形式
    为时间常数,
    为放大系数。
    • 由G(s)时间常数形式可知,任一复杂系统的G(s)可由如下6个典型环节组成:
    ①比例环节:G(s)=
    =K;

    ②惯性环节:G(s)=
    =
    ;(因储能元件,输出量不能立即跟上输入信号)

    ③积分环节(也称无差环节):G(s)=
    =
    (一阶),
    (二阶);

    ④微分环节: G(s)=
    =s(理想微分环节),
    (一阶),
    (二阶);

    ⑤振荡环节:G(s)=
    =
    ,式中
    称为无阻尼振荡频率,
    为阻尼比;

    ⑥滞后环节(也称延迟环节): G(s)=
    注:i.因为实际物理系统总是存在惯性,并且能源功率有限,使得传递函数的分母阶次n总是
    大于或等于分子阶次m;
    ii.传递函数只取决于系统的结构和参数,与外界作用无关;
    iii.传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应,即G(s)=C(s)/R(s)=C(s)(因为r(t)=δ(t)的拉氏变
    换为R(s)=1)。

    2.3、结构图 如下图,R(s)为指定输入信号,N(s)为干扰信号,C(s)为输出信号,E(s)为误差信号,其中R(s)与N(s)为系统的两个输入,E(s)和C(s)为系统的两个输出。

    8c349d13b9a1d94b6c62c324462e0a3a.png
    • 系统的开环传递函数:系统的主反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比,即
    注:这里的开环传递函数是指闭环控制系统里的某一处开环的传递函数,而不是指开环控制
    系统的传递函数。
    • 系统的闭环传递函数

    ①当N(s)=0时,输出C(s)对给定输入R(s)的传递函数为

    ②当R(s)=0时,输出C(s)对扰动N(s)的传递函数为

    当给定输入和扰动同时作用被控系统时,根据线性叠加原理,有

    • 系统的误差传递函数

    ①当N(s)=0时,则误差E(s)对R(s)的传递函数为

    ②当R(s)=0时,则误差E(s)对N(s)的传递函数为(简称扰动误差传递函数)

    当给定输入和扰动同时作用被控系统时,根据线性叠加原理,系统误差为

    注:当系统参数、结构发生变化时,微分方程形式模型需要重新建模,而传递函数形式模型
    不必重新建模,这是因为经过拉普拉斯变换后串联、并联、反馈连接形式的环节,其运算变
    为乘、加等低级运算,不再是微分运算。

    2.4、频率特性:稳定的线性定常系统在正弦信号的作用下,系统输出的稳态分量与输入的复数之比;其中,输出的稳态分量振幅与输入的振幅比A(w)称为幅频特性,输出的稳态分量相位与输入的相角之差φ(w)称为相频特性,即

    注:i.频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性;
    ii.φ(ω)大于零时称相角超前,小于零时称相角滞后;
    iii.频率特性反映了系统的内在性质,与外界因素无关。

    3、数学模型是等价变换的:微分方程、传递函数、结构图、频率特性之间一一对应的。


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  • 离散系统数学模型

    千次阅读 2021-08-23 17:05:16
    【自控笔记】6.4 离散系统的数学模型 一、离散系统数学定义 离散系统:输入序列r(n)r(n)r(n)与输出序列c(n)c(n)c(n)的一种变换关系,记作c(n)=F[r(n)]c(n)=F[r(n)]c(n)=F[r(n)]。 如果这种变换关系为线性的,则称为...

    【自控笔记】6.4 离散系统的数学模型

    一、离散系统数学定义

    离散系统:输入序列 r ( n ) r(n) r(n)与输出序列 c ( n ) c(n) c(n)的一种变换关系,记作 c ( n ) = F [ r ( n ) ] c(n)=F[r(n)] c(n)=F[r(n)]
    如果这种变换关系为线性的,则称为线性离散系统;如果是非线性的则称为非线性离散系统。线性离散系统满足叠加定理,如果这种输入输出关系不随时间的改变而改变,则该系统称为线性定常离散系统

    二、差分与差分方程

    1、差分

    设连续函数为 y ( k ) y(k) y(k), 其一阶前向差分为:
    Δ y ( k ) = y ( k + 1 ) − y ( k ) Δy(k)=y(k+1)-y(k) Δy(k)=y(k+1)y(k)
    其二阶差为:
    Δ 2 y ( k ) = Δ [ Δ y ( k ) ] = Δ [ y ( k + 1 ) − y ( k ) ] = Δ y ( k + 1 ) − Δ y ( k ) = y ( k + 2 ) − 2 y ( k + 1 ) + y ( k ) Δ^2y(k)=Δ[Δy(k)]=Δ[y(k+1)-y(k)]=Δy(k+1)-Δy(k)=y(k+2)-2y(k+1)+y(k) Δ2y(k)=Δ[Δy(k)]=Δ[y(k+1)y(k)]=Δy(k+1)Δy(k)=y(k+2)2y(k+1)+y(k)

    所谓的前向差分,其实就相当于数列的后一项减去前一项,类比于微分有如下关系:
    lim ⁡ T → 0 Δ y ( k ) T = d y ( t ) d t \lim_{T \to 0}\frac{Δy(k)}{T}=\frac{dy(t)}{dt} T0limTΔy(k)=dtdy(t)
    也就是当采样周期T=0时,差分相当于连续系统中的导数。实际上在计算机控制中,常用差分来代替微分。

    差分有前向差分和后向差分,但两者实际上是可以等价的,都是关于离散信号 y ( k ) y(k) y(k)的递推式,与微分的关系也是相同的,这里就不赘述。

    2、差分方程

    差分方程类似于连续系统中的微分方程,是离散系统输入输出变量及其各阶差分组成的等式,同时也可以吧这个等式看成一个递推公式。n阶前向差分方程如下:
    c ( k + n ) + a 1 c ( k + n − 1 ) + . . . + a n − 1 c ( k + 1 ) + a n c ( k ) = b 0 r ( k + m ) + b 1 r ( k + m − 1 ) + . . . + b m − 1 r ( k + 1 ) + b m r ( k ) c(k+n)+a_1c(k+n-1)+...+a_{n-1}c(k+1)+a_{n}c(k)\newline =b_0r(k+m)+b_1r(k+m-1)+...+b_{m-1}r(k+1)+b_{m}r(k) c(k+n)+a1c(k+n1)+...+an1c(k+1)+anc(k)=b0r(k+m)+b1r(k+m1)+...+bm1r(k+1)+bmr(k)

    3、差分方程求解

    (1)迭代法
    首先要明确差分方程是一个递推式,迭代法就是根据输出序列的初始值,利用递推公式逐步求出系统在给定输入序列下的输出序列。

    例:已知差分方程为
    c ( k ) = r ( k ) + 5 c ( k − 1 ) − 6 c ( k − 2 ) c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2) c(k)=r(k)+5c(k1)6c(k2)
    输入序列r(k)=1,初始条件为c(0)=0,c(1)=1,试利用迭代法求出 c ∗ ( t ) c^*(t) c(t)
    c ( 0 ) = 0 c ( 1 ) = 1 c ( 2 ) = r ( 2 ) + 5 c ( 1 ) − 6 c ( 0 ) = 6 c ( 3 ) = r ( 3 ) + 5 c ( 2 ) − 6 c ( 1 ) = 25 c ( 4 ) = r ( 4 ) + 5 c ( 3 ) − 6 c ( 2 ) = 90 . . . c ∗ ( t ) = δ ( t − 1 ) + 6 δ ( t − 2 ) + 25 δ ( t − 3 ) + . . . c(0)=0\newline c(1)=1\newline c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6\newline c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25\newline c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90 \newline ...\newline c^*(t)=δ(t-1)+6δ(t-2)+25δ(t-3)+... c(0)=0c(1)=1c(2)=r(2)+5c(1)6c(0)=6c(3)=r(3)+5c(2)6c(1)=25c(4)=r(4)+5c(3)6c(2)=90...c(t)=δ(t1)+6δ(t2)+25δ(t3)+...

    (2)Z变换法

    Z变换法可以根据Z变换的正负偏移定理,对差分方程两边求Z变换。再根据初始条件和给定输入信号的Z变换 R ( z ) R(z) R(z),求出系统输出的Z变换表达式。对其进行Z反变换可求得系统的输出序列从c(k)。

    例:已知描述离散控制系统的差分方程为
    c ( k + 2 T ) + 3 c ( k + T ) + 2 c ( k ) = 0 c(k+2T)+3c(k+T)+2c(k)=0 c(k+2T)+3c(k+T)+2c(k)=0
    且c(0)=0,c(1)=1,求差分方程的解。

    解:利用Z变换超前定理对差分方程两边求Z变换得
    z 2 C ( z ) − z 2 C ( 0 ) − z C ( 1 ) + 3 z C ( z ) − 3 z C ( 0 ) + 2 C ( z ) = 0 z^2C(z)-z^2C(0)-zC(1)+3zC(z)-3zC(0)+2C(z)=0 z2C(z)z2C(0)zC(1)+3zC(z)3zC(0)+2C(z)=0
    整理得Z变换得表达式为
    C ( z ) = z z 2 + 3 z + 2 = z z + 1 − z z + 2 C(z)=\frac{z}{z^2+3z+2}=\frac{z}{z+1}-\frac{z}{z+2} C(z)=z2+3z+2z=z+1zz+2z
    查表可得Z反变换的结果,即输出序列
    c ( k ) = ( − 1 ) k − ( − 2 ) k k = 0 , 1 , 2 , . . . c(k)=(-1)^k-(-2)^k \quad k=0,1,2,... c(k)=(1)k(2)kk=0,1,2,...

    三、脉冲传递函数

    脉冲传递函数是离散系统的复域模型,可类比于连续系统的传递函数。

    1、定义:零初始条件下离散系统输出Z变换对输入Z变换之比。用 G ( z ) G(z) G(z)表示,即:
    G ( z ) = C ( z ) R ( z ) G(z)=\frac{C(z)}{R(z)} G(z)=R(z)C(z)
    下面来解释一下脉冲传递函数 G ( z ) G(z) G(z),下图为开环离散系统的方框图,对于一般的连续系统,当输入是离散信号时,输出仍然是连续信号,并不能使用Z变换理论进行研究。于是可以在系统输出端虚设一个理想采样开关,采样周期与输入采样同步。实际上虚设的采样开关是不存在的,它表明系统的脉冲传递函数只能描述 c ∗ ( t ) c^*(t) c(t)而不能描述 c ( t ) c(t) c(t)

    设输入为单位脉冲函数 r ( t ) = δ ( t ) r(t)=δ(t) r(t)=δ(t), 其输出为为单位脉冲响应 g ( t ) g(t) g(t)。则有输入采样序列为:
    r ∗ ( t ) = ∑ n = 0 ∞ r ( n T ) δ ( t − n T ) r^*(t)=\sum_{n=0}^{\infty}r(nT)δ(t-nT) r(t)=n=0r(nT)δ(tnT)
    根据叠加定理有
    c ( t ) = r ( 0 ) g ( t ) + r ( T ) g ( t − T ) + . . . + r ( n T ) g ( t − n T ) = ∑ n = 0 ∞ r ( n T ) g ( t − n T ) c(t)=r(0)g(t)+r(T)g(t-T)+...+r(nT)g(t-nT)=\sum_{n=0}^{\infty}r(nT)g(t-nT) c(t)=r(0)g(t)+r(T)g(tT)+...+r(nT)g(tnT)=n=0r(nT)g(tnT)
    令t=kT,可得
    c ( k T ) = ∑ n = 0 ∞ r ( n T ) g [ ( k − n ) T ] c(kT)=\sum_{n=0}^{\infty}r(nT)g[(k-n)T] c(kT)=n=0r(nT)g[(kn)T]
    由于t<0时,g(t)=0,所以有当k<n时,g[(k-n)T]=0。即kT以后的输入脉冲不会对kT时刻的输出信号造成影响。所以得
    c ( k T ) = ∑ n = 0 k r ( n T ) g [ ( k − n ) T ] = r ( k T ) ∗ g ( k T ) c(kT)=\sum_{n=0}^{k}r(nT)g[(k-n)T]=r(kT)*g(kT) c(kT)=n=0kr(nT)g[(kn)T]=r(kT)g(kT)
    即说明:系统输出的离散序列等于输入采样序列与系统传函采样序列的卷积
    根据卷积定理,则有
    C ( z ) = G ( z ) R ( z ) C(z)=G(z)R(z) C(z)=G(z)R(z)
    又根据Z变换的定义
    G ( Z ) = ∑ n = 0 ∞ g ( n T ) z − n G(Z)=\sum_{n=0}^{\infty}g(nT)z^{-n} G(Z)=n=0g(nT)zn
    G ( z ) G(z) G(z)就是系统单位脉冲响应序列的Z变换
    另外需要注意 G ( Z ) ≠ G ( s ) s = z G(Z)≠G(s)_{s=z} G(Z)=G(s)s=z

    2、脉冲传递函数的性质
    (1) G ( z ) G(z) G(z)是关于z的复函数
    (2) G ( z ) G(z) G(z)与输入输出序列没有关系,和它们的比有关,即之和系统的结构参数有关。
    (3) G ( z ) G(z) G(z)与系统的差分方程是一一对应的,可相互求解。
    (4) G ( z ) G(z) G(z),脉冲传递函数就是系统单位脉冲响应序列的Z变换

    3、脉冲传递函数的局限性
    (1)原则上,不反应非零初始条件下系统响应的全部信息。但不影响讨论。
    (2)一般只适合描述单输入单输出离散系统。
    (3)只适合用于描述线性定常离散系统。

    四、开环离散系统的脉冲传递函数

    1、串联环节之间有采样开关

    这种情况下,各串联环节之间要分开进行Z变换。
    G ( z ) = G 1 ( z ) G 2 ( z ) G(z)=G_1(z)G_2(z) G(z)=G1(z)G2(z)

    2、串联环节之间没有采样开关
    这种情况下,各串联环节之间要乘在一起进行Z变换。
    G ( z ) = Z [ G 1 ( s ) G 2 ( s ) ] = G 1 G 2 ( z ) G(z)=Z[G_1(s)G_2(s)]=G_1G_2(z) G(z)=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)
    结构框图如下:

    3、有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数

    对于带有零阶保持器的系统可做如下变换:

    G ( z ) = z − 1 z Z [ G 0 ( s ) s ] G(z)=\frac{z-1}{z}Z[\frac{G_0(s)}{s}] G(z)=zz1Z[sG0(s)]

    直接将零阶保持器的分母凑到系统传函中,在将余下的部分直接进行变量替换。加零阶保持器不改变 系统的阶数,不改变开环极点,只改变开环零点。

    五、离散系统的闭环脉冲传递函数

    闭环离散控制系统的典型结构图如下所示:

    一般来说,不能直接使用梅森公式求系统闭环脉冲传递函数,这能一点点地从后往前推。
    以下两种情况可以使用梅森公式进行求解:
    1、单回路(无前馈通道)离散系统,在前向通道至少存在一个实际的采样开关。
    2、离散系统结构图中各环节之间均有或有等效采样开关时。

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