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2021-02-16 23:24:30
经典数学模型
线性系统
- R-L-C震荡电路
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- 微分方程形式：
根据克希荷夫定律，电路平衡方程
u r ( t ) = L d i ( t ) d t + R i ( t ) + 1 C ∫ i d t u c = 1 C ∫ i d t u_r(t)=L\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+Ri(t)+\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t\\ u_c=\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t ur(t)=Ldtdi(t)+Ri(t)+C1∫idtuc=C1∫idt
消去中间变量 i ( t ) i(t) i(t)，整理得：
d 2 u c ( t ) d t 2 + R L d u c ( t ) d t + 1 L C u c ( t ) = 1 L C u r ( t ) \frac{\text{d}^2u_c(t)}{\text{d}t^2}+\frac{R}{L}\frac{\text{d}u_c(t)}{\text{d}t}+\frac{1}{LC}u_c(t)=\frac{1}{LC}u_r(t) dt2d2uc(t)+LRdtduc(t)+LC1uc(t)=LC1ur(t)- 传递函数形式：
G ( s ) = U c U r = 1 L C s 2 + R L s + 1 L C = w n 2 s 2 + 2 ξ w n s + w n 2 G(s)=\frac{U_c}{U_r}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}=\frac{w_n^2}{s^2+2\xi w_ns+w_n^2} G(s)=UrUc=s2+LRs+LC1LC1=s2+2ξwns+wn2wn2
- 动态方程形式：
动态系统：能储存输入信息（或能量）得系统。
状态变量
x 1 = i , x 2 = 1 C ∫ i d t x_1=i,x_2=\frac{1}{C}\int{}{}i\text{d}t x1=i,x2=C1∫idt
状态方程为
x 1 ˙ = − R L x 1 − 1 L x 2 + 1 L u r x 2 ˙ = 1 C x 1 \dot{x_1}=-\frac{R}{L}x_1-\frac{1}{L}x_2+\frac{1}{L}u_r\\ \dot{x_2}=\frac{1}{C}x_1 x1˙=−LRx1−L1x2+L1urx2˙=C1x1
输出方程
y = x 2 y=x_2 y=x2
整理可得动态方程为：
x ˙ = A x + B u r y = C x \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{Bu_r}\\ y=\boldsymbol{Cx} x˙=Ax+Bury=Cx
其中
A = [ − R L − 1 L 1 C 0 ] B = [ 1 L 0 ] C = [ 0 1 ] \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} -\frac{R}{L}&-\frac{1}{L}\\ \frac{1}{C}&0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} \frac{1}{L}\\0 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix} 0&1 \end{bmatrix} A=[−LRC1−L10]B=[L10]C=[01]- 弹簧-质量-阻尼器系统
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- 微分方程形式：
d 2 y ( t ) d t 2 + f m d y ( t ) d t + k m y ( t ) = u ( t ) m \frac{\text{d}^2y(t)}{\text{d}t^2}+\frac{f}{m}\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}+\frac{k}{m}y(t)=\frac{u(t)}{m} dt2d2y(t)+mfdtdy(t)+mky(t)=mu(t)
- 传递函数形式：
G ( s ) = U Y = 1 m s 2 + f m s + k m = w n 2 k s 2 + 2 ξ w n s + w n 2 G(s)=\frac{U}{Y}=\frac{\frac{1}{m}}{s^2+\frac{f}{m}s+\frac{k}{m}}=\frac{\frac{w_n^2}{k}}{s^2+2\xi w_ns+w_n^2} G(s)=YU=s2+mfs+mkm1=s2+2ξwns+wn2kwn2
- 动态方程形式：
状态变量
x 1 ( t ) = y ( t ) , x 2 = y ˙ ( t ) x_1(t)=y(t),\quad x_2=\dot{y}(t) x1(t)=y(t),x2=y˙(t)
状态方程
x 1 ˙ = x 2 x 2 ˙ = − k m x 1 − f m x 2 + 1 m u \dot{x_1}=x_2\\ \dot{x_2}=-\frac{k}{m}x_1-\frac{f}{m}x_2+\frac{1}{m}u x1˙=x2x2˙=−mkx1−mfx2+m1u
输出方程
y = x 2 y=x_2 y=x2
整理可得动态方程为：
x ˙ = A x + B u r y = C x \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{Bu_r}\\ y=\boldsymbol{Cx} x˙=Ax+Bury=Cx
其中
A = [ 0 1 − k m − f m ] B = [ 0 1 m ] C = [ 1 0 ] \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{f}{m} \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{B}=\begin{bmatrix} 0\\\frac{1}{m} \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix} A=[0−mk1−mf]B=[0m1]C=[10]更多相关内容 -
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控制理论的第一课往往以拉普拉斯变换开头，但往往让人困惑的也是这个拉普拉斯变换，为什么要做这样一个变换?先来看个电路的例子：
由电路知识，可以列写方程：
拿到了这个方程，如果没学过微分方程的解法，该怎么办？
1887年，Oliver Heaviside遇到了这个问题，他拿到了类似的微分方程，里面有一阶导数、二阶导数等等，这位大佬看着一阶、二阶这些阶数，突然想到了一个对应关系，如果我们把求一次导看成乘一次数，这不就简单了吗？例如:
Oliver随后引入了传递函数的概念，即：
他根据工程经验进行了验证，发现这种变换分析电子电路时可以采用。
但问题同样也出现了，这种变换有没有什么数学依据，虽然工程上可以这样变换。
为这种变换找个数学上靠谱的依据不是容易事，1940年左右，有可能是一位数学家的跨行研究导致，人们才意识到，早在1782年，Pierre-Simon-Laplace导出的拉普拉斯变换，早就涵盖了这种方法。
于是，带着探索之心，工程界的众人拿起了数学课本，开始审视拉普拉斯变换。
一个函数
的Laplace变换定义为
知乎上另一篇文章具体解释了为何能得出Oliver的结果：
李寒潭：【自动控制原理】1.传递函数zhuanlan.zhihu.com首先， 定义复空间上两个函数
为的内积
易证内积的意义——一个函数与另一个函数的内积，是这个函数在另一个函数方向上的 投影，可得实函数是复空间中的一组正交基。那么根据
在复空间基底
上的投影为
为方便起见，令表示虚变量。（我们后面可以看到它更深层的意义。）则可将该投影式记为
（这里的s与实数域中的t相对应，都表示空间上的变量）
同理可证是
在实空间中的投影。
有了实空间中与复空间中
的一一对应投影关系，我们就可以通过在复空间中对
进行分析和运算，从而获知实空间中
的性质和运算结果。在做这件事情之前，首先需要对实空间和复空间中的运算关系进行定义。
定义微分算子（这里的define等号表示的是对应关系，而不表示相等）
这是因为(设初值为0)
从复空间中微分算子的定义就可以看出选择作为基底的好处了。因为复指数函数有一个最大的优点，就是对它求导等于它自身乘一个数。因此，当我们在实空间中对
求一次导数时，在复空间中只需要将它对应的投影式乘以微分算子
。这样就极大地简化了求导运算。
类似可定义积分算子为
即对进行一次积分，只需对其投影式除以
。
拿到了数学上的依据，传递函数获得了自己的根基，正式走入了课本。也拥有了正式的定义
传递函数是指零初始条件下线性时不变系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。
拉普拉斯变换从形式上看比较麻烦，所幸控制工程师无需过于纠结，毕竟有整理好的表格
拉普拉斯变换表 - 百度文库wenku.baidu.com除了从微分方程导出传递函数，一些典型环节的传递函数经常用到，有时候还需要处理多个系统连接的情况，需要用到梅森增益公式、结构图化简等技巧。（不作展开）
https://www.bilibili.com/video/av71857275?from=search&seid=5072051921356333345www.bilibili.com https://www.bilibili.com/video/av40046656?p=4www.bilibili.com（2.3-2.4）
但是，当我们重新审视传递函数定义时，线性时不变系统，这个词让人有点棘手，因为工程里很少有这样的系统，虽然我们可以使用后续的非线性特性来处理，然而在这里，我们可以简单的线性化。线性化的基础是泰勒展开。详见下个链接
[图文]微分方程的线性化 - 百度文库wenku.baidu.com另一种方式可以设计补偿环节，使得系统非常接近线性时不变。
参考文献：
1、https://zhuanlan.zhihu.com/p/23617272
2、线性系统理论与设计，Chi-Tsong Chen著
3、控制系统设计指南，George Eills著
System control：控制理论基础（二）时域分析与稳定性zhuanlan.zhihu.com
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简单典型二阶系统_自动控制原理要点---第二章 系统建模
2020-11-21 04:07:161、建模方法：实验法：人为给系统施加某种测试信号，记录相应的输出，然后用适当的数学模型去逼近，也称为系统辨识方法；解析法：利用已有的物理规律和化学规律来分析系统各部分的运动机理，获取其运动方程。2、常用...展开全文1、建模方法：
实验法：人为给系统施加某种测试信号，记录相应的输出，然后用适当的数学模型去逼近，也称为系统辨识方法；
解析法：利用已有的物理规律和化学规律来分析系统各部分的运动机理，获取其运动方程。2、常用的数学模型：
①时域中常使用的数学模型：微分方程、差分方程；
②复域中常用的数学模型：传递函数、结构图；
③频域中常用的数学模型：频率特性。2.1、微分方程：通常，解析法对系统或元部件建模如下：
①分析系统运动的因果关系，确定其输入、输出、中间变量及其之间关系；
②从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）规律，列写出各个元部件的动态方程；
③消去中间变量，写出输入与输出变量的微分方程。注：系统的数学模型越精确，微分方程的阶次越高，直接对高阶微分方程求解困难。 如果系统参数或者结构发生变化，需要重新建模并求解微分方程，不利于系统的分析与设计。2.2、传递函数：在零初始条件下，输出信号c(t)的拉氏变换C(s)与输入信号r(t)的拉氏变换R(s)之比，记为G(s)：G(s)=
=
。
注：“零初始条件”有两个含义： ①指输入在t=0之后才作用于系统，因此t≤0时系统输入量及其各阶导数为0； ②输入作用于系统之前，系统是相对静止的，就是系统的输出量及其各阶导数在t≤0时也为0。- G(s)的常用形式：
①有理分式形式
，式中
；
②零极点形式，式中
为零点，
为极点，
为增益；
③时间常数形式，
为时间常数，
为放大系数。
- 由G(s)时间常数形式可知，任一复杂系统的G(s)可由如下6个典型环节组成：
①比例环节：G(s)=
=K；
②惯性环节：G(s)==
；（因储能元件，输出量不能立即跟上输入信号）
③积分环节（也称无差环节）：G(s)==
(一阶)，
(二阶)；
④微分环节： G(s)==s(理想微分环节)，
(一阶)，
(二阶)；
⑤振荡环节：G(s)==
，式中
称为无阻尼振荡频率，
为阻尼比；
⑥滞后环节（也称延迟环节）： G(s)=。
注：i.因为实际物理系统总是存在惯性，并且能源功率有限，使得传递函数的分母阶次n总是 大于或等于分子阶次m； ii.传递函数只取决于系统的结构和参数，与外界作用无关； iii.传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应，即G(s)=C(s)/R(s)=C(s)（因为r(t)=δ(t)的拉氏变 换为R(s)=1）。2.3、结构图 如下图，R(s)为指定输入信号，N(s)为干扰信号，C(s)为输出信号，E(s)为误差信号，其中R(s)与N(s)为系统的两个输入，E(s)和C(s)为系统的两个输出。
- 系统的开环传递函数：系统的主反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比，即
注：这里的开环传递函数是指闭环控制系统里的某一处开环的传递函数，而不是指开环控制 系统的传递函数。- 系统的闭环传递函数
①当N(s)=0时，输出C(s)对给定输入R(s)的传递函数为
②当R(s)=0时，输出C(s)对扰动N(s)的传递函数为
当给定输入和扰动同时作用被控系统时，根据线性叠加原理，有
- 系统的误差传递函数
①当N(s)＝0时，则误差E(s)对R(s)的传递函数为
②当R(s)=0时，则误差E(s)对N(s)的传递函数为（简称扰动误差传递函数）
当给定输入和扰动同时作用被控系统时，根据线性叠加原理，系统误差为
注：当系统参数、结构发生变化时，微分方程形式模型需要重新建模，而传递函数形式模型 不必重新建模，这是因为经过拉普拉斯变换后串联、并联、反馈连接形式的环节，其运算变 为乘、加等低级运算，不再是微分运算。2.4、频率特性：稳定的线性定常系统在正弦信号的作用下，系统输出的稳态分量与输入的复数之比；其中，输出的稳态分量振幅与输入的振幅比A(w)称为幅频特性，输出的稳态分量相位与输入的相角之差φ(w)称为相频特性，即
。
注：i.频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性； ii.φ(ω)大于零时称相角超前，小于零时称相角滞后； iii.频率特性反映了系统的内在性质,与外界因素无关。3、数学模型是等价变换的：微分方程、传递函数、结构图、频率特性之间一一对应的。
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离散系统的数学模型
2021-08-23 17:05:16【自控笔记】6.4 离散系统的数学模型 一、离散系统数学定义 离散系统：输入序列r(n)r(n)r(n)与输出序列c(n)c(n)c(n)的一种变换关系，记作c(n)=F[r(n)]c(n)=F[r(n)]c(n)=F[r(n)]。 如果这种变换关系为线性的，则称为...展开全文【自控笔记】6.4 离散系统的数学模型
一、离散系统数学定义
离散系统：输入序列 r ( n ) r(n) r(n)与输出序列 c ( n ) c(n) c(n)的一种变换关系，记作 c ( n ) = F [ r ( n ) ] c(n)=F[r(n)] c(n)=F[r(n)]。
如果这种变换关系为线性的，则称为线性离散系统；如果是非线性的则称为非线性离散系统。线性离散系统满足叠加定理，如果这种输入输出关系不随时间的改变而改变，则该系统称为线性定常离散系统。二、差分与差分方程
1、差分
设连续函数为 y ( k ) y(k) y(k), 其一阶前向差分为：
Δ y ( k ) = y ( k + 1 ) − y ( k ) Δy(k)=y(k+1)-y(k) Δy(k)=y(k+1)−y(k)
其二阶差为：
Δ 2 y ( k ) = Δ [ Δ y ( k ) ] = Δ [ y ( k + 1 ) − y ( k ) ] = Δ y ( k + 1 ) − Δ y ( k ) = y ( k + 2 ) − 2 y ( k + 1 ) + y ( k ) Δ^2y(k)=Δ[Δy(k)]=Δ[y(k+1)-y(k)]=Δy(k+1)-Δy(k)=y(k+2)-2y(k+1)+y(k) Δ2y(k)=Δ[Δy(k)]=Δ[y(k+1)−y(k)]=Δy(k+1)−Δy(k)=y(k+2)−2y(k+1)+y(k)所谓的前向差分，其实就相当于数列的后一项减去前一项，类比于微分有如下关系：
lim T → 0 Δ y ( k ) T = d y ( t ) d t \lim_{T \to 0}\frac{Δy(k)}{T}=\frac{dy(t)}{dt} T→0limTΔy(k)=dtdy(t)
也就是当采样周期T=0时，差分相当于连续系统中的导数。实际上在计算机控制中，常用差分来代替微分。差分有前向差分和后向差分，但两者实际上是可以等价的，都是关于离散信号 y ( k ) y(k) y(k)的递推式，与微分的关系也是相同的，这里就不赘述。
2、差分方程
差分方程类似于连续系统中的微分方程，是离散系统输入输出变量及其各阶差分组成的等式，同时也可以吧这个等式看成一个递推公式。n阶前向差分方程如下：
c ( k + n ) + a 1 c ( k + n − 1 ) + . . . + a n − 1 c ( k + 1 ) + a n c ( k ) = b 0 r ( k + m ) + b 1 r ( k + m − 1 ) + . . . + b m − 1 r ( k + 1 ) + b m r ( k ) c(k+n)+a_1c(k+n-1)+...+a_{n-1}c(k+1)+a_{n}c(k)\newline =b_0r(k+m)+b_1r(k+m-1)+...+b_{m-1}r(k+1)+b_{m}r(k) c(k+n)+a1c(k+n−1)+...+an−1c(k+1)+anc(k)=b0r(k+m)+b1r(k+m−1)+...+bm−1r(k+1)+bmr(k)3、差分方程求解
（1）迭代法
首先要明确差分方程是一个递推式，迭代法就是根据输出序列的初始值，利用递推公式逐步求出系统在给定输入序列下的输出序列。例：已知差分方程为
c ( k ) = r ( k ) + 5 c ( k − 1 ) − 6 c ( k − 2 ) c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2) c(k)=r(k)+5c(k−1)−6c(k−2)
输入序列r(k)=1,初始条件为c(0)=0,c(1)=1,试利用迭代法求出 c ∗ ( t ) c^*(t) c∗(t)
c ( 0 ) = 0 c ( 1 ) = 1 c ( 2 ) = r ( 2 ) + 5 c ( 1 ) − 6 c ( 0 ) = 6 c ( 3 ) = r ( 3 ) + 5 c ( 2 ) − 6 c ( 1 ) = 25 c ( 4 ) = r ( 4 ) + 5 c ( 3 ) − 6 c ( 2 ) = 90 . . . c ∗ ( t ) = δ ( t − 1 ) + 6 δ ( t − 2 ) + 25 δ ( t − 3 ) + . . . c(0)=0\newline c(1)=1\newline c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=6\newline c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=25\newline c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=90 \newline ...\newline c^*(t)=δ(t-1)+6δ(t-2)+25δ(t-3)+... c(0)=0c(1)=1c(2)=r(2)+5c(1)−6c(0)=6c(3)=r(3)+5c(2)−6c(1)=25c(4)=r(4)+5c(3)−6c(2)=90...c∗(t)=δ(t−1)+6δ(t−2)+25δ(t−3)+...（2）Z变换法
Z变换法可以根据Z变换的正负偏移定理，对差分方程两边求Z变换。再根据初始条件和给定输入信号的Z变换 R ( z ) R(z) R(z),求出系统输出的Z变换表达式。对其进行Z反变换可求得系统的输出序列从c(k)。
例：已知描述离散控制系统的差分方程为
c ( k + 2 T ) + 3 c ( k + T ) + 2 c ( k ) = 0 c(k+2T)+3c(k+T)+2c(k)=0 c(k+2T)+3c(k+T)+2c(k)=0
且c(0)=0,c(1)=1,求差分方程的解。解：利用Z变换超前定理对差分方程两边求Z变换得
z 2 C ( z ) − z 2 C ( 0 ) − z C ( 1 ) + 3 z C ( z ) − 3 z C ( 0 ) + 2 C ( z ) = 0 z^2C(z)-z^2C(0)-zC(1)+3zC(z)-3zC(0)+2C(z)=0 z2C(z)−z2C(0)−zC(1)+3zC(z)−3zC(0)+2C(z)=0
整理得Z变换得表达式为
C ( z ) = z z 2 + 3 z + 2 = z z + 1 − z z + 2 C(z)=\frac{z}{z^2+3z+2}=\frac{z}{z+1}-\frac{z}{z+2} C(z)=z2+3z+2z=z+1z−z+2z
查表可得Z反变换的结果，即输出序列
c ( k ) = ( − 1 ) k − ( − 2 ) k k = 0 , 1 , 2 , . . . c(k)=(-1)^k-(-2)^k \quad k=0,1,2,... c(k)=(−1)k−(−2)kk=0,1,2,...三、脉冲传递函数
脉冲传递函数是离散系统的复域模型，可类比于连续系统的传递函数。
1、定义:零初始条件下离散系统输出Z变换对输入Z变换之比。用 G ( z ) G(z) G(z)表示，即：
G ( z ) = C ( z ) R ( z ) G(z)=\frac{C(z)}{R(z)} G(z)=R(z)C(z)
下面来解释一下脉冲传递函数 G ( z ) G(z) G(z)，下图为开环离散系统的方框图，对于一般的连续系统，当输入是离散信号时，输出仍然是连续信号，并不能使用Z变换理论进行研究。于是可以在系统输出端虚设一个理想采样开关，采样周期与输入采样同步。实际上虚设的采样开关是不存在的，它表明系统的脉冲传递函数只能描述 c ∗ ( t ) c^*(t) c∗(t)而不能描述 c ( t ) c(t) c(t)。
设输入为单位脉冲函数 r ( t ) = δ ( t ) r(t)=δ(t) r(t)=δ(t), 其输出为为单位脉冲响应 g ( t ) g(t) g(t)。则有输入采样序列为：
r ∗ ( t ) = ∑ n = 0 ∞ r ( n T ) δ ( t − n T ) r^*(t)=\sum_{n=0}^{\infty}r(nT)δ(t-nT) r∗(t)=n=0∑∞r(nT)δ(t−nT)
根据叠加定理有
c ( t ) = r ( 0 ) g ( t ) + r ( T ) g ( t − T ) + . . . + r ( n T ) g ( t − n T ) = ∑ n = 0 ∞ r ( n T ) g ( t − n T ) c(t)=r(0)g(t)+r(T)g(t-T)+...+r(nT)g(t-nT)=\sum_{n=0}^{\infty}r(nT)g(t-nT) c(t)=r(0)g(t)+r(T)g(t−T)+...+r(nT)g(t−nT)=n=0∑∞r(nT)g(t−nT)
令t=kT,可得
c ( k T ) = ∑ n = 0 ∞ r ( n T ) g [ ( k − n ) T ] c(kT)=\sum_{n=0}^{\infty}r(nT)g[(k-n)T] c(kT)=n=0∑∞r(nT)g[(k−n)T]
由于t<0时，g(t)=0,所以有当k<n时，g[(k-n)T]=0。即kT以后的输入脉冲不会对kT时刻的输出信号造成影响。所以得
c ( k T ) = ∑ n = 0 k r ( n T ) g [ ( k − n ) T ] = r ( k T ) ∗ g ( k T ) c(kT)=\sum_{n=0}^{k}r(nT)g[(k-n)T]=r(kT)*g(kT) c(kT)=n=0∑kr(nT)g[(k−n)T]=r(kT)∗g(kT)
即说明：系统输出的离散序列等于输入采样序列与系统传函采样序列的卷积
根据卷积定理，则有
C ( z ) = G ( z ) R ( z ) C(z)=G(z)R(z) C(z)=G(z)R(z)
又根据Z变换的定义
G ( Z ) = ∑ n = 0 ∞ g ( n T ) z − n G(Z)=\sum_{n=0}^{\infty}g(nT)z^{-n} G(Z)=n=0∑∞g(nT)z−n
即 G ( z ) G(z) G(z)就是系统单位脉冲响应序列的Z变换。
另外需要注意 G ( Z ) ≠ G ( s ) s = z G(Z)≠G(s)_{s=z} G(Z)=G(s)s=z。2、脉冲传递函数的性质
（1） G ( z ) G(z) G(z)是关于z的复函数
（2） G ( z ) G(z) G(z)与输入输出序列没有关系，和它们的比有关，即之和系统的结构参数有关。
（3） G ( z ) G(z) G(z)与系统的差分方程是一一对应的，可相互求解。
（4） G ( z ) G(z) G(z)，脉冲传递函数就是系统单位脉冲响应序列的Z变换3、脉冲传递函数的局限性
（1）原则上，不反应非零初始条件下系统响应的全部信息。但不影响讨论。
（2）一般只适合描述单输入单输出离散系统。
（3）只适合用于描述线性定常离散系统。四、开环离散系统的脉冲传递函数
1、串联环节之间有采样开关
这种情况下，各串联环节之间要分开进行Z变换。
G ( z ) = G 1 ( z ) G 2 ( z ) G(z)=G_1(z)G_2(z) G(z)=G1(z)G2(z)2、串联环节之间没有采样开关
这种情况下，各串联环节之间要乘在一起进行Z变换。
G ( z ) = Z [ G 1 ( s ) G 2 ( s ) ] = G 1 G 2 ( z ) G(z)=Z[G_1(s)G_2(s)]=G_1G_2(z) G(z)=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)
结构框图如下：
3、有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数
对于带有零阶保持器的系统可做如下变换：
G ( z ) = z − 1 z Z [ G 0 ( s ) s ] G(z)=\frac{z-1}{z}Z[\frac{G_0(s)}{s}] G(z)=zz−1Z[sG0(s)]
即直接将零阶保持器的分母凑到系统传函中，在将余下的部分直接进行变量替换。加零阶保持器不改变 系统的阶数，不改变开环极点，只改变开环零点。
五、离散系统的闭环脉冲传递函数
闭环离散控制系统的典型结构图如下所示：
一般来说，不能直接使用梅森公式求系统闭环脉冲传递函数，这能一点点地从后往前推。
以下两种情况可以使用梅森公式进行求解：
1、单回路（无前馈通道）离散系统，在前向通道至少存在一个实际的采样开关。
2、离散系统结构图中各环节之间均有或有等效采样开关时。
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