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  • 任何系统bai稳定性是系统du本身一种属性,仅仅zhi取决于系统结构dao参数,与初始条件和zhuan外作用shu无关。你可以设想一下,K只是...二阶系统只要不是无阻尼系统和负阻尼系统,系统最终都会趋向于稳定。 ...

    任何系统的稳定性是系统本身的一种属性,仅仅取决于系统的结构参数,与初始条件和外作用无关。你可以设想一下,K只是增益而已,只是在一个稳定的系统上乘上放大倍数。二阶系统只要不是无阻尼系统和负阻尼系统,系统最终都会趋向于稳定。

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  • 研究二阶多智能体系统的一致性...利用模型转化、线性矩阵不等式方法和Lyapunov稳定性理论给出系统达到一致性充分条件,同时,理论计算结果表明,系统在所提出方法下不存在Zeno现象.仿真实例验证了理论分析有效性.
  • 简单的二阶理论

    2018-02-27 11:19:47
    记录一下简单的二阶理论:1.标准型:分母是s^2+2ξωs+ω^2。注意分母第一项系数是1,对于一个任意电路的传函一定要化成1再讨论。2.ξ是阻尼系数,ω(一般都有个下标n)是自然频率。...5.在4的条件...

    记录一下简单的二阶理论:

    1.标准型:分母是s^2+2ξωs+ω^2。注意分母第一项系数是1,对于一个任意电路的传函一定要化成1再讨论。

    2.ξ是阻尼系数,ω(一般都有个下标n)是自然频率。

    3.根轨迹:|ξ|<1对应圆,圆心为s-plane原点,半径为ω。其中ξ=0对应虚轴上两点(正负jωn),ξ=1对应左半轴-ωn。

    4.对于稳定系统,要求ξ>0,此时根轨迹全部落在左半平面。

    5.在4的条件下,ξ<1对应欠阻尼,根对称落在实轴两侧,电路振荡衰减;ξ=1临界阻尼,ξ>1对应两个左半轴实极点,

    一个在-ωn左,一个在右。

    6.根据根轨迹,如果分子为常数(不包含零点),可以对不同的ξ画出极零图,获得频响信息:

        1>欠阻尼情况,此时频响出现尖峰(频率靠近振荡频率处)且尖峰随ξ减小而逐渐明显(越“冲”)。

        2>临界阻尼,此时频响是完美的低通曲线

        3>过阻尼,也是低通下降的曲线

    7.实际的物理意义:ξ是电路中的耗能元件,一般为电阻。

    实际电路中也可能和其他因素有关(譬如锁相环中ξ反比于VCO和PD增益)。

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  • 为减少通信时延对系统一致性影响,针对有领导者的二阶非线性多智能体...基于Lyapunov稳定性理论,利用一类再推广Halanay不等式性质给出两个保证系统实现一致性充分条件。最后,实例仿真证明了新协议优越性。
  • 研究二阶多智能体系统在固定有向拓扑下领导跟随一致性问题.... 利用模型变换、矩阵理论和Lyapunov 稳定性理论给出多智能体系统达到领导跟随一致性充分条件. 仿真结果验证了理论方案可行性和有效性.</p>
  • 针对多智能体系统网络通信过程中信息需要量化情况,研究了二阶多智能体系统在事件...利用Lyapunov稳定性理论,对系统进行一致性分析,得到了多智能体系统渐近趋于一致充分条件。仿真结果说明了理论分析有效性。
  • 激光腔的稳定条件要利用传输矩阵计算;计算一维光子晶体(光纤光栅)透射率。当我用MATLAB写完for循环之后,觉得用这种老老实实一个一个算实在太慢了,想到应该尽可能向量化去解决这个问题,最后我想到了一种...

    42e76f79d526d303ca8b6a3f53a48b4e.png

    传输矩阵法是一种常见的计算方法,例如:对于透镜系统,利用传输矩阵可以很容易计算高斯光的扩束与聚焦;激光腔的稳定性条件要利用传输矩阵计算;计算一维光子晶体(光纤光栅)的透射率。

    当我用MATLAB写完for循环之后,觉得用这种老老实实一个一个算实在太慢了,想到应该尽可能向量化去解决这个问题,最后我想到了一种方法来提升传输矩阵的计算速度:

    1. 思路

    我们知道对于矩阵连乘:

    equation?tex=%5C%5C+ABCDEFGHI

    在其中添加括号是完全没问题的,上式可以改写为:

    equation?tex=%5C%5C+%28ABC%29%28DEF%29%28GHI%29

    那么可以将一个很长很长的连乘,拼成一个方阵,形如:

    equation?tex=%5C%5C%28ABC%29+%5C%5C%28DEF%29+%5C%5C%28GHI%29

    MATLAB用每一列的矩阵乘以下一列的矩阵,得到每一行的结果:

    equation?tex=%5C%5C%28ABC%29%3DR_1+%5C%5C%28DEF%29%3DR_2+%5C%5C%28GHI%29%3DR_3

    最后竖着连乘,即可得到

    equation?tex=%5C%5CABCDEFGHI%3DR_1R_2R_3

    假设原本是

    equation?tex=N 个矩阵连乘,如果老老实实算需要计算
    equation?tex=N-1 次矩阵相乘。但是用这种方法,只需要计算乘法
    equation?tex=2%5Csqrt%7BN%7D 次。当然也可以连续用这种方法,计算乘法的次数可能更少一些。

    对于

    equation?tex=N 不是某个数平方的时候,只需在最后一行补足单位矩阵
    equation?tex=E 即可。

    2. 实例

    随便算一个10000个2阶矩阵连乘,如果用循环一个一个做:

    364200726402a96b5e3893262dbcadc5.png

    2c7f6c14cfc15df33acc5029b87ed009.png

    96a662044546442fa477811d209cbf53.png

    用之前提到改进的做法:

    dedaec28b7b1278ea67ccf90faa24c4d.png

    5d99c07b124abf24dea8f7604b2e6cd0.png

    e16a609f98ec5e4e1885b7e6cbd27d1e.png

    快了10倍有木有……而且N越大效果越明显。实际上算光纤光栅,原本半小时的程序可以缩短到几十秒,还是蛮有用的。

    3. 代码

    %快速二阶矩阵连乘函数
    %知乎 Floron
    %--------------------------------------------------------------------------
    function out=SecOrderMat_Multiplication(M_11,M_12,M_21,M_22)
    mat_size=ceil((length(M_11))^0.5);
    Length_full=mat_size^2;
    M_11=[M_11 ones(1,Length_full-length(M_11))];
    M_12=[M_12 zeros(1,Length_full-length(M_12))];
    M_21=[M_21 zeros(1,Length_full-length(M_21))];
    M_22=[M_22 ones(1,Length_full-length(M_22))];
    M_11=reshape(M_11,mat_size,mat_size).';
    M_12=reshape(M_12,mat_size,mat_size).';
    M_21=reshape(M_21,mat_size,mat_size).';
    M_22=reshape(M_22,mat_size,mat_size).';
    row_M_11_0=1;
    row_M_12_0=0;
    row_M_21_0=0;
    row_M_22_0=1;
    for lab=1:mat_size
        row_M_11=row_M_11_0.*M_11(:,lab)+row_M_12_0.*M_21(:,lab);
        row_M_12=row_M_11_0.*M_12(:,lab)+row_M_12_0.*M_22(:,lab);
        row_M_21=row_M_21_0.*M_11(:,lab)+row_M_22_0.*M_21(:,lab);
        row_M_22=row_M_21_0.*M_12(:,lab)+row_M_22_0.*M_22(:,lab);
        row_M_11_0=row_M_11;
        row_M_12_0=row_M_12;
        row_M_21_0=row_M_21;
        row_M_22_0=row_M_22;
    end
    M_11=row_M_11';
    M_12=row_M_12';
    M_21=row_M_21';
    M_22=row_M_22';
    row_M_11_0=1;
    row_M_12_0=0;
    row_M_21_0=0;
    row_M_22_0=1;
    for lab=1:mat_size
        row_M_11=row_M_11_0.*M_11(lab)+row_M_12_0.*M_21(lab);
        row_M_12=row_M_11_0.*M_12(lab)+row_M_12_0.*M_22(lab);
        row_M_21=row_M_21_0.*M_11(lab)+row_M_22_0.*M_21(lab);
        row_M_22=row_M_21_0.*M_12(lab)+row_M_22_0.*M_22(lab);
        row_M_11_0=row_M_11;
        row_M_12_0=row_M_12;
        row_M_21_0=row_M_21;
        row_M_22_0=row_M_22;
    end
    out=[row_M_11,row_M_12;row_M_21,row_M_22];
    end
    %--------------------------------------------------------------------------
    %                               介绍
    %   当有许多二阶矩阵连乘:M_1*M_2*M_3*.....*M_n。(例如传输矩阵)
    %   如果采用传统的for循环,计算次数为n次。
    %   这里采用向量化的办法,对于连续相乘的矩阵,在不改变顺序的前提下可以随意添加
    %括号,将其改写为一个sqrt(n)*sqrt(n)的方阵,沿着行增加的方向,所有列同步连乘,
    %最终得到一列向量后再沿着列增加方向连乘。最终计算次数为2*sqrt(n)次。极大提升了
    %计算速度,尤其是当n足够大时。
    %--------------------------------------------------------------------------
    %                               用法
    %   将每个单独的矩阵(1,1)位置的元素作为一个行向量M_11输入。
    %   将每个单独的矩阵(1,2)位置的元素作为一个行向量M_12输入。
    %   将每个单独的矩阵(2,1)位置的元素作为一个行向量M_21输入。
    %   将每个单独的矩阵(2,2)位置的元素作为一个行向量M_22输入。
    %--------------------------------------------------------------------------
    %                               示范
    %   求[1,2;3,4]*[10,20;30,40]*[100,200;300,400]*[1000,2000;3000,4000]
    %   输入分别为:
    %   M_11=[1,10,100,1000]
    %   M_12=[2,20,200,2000]
    %   M_21=[3,30,300,3000]
    %   M_22=[4,40,400,4000]
    %--------------------------------------------------------------------------
    %           代码示范(复制同一个文件夹的另一个m文件中使用):
    % % M_11=[1,2,3,4,5,6];
    % % M_12=[2,3,4,5,6,7];
    % % M_21=[3,4,5,6,7,8];
    % % M_22=[4,5,6,7,8,9];
    % % %use function
    % % A_myfun=SecOrderMat_Multiplication(M_11,M_12,M_21,M_22);
    % % %use for-loop
    % % A=[1 0;0 1];
    % % for lab=0:5
    % %     A=A*[1+lab 2+lab;3+lab 4+lab];
    % % end
    %--------------------------------------------------------------------------

    如果有疑问可以留言,如果觉得好用请给我口米吃。

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  • 系列文章目录 自动控制理论(1)——自动控制理论概述 自动控制理论(2)——控制系统的数学模型(微分方程、传递函数) 自动控制理论(3)——...线性系统稳定的充分必要条件3.劳斯判据4.稳定判据的应用(检验稳定裕

    系列文章目录

    自动控制理论(1)——自动控制理论概述
    自动控制理论(2)——控制系统的数学模型(微分方程、传递函数)
    自动控制理论(3)——控制系统的数学模型(系统框图和信号流图)
    自动控制理论(4)——系统的时域性能指标和一阶系统的时域分析
    自动控制理论(5)——二阶系统的时域分析



    一、高阶系统的时域分析

    1.典型三阶系统的单位阶跃响应

    在这里插入图片描述
     β=s3ζωn\ β=\frac{-s_3}{ζω_n}
    增加一个闭环极点,将使超调量减小,上升时间和峰值时间增大
    增加的极点距离虚轴越近,上述影响越显著
     β<1\ β<1呈现过阻尼,响应迟缓
     β>5\ β >5,可忽略极点的影响

    2.高阶系统的单位阶跃响应

    c(t)由稳态和暂态分量组成,若极点均为负实部,则系统稳定。
    各暂态分量衰减的快慢,取决于各极点负实部的绝对值大小。
    各暂态分量系数的大小是F(s)零、极点共同决定的,若一对零、极点几乎重合(称偶极子),则与该极点对应的系数很小,该极点对暂态响应几乎无影响。

    3.闭环主导极点

    对系统的暂态响应起主导作用的极点。

    满足以下两个条件:
    (1)距虚轴比较近,且附近没有其它的闭环零点与极点。
    (2)其实部的绝对值应比其它极点的实部绝对值小五倍以上。

    二、线性系统的稳定性分析

    1.稳定的概念

    稳定性是指扰动消失后,系统由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态,则称系统是稳定的,否则不稳定。
    稳定的线性系统,大范围小范围都能稳定;
    非线性系统可能小范围稳定而大范围不稳定。

    在这里插入图片描述

    2.线性系统稳定的充分必要条件

    闭环特征根均为负实部

    3.劳斯判据

    (1)设系统特征方程 a0sn+a1sn1++an1s+an=0,a0>0\ a_0s^n + a_1s^{n-1} + … + a_{n-1}s+ a_n = 0, a_0>0
    (2)系统稳定的必要条件
    特征方程各项系数均为正
    (3)列写劳斯表
    在这里插入图片描述
    (4)系统稳定的充要条件是劳斯表中第一列元素均为正。
    若第一列元素有符号变化,则符号改变的次数等于正实部根的个数。
    (5)劳斯判据特殊情况
    1)劳斯表某行的第一列为零,其余各项不为零
     ε\ ε ε>0\ ε>0 ε0\ ε→0)代替0继续计算
    2)劳斯表中出现全零行
    用全零行上一行的系数构成辅助方程;
    将辅助方程对s求导数,得一新方程;
    用新方程的系数代替全零行,按新表判稳定。
    结论:
    不稳定;
    若第一列元素均为正,没有右根,一定有纯虚根;
    若第一列元素有负数,符号改变次数等于右根个数。

    4.稳定判据的应用(检验稳定裕量)

    稳定裕量σ的概念:虚轴向左移动σ,系统依然稳定。
    令 s = z -σ(σ>0), 将其代入特征方程,
    可得关于z 的多项式,对z用劳斯判据

    5.总结

    线性系统的稳定性只取决于系统的结构及
    参数,而与初始条件、外作用大小及形式
    无关。
    稳定性只取决于系统闭环极点,而与系统
    零点无关。

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  • Überblick第5章 控制系统的稳定性分析5.1 系统稳定性的概念5.2 系统稳定的充要条件5.3 代数稳定性判据5.3.1 充分条件5.3.2 充要条件:劳斯–赫尔维茨稳定性判据5.3.2.1 劳斯判据5.3.2.1.1 一般解法5.3.2.1.2 二阶、...
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