阻尼固有频率
 
 

任何系统的稳定性是系统本身的一种属性，仅仅取决于系统的结构参数，与初始条件和外作用无关。你可以设想一下，K只是增益而已，只是在一个稳定的系统上乘上放大倍数。二阶系统只要不是无阻尼系统和负阻尼系统，系统最终都会趋向于稳定。

基础回顾
 
 
 
 共振频率
 
 对于阻尼比比较小的情况，外力的频率在共振频率附近，那系统就会有强烈的振幅响应，这是因为外力把系统本身的震动潜能激励起来了
 

 

 

  
 
 
控制理论的第一课往往以拉普拉斯变换开头，但往往让人困惑的也是这个拉普拉斯变换，为什么要做这样一个变换?先来看个电路的例子：
 

 

  
 
 
由电路知识，可以列写方程：
 

 

  
 
 

 

  
 
 

 

  
 
 
拿到了这个方程，如果没学过微分方程的解法，该怎么办？
 
1887年，Oliver Heaviside遇到了这个问题，他拿到了类似的微分方程，里面有一阶导数、二阶导数等等，这位大佬看着一阶、二阶这些阶数，突然想到了一个对应关系，如果我们把求一次导看成乘一次数，这不就简单了吗？例如:
 

 

  
 
 
Oliver随后引入了传递函数的概念，即：
 

 

  
 
 
他根据工程经验进行了验证，发现这种变换分析电子电路时可以采用。
 
但问题同样也出现了，这种变换有没有什么数学依据，虽然工程上可以这样变换。
 
为这种变换找个数学上靠谱的依据不是容易事，1940年左右，有可能是一位数学家的跨行研究导致，人们才意识到，早在1782年，Pierre-Simon-Laplace导出的拉普拉斯变换，早就涵盖了这种方法。
 
于是，带着探索之心，工程界的众人拿起了数学课本，开始审视拉普拉斯变换。
 
一个函数
 

  的Laplace变换定义为
 
 

 

  
 
 
知乎上另一篇文章具体解释了为何能得出Oliver的结果：
 
 李寒潭：【自动控制原理】1.传递函数​zhuanlan.zhihu.com
 

  
 
 

  首先，
  定义复空间上两个函数
  

   的内积
  
  为
  

   
  
  
易证
  

   是复空间中的一组正交基。那么根据
  
  内积的意义——一个函数与另一个函数的内积，是这个函数在另一个函数方向上的
  投影，可得实函数
  

   在复空间基底
  
  

   上的投影为
  
  

   
  
  
为方便起见，令
  

   表示虚变量。（我们后面可以看到它更深层的意义。）则可将该投影式记为
  
  

   
  
  
（这里的s与实数域中的t相对应，都表示空间上的变量）
  
同理可证
  

   是
  
  

   在实空间中的投影。
  
  
有了实空间中
  

   与复空间中
  
  

   的一一对应投影关系，我们就可以通过在复空间中对
  
  

   进行分析和运算，从而获知实空间中
  
  

   的性质和运算结果。在做这件事情之前，首先需要对实空间和复空间中的运算关系进行定义。
  
  
定义微分算子（这里的define等号表示的是对应关系，而不表示相等）
  

   
  
  
这是因为
  

    (设初值为0)
  
  
从复空间中微分算子的定义就可以看出选择
  

   作为基底的好处了。因为复指数函数有一个最大的优点，就是对它求导等于它自身乘一个数。因此，当我们在实空间中对
  
  

   求一次导数时，在复空间中只需要将它对应的投影式乘以微分算子
  
  

   。这样就极大地简化了求导运算。
  
  
类似可定义积分算子为
  

   
  
  
即对
  

   进行一次积分，只需对其投影式除以
  
  

   。
  
 
 
拿到了数学上的依据，传递函数获得了自己的根基，正式走入了课本。也拥有了正式的定义
 
传递函数是指零初始条件下线性时不变系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。
 
拉普拉斯变换从形式上看比较麻烦，所幸控制工程师无需过于纠结，毕竟有整理好的表格
 拉普拉斯变换表 - 百度文库​wenku.baidu.com
 
除了从微分方程导出传递函数，一些典型环节的传递函数经常用到，有时候还需要处理多个系统连接的情况，需要用到梅森增益公式、结构图化简等技巧。（不作展开）
 https://www.bilibili.com/video/av71857275?from=search&seid=5072051921356333345​www.bilibili.com
 https://www.bilibili.com/video/av40046656?p=4​www.bilibili.com
 
（2.3-2.4）
 
但是，当我们重新审视传递函数定义时，线性时不变系统，这个词让人有点棘手，因为工程里很少有这样的系统，虽然我们可以使用后续的非线性特性来处理，然而在这里，我们可以简单的线性化。线性化的基础是泰勒展开。详见下个链接
 [图文]微分方程的线性化 - 百度文库​wenku.baidu.com
 
另一种方式可以设计补偿环节，使得系统非常接近线性时不变。
 
参考文献：
 
1、https://zhuanlan.zhihu.com/p/23617272
 
2、线性系统理论与设计，Chi-Tsong Chen著
 
3、控制系统设计指南，George Eills著
 
 System control：控制理论基础（二）时域分析与稳定性​zhuanlan.zhihu.com