第1小节 静力分析
由于操作臂的链式结构，力和力矩是从一个连杆向下一个连杆传递的，但是这个传递的机制是怎样的呢？接下来我们来了解一下，为方便理解，我们先从最简单的静力开始思考与理解。
第一部分，对于操作臂的静力操作，使各个连杆固定不动，对各个连杆进行讨论，写出力与力矩对于各连杆坐标系的平衡关系；
第二部分，为保持操作臂的静态平衡，计算所需的各关节轴上所施加的力与力矩。
这一节在分析时忽略重力（以后的章节中再将重力添加进去）。
一个连杆在静止的情况下受力平衡，接下来分析连杆受力
图中 
 表示在{i}坐标系中的受力， 
 表示在{i}坐标系中的力矩。
现在该连杆受力平衡，因此，
这里和速度推导的公式不太一样，在推导末端速度时，是底座固定不动，按照离底座的距离的方式从近到远进行推导，这里静力的推导式按照从远到近的方式进行推导。为什么要这样推导？？？
因为这里假设的是在机器人末端受力！！！如果是机器人其他地方受力呢？也可以！！！只不过要把这个力或力矩变换到末端去！！！我不变换行不行？也可以，只要在受力分析的时候把力或力矩加到受力的连杆坐标系中！！！但是这样太麻烦了，因为不是所有的机器人控制器底层都对我们开放！！！要额外花钱的！！！
将各个连杆坐标系中的力和力矩向各连杆坐标系的Z轴做投影，就是使机器人保持静止时各轴上的电机所需要输出的力矩。
在机器人设计的时候，在不改变末端载荷的要求下，尽量让各轴上电机承受的力矩要小一些，也就是尽量让结构去承载比较大的力和力矩。
第2小节 力雅可比
机器人在静态下，可知关节力矩与作用在末端的力或力矩时平衡的，如果有位移，就会做功，若将位移趋向于无穷小，即可以用虚功原理来描述静止的情况，因为功是能量单位，它在任何广义坐标系中测量的结果是相同的，于是有，
第2章内容中的雅可比矩阵定义为，
因此可以写出，
即，
第3小节 静力分析例子
这里只举了外力作用在末端，不含外力矩地情况， 
 即外力。已知
静力分析：
因此，
这个结果就是该机械结构保持静止状态时，各轴上地电机所提供的力矩。这个例子也是林沛群老师课上所讲的。

	

正态分布(也称为高斯分布)是统计中最常用的连续分布。正态分布在统计中至关重要，主要有以下三个原因：
商业中常见的许多连续变量的分布与正态分布非常相似。
正态分布可用于近似各种离散的概率分布。
由于正态分布与中心极限定理之间的关系，因此正态分布为其提供了经典统计推断的基础。
正态分布由图经典钟形表示。在正态分布中，您可以计算值以一定范围或间隔出现的概率。但是，由于将连续变量的概率测量为曲线下的面积，因此来自连续分布(例如正态分布)的特定值的确切概率为零。例如，时间(以秒为单位)被测量并且不计数。因此，您可以确定网络浏览器上视频下载时间在7到10秒之间的概率，或者下载时间在8到9秒之间的概率，或者下载时间在7.99到90秒之间的概率。8.01秒。但是，下载时间恰好为8秒的概率为零。正态分布具有几个重要的理论特性
它是对称的，因此其均值和中位数相等。
外观为钟形。
其四分位数间距等于1.33标准偏差。
因此，中间值的50％包含在低于平均值的标准偏差的三分之二和高于平均值的标准偏差的三分之二的范围内。
它具有无限范围(-oo 
装满10,000瓶软饮料的量实际上，许多变量的分布与正态分布的理论性质非常相似。表中的数据代表最近一天装满10.000升1升瓶中的软饮料量。感兴趣的连续变量，即软饮料的填充量，可以通过正态分布来近似。10,000瓶中的软饮料量的测量值在1.05至1.055升之间，并围绕该组对称分布，形成钟形图案。图显示了相对频率直方图和多边形，用于填充10,000个瓶子的数量分布。
10,000瓶软饮料中的相对频率直方图对于这些数据，正态分布的前三个理论特性得到了近似满足。但是，第四范围不是无限的。装满瓶子的数量不能为零或小于0，也不能装满超出其容量的瓶子。从表中可以看到，每10,000个装满的瓶子中只有48个预期含有1.08
升或更高，并且相等的数字预计少于1.025升。
符号f(X)用于表示概率密度函数。正态分布的概率密度函数在公式中给出。
e =用2.71828近似的数学常数
π=用3.14159近似的数学常数
μ =平均值
σ =标准偏差
X =连续变量的任何值，其中-∞ 
尽管公式看起来很复杂，但由于e和是数学常数，所以随机变量X的概率仅取决于正态分布的两个参数-平均值μ和标准偏差σ。每次指定μ和σ的特定值时，都会生成不同的正态概率分布。图说明了这一原理。
标记为A和B的分布具有相同的平均值(μ)，但具有不同的标准偏差。分布A和C的标准偏差(σ)相同，但均值不同。分布B和C对于μ和σ具有不同的值。计算正态概率要计算正态概率，首先需要使用公式
所示的转换公式将正态分布变量X转换为标准化正态变量Z。应用此公式可让您在正态概率表中查找值，并避免了公式(1)可能需要的繁琐而复杂的计算。转换公式将计算出一个Z值，该值表示标准值单位中的x值与平均值u的差。变量X具有平均值u和标准偏差σ，而标准化变量Z始终具有平均值u = 0和标准偏差σ = 1。然后，您可以使用表(累积标准化正态分布)来确定概率。例如，过去的数据表明下载视频的时间是正态分布的，平均时间为7秒，标准差为σ = 2秒。从图中可以看到，
每个度量X都有一个对应的标准化度量Z，它是根据公式(2)(转换公式)计算得出的。因此，9秒的下载时间等于平均数之上的1个标准单位(1个标准偏差)，因为Z =(9-7) /2= 11秒的下载时间等于-3个标准化单位(3个标准差)低于均值，因为Z =(1-7)/2= -3在上图中，标准偏差是测量单位。换句话说，9秒的时间比7秒的平均时间高2秒(1个标准差)或更慢。同样，1秒的时间比平均时间低6秒(3个标准差)或更快。为进一步说明转换公式，假设另一个网站对于正态分布的视频具有下载时间，平均时间为= 4秒，标准偏差 = 1秒。下图显示了这种分布。
将这些结果与MyTVLab网站的结果进行比较，您会发现5秒的下载时间比平均下载时间高出1个标准差，因为Z =(5-4)/1= +1
1秒的时间比平均下载时间低3个标准偏差，因为
Z = (1-4)/1= -3计算出Z值后，您可以使用累积标准化正态分布中的值表(查找正态概率。假设您想查找MyTVLab网站的下载时间少于9秒。假设平均u = 7秒，标准偏差σ = 2秒，则将X = 9转换为标准单位。导致Z值为+1.00使用此值，您可以使用表查找法线下的累积面积，该面积小于Z = +1.00(在其左侧)。要读取小于Z = +1.00的曲线下的概率或面积，请向下扫描表中的Z列，直到在1.0的Zrow中找到感兴趣的Z值(十分之一)。接下来，阅读该行，直到与包含Z值的第100位的列相交为止。因此，在表的主体中，Z = 1.00的概率对应于行Z = 1.0与列Z = .00的交集。下表显示了该交集。
在交叉点处列出的概率为0.8413，这意味着下载时间少于9秒的可能性为84.13％。下图以图形方式显示了这种可能性。
从累积标准化正态分布确定小于Z的面积
但是，对于其他网站，您看到5秒的时间比4秒的平均时间高1个标准化单位。因此，下载时间少于5秒的概率也为0.8413。下图显示，不管正态分布变量的均值u和标准偏差σ如何，公式(2)都可以将X值转换为Z值。
演示两条法线下对应累积部分的比例转换
示例1
求P(X> 9)
MyTVLab网站的视频下载时间超过9秒的概率是多少？
解：下载时间少于9秒的概率为0.8413。因此，下载时间将超过9秒的概率是1-0.8413 = 0.1587。下图说明了此结果。
例2，
求P(X <7 or X> 9)
MyTVLab网站的视频下载时间少于7秒或超过9秒的概率是多少？
解：要找到此概率，您可以分别计算下载时间小于7秒的概率和下载时间大于9秒的概率，然后将这两个概率相加。下图说明了此结果。
因为平均值是7秒，并且平均值等于正态分布中的中值，所以50％的下载时间在7秒以下。从例1中，您知道下载时间大于9秒的概率为0.1587。因此，下载时间低于7秒或超过9秒(P(X <7或X> 9))的概率为0.5000 + 0.1587 = 0.6587。
例3，
求P(5 
MyTVLab网站的视频下载时间在5到9秒之间(即P(5 
解:在下图中，您可以看到感兴趣的区域位于两个值5和9之间。
例3的结果使您可以声明，对于任何正态分布，这些值的68.26％将落在平均值的±1标准偏差之内。从下图中，您可以看到95.44％的值将落在平均值的±2标准偏差之内。因此，95.44％的下载时间在3到11秒之间。
从下图中可以看到，该值的99.73％在平均值的上下3个标准偏差之内。
从而。99.73％的下载时间在1到13秒之间。因此，不太可能(0.0027，或10,000中只有27)下载时间太快或太慢，以至于不到1秒或超过13秒。通常，您可以使用6σ(即均值以下3个标准偏差到均值以上3个标准偏差)作为正态分布数据范围的实际近似值。对于任何正态分布的情况。
约68.26％的值落在平均值的±1标准偏差内
约95.44％的值落在平均值的±2标准偏差内
约99.73％的值落在平均值的±3标准偏差内
寻找X值示例1至3要求您使用正态分布表在正态曲线下查找与特定X值相对应的面积。对于其他情况，您可能需要执行相反的操作：查找对应于特定区域的X值。通常，您可以使用公式来查找X值。
要找到与已知概率相关的特定值，请按照下列步骤操作：•绘制正态曲线，然后将平均值和X的值放在X和Z刻度上。•查找小于X的累积面积。•遮盖感兴趣的区域。•使用表，确定正态线下面积对应的Z值曲线小于X。•使用公式求解X：
示例4
求出X值为0.10的累积概率。
MyTVLab视频的最快10％下载完成之前需要多少时间(以秒为单位)？
解：由于预计10％的视频将在X秒内下载，因此法线下小于该值的面积为0.1000。搜索面积或概率为0.1000。最接近的结果是0.1003，如表所示
在正态分布线下找到对应于特定累积面积(0.10)的Z值
从该区域到表格的页边空白，您发现与特定的Z行(-1.2)和Z列(.08)相对应的Z值为1.28(见图)。
找到Z后，即可使用公式确定X值。
替换u = 7、σ= 2和Z = -1.28，
X = u + Zσ
X = 7 +(-1.28)(2)= 4.44秒
因此，下载时间的10％为4.44秒或更短。
例5，查找包含95％下载时间的X值。
围绕平均值对称分布的X的下限值和上限值是多少，包括MyTVLab网站上视频的95％的下载时间？
解：首先，您需要找到X的较低值(称为XL)。然后，找到X的上限值(称为Xu)，因为95％的值在XL和Xu之间，并且XL和XU与平均值均等距离，所以2.5％的值在XL之下(参见图)。
尽管X未知，但是您可以找到相应的Z值，因为曲线下的面积小于该Z的值为0.0250。使用表搜索概率0.0250。
从表格的正文到表格的页边距，您看到与特定的Z行(-1.9)和Z列(.06)相对应的Z值为-1.96。
找到Z后，最后一步是使用公式，如下所示：
您使用类似的过程来查找X。由于仅2.5％的视频下载时间长于Xu秒，因此97.5％的视频下载时间短于Xu秒。从正态分布的对称性中，您会发现所需的Z值(如图所示)为+1.96(因为Z位于标准化均值0的右侧)。您还可以从表中提取此Z值。您可以看到曲线下的面积小于Z值+1.96，即为0.975。
因此，95％的下载时间在3.08到10.92秒之间。
您可以使用Excel来计算1个正态概率，而不是在表中查找累积概率。图显示了一个工作表，该工作表计算正常概率并找到与示例1至5类似的问题的X值。

假定有三个坐标系W、A、B，其中W为基坐标系。
变换矩阵的左乘和右乘
当坐标系A变换成坐标系B时，可左乘一个矩阵，也可右乘一个矩阵
对于左乘的情况，变换矩阵为
表示的是一个基于基坐标系的平移和绕轴旋转的变换，式中的变量均以基坐标系为参考坐标系。
对于右乘的情况，变换矩阵为
表示的是一个基于A坐标系(联体坐标系)的平移和绕轴旋转的变换，变换矩阵刚好为B坐标系在A坐标系下的表示，式中的变量均以A坐标系为参考坐标系。
微分变换
当变换前后的两个坐标系非常接近时，变换矩阵简化为
两种坐标系下微分变换平移和旋转的关系
由于左乘和右乘两种变换是等价的，即
其中
得到基坐标系下和联体坐标系下微分变换之间的关系
由此可得到基坐标系下和联体坐标系下平移旋转微分量之间的关系
微分变换的无序性
绕各个轴旋转的变换矩阵分别为
XYZ和ZYX旋转结果分别为
在忽略高阶无穷小的前提下，两式结果相同。另外，用同样的方法容易验证微小平移和微小旋转之间与变换顺序无关。在忽略高阶无穷小的前提下(即多个变分相乘的项)，微分变换与次序无关，即微分变换具有无序性。
雅可比矩阵
雅可比矩阵为笛卡尔空间与关节空间的速度之间的关系
可得到微分运动量之间的关系
转动关节旋转时，以当前位置的连杆坐标系为参考坐标系，则微分运动的连杆坐标系绕其z轴旋转，该旋转运动在该坐标系下的微分平移和微分旋转矢量为
由此基于当前位置的连杆坐标系关于该关节的雅可比向量为
乘上基坐标系下和联体坐标系下平移旋转微分量之间关系的矩阵，转换到机器人基坐标系为

1
已知导体直径，计算平方数
第1种：平方=直径x直径x0.785x根数
第2种：平方=半径x半径x3.14x根数
例如：计算某厂家25mm²电缆的实际平方
单根直径为2.4mm，根数为5根。
实际平方=2.4x2.4x0.785x5=22.6mm²
             =1.2x1.2x3.14x5=22.6mm²
2
已知导体平方，计算导体重量
重量=平方x长度x导体密度x根数
(铜密度: 8.9g/cm³; 铝密度: 2.7g/cm³)
例如：计算100米YJV-4x25导体重量
=25x100x8.9x4=89000g=89kg
（=178斤=0.089吨）
则100米YJV-4x25电缆所用铜重量为89kg
用途：大致算出电缆重量，把控物流运费
3
已知导体单根重量，计算导体成本单价
导体单价=每米重量x根数x每吨成本单价
例如：计算YJV-5×16每米铜成本
=(16mm²×1m×8.9g/cm³)×5根×47300元/吨
=0.1424kg×5根×37.5元/kg=26.7元
得出YJV-5×16每米所需铜成本为26.7元。
【特别注意】
在计算过程中单位的统一
如果重量算出来的是[kg]，
则每吨铜单价也要换算为[元/kg]
4
已知导体单丝直径，计算导体成本单价
导体单价=直径x直径x0.785x导体密度x根数x每吨铜单价
当你了解上面三个公式后，报价时可以更加灵活应用。
假如：你只知道YJV-3×70单根直径为2.3mm，由14根导体绞合成束。那么如何计算出此型号每米的单价呢？我们可以简单推导一下。
3×70单价=所需铜重量×每吨铜单价
=(平方×1m×铜密度×根数)×3×每吨铜单价
=(直径×直径×0.785×1m×铜密度×根数)×3×每吨铜单价
=(2.3×2.3×0.785×8.9×14)×3×37500元/吨
=0.51742kg×3×37.5元/kg=58.2元
则这根YJV-3x70的铜成本为58.2元/米。
5
已知原始价格浮率，计算现行价格
上浮后价格=原始价格x（1+上行浮率）
下浮后价格=原始价格x（1-下行浮率）
有的厂家执行上下浮政策，价格调整时，只通知上下浮率即可，便于经销商快捷计算，所以公式也较简单。
例如：YJV-3x4原始价格为5.6元/米
由于铜价上涨，单价上浮5%，
则现在的价格=5.6x（1+5%）=5.6x1.05=5.88元/米
本篇文章所列举的公式，都是比较简单的，也是每个电缆销售每天都要用到的。报价时，依据以上公式，可以计算出导体成本单价，但不代表报价的最后结果。
最后的报价中，需包括导体成本、材料成本、运费、人工、合理利润等因素，请以各自实际情况计算即可。