区分事件的独立性与互不相容性
 
@(概率论)
 
事件的独立性
 
事件A,B独立是指两个事件之间的概率满足等式：
 
$P(AB) = P(A)P(B)$
 
事件的互不相容性
 
事件A,B互不相容指的是两个事件之间满足：
 
$AB = 空集$
 
所以两个概念定义上就差别很大很大。独立性是概率性质，互不相容性是事件的关系运算上。
 
此外需要牢记的是，概率推导不出事件的性质。
 
互不相容推导不出独立，独立也推导不出互不相容。
 
但是由事件的关系可以得到一些概率关系。比如，互不相容时，P(AB) = 0.
 
思考一道题目：
 
（2012.14）设A,B,C是随机事件，A与C互不相容，$P(AB) = \frac{1}{2},P(C) = \frac{1}{3}$则$P(AB|\overline C)=?$
 
分析：一种标准解法是：A和C互不相容，则有$A\subset \overline C \rightarrow AB\subset \overline C \rightarrow P(AB\overline C) = P(AB)$
 
因此，$P(AB|\overline C) = \frac{P(AB\overline C)}{P(\overline C)} =  \frac{P(AB)}{1-P(C)} = \frac{3}{4}$.
 
或者用另外的思路： 
 $P(AB|\overline C) = \frac{P(AB\overline C)}{P(\overline C)} =  \frac{P(AB)-P(ABC)}{1-P(C)} = \frac{3}{4}$.
 
其中$P(ABC) = 0,因为A,C互不相容，所以AC=\varnothing,$ 
 而$ABC\subseteq AB,\rightarrow ABC = \varnothing,P(ABC) = 0$
 
另外，减法公式：
 
$P(A\overline B) = P(A)-P(AB)$

在学习概率论与数理统计的过程中对互不相容和独立的概念有些混淆，经过网上搜索资料和理解，两者考虑的角度不同，总结如下： 
 1. 互不相容考虑的是事件是否能同时发生。A和B互不相容的意思是A发生B就不可能发生。B发生A就不可能发生，也就是说A和B不能同时发生。 
 2. 独立考虑的是两个事件的关联性，一个事件的发生能否影响另一个事件。A和B独立的意思就是，A发生和B发生没有关系，A发生不会影响B发生，A和B也可能同时发生，不过A和B互不影响。
 
加法公式对应互不相容性，乘法公式对应独立性。 
 如果A和B互不相容 P（A U B）= P（A）+P（B） 
 如果A和B相互独立 P（AB） = P（A） * P（B）

 
实在是对这个感冒了，随从网上拉了一篇资料，免得下次又忘了。
 
 
要真正的解决这个问题，必须首先牢牢记住他们的定义。
 
 
什么事件的独立？
 
 
事件A,B独立是指这两个事件之间的概率满足一个等式：P(AB)=P(A)P(B)
 
 
事件A,B互不相容是指这两个事件之间的运算满足一个等式：AB=空集。
 
 
也就是说，实际上这两个概念是从不同的角度进行定义的。独立是从概率的角度，互不相容是从事件的关系运算上。
 
 
另外这两个概念的理解上，还有一点
 
 
如果说“事件A,B独立”这是一个物体的汉语描述，那么“P(AB)=P(A)P(B)”这就是从数学语言进行描述。
 
 
同理，“事件A,B互不相容”他就等价于数学语言的描述“AB=空集”
 
 
这两种描述上，要做到看到汉语描述，反映出数学描述。看到数学描述，必须立即想到汉语描述。
 
 
以上是两个概念的区别
 
 
下面我们来看两个的联系
 
 
正如我们定义中讲到的
 
 
事件A,B独立，也就是他们满足“P(AB)=P(A)P(B)”
 
 
事件A,B互不相容，也就是两个事件之间的运算满足一个等式：AB=空集。
 
 
现在我们来看，两个事件独立，是不是就意味着事件的互不相容？
 
 
我们根据事件的互不相容,得到“AB=空集”在这个等式两边取概率，我们有P(AB)=P(空集)=0；
 
 
所以，如果两个事件独立能够推出两个事件的互不相容，我们有P(AB)=P(A)P(B)=P(空集)=0
 
 
也就是必须满足P(A)P(B)=0.
 
 
从而我们有：当P(A)P(B)=0时，A，B独立才能推出A,B互不相容。
 
 
如果两个事件互不相容能够推出两个事件的独立，则有P(AB)=0=P(A)P(B),也即P(A)P(B)=0
 
 
从而我们有：当P(A)P(B)=0时，A，B互不相容才能推出A,B独立。
 
 
综上，我们知道，一般情况下，两件互不相容的事件不一定相互独立,两个相互独立的事件也不一定互不相容。
 
 
只有满足条件：P(A)P(B)=0时，这两者才能相互推出。
 
 
转载链接：http://blog.csdn.net/zyf837368104/article/details/7096943
 
转载于:https://www.cnblogs.com/bjut-xiaorun/p/3739451.html

前言
 
事件的互不相容性和独立性，在学习的时候突然觉得这两者之间总是存在是若即若离的关系，一时间不知道怎么去归纳总结好。一直找了很多信息来看，那么究竟应该怎么去区别或者什么时候使用比较好呢？
 
问题
 
互不相容：事件A与事件B不可能同时发生。即在同一样本空间内，A与B没有交集，P(AUB)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),因为P(AB)=0，所以P(A+B)=P(A)+P(B)
 
独立：事件A发生的可能性，不影响事件B发生的可能性。根据条件概率可知有P(AB)=P(A)P(B|A)，因为A不影响B,所以有P(AB)=P(A)P(B)，那么也可以在同一样本空间里有P(AUB)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
 
所以，我的疑惑有，互不相容实在同一样本空间，是不是独立其实也可以在同一样本空间内，只要A事件不影响B事件的发生即可。
 
分析
 
举例分析：
 
以掷骰子为例，掷1次骰子，事件A 得到点数为2，事件B 得到点数6，那么A与B，有你没我。即互不相容。
以掷骰子为例，掷2次骰子，事件A 第一次得到点数为2，事件B第二次 得到点数6，那么A发生不影响B也发生。即独立。
 
在这里问题来了，我就在想例1和例2，掷骰子次数不一样，例2相当于重复了例1两次，感觉这样对比没什么意义。那么在例1的样本空间里面，会不会有独立事件，可以同时解释互不相容和独立。
 
以掷骰子为例，掷1次骰子，事件的内容定义应该会影响到两者的关系。如事件A得到点数2，事件B得到点数为6。那么A发生概率为1/6，B发生概率1/6，但是A发生，B就不可能发生，两者互不相容。
接上，事件A得到点数为2，事件B得到点数为10，A的发生概率为1/6，但是B为不可能事件，永远也不会发生，那么A就不影响B，两者即独立。同样的B事件可定义为数字在1-6之间，成为必然事件，两者也独立。当然这是极端情况。
接上。假设A得到点数为2，B的到点数为偶数，两者是A包含于B的关系。A发生时，B就发生了；A不发生，B也有可能发生。所以既不是互不相容，也不是独立。P(AB)=P(A)。
接上。假设A得到点数2，B是骰子落在桌子右侧。事件A与事件B明显互不影响。因为A与B是同一次试验中两个不同维度的事件问题，在各自的维度上有各自的概率模型。那么两者可称独立事件。如同直角坐标系的X与Y两者范围相交。有P(A∩B)/P(B)=P(A)/Ω。
最后，翻阅陈希孺院士著作《概率论与数理统计》，其对于独立事件的判断说，公式P(B)=P(A)P(B)概率的乘法定理，虽未定义，但不常用于判断是否为独立事件。判断两个事件是否独立，仍然要从事件的实际角度去分析判断其不应有关联，才可是独立，可应用概率的乘法公式计算。我思考了一下，觉得有道理，与其纠结，不如在实际问题中思考，公式的含义一般都来源与现实的时间，不然P(AB)=P(A)P(B|A) 到 P(AB)=P(A)P(B)的转化是如何而来的呢，就是因为人为判断了A事件不影响B事件的发生。现实的主观性判断带来了独立事件的概念和定义。
 
结论
 
到最后也恍然大悟，在探索的过程中，确实有收获，希望能帮助一些不太理解的朋友。本人也是一知半解，希望读者不吝赐教。