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  • 事件A和B的交叉口为空,A以及B只是是互斥事件,它也被称为不相容事件。它也可以描述为:不能同时发生的事件。作为A∩B这是不可能的事(A∩B=Φ),所谓的事件A和事件B互斥,它的意义是:事件A和事件B它不会在任...

    独立事件的发生互不影响,但它可能同时发生。互斥事件是不能同时发生的事件,也就是说,交点是零,但它们可能会相互作用。接触∶独立事件可能是互斥事件可能不会是互斥事件,相互排斥的事件不能是独立事件。

    事件A和B的交叉口为空,A以及B只是是互斥事件,它也被称为不相容事件。它也可以描述为:不能同时发生的事件。作为A∩B这是不可能的事(A∩B=Φ),所谓的事件A和事件B互斥,它的意义是:事件A和事件B它不会在任何一个测试中同时发生。更复杂的事件表示为几个互斥事件的总和,用概率加法公式计算互斥事件和的概率,或者当一个事件的相反事件的概率很容易找到的时候,将事件概率的计算转化为相反事件的概率,简化计算。在解决问题的时候,要注意互斥事件或相反事件的情况是满意吗。

    从集合的角度看,事件A、B互斥,是事件的A所由包含B所包含的结果集的交集是空集,还有:

    P(A+B)=card(A+B)/card(I)=card(A)+card(B)/card(I)=card(A)/card(I)+card(B)/card(I)=P(A)+P(B);事件A以及B反对,是事件的B所一组包含,是成套事件A所一组包含,即A∩B=Φ,以及A∪B=I。

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  • 概率的数学定义:我们能够理解的概率的定义是:某个事件...3.对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1,A2,……,An有P(A1UA2UA3UA4…UAn) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +…+ P(An) ,则称实数P(Ai)为事件Ai的概率。 P(AUB)

    概率的数学定义:我们能够理解的概率的定义是:某个事件发生的可能性的大小。但是这不是数学定义,其实概率的定义不好正面描述,我的老师在上课的时候也只给出了其的特点,相当于侧面描述:
    1.任何一个事件发生的概率一定大于等于0,即P(A)>=0.
    2.必然事件发生的概率为1,P(Ω)= 1.
    3.对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1,A2,……,An有P(A1UA2UA3UA4…UAn) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +…+ P(An) ,则称实数P(Ai)为事件Ai的概率。

    P(AUB) = P(A) + P(B) -P(AB)
    P(A-B) = P(A) - P(AB)
    P(非A)= 1-P(A)

    乘法公式:P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)
    条件概率:占一块土地的面积(这是抽象理论实例化的核心思想的应用,可以参考上一篇文章。)P(A|B)是已知事件B发生了,那么A 使 B发生所作出的贡献是多大?
    其实可以理解为:土地A占土地B占了多少。

    全概率:在这里插入图片描述

    全概率就是把概率的计算分成许多个部分,然后相加,然后把每一项用条件概率展开。
    想和大家说一下用条件概率展开后的任意一项的意义(比如P(B)P(A|B1):这项的P(A|B1)就相当于百分率。(如果理解了上面说的条件概率的理解方法就可以浅显理解这里。

    贝叶斯公式:贝叶斯公式就是条件概率的另一种计算方式。
    在这里插入图片描述
    事件的相互独立性:若两个事件相互独立,那么有P(AB) = P(A)P(B)
    注意:三个事件两两独立推不出三个事件相互独立,即P(ABC) 不一定= P(A)P(B)P(C)
    因为这个公式是要把B∩C看作一个整体才能够推导出来,我们不知道A与B∩C是不是独立的,所以就推不出来。

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  • 全概率公式与Bayes公式

    千次阅读 2011-10-23 17:15:01
    全概率公式与Bayes公式    全概率公式: ... 定理1 对任一事件A,若有互不相容事件Bi(i=1,2,…,n),满足P(Bi)>0,(i=1,2,…,n)且 ,则事件A的概率可用下式计算: . 此概率称为全概率公式.

                           全概率公式与Bayes公式

                 

        全概率公式:

             利用全概率公式可以把复杂的事件的概率化为互斥的简单事件的概率来计算.

                          定理1 对任一事件A,若有互不相容的事件Bi(i=1,2,…,n),满足P(Bi)>0,(i=1,2,…,n)且 ,则事件A的概率可用下式计算: .

    此概率称为全概率公式.  

                  

    引例:某专业有甲乙两班,人数分别是60人与50人,他们都参加了英语考试,甲班和乙班的合格率分别为95%90%.试求该专业学生英语考试的合格率.

    分析与解答:

        因为两班的人数不同,所以不能直接把两个班的合格率作算术平均作为本题答案.我们可以先求出两个班本课程的全部合格人数:

    然后再求出该专业本课程的合格率

    这种算法等价于把各班的合格率按该班人数占总人数的比例作加权平均,即

    B={该专业学生英语考试合格}

      A1={学生来自甲班}A2={学生来自乙班}

    由题目的条件可知:


    于是本题的求解可用公式表示为:

    这就是全概率公式。




      Bayes公式:
           利用乘法公式与全概率公式可导出Bayes公式

                  定理2 对任一事件A ),若有互不相容的事件Bi(i=1,2,…,n),满足P(Bi)>0,(i=1,2,…,n)且 ,则  (i=1,2,…,n

             称此式为Bayes公式,其意义是:假设导致事件A发生的“原因”有Bi(i=1,2,…,n)。它们互不相容,现已知事件A确已经发生了,若要估计它是由“原因”Bi所导致的概率,则可用Bayes公式求出.即可从结果分析原因.           

    例3:有朋友自远方来,他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率分别是0.3、0.2、0.1和0.4,而他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机迟到的概率分别是0.25、0.3、0.1和0,实际上他迟到了,请推测他坐哪种交通工具来的可能性最大.

    解:B1={他坐火车来},B2={他坐船来},B3={他坐汽车来},B4={坐飞机来},A={他迟到}. 则

    P(B1)=0.3, P(B2)=0.2, P(B3)=0.1, P(B4)=0.4,

    P(A|B1)=0.25, P(A|B2)=0.3, P(A|B3)=0.1, P(A|B4)=0.

    由全概率公式得=0.145

    再由Bayes公式分别可以算得

    同理,

    可见,P(B1|A)=0.5172最大,即他是坐火车来的可能性最大.

    例4:临床诊断记录表明,利用某种试验检查癌症具有如下的效果,对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%,对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%。现在用这种试验对某市居民进行癌症普查,如果该市癌症患者数约占居民总数的0.4%,求:

    (1)   试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率;

    (2)   试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率.

    解:设事件A={试验结果呈阳性反应},事件B={被检查者确实患有癌症},则按题意
    P(B)=0.004,P(A|B)=0.95,P(A|)=0.96.

    由此可知:P()=0.996, P(|B)=0.05, P(A|)=0.04.

    于是,由全概率公式得P(A)=0.004×0.95+0.996×0.04=0.04364,从而P()=1- P(A)=0.95636. 按Bayes公式得


    这表明试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率并不大,还需要进一步检查才能确诊;但试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率很大.

                   














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  • 贝叶斯公式和原理

    2018-01-17 11:19:12
     接着推广一下,假设F1,F2,F3,...,Fn是两两互不相容事件,有:  也就是说无论如何F1,F2,F3,...,Fn中正好有一个发生,从而:  这个公式说明了对于给定的有且只有一个事件发生的F1,F2,F3,

            搞了这么久终于看到一个关于贝叶斯公式和原理最为简单易懂的描述,这里假设E和F都是事件,我们把E表示为:


           接着推广一下,假设F1,F2,F3,...,Fn是两两互不相容的事件,有:


            也就是说无论如何F1,F2,F3,...,Fn中正好有一个发生,从而:



            这个公式说明了对于给定的有且只有一个事件发生的F1,F2,F3,...,Fn;我们先通过对Fi中发生的一个事件计算其P(E),换句话说是P(E)等于P(E|Fi)的加权平均和。现在假如E已经发生,我们想确定Fi中的哪一个事件发生,同理我们得到:


            这就是贝叶斯公式及其简单原理。简单的语言简单的公式简单的代码可以吧抽象难的东西表述出来,这也是符合奥卡姆剃刀原则.

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  • 它们互不相容,现已知事件A确已经发生了,若要估计它是由“原因”Bi所导致的概率,则可用Bayes公式求出.即可从结果分析原因.   有朋友自远方来,他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率分别是0.3、0.2、0.1和0.4,而...
  • 两个互不相容事件的和事件的概率10.概率的加法定理11.条件概率12.概率的乘法公式13.全概率公式14.贝叶斯公式15.事件的独立性16.实际推断原理 1.随机试验 随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确定,在大量实验中其...
  • 经典摘录-贝叶斯公式

    千次阅读 2018-03-05 02:31:55
    说明:全文摘自 Introduction to probability, 2nd Edition 本文讨论条件概率定律的应用,首先引入一个计算事件概率的定理。 ... , A_n 是一组互不相容事件,它形成样本空间的一个分割(每...
  • 条件概率 全概率 贝叶斯公式

    千次阅读 2015-12-16 23:36:00
    条件概率: 定义: 已知某个事件A发生的条件下,另一个事件B发生的概率称为条件概率。记为P(B|A) 计算方法: ...内容:如果事件B1、B2、B3…Bn 构成一个完备事件组,即它们两两互不相容,其和为全集
  • 随机事件及其概率运算

    千次阅读 2017-09-06 23:36:00
    事件间的关系包含相等互不相容对立 事件运算和积差交换律结合律分配律对偶律 事件事件事件差 概率计算公式 两个著名的例子 布丰投针实验求圆周率蒙特卡罗算法 贝特朗奇论古典概型也称为等可能概型,如果每个...
  • 概率

    2018-05-06 22:27:45
    1 加法公式两个互不相容的事件 交集为空,并集为概率相加2 乘法公式两个事件相互独立 同时发生的概率为两者的乘积3 全概率B为互不相容事件4 贝叶斯公式 先相乘再求和,是乘法公式和全概率公式的结合5 统计...
  • 2 随机事件, 必然事件, 不可能事件, 互不相容事件, 对立事件;随机事件的关系及运算 3 概率的定义 4 概率的性质:有限可加性,减法公式,加法公式,及推论 5 条件概率及乘法公式 6 两个事件相互独立的定义及性质...
  • 满足非负性、规范性(即必然事件的概率为1)、可列可加性(即互不相容事件的概率等于各个事件概率和) 2.古典概型与几何概型 1、古典概型的基本事件都是有限的,概率为事件所包含的基本事件除以总基本事件个数。 2、...
  • 事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也叫互不相容事件。也可叙述为:不可能同时发生的事件。如A∩B为不可能事件(A∩B=Φ),那么称事件A与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。 则...
  • 1.贝叶斯公式一般情况下,令F1,F2,...,FN表示一组互不相容事件,在E(新的证据)已发生的情况下,Fk发生的概率为:贝叶斯公式其中:·P(Fk)称为先验概率(Prior Probability)·P(E|Fk)称为类似然(Class Likelihood)...
  • 1.贝叶斯公式一般情况下,令F1,F2,...,FN表示一组互不相容事件,在E(新的证据)已发生的情况下,Fk发生的概率为:贝叶斯公式其中:·P(Fk)称为先验概率(Prior Probability)·P(E|Fk)称为类似然(Class Likelihood)...
  • 事件的和、积、差、对立事件、互不相容事件等,看课本 公式: 德摩根律 (重要)AB‾=A(S−B)A\overline{B}=A(S-B)AB=A(S−B)=>P(AB‾)=P(A)−P(AB)P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)P(AB)=P(A)−P(AB) 加法公式:P(A...
  • 概率论基本定理

    2019-09-29 01:39:15
    一、古典概率,几何概率,统计概率相同性质。 二、概率论三公理 ...五、全概率公式 ...另注意独立事件事件互不相容的区分。 八、二项概率公式 九、 泊松逼近 证明: 转载于:https:/...
  • 1 相关理论 ...如果事件B1、B2、B3…Bn 构成一个完备事件组,即它们两两互不相容,其和为全集;并且P(Bi)大于0,则对任一事件A有 特别地,对于任意两随机事件A和B,有如下成立: 1...
  • 朴素贝叶斯分类

    2020-07-02 00:54:38
    A,B相互独立与A,B互不相容是两个概念 A,B相互独立,条件概率满足 条件概率及乘法公式 事件A发生条件下事假B发生的概率,称为事件B的条件概率 乘法公式 全概率公式 试验E的样本空间为S,A为E的事件,B1,...
  • 全概率公式事件满足 两两互不相容即当 时有 样本空间 则对任何事件B, 有下式成立 称为全概率公式 ;根据全概率公式及乘法定理可以得到Beyes公式;2. 基本理论;2. 基本理论;二. 基本算法;1) 证据E肯定存在;定义几率...
  • 4、概率中的独立性和互斥性

    千次阅读 2019-04-18 15:51:24
    互不相容又叫互斥,即两个事件不能同时发生,强调“同时发生”。 发生了A就不能发生B,发生了B就不能发生A. 举例说明:就如去食堂吃饭和在WC拉粑粑。这两个是互斥事件。 概率公式:设有A、B两个集合 如果A、B...
  • 如果事件A与B不可能同时发生,则称A与B互斥(互不相容) 如果事件A与B不可能同时发生,且A+B=Ω,则称A与B对立 2、事件的运算性质 3、条件概率 4、全概率公式和贝叶斯公式 5、概率密度函数 概率密度...
  • 条件概率(四)

    2019-03-05 13:40:28
    定义: 设A、B是两个事件,且P(A)>0,称 P(B/A)=为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。...3、可列可加性:设,…是两两互不相容事件,则有P()= 乘法定理: 全概率公式: ...
  • 贝叶斯算法的原理和代码实现

    千次阅读 2018-10-03 08:53:23
    贝叶斯算法要解决的问题: 假设我们知道了在A条件发生的情况下,B...如果事件B1、B2、B3…Bn 构成一个完备事件组,即它们两两互不相容,其和为全集;并且P(Bi)大于0,则对任一事件A有 P(A)=P(A|B1)P(B1) + P(A|B...
  • 如果事件B1、B2、B3…Bn 构成一个完备事件组,即它们两两互不相容,其和为全集;并且P(Bi)大于0,则对任一事件A有 P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + … + P(A|Bn)*P(Bn).为全概率公式 1.2 变形得
  • 如果事件B1、B2、B3…Bn 构成一个完备事件组,即它们两两互不相容,其和为全集;并且P(Bi)大于0,则对任一事件A有 P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + … + P(A|Bn)*P(Bn).为全概率公式 1.2 变形得到乘
  • 先验概率和后验概率

    2017-05-02 15:23:03
    一、先验概率 ...全概率公式:内容:如果事件B1、B2、B3…Bn 构成一个完备事件组,即它们两两互不相容,其和为全集;并且P(Bi)大于0,则对任一事件A有 P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + ... +
  • 【机器学习实战06】贝叶斯网络

    千次阅读 2016-08-21 18:03:43
    1、概率知识条件概率:事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。... 全概率公式:如果事件B1,B2,B3….Bn构成一个完备事件组,即两两互不相容,其和为全集,且P(Bi)>0,则对任一事件A来说:

空空如也

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