独立事件的发生互不影响，但它可能同时发生。互斥事件是不能同时发生的事件，也就是说，交点是零，但它们可能会相互作用。接触∶独立事件可能是互斥事件可能不会是互斥事件，相互排斥的事件不能是独立事件。
事件A和B的交叉口为空，A以及B只是是互斥事件，它也被称为不相容事件。它也可以描述为：不能同时发生的事件。作为A∩B这是不可能的事(A∩B=Φ)，所谓的事件A和事件B互斥，它的意义是：事件A和事件B它不会在任何一个测试中同时发生。更复杂的事件表示为几个互斥事件的总和，用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或者当一个事件的相反事件的概率很容易找到的时候，将事件概率的计算转化为相反事件的概率，简化计算。在解决问题的时候，要注意互斥事件或相反事件的情况是满意吗。
从集合的角度看，事件A、B互斥，是事件的A所由包含B所包含的结果集的交集是空集，还有：
P(A+B)=card(A+B)/card(I)=card(A)+card(B)/card(I)=card(A)/card(I)+card(B)/card(I)=P(A)+P(B)；事件A以及B反对，是事件的B所一组包含，是成套事件A所一组包含，即A∩B=Φ，以及A∪B=I。

概率的数学定义：我们能够理解的概率的定义是：某个事件发生的可能性的大小。但是这不是数学定义，其实概率的定义不好正面描述，我的老师在上课的时候也只给出了其的特点，相当于侧面描述：

1.任何一个事件发生的概率一定大于等于0，即P(A)>=0.

2.必然事件发生的概率为1，P(Ω）= 1.

3.对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1，A2，……，An有P(A1UA2UA3UA4…UAn) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +…+ P(An) ，则称实数P(Ai)为事件Ai的概率。
P(AUB) = P(A) + P(B) -P(AB)

P(A-B) = P(A) - P(AB)

P(非A）= 1-P(A)
乘法公式：P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

条件概率：占一块土地的面积（这是抽象理论实例化的核心思想的应用，可以参考上一篇文章。）P(A|B)是已知事件B发生了，那么A		使		B发生所作出的贡献是多大？

其实可以理解为：土地A占土地B占了多少。
全概率：
全概率就是把概率的计算分成许多个部分，然后相加，然后把每一项用条件概率展开。

想和大家说一下用条件概率展开后的任意一项的意义（比如P(B)P(A|B1)：这项的P(A|B1)就相当于百分率。（如果理解了上面说的条件概率的理解方法就可以浅显理解这里。
贝叶斯公式：贝叶斯公式就是条件概率的另一种计算方式。



事件的相互独立性：若两个事件相互独立，那么有P(AB) = P(A)P(B)

注意：三个事件两两独立推不出三个事件相互独立，即P(ABC) 不一定= P(A)P(B)P（C）

因为这个公式是要把B∩C看作一个整体才能够推导出来，我们不知道A与B∩C是不是独立的，所以就推不出来。

                       全概率公式与Bayes公式
             

    全概率公式：
         利用全概率公式可以把复杂的事件的概率化为互斥的简单事件的概率来计算.
                      定理1　对任一事件A,若有互不相容的事件Bi(i=1,2,…,n),满足P(Bi)>0,(i=1,2,…,n)且
 ，则事件A的概率可用下式计算： .
此概率称为全概率公式.  
              
引例：某专业有甲乙两班，人数分别是60人与50人，他们都参加了英语考试，甲班和乙班的合格率分别为95%和90%.试求该专业学生英语考试的合格率.
分析与解答：
    因为两班的人数不同，所以不能直接把两个班的合格率作算术平均作为本题答案.我们可以先求出两个班本课程的全部合格人数：


然后再求出该专业本课程的合格率
这种算法等价于把各班的合格率按该班人数占总人数的比例作加权平均，即

设B={该专业学生英语考试合格}
  A1={学生来自甲班}，A2={学生来自乙班}

由题目的条件可知：




于是本题的求解可用公式表示为：

这就是全概率公式。






  Bayes公式：
       利用乘法公式与全概率公式可导出Bayes公式
              定理2 对任一事件A（
 ），若有互不相容的事件Bi(i=1,2,…,n),满足P(Bi)>0,(i=1,2,…,n)且
 ，则  （i=1,2,…,n）


　　       称此式为Bayes公式，其意义是：假设导致事件A发生的“原因”有Bi(i=1,2,…,n)。它们互不相容，现已知事件A确已经发生了，若要估计它是由“原因”Bi所导致的概率，则可用Bayes公式求出.即可从结果分析原因.  
         


例3：有朋友自远方来,他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率分别是0.3、0.2、0.1和0.4,而他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机迟到的概率分别是0.25、0.3、0.1和0,实际上他迟到了,请推测他坐哪种交通工具来的可能性最大.
解：设B1={他坐火车来},B2={他坐船来},B3={他坐汽车来},B4={坐飞机来},A={他迟到}. 则
P(B1)=0.3, P(B2)=0.2, P(B3)=0.1, P(B4)=0.4,
P(A|B1)=0.25, P(A|B2)=0.3, P(A|B3)=0.1, P(A|B4)=0.
由全概率公式得=0.145
再由Bayes公式分别可以算得
同理，

可见，P(B1|A)=0.5172最大,即他是坐火车来的可能性最大.



例4：临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下的效果，对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%,对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%。现在用这种试验对某市居民进行癌症普查,如果该市癌症患者数约占居民总数的0.4%，求:
(1)   试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率；
(2)   试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率.
解：设事件A={试验结果呈阳性反应},事件B={被检查者确实患有癌症},则按题意

有P(B)=0.004,P(A|B)=0.95,P(A|)=0.96.
由此可知：P()=0.996, P(|B)=0.05, P(A|)=0.04.
于是,由全概率公式得P(A)=0.004×0.95+0.996×0.04=0.04364，从而P()=1- P(A)=0.95636. 按Bayes公式得


这表明试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率并不大,还需要进一步检查才能确诊;但试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率很大.


               

        搞了这么久终于看到一个关于贝叶斯公式和原理最为简单易懂的描述,这里假设E和F都是事件,我们把E表示为:


       接着推广一下,假设F1,F2,F3,...,Fn是两两互不相容的事件,有:


        也就是说无论如何F1,F2,F3,...,Fn中正好有一个发生,从而:




        这个公式说明了对于给定的有且只有一个事件发生的F1,F2,F3,...,Fn；我们先通过对Fi中发生的一个事件计算其P(E)，换句话说是P(E)等于P(E|Fi)的加权平均和。现在假如E已经发生，我们想确定Fi中的哪一个事件发生，同理我们得到：


        这就是贝叶斯公式及其简单原理。简单的语言简单的公式简单的代码可以吧抽象难的东西表述出来，这也是符合奥卡姆剃刀原则.