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  • 在讨论度量空间的稠密性的时候,涉及到一些概念,下面我们逐一进行讨论一下,以区分不同,方便理解记忆。(一)稠密:设R是度量空间,A及E是R中的点集。如果E中的任何一点的任何环境都含有集A中的点,就称A在E中稠密...

    在讨论度量空间的稠密性的时候,涉及到一些概念,下面我们逐一进行讨论一下,以区分不同,方便理解和记忆。

    (一)稠密:设R是度量空间,A及E是R中的点集。如果E中的任何一点的任何环境都含有集A中的点,就称A在E中稠密。教材里面好像也称呼A为稠密子集。仔细推敲这个概念,需要特别注意的是A和E都是一个度量空间的点集,而且它们之间可能不相交,也可能不相交,另外就是特别注意两个任何,也就是E中的任何一点的任何环境,两个任何体现了E中点的任意性和该点对应环境的任意性。第一个任何可以理解,第二个任何需要强调的是该点的环境可以任意小。那么该点的环境指的是什么呢?这个特别要注意,这个环境指的是E中一点x,也是R中的点,以该点为中心,以r(>0)为半径的球,不是在E中的球,我们看教材环境的定义,针对的是度量空间中某一点的环境,对于度量空间中的点集,只要不是子空间,我们是没有环境概念的,也就是环境不是在E中的概念,环境只能是空间中的概念。我们举一个例子,A是有理数集合,E是无理数集合,根据稠密的概念,E中任何一点在R中的任何环境都必然包含一个有理数,也就是包含A中的点,因此有理数点集在无理数点集中稠密。而有理数点集和无理数点集并不相交。

    (二) 可析点集:R是度量空间,A是R中的点集。如果R中存在有限点集或可列点集在A中稠密,就称A为可析点集。这个概念比较明确和好理解,就是A中只要能够挑选可列点集在A中稠密,或者在R中能够挑选一些可列点集在A中稠密,就称A为可析点集。举一个例子,实数空间中,无理数子集就是可析点集,因为实数空间中可以挑选可列的有理数点集在无理数子集中稠密,给定一个区间也是可析点集,因为该区间可以抽取所有有理数点集在该区间稠密。因此抽取的可列点集可以属于该可析点集,也可以不属于,但是一定要属于该子集所在的度量空间。

    (三) 可析空间:这个概念简单,也就是一个度量空间存在一个可列点集在该空间中稠密就是了。比如实数空间就是可析空间,一个度量空间的子空间也可能是可析空间。

    (四) 疏朗集:R是度量空间,A是R的子集。如果A不在R的任何一个非空的开集中稠密,那么A称作疏朗集。此时称为疏朗集应该注意是相对于一个空间而言的,此外需要注意4点:任何,非空,开集,稠密。我们还是举一个例子说明一下。假设区间[-1,1]是一个子空间,那么{0}是疏朗集吗?思考疏朗集的概念,0是否在[-1,1]中的任何一个开集中稠密?首先观察在(-1/3,1/3)中稠密吗?不稠密,虽然0在这个开区间内,但是在这个开集中随便找一个开集,比如(1/4,1/3),0就不在该开集中,也就是不满足在该开集中稠密。因此0在[-1,1]的任何一个开集中都不稠密。因此{0}不是疏朗集,也不是稠密子集。在这个概念中,我们最应该注意的是A不在开集中稠密的含义,不要理解成A中有的点属于开集,也就是不要理解成A和任何开集有交点。

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  • 设 是 上的稠密开集,有如下问题:1)(开集构造定理)证明: 可以写作至多可数个不相交开区间的并集2) 是否一定是可数集?证明:对所有 中的元素取连通分量可得若干个互不相交的开区间。由于有理数的稠密性,在每...

    上的稠密开集,有如下问题:

    1)(开集构造定理)证明:

    可以写作至多可数个不相交开区间的并集

    2)

    是否一定是可数集?

    证明:

    1. 对所有
      中的元素取连通分量可得若干个互不相交的开区间。由于有理数的稠密性,在每个开区间内可以取一有理数。由此可知这些区间至多只有可数个。

    2. 错误,考虑集合

    (此为
    中由小数展开里仅有0,1构成的数字全体组成的集合, )。由对角线论证可以证明该集合是不可数集。下面考虑
    , 则有:

    i)

    是开集:

    ,由构造,我们知道
    .

    (例如,假设

    的小数展开中第一个不是0或1的数字,并假设它是2,则在
    中距离
    最近的数字是
    . 设
    ,我们就有

    所以

    是开集。

    ii)

    是稠密集:

    , 设
    ,则我们有
    . 故
    .

    综上,

    上的稠密开集。但
    是不可数集。

    注:这个题的唯一难点是坚定的认识到命题2是不成立的,因为后面的集合构造和论证其实并没有偏离常规。

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  • Spark机器学习:稀疏和稠密向量

    千次阅读 2019-04-26 10:13:47
    Spark机器学习:稀疏和稠密向量 稀疏和稠密向量 一个向量(1.0,0.0,3.0)它有2中表示的方法 密集:[1.0,0.0,3.0] 其和一般的数组无异 稀疏:(3,[0,2],[1.0,3.0]) 其表示的含义(元素的个数,元素的序号,元素序号...

    Spark机器学习:稀疏和稠密向量

    稀疏和稠密向量

    一个向量(1.0,0.0,3.0)它有2中表示的方法

    密集:[1.0,0.0,3.0]    其和一般的数组无异

    稀疏:(3,[0,2],[1.0,3.0])     其表示的含义(元素的个数,元素的序号,元素序号对应的值)   序号从0开始

               比如这里:元素个数为:3个、序号0:对应的值为1.0,需要2对应的值为3.0

    下面是一个简单的例子

    [java] view plain copy

    1. import org.apache.spark.mllib.linalg.Vectors  
    2.   
    3. object Test {  
    4.   def main(args: Array[String]) {  
    5.     val vd = Vectors.dense(2, 5, 8)  
    6.     println(vd(1))  
    7.     println(vd)  
    8.   
    9.     //向量个数,序号,value  
    10.     val vs = Vectors.sparse(4, Array(0, 1, 2, 3), Array(9, 3, 5, 7))  
    11.     println(vs(0)) //序号访问  
    12.     println(vs)  
    13.   
    14.     val vs2 = Vectors.sparse(4, Array(0, 2, 1, 3), Array(9, 3, 5, 7))  
    15.     println(vs2(2))  
    16.     println(vs2)  
    17.   }  
    18. }  

    结果:

    [plain] view plain copy

    1. 5.0  
    2. [2.0,5.0,8.0]  
    3. 9.0  
    4. (4,[0,1,2,3],[9.0,3.0,5.0,7.0])  
    5. 3.0  
    6. (4,[0,2,1,3],[9.0,3.0,5.0,7.0])  
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    稠密重建部分直接在sfm的基础之上调用cmvs可执行程序,cmvs集成了稀疏点云聚类算法和基于面片的稠密重建算法pmvs,其中pmvs是目前效果最好的稠密重建算法。

    cmvs可执行程序在windows上的使用

    准备资源.:在

    此处

    下载名为

    CMVS for Windows

    的文件,在下载后的binariesWin-Linux文件夹下即可找到对应的可执行文件,按照自己电脑配置选择Win32或Win64。(我选择Win64)

    创建根文件夹,将Win64中的文件都拷贝到该文件夹内。

    在根文件夹下创建一个名为pmvs的文件夹。该文件夹存放cmvs需要的输入文件及cmvs的输出结果。目录结构如下所示。

    d3af3c081fba4d1f364c3a46a22cbd86.png

    准备输入的文件:pmvs下应有三个子文件夹和一个文件,分别如下图所示。

    d8e6525559294c1672db0e4d7168ddfd.png

    models

    :空文件夹,留给cmvs存放最终生成的ply格式点云。

    txt

    :存放

    每个图片对应的投影矩阵

    ,命名方式为00000000.txt,00000001.txt,以此类推。(n个图片对应n个文件)

    visualize

    :存放重建使用的所有图片,命名方式为00000000.jpg,00000001.jpg,依次类推。图片顺序应与txt文件顺序对应,即名为00000000.jpg的图片的矩阵存放在00000000.txt中。

    bundle.rd.out

    :按照

    bundler格式

    存放的sfm输出文件。

    执行:一般意义上使用命令窗口执行cmd命令来调用cmvs程序,但我之前的项目使用的是python编写,因而我使用python执行cmd命令。代码如下:

    root = os.getcwd()

    # 设置命令

    commend1 = root + "\cmvs.exe" + " " + root + "\pmvs\\"

    commend2 = root + "\genOption.exe" + " " + root + "\pmvs\\"

    commend3 = root + "\pmvs2.exe" + " " + root + "\pmvs\ option-0000"

    # 执行CMVS

    process = subprocess.Popen(commend1, shell=True)

    process.wait()

    process = subprocess.Popen(commend2, shell=True)

    process.wait()

    process = subprocess.Popen(commend3, shell=True)

    process.wait()

    注意:第三个命令中,option-0000前面必须有空格;执行完一个命令再执行下一个命令,否则程序会出错。

    执行完成后,在/pmvs/models中的option-0000.ply文件就是稠密重建的结果。

    准备输入文件

    有三个输入文件需要准备,下面依次说明。

    visualize:这里是重建图片的副本,将待重建图片复制到visualize文件夹下即可,

    注意命名必须为8位(4位也可)数字,格式最好为jpg

    43790aaf9671a47bc184d4aece6c015b.png

    txt:每个图片对应的投影矩阵存放格式如下:

    c067bfb45be1f009300ec69f462ef49b.png

    sfm已经了解了投影矩阵,P为内参矩阵与外参矩阵的乘积。存储txt文件的时候注意

    顺序与visualize中图片顺序对应,最好sorted一下

    每个txt中存放的实际内容参考如下:

    38c89775888319639038c87b995a3330.png

    3. bundle.rd.out

    文件格式:

    08b62b424057cc9bc372bceaaf0ad871.png

    #Bundle file v0.3 :文件头

    总相机数(正常情况下等同于总的重建图片数) 总点数(sfm输出的稀疏点云点总数)

    实际内容参考:

    dc2506275e88550d8b20d0eebd8f1617.png

    每个相机参数(一个相机参数由五行数据表示)

    格式为:

    2da22d7d9f46fb1d6c4773405d344fdd.png

    第一行:焦距f 畸变参数k1 畸变参数k2

    第二到四行:旋转矩阵R

    第五行:平移量t

    实际内容参考:

    531413636482396a73c1c4237863e926.png

    每个点参数(一个点参数由三行数据表示)

    格式为:

    43281569b7899738e38ba2c9affcd81b.png

    第一行:三维点的坐标

    第二行:该点的RGB颜色

    第三行:该点的详细信息

    第一个参数:能观察到该点的相机个数。之后以< camera > < key > < x >< y >四个参数参数为一组依次写入。

    其中:< camera >为相机(图片)索引,< key >为keypoint序列索引,< x >< y >为该keypoint在图片上的二维坐标。

    实际内容参考:

    b5ef577dae28193535574bf254352db7.png

    参考博客:https://blog.csdn.net/AileenNut/article/details/78876568

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    千次阅读 2018-11-05 16:07:29
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密集和稠密