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  • 对于一棵具有n个节点的二叉树
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    2018-11-02 21:05:37

    【n个节点的二叉树有多少种形态(Catalan数)】

    分析过程:
    (1)先考虑只有一个节点的情形,设此时的形态有f(1)种,那么很明显f(1)=1

    (2)如果有两个节点呢?我们很自然想到,应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么,如果固定一个节点后,左右子树的分布情况为1=1+0=0+1,故有f(2) = f(1) + f(1)

    (3)如果有三个节点,(我们需要考虑固定两个节点的情况么?当然不,因为当节点数量大于等于2时,无论你如何固定,其形态必然有多种)我们考虑固定一个节点,即根节点。好的,按照这个思路,还剩2个节点,那么左右子树的分布情况为2=2+0=1+1=0+2。
    所以有3个节点时,递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2)。(注意这里的乘法,因为左右子树一起组成整棵树,根据排列组合里面的乘法原理即可得出)

    (4)那么有n个节点呢?我们固定一个节点,那么左右子树的分布情况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = … = 1 + n-2 = 0 + n-1。此时递归表达式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + … + f(1)f(n-2) + f(n-1)

    接下来我们定义没有节点的情况,此时也只有一种情况,即f(0)=1
    那么则有:
    f(0)=1,f(1)=1
    f(2)=f(1)f(0)+f(0)f(1)
    f(3)=f(2)f(0)+f(1)f(1)+f(0)f(2)
    .
    .
    .
    .
    f(n)=f(n-1)f(0)+f(n-2)f(1)+……….+f(1)f(n-2)+f(0)f(n-1)
    该数列称为卡特兰数(Catalan数),该递推关系的解为:
    这里写图片描述
    即含n个节点的二叉树有f(n)种形态。

    【其他使用Catalan数解决的问题】
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    满意答案

    dcebd7a0de6265b6ccae5ead692f1eab.png

    398ibxhsf

    2014.06.26

    dcebd7a0de6265b6ccae5ead692f1eab.png

    采纳率:48%    等级:9

    已帮助:566人

    以向量为存储结构的完全二叉树,其存储在向量中的结点其实是按层次遍历的次序存放的,可以根据课本第74页的内容设计出算法:

    typedef char DataType;//设结点数据类型为char  #define M 100//设结点数不超过100  typedef DataType BinTree[M];

    void Preorder(BinTree T)   { //前序遍历算法    int n=T[0];

    int p[M];//设置一队列存放结点值    int i,j;

    for(i=1;i<=n;i++)     {

    if (i==1)//根结点        j=1;

    else if(2*j<=n)//左子树          j=2*j;

    else if(j%2==0&&j

    else if(j>1)//双亲之右兄弟             j=j/2+1;      p[i]=T[j];//入队

    printf("%c",p[i]);//打印结点值     }   }

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    求证:具有 n 个结点的完全二叉树的深度为⌈log2(n+1)⌉或⌊log2n⌋+1
    证明:设完全二叉树的深度为h,则依据“深度为h的二叉树至多有2h-1个结点(h≥1)”的性质,
    可得:2h-1-1<n ≤ 2h-1
    其等价于 2h-1<n+1 ≤ 2h,也即 2h-1≤ n<2h

    ● 对式子 2h-1<n+1 ≤ 2h 求对数,可得 h-1<log2(n+1) ≤ h
    在这里插入图片描述
    显然,此时完全二叉树的深度h=⌈log2(n+1)⌉

    ● 对式子 2h-1≤ n<2h 求对数,可得 h-1 ≤log2n<h
    在这里插入图片描述
    显然,此时完全二叉树的深度h=⌊log2n⌋+1

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    n个节点二叉树有几个指针域

    Problem Statement: You are given a perfect binary tree where all leaves are on the same level, and every parent has two children. Populate each next pointer to point to its next right node. If there is no next right node, the next pointer should be set to NULL. Initially, all next pointers are set to NULL.

    问题陈述:您将得到一棵完美的二叉树,其中所有叶子都在同一级别,每个父级都有两个孩子。 填充每个下一个指针以指向其下一个右节点。 如果没有下一个右节点,则下一个指针应设置为NULL 。 最初,所有下一个指针都设置为NULL

    Example:

    例:

    Code:

    码:

    Explanation:

    说明:

    Above is the iterative approach to the problem.

    上面是解决问题的迭代方法。

    Initialize a queue data structure that would be useful for tree traversal. Initially add root to the queue. Then iterate over each level of the tree.

    初始化将对树遍历有用的队列数据结构。 最初将root添加到队列。 然后遍历树的每个级别。

    Iterate over all the nodes on the current level. Remove the node from the front of the queue. The check (i < size-1) is important as we don’t want to establish any wrong connections. The queue will contain nodes from 2 levels at most at any point in time(since we are adding node’s children to the queue). This check ensures we don’t establish the next pointers beyond the end of the current level.

    遍历当前级别上的所有节点。 从队列的最前面删除该节点。 检查(i <size-1)很重要,因为我们不想建立任何错误的连接。 队列在任何时间点最多包含2个级别的节点(因为我们正在将节点的子级添加到队列中)。 此检查可确保我们不会在当前级别的末尾建立下一个指针。

    Keep adding the children of a node in the queue and so on…

    继续在队列中添加节点的子节点,依此类推……

    In the end return the root of the tree with the next pointers populated.

    最后,返回树的根,并填充下一个指针。

    Complexity Analysis:

    复杂度分析:

    Time Complexity: O(N), N is the number of nodes in the binary tree since we are visiting every node once.

    时间复杂度: O ( N ), N是二叉树中的节点数,因为我们访问每个节点一次。

    Space Complexity: O(N).

    空间复杂度:O(N)。

    翻译自: https://medium.com/nerd-for-tech/java-populating-next-right-pointers-in-each-node-of-a-binary-tree-f49472975cc2

    n个节点二叉树有几个指针域

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    N个节点二叉树的形态数 卡特兰数
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    万次阅读 2014-04-07 15:22:52
    n个节点n组成的二叉树

空空如也

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