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  • 使用更高导数正则化情况下,构建一种特殊重新规范化方案,其中该所有顺序关系对于D函数保持有效,并且根据重新规范化耦合常数定义异常维度。 该方案中找到了N = 1 SQCDAdler函数的解析表达式,阶为O...
  • 一、单调性与极值1、单调性设函数 在D上定义,若对于任何 ,且,有 (或 ),则称 在区域D上为严格函数(减函数函数单调性判别法为:若在区间I内有 (或 ),则说明函数在区间I内严格递增(递减)例题:...

    一、单调性与极值

    1、单调性

    设函数

    在D上有定义,若对于任何的
    ,且
    ,有
    (或
    ),则称
    在区域D上为严格的增函数(减函数)

    函数单调性的判别法为:若在区间I内有

    (或
    ),则说明函数
    在区间I内严格递增(递减)
    例题:判断函数
    的单调性

    解答:

    (1)函数的定义域为

    (2)求导数:

    ,所以
    在定义域内为递减函数

    注意:写到这里有的同学会误认为该函数是不是全集连续递减,实际不是的,比如:

    这里的递减指的在连续的区间内是递减的,但由于x=-1是断点,将函数断开了,故函数不是在全集上递减,这个需记清楚

    2、极值

    若函数

    的去心邻域内的函数值小于
    (或大于
    ),称
    为函数的极大点(或极小点),称
    为极大值(或
    为极小值)

    极值点可能存在于两种情况:第一种是驻点(

    的点);第二种是导数不存在的点,在一道求解极值的题目中,首先先找出函数的驻点及导数不存在的点,再利用判别法求解该点是否为极值点

    ad29084d2518dc15314d3ef93229ab7e.png

    极值有三个判别方法

    (1)若存在

    ,当
    (且
    )时有
    (且
    ),则
    极大点;当
    (且
    )时有
    (且
    ),则
    极小点
    例题:已知
    ,判断
    是否为函数极值点?

    解答:

    时,分母大于0,分子比分母为大于0的数,因此可知

    时,分母小于0,分子比分母为大于0的数,因此可知

    由上述讨论可知,当x大于0时,

    ,函数递增;当x小于0时,
    ,函数递减,函数从左往右先减后增,因此
    为该函数的
    极小点

    (2)若函数

    处二阶可导,且
    ,则当
    (或
    ),
    的极小点(或极大点)

    (3)若函数

    具有n阶导数(n为偶数),且
    (k=1,2,3....n-1),则
    (或
    )时,
    的极小点(或极大点)

    二、凹凸性与拐点(与单调性类似,考虑f''(x))

    1、凹凸性

    4e909d55fe5965a14d1fd5f7dd51ca31.png

    设函数

    在D上有定义,若对于任何的
    ,且
    ,有
    (或
    ),则称
    在区域D上为凸函数(或凹函数)

    函数凹凸性的判别法为:若在区间I内有

    (或
    ),则说明函数
    在区间I内为凹函数(凸函数)
    例题:判断函数
    的凹凸性

    解答:

    (1):求一阶导数:

    (2):求二阶导数:

    当x>0时,

    ,函数为
    凹函数;当x<0时,
    ,函数为
    凸函数

    2、拐点

    若函数

    两侧的凹凸性不同,称
    为曲线的拐点

    拐点与极值点类似,可能存在于两种情况:第一种是二阶导为0的点(即

    的点);第二种是二阶导数不存在的点,在一道求解拐点的题目中,首先先找出函数二阶导为0及二阶导不存在的点,再利用判别法求解该点是否为拐点

    拐点有两种个判别方法

    (1)若存在

    ,当
    )时有
    异号,则
    为拐点
    例题:已知
    ,判断
    是否为拐点?

    解答:

    时,分母大于0,分子比分母为大于0的数,因此可知

    时,分母小于0,分子比分母为大于0的数,因此可知

    由上述讨论可知,当x在0的两边时,

    异号,因此
    为拐点

    (2)

    三阶可导,且
    ,但
    ,则
    为拐点

    三、渐近线:

    渐近线可分为水平渐近线和垂直渐近线,水平渐近线又可再细分为水平和斜渐近线,三种渐近线求解方法不一,下面一一进行介绍:

    1、垂直渐近线

    垂直渐近线,顾名思义,就是垂直于x轴的渐近线,例如:

    bbca6b5baa5441b4007a6bbff07e82db.png

    垂直渐进线的求解过程一般为:

    (1)找出函数的间断点(若函数在R上连续,则该函数无垂直间断点)

    (2)判断间断点是否为无穷间断点,如果是则垂直于x轴且通过改点的直线为垂直渐近线,如果不是无穷间断点,则该点不是垂直渐进线经过的点

    无穷间断点判别法:

    例题:求解
    的垂直渐近线

    (1)找出函数的间断点:x=-1

    (2)计算间断点是否为无穷间断点:

    由上述两点可确定x=-1为函数无穷间断点,因此函数的垂直渐进线为x=-1

    2、水平渐近线

    水平渐近线分为水平和斜渐近线,这里先讲讲水平渐进线,水平渐近线为平行于x的直线,形如下图:

    05452e3bd4297c546925e1df8e77dc7b.png

    水平渐进线的求解方法较为直接:直接对f(x)求极限即可,

    ,则y=A即为f(x)的水平渐近线
    例题:求解
    的水平渐近线

    解答:

    ,所以该函数的水平渐近线为
    y=0

    3、斜渐近线

    斜渐近线是除水平和垂直渐近线外的其他直线,形如:

    0ed05e65ecda2e60fb090dda1be0094f.png

    因为斜渐近线为直线,所以采用斜渐近线的表达方式采用直线的形式进行表达:

    因此求解渐近线的实质就是求解k、b的取值,具体求解方法如下:

    (1)求解k值

    (2)求解b值

    k和b的取值确定后,则斜渐近线为:

    例题:求解
    的斜渐近线

    (1)求解k值:

    (2)求解b值:

    所以该函数的斜渐近线为:y=x

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  • 函数是高中数学中比较重要的课程内容,也贯穿了整个高中数学的学习。那么,高中数学必修一函数的单调性与最值,一起来看...特别地,当I是定义D上的一个区间时,也称函数在区间I上单调递增.如果对于任意的x1,x2∈D...

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    3cb22c661bc7a574dbb522c93ff17efa.png

    函数是高中数学中比较重要的课程内容,也贯穿了整个高中数学的学习。那么,高中数学必修一函数的单调性与最值,一起来看看吧!

    小编乱入

    知识会

    知识点1 函数的单调性【基础】

    1.增函数与减函数

    设函数38a5b1219dae853645b5bdaa4ff068bb.png的定义域为D:

    如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数38a5b1219dae853645b5bdaa4ff068bb.png增函数.特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数38a5b1219dae853645b5bdaa4ff068bb.png在区间I上单调递.

    如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数38a5b1219dae853645b5bdaa4ff068bb.png减函数.特别地,当I是定义域D上的一个区间时,也称函数38a5b1219dae853645b5bdaa4ff068bb.png在区间I上单调递.

    d7ae884c0c96111793e681febbcbccb0.png求甚解

    增(减)函数定义中的三个特征

    (1)任意性:任意取00c4c0168f4ea680de29f6d1a67d4408.png                                             

    (2)有序性:一般要对x1和x2的大小进行规定.通常规定.

    (3)同区间性:54e836067395f725b2864202e0e7e776.png同属于一个单调区间.

    这三个特征缺一不可.

    d7ae884c0c96111793e681febbcbccb0.png拓展

    单调性定义的等价形式

    68f68bdc1a93584d3b6b5dd004404a7d.png

    2.函数的单调性与单调区间

    2-1单调性与单调区间的定义

    如果函数 ceea035e401231eeefcb11c890ffb5f3.png在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数ceea035e401231eeefcb11c890ffb5f3.png在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数ceea035e401231eeefcb11c890ffb5f3.png单调区间.

    e7f620475cd54600090b0253b0a72e2b.png

    d7ae884c0c96111793e681febbcbccb0.png划重点

    (1)函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的真子集.函数在某区间上单调,可以得到在其子区间上有相同的单调性.

    (2)函数在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调.

    一般地,若函数f(x)在区间[a,b)上为增函数,在区间[b,c]上为增函数,则不一定说明函数f(x)在[a,c]上为增函数,如:

    1785abc393ae652796f5b22ae11eabd9.png

    若图象为下图,即可说明函数在[a,c]上为增函数,即只需f(x)在[a,b)上的最大值不大于f(x)在[b,c]上的最小值即可,减函数同理.

    f3c21ae33cf2c30d947948207b97a1a7.png

    (3)不是所有的函数都有单调区间.例如取整函数y=[x],它的定义域是R,但不具有单调性;点列函数定义域是一个个孤立的点,不是区间.

    2-2 单调区间的书写规则

    (1)一个函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间之间用“”隔开,或者用“”连接,不能用“并”或“且”连接.

    beab1283dd68e002d0c067cb645af2d1.png

    bc9f31186f2b726f26124819ed48e06b.png

    (2)函数的单调性是对于某个区间而言的,在某一点不存在单调性,因此书写单调区间时,对区间端点的开闭不作要求.

    但若函数在区间某些点处无意义,单调区间一定不能含有这些点.

    3.常见函数的单调性

    3-1一次函数y=kx+b(k≠0) 

    (1)当k>0时,在R上单调递,如图:

    bf6e1286034bc8ec1c172dd67ede73cf.png

    (2)当k<0时,在R单调递减,如图:

    bf868ad51e1c58c860146101e6d2f5a2.png

    3-2反比例函数dd68b4af76d12e6f33e824246d72f1da.png(a≠0)

    (1)当a>0时,在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,如图:

    c288226dd237854a7243e264b7794e56.png

    (2)当a<0时,在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,如图:

    fdefa9fd457d99cba226310a5b0b7994.png

    3-3 二次函数y=a(x-m)2+n(a≠0)

    (1)当a>0时,在(-∞,m]上单调递减,在[m,+∞)上单调递增,如图:

    b5e4ef558007c0efcc3ce0714743b52b.png

    (2)当a<0时,在[m,+∞)上单调递减,在(-∞,m]上单调递增,如图:

    bd4687b1449f6680597fb26b7e3f610c.png

    d7ae884c0c96111793e681febbcbccb0.png示范例题

    例题1.(单选题)下列说法中正确的有(  )

    ①若x1,x2∈I,当x1

    ②函数y=x2在R上是增函数;

    ③函数95e3dc45bf1eda22cfb5f47776f5dd2a.png在定义域上是减函数,且单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).

    A.0个

    B.1个

    C.2个

    D.3个

    【答案】A     

    【解析】函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x1,x2,强调的是任意,故①错;

    ②y=x2,当x≥0时是增函数,当x<0时是减函数,所以y=x2在整个定义域上不具有单调性;

    95e3dc45bf1eda22cfb5f47776f5dd2a.png在整个定义域内是单调递减函数,但单调递减区间不是(-∞,0)∪(0,+∞),而是(-∞,0)和(0,+∞),注意写法,故③错.故选A.

    知识点2函数单调性的判断与证明【重点】

    1.定义法

    定义法一般适用于结构较简单的函数.一般步骤为:

    9d1b41d2635b9dd1d7306493e406a6be.png

    (1)取值:设x1,x2∈D,且x1<x2

    (2)作差:求f(x1)-f(x2);

    (3)变形:对f(x1)-f(x2)进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、有理化等;

    (4)判号:将f(x1)-f(x2)与0比较大小,当正负不确定时,需要进行分类讨论;

    (5)定论:指出函数y=f(x)在给定的区间D上的单调性.

    d7ae884c0c96111793e681febbcbccb0.png划重点

    判断函数单调性过程的重点

    (1)为了确定符号,一般是将f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))尽量分解出含有x1-x2(或x2-x1)的因式,再将剩下的因式化成积或商的形式,或化成几个非负实数的和的形式,这样有利于确定该因式的符号;

    (2)当指定函数在所给区间上的值都大于0或都小于0时,可以用作商法判断函数的单调性,即通过比较 8295b4e073331b93f31f0220594b54ce.png 与1的大小来判断单调性.

    2.图象法

    适用于比较容易画出图象数.

    一般通过已知条件作出函数图象的草图,如果函数的图象在某个区间从左到右逐渐上升,则函数在这个区间是函数;

    如果从左到右是逐渐下降,则函数在这个区间是函数.

    如:函数f(x)=-x2+|x|的图象如下:

    1d283f60066e74cb0a4975626062f29e.png

    函数f(x)的单调增区间为e27389980621a6f858102777339d318b.png

    3.性质法

    (1)函数y=f(x)与函数y=-f(x)的单调性相反

    (2)函数y=f(x)与函数y=f(x)+c(c为常数)的单调性相同

    (3)当a>0时,函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相同;当a<0时,函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相反

    (4)若f(x)≥0,则函数y=f(x)与函数y=8adb9e51c2e0b7728e94a772d3fb9e86.png,y=f 2(x)的单调性相同

    (5)当f(x)的值恒为正或恒为负时,函数29d6803c33a1ce68f1995e27872c498f.png和函数f(x)的单调性相反

    (6)在公共区间内,增函数+增函数=函数,减函数+减函数=函数,增函数-减函数=函数,减函数-增函数=函数.

    知识点3函数的最大(小)值【重点】

    1. 函数的最大值、最小值、最值的概念

    若存在实数M,对所有的x∈D,都有401b18fcc670d82b2112bcd51e1e9a92.png,且存在x0∈D,使得4fda4180f3777ec5a418138a7b1eb5ee.png,则称M为函数117c683e04eb3882e3d59436b025429d.png的最大值.同样地,可以定义函数954724794be1867b40838a2081f9c4d4.png的最小值.函数的最大值和最小值统称为最值.

    d7ae884c0c96111793e681febbcbccb0.png求甚解

    深入理解最值含义

    (1)对于定义域内的任意元素x,都有 d7c65b30e0aa5095466dd9607d0c4e04.png,“任意”两个字不可省.

    (2)使函数a7ed8dc92487ad3ddc56a2c1ae1b4273.png取得最大(小)值的自变量的值有时可能空:不止一个.

    (3)函数a7ed8dc92487ad3ddc56a2c1ae1b4273.png在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图象上最点的坐标;最小值的几何意义是其图象上最点的坐标.

    (4)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

    2. 图形示例

    如函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象如下:

    c83ae6939000d3369186e4c1d332532d.png

    其最大值为3,最小值为-2.

    d7ae884c0c96111793e681febbcbccb0.png学有所乐

    如果将井冈山五指峰的轮廓抽象成函数图象,你能找到最大值和最大值点吗?

    c3cd92c45700e7f0823f4d7a18c8b130.png

    3. 利用函数单调性求最值的常用结论

    (1)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,则函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最值f(b),如图:

    926dd903783cc0fe498e2dbf41e269cf.png

    (2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最值f(b),如图:

    cf6ef9ec46a1bad2f837bb1dc9e0e592.png

    d7ae884c0c96111793e681febbcbccb0.png划重点

    (1)函数的最值是函数在其定义域上的一个整体性质,它与值域有着密切关系.函数的值域一定存在,但最值不一定存在.

    (2)对于在一个闭区间上的连续函数f(x)来说,它一定有最小值m,也一定有最大值M,这时函数的值域是[m,M].

    (3)当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.

    d7ae884c0c96111793e681febbcbccb0.png示范例题

    b3734a930e68a19f0317f010b3b22953.png

    K重难

    要点1 复合函数的单调性【重点】

    1. 复合函数单调性的规则

    一般地,对于复合函数 6c20d33b4107dc1f3c03c8009efd4f20.png,单调性如下表所示,简记为“同增异减

    a5f6966e814a49f73ee5f54f1020fdde.png

    2. 判断复合函数单调性的步骤

    (1)求函数的定义域;

    (2)分解复合函数,判断每一个函数的单调性;

    (3)根据“同增异减”判断复合函数的单调性.

    d7ae884c0c96111793e681febbcbccb0.png拓展

    若一个函数是由多个简单函数复合而成的,则此复合函数的单调性由简单函数中、减函数的个数决定.

    若减函数有偶数个,则这个复合函数为函数;若减函数有奇数个,则这个复合函数为函数.

    d7ae884c0c96111793e681febbcbccb0.png示范例题

    2f4a6c5a1f04b01728cb13d09d44ced2.png

    c0a1b0948eafdf74358cf2948efe1cd5.png

    9362c358af06ff17863ada869a19a630.png

    要点2 抽象函数的单调性【难点】

    1. 抽象函数

    没有给出具体解析式的函数.

    2. 判断抽象函数单调性的方法

    (1)凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;

    (2)赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.

    3.与抽象函数单调性有关的题型

    (1)求抽象函数的单调性;

    (2)利用抽象函数的单调性求参数的范围.

    d7ae884c0c96111793e681febbcbccb0.png示范例题

    a378d136e7c71413d14b758f96c6a9c7.png

    总结

    a728729bb04aad97979073aff47448f6.png

    3f123665114402ea7717f4d486b06503.png

    声明:以上内容摘自包学习APP_动态教辅《全息解读·数学|必修第一册》,欢迎来包学习和更多小伙伴一起学习更多知识吧。

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  • 对于有限失真源编码,通常认为编码平均失真最小值... 本文中,针对典型源推导并计算了信息速率失真函数R(D的上下限。 结果表明,编码平均失真D的下限与符号失真函数有关,可以进一步完善有限失真源编码理论。
  • python递归函数解析

    2020-08-23 17:01:21
    1.递归函数的定义 a.定义一个函数里再次调用这个函数本身 b.最大递归层数是:997 2.递归特性 a.递归函数必须有一个明确结束条件 ...递归函数的优点:定义简单,逻辑清晰,理论,可以说所有递归...

    1.递归函数的定义

        a.定义:在一个函数里再次调用这个函数本身

        b.最大的递归层数是:997

    2.递归的特性

        a.递归函数必须有一个明确的结束条件

        b.每进入更深一层的递归时,问题规模相对于上一层递归都会减少

        c.相邻两次重复之间有紧密的联系,前一次要为后一次做准备(通常前一次的输入就是作为后一次的输入)

        d.递归效率不高,递归层次过多会导致栈溢出

    3.递归函数的优缺点

        a.递归函数的优点:定义简单,逻辑清晰,理论上,可以说所有的递归函数都可以写成循环的方式,但循环的逻辑不如递归清晰     

       b.递归函数的缺点:使用递归函数需要注意防止栈溢出

    eg:

    def fact(n):
        if n == 1:
            return 1
        return n * fact(n - 1)
    print(fact(5))      # 输出结果: 120
    print(fact(1))      # 输出结果: 1

     

     

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  • 二元函数的连续性

    千次阅读 2019-09-28 19:37:32
    fff是定义在点集D⊂R2D\subset R^2D⊂R2上的二元 P0∈D(它是D的聚点或孤立点)P_0\in D(它是D的聚点或孤立点)P0​∈D(它是D的聚点或孤立点) 对于∀ε>0,总∃δ>0,只要P∈U(P0;δ)∩D,\forall...

    二元连续的定义

    • ff是定义在点集DR2D\subset R^2上的二元
    • P0D(D)P_0\in D(它是D的聚点或孤立点)
    • 对于ε>0,δ>0,PU(P0;δ)D,\forall\varepsilon>0,总\exist\delta>0,只要P\in U(P_0;\delta)\cap D,就有f(P)f(P0)<ε|f(P)-f(P_0)|<\varepsilon则称ff关于集合D在点P0P_0连续

    注意~

    • P0P_0是孤立点,则P0P_0肯定是ff的连续点,因为U(P0;δ)DU(P_0;\delta)\cap D只有P0P_0
    • 若是聚点,则以上定义等价于limPP0,PDf(P)=f(P0)\lim\limits_{P\to P_0,P\in D}f(P)=f(P_0)
    • P0P_0是聚点,而上式不成立,则称P0P_0ff的不连续点或间断点;
      4.若极限存在只是f(P0)\ne f(P_0),则称该点为可去间断点

    增量

    • P0(x0,y0),P(x,y)DP_0(x_0,y_0),P(x,y)\in D x=xx0,y=yy0,\triangle x=x-x_0,\triangle y=y-y_0,
    • 全增量z=f(x0,y0)\triangle z=\triangle f(x_0,y_0) =f(x,y)f(x0,y0)=f(x,y)-f(x_0,y_0) =f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)=f(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0)以上都称为ff在点P0P_0的全增量
      • 用增量定义连续:当lim(x,y)(0,0),(x,y)Dz=0\lim\limits_{(\triangle x,\triangle y)\to(0,0),(x,y)\in D}\triangle z=0
    • 偏增量:在全增量中令x=0\triangle x=0y=0\triangle y=0,即xf(x0,y0)=f(x0+x,y0)f(x0,y0)\triangle_xf(x_0,y_0)=f(x_0+\triangle x,y_0)-f(x_0,y_0) yf(x0,y0)=f(x0,y0+y)f(x0,y0)\triangle_yf(x_0,y_0)=f(x_0,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0)
      • 若偏增量的极限为0,如limx0xf(x0,y0)=0\lim\limits_{\triangle x\to0}\triangle_xf(x_0,y_0)=0表示固定y=y0y=y_0时,f(x,y0)f(x,y_0)作为x的一元函数在x0x_0处连续
      • f(x,y)f(x,y)在内点(x0,y0)(x_0,y_0)处连续,可以推出f(x,y0)f(x,y_0)x0x_0处连续,f(x0,y)f(x_0,y)y0y_0处连续

    复合函数的连续性

    • u=φ(x,y),v=ψ(x,y)u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)xyxy平面上的点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)某邻域有定义且在该点连续
    • f(u,v)f(u,v)uvuv平面上的点Q0(u0,v0)Q_0(u_0,v_0)某领域有定义,也在Q0Q_0连续
    • u0=φ(x0,y0),v0=ψ(x0,y0)u_0=\varphi(x_0,y_0),v_0=\psi(x_0,y_0)
    • 则,g(x,y)=f[φ(x,y),ψ(x,y)]g(x,y)=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]P0P_0处也连续

    f(u,v)f(u,v)Q0Q_0连续可以描述为:
    ε>0,η>0\forall\varepsilon>0,\exist\eta>0,使得当uu0<η,vv0<η|u-u_0|<\eta,|v-v_0|<\eta时,有f(u,v)f(u0,v0)<ε|f(u,v)-f(u_0,v_0)|<\varepsilon

    有界闭域上连续函数的性质

    有界性and最大最小值定理

    ff在有界闭域DR2D\subset R^2连续,则

    • ff在D上有界
    • 且能取到最大最小值

    证明

    • 先证明ff的有界性:
      • 反证,假设无界,则对所有正整数nn,必PnD\exist P_n\in D,使得 f(Pn)>n,n=1,2,...(1)|f(P_n)|>n,n=1,2,...\tag{1}
      • 于是得到一有界点列{Pn}D\{P_n\}\subset D,且该点列有无穷多个点
      • 由有界无限点列必存在收敛的子列得,{Pn}\{P_n\}存在收敛子列{Pnk}\{P_{n_k}\},设limkPnk=P0\lim\limits_{k\to\infty}P_{n_k}=P_0由于D是闭域,因此P0DP_0\in D(这说明,若D是开域,则有可能收敛到界点)
      • 由于ff在D上连续,所以有limkf(Pnk)=f(P0)\lim\limits_{k\to\infty}f(P_{n_k})=f(P_0)这与不等式(1)矛盾,所以ff在D上有界
    • 下证ff能取到最大最小值:
      • m=inff(D),M=supf(D)m=\mathop{inf}f(D),M=supf(D)这里证明必存在一点QDQ\in D,使得f(Q)=Mf(Q)=M最小值类似
      • 依然反证,假设不然,则对PD\forall P\in D,都有Mf(P)>0M-f(P)>0构造一正值函数F(P)=1Mf(P)F(P)=\frac 1{M-f(P)}由于F在D上也连续,由以上证明可知,F在D上有界
      • 又∵ff在D上不能达到上确界MM,所以存在收敛点列{Pn}D,\{P_n\}\subset D,使得limnf(Pn)=M\lim\limits_{n\to\infty}f(P_n)=M这样的话就有limnF(P)=+\lim\limits_{n\to\infty}F(P)=+\infty与F有界的结论矛盾了,所以证得ff在D上可以取到最大值

    一致连续性

    ff在有界闭域DR2D\subset R^2连续,则

    • ff在D上一致连续
    • 即,对ε>0,δ(ε)>0,P,Q,\forall\varepsilon>0,\exist \delta(\varepsilon)>0,对\forall P,Q,只要满足ρ(P,Q)<δ\rho(P,Q)<\delta,就有f(P)f(Q)<ε|f(P)-f(Q)|<\varepsilon

    证明

    • 用聚点定理
    • 套话系列:若ff在D上连续却不一致连续,则
      • ε0>0,\exist\varepsilon_0>0,对于任意小的δ>0\delta>0,比如δ=1n,n=1,2,...,\delta=\frac 1n,n=1,2,...,,总有相应的Pn,QnDP_n,Q_n\in D
      • 即使ρ(Pn,Qn)<1n\rho(P_n,Q_n)<\frac 1n
      • 但是f(Pn)f(Qn)ε0|f(P_n)-f(Q_n)|\ge \varepsilon_0
    • 由于DD为有界闭域,故存在收敛子列{Pnk}{Pn}\{P_{n_k}\}\in \{P_n\},设PnkP0D(k)P_{n_k}\to P_0\in D(k\to\infty)
    • 方便起见,在{Qn}\{Q_n\}中取出与PnkP_{n_k}相同的子列{Qnk}\{Q_{n_k}\},则有0ρ(Pnk,Qnk)<1nk0,k0\le\rho(P_{n_k},Q_{n_k})<\frac 1{n_k}\to0,k\to\infty
    • 所以有limkQnk=limkPnk=P0\lim\limits_{k\to\infty}Q_{n_k}=\lim\limits_{k\to\infty}P_{n_k}=P_0
    • 又∵ffP0P_0处连续,所以有limkf(Pnk)f(Qnk)\lim\limits_{k\to\infty}|f(P_{n_k})-f(Q_{n_k})| =f(P0)f(P0)=0=|f(P_0)-f(P_0)|=0
    • f(Pn)f(Qn)ε0>0|f(P_n)-f(Q_n)|\ge \varepsilon_0>0矛盾,所以ff在D上一致连续

    介值性定理

    ff区域DR2D\subset R^2连续

    • P1,P2P_1,P_2为D上任意两点
    • f(P1)<f(P2)f(P_1)<f(P_2)
    • μ\mu满足f(P1)<μ<f(P2)f(P_1)<\mu<f(P_2)
    • 则必存在一点P0D,使P_0\in D,使得 f(P0)=μf(P_0)=\mu

    证明

    • 注意,这里一定要是区域,因为要用到区域的连通性质,而有界性定理和一致连续定理其实条件都可以改成有界闭集
    • 做辅助函数F(P)=f(P)μF(P)=f(P)-\mu可得:F在D上连续,且有F(P1)<0,F(P2)>0F(P_1)<0,F(P_2)>0
    • 不妨设P1,P2P_1,P_2是D的内点,下面证明必存在P0D,P_0\in D,使得F(P0)=μF(P_0)=\mu
      • 由于D为区域,所以肯定有一段有限折线连接P1,P2P_1,P_2,若有一连接点的函数值=0.则定理可证,否则从一端开始逐段检查线段,必存在某段,F在两端函数值异号
      • 设连接P1(x1,y1),P2(x2,y2)P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)的直线段含于D,方程为{x=x1+t(x2x1)y=y1+t(y2y1),0t1\begin{cases}x=x_1+t(x_2-x_1)\\y=y_1+t(y_2-y_1)\end{cases},0\le t\le1
      • 在该直线段上,F表示为关于t的复合G(t)=F(x1+t(x2x1),y1+t(y2y1))G(t)=F(x_1+t(x_2-x_1),y_1+t(y_2-y_1)) 0t10\le t\le1啊!这就构造好了一个[0,1][0,1]上的一元连续函数啦,可以用介值定理了!F(P1)=G(0)<0<G(1)=F(P2)F(P_1)=G(0)<0<G(1)=F(P_2)根的存在性定理,在(0,1)内存在一点t0t_0,使得G(t0)=0G(t_0)=0,记x0=x1+t0(x2x1)x_0=x_1+t_0(x_2-x_1) y0=y1+t0(y2y1)y_0=y_1+t_0(y_2-y_1)就有P0DP_0\in D使得F(P0)=G(t0)=0,f(P0)=μF(P_0)=G(t_0)=0,f(P_0)=\mu
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空空如也

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